«Делящаяся» плитка

В геометрии мозаик «делящаяся» плитка («делящаяся» мозаика) — это фигура, которую можно разрезать на меньшие копии самой фигуры. В 2012 обобщение «делящихся» мозаик с названием self-tiling tile set (набор плиток с самозамощением) было предложено английским математиком Ли Сэлоусом в журнале Mathematics Magazine .

Терминология

«Делящиеся» плитки обозначаются rep-n, если разрезание использует n копий. Такие фигуры обязательно формируют протоплитку замощения плоскости, во многих случаях образующую непериодичную мозаику. Разрезание «делящейся» плитки с использованием различных размеров называется нерегулярной «делящейся» плиткой. Если такое разрезание использует n копий, фигуру обозначают irrep-n. Если все подплитки имеют различные размеры, разрезание называют совершенным. Фигуры rep-n или irrep-n являются, очевидно, irrep-(kn − k + n) для любого k > 1 (просто заменяем самый маленький элемент разрезания на n ещё более мелких элементов). Порядком плитки, будь то rep- или irrep-плитка, называется наименьшее возможное число частей, на которые плитку можно разрезать (сохраняя форму частей).

Примеры

Любой квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб или треугольник является rep-4. Гексиамонд «Сфинкс» (верхний рисунок) является rep-4 и rep-9 и является одним из нескольких известных самовоспроизводящихся пятиугольников. Кривая Госпера является rep-7. Снежинка Коха является irrep-7 — шесть меньших снежинок одинакового размера, вместе со снежинкой втрое большей площади, можно скомбинировать для получения одной снежинки большего размера.

Прямоугольный треугольник с длинами сторон в пропорции 1:2 является rep-5, а его rep-5 разрезание образует базис апериодичной мозаики «Вертушка». По теореме Пифагора гипотенуза треугольника rep-5 имеет длину √5.

Международный стандарт ISO 216 определяет размеры листов бумаги с помощью √2 — длинная сторона прямоугольного листа бумаги в квадратный корень из 2 раз длинней короткой стороны. Прямоугольники с такой формой являются rep-2. Прямоугольник (или параллелограмм) является rep-n, если его характеристическое отношение равно √n:1(но не только, например √3: √2 является rep-6, как и прямоугольник √6:1). Равнобедренный прямоугольный треугольник является rep-2.

«Делящаяся» плитка и симметрия

Некоторые «делящиеся» плитки, такие как квадрат и правильный треугольник, симметричны и остаются идентичными при зеркальном отражении. Другие, такие как сфинкс, являются асимметричными и существуют в двух различных формах, связанных зеркальным отражением. Разрезание сфинкса и некоторых других асимметричных «делящихся» плиток требует использования обоих видов — исходной фигуры и её зеркального образа.

«Делящаяся» плитка и полиформы

Некоторые «делящиеся» плитки основываются на полиформах, таких как полиамонды и полимино, или на фигурах, созданных соединением правильных треугольников и квадратов ребро-к-ребру.

Квадраты

Если полимино квадрируемо или может замостить прямоугольник, то оно будет «делящейся» плиткой, поскольку прямоугольником можно замостить квадрат (который сам по себе является частным случаем прямоугольника). Это легко можно видеть в элементах октамино, состоящих из восьми квадратов. Две копии некоторых элементов октамино заполняют квадрат, поэтому эти элементы также являются «делящимися» плитками rep-16.

Четыре копии одних и тех же нонамино и нонакингов замощают квадрат, поэтому эти полиформы являются также «делящимися» плитками rep-36.

Правильные треугольники

Таким же образом, если полиамонд замощает правильный треугольник, он будет также «делящейся» плиткой.

Прямоугольные треугольники

Полиформы, основанные на равнобедренных прямоугольных треугольниках (с углами 45°-90°-45°), известны как полиаболо. Бесконечное число из них являются «делящимися» плитками. Более того, простейшей из всех «делящихся» плиток является (одиночный) равнобедренный прямоугольный треугольник. Он является rep-2, если разделить высотой гипотенузу. Rep-2 «делящиеся» плитки являются rep-2ⁿ плитками и rep-4,8,16+ треугольники порождают дальнейшие «делящиеся» плитки. Нижеприведённые плитки найдены путём отбрасывания половины плиток и перестановки оставшихся, пока они не станут дополнением при зеркальной симметрии внутри прямоугольного треугольника. Одна плитка напоминает рыбу, образованную тремя правильными треугольниками.

Пятиугольные «делящиеся» плитки

Треугольные и квадратные (четырёхсторонние) «делящиеся» плитки встречаются часто, а пятиугольные «делящиеся» плитки редки. Долгое время считалось, что сфинкс является единственным примером, но немецкий/новозеландский математик Карл Шерер и американский математик Джордж Зихерман нашли дополнительные примеры, включая двойную пирамиду и удлинённую версию сфинкса. Эти пятиугольные «делящиеся» плитки проиллюстрированы на страницах Math Magic, которые поддерживает американский математик Эрих Фридман. Однако сфинкс остаётся единственной известной пятиугольной «делящейся» плиткой, подкопии которой имеют тот же размер.

---

«Делящиеся» плитки и фракталы

«Делящиеся» плитки как фракталы

«Делящиеся» плитки можно использовать для создания фракталов или фигур, которые самоподобны во всё меньшем и меньшем размере. Фрактал (из «делящейся» плитки) образуется делением «делящейся» плитки (возможным) удалением нескольких копий разделённой фигуры, продолжая процесс рекурсивно. Например, ковёр Серпинского образуется этим способом из «делящейся» плитки (квадрата) делением на 27 меньших квадратов, а треугольник Серпинского образуется из «делящейся» плитки (правильного треугольника) делением на четыре меньших треугольника. Если удалять одну из копий, rep-4 L-тримино можно использовать для создания четырёх фракталов, два из которых идентичны, если не принимать во внимание ориентацию.

Фракталы в качестве «делящихся» плиток

Поскольку фракталы являются самоподобными, многие из них являются также самозамощаемыми, а потому являются «делящимися» плитками. Например, Треугольник Серпинского является rep-3, замощённым тремя копиями себя, а ковёр Серпинского является rep-8, замощённым восемью копиями себя.

«Делящиеся» плитки с множественными разрезаниями

Многие из известных «делящихся» плиток являются rep-n² для всех положительных значений числа n. В частности, это верно для трёх трапеций, включая образованную из трёх правильных треугольников, для трёх пентамино (L-тримино, L-тетрамино P-пентамино) и гексимонда «Сфинкс».

Бесконечные мозаики

Среди правильных многоугольников только треугольник и прямоугольник можно разрезать на меньшие равные копии себя. Однако правильный шестиугольник может быть разрезан на шесть равносторонних треугольников, каждый из которых может быть разрезан на правильный шестиугольник и три правильных треугольника. Это является базисом бесконечного замощения шестиугольника шестиугольниками. Таким образом, шестиугольник является irrep-∞ или irrep-бесконечной «делящейся» плиткой.

См. также

• Мозаика
• Самовоспроизведение
• Рептилии (литография)

Литература

• М. Гарднер. Математические досуги. — Москва: «Мир», 1972.
• M. Gardner. Rep-Tiles // The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York: W. W. Norton, 2001. — С. 46–58..
• M. Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago: Chicago University Press, 1991. — С. 222–233.
• C. D. Langford Uses of a Geometric Puzzle // Math. Gaz. — 1940. — Вып. 260.
• Viorel Niţică. MASS selecta. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. — С. 205–217..
• Lee Sallows. On self-tiling tile sets // Mathematics Magazine. — 2012. — Т. 85, вып. 5. — С. 323–333. — DOI:10.4169/math.mag.85.5.323..
• Scherer, Karl. «A Puzzling Journey to the Reptiles and Related Animals», 1987
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 213—214, 1991.

Ссылки

Rep-плитки

• Mathematics Centre Sphinx Album: www.blackdouglas.com.au/taskcentre/sphinx.htm
• Clarke, A. L. «Reptiles.» www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/Reptiles.htm.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Rep-Tile.html Rep-Tile] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• www.meden.demon.co.uk/Fractals/reptiles.html (2001)
• www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/reptile1.htm (1999)

Irrep-плитки

• [www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/1002.html Math Magic — Problem of the Month 10/2002]
• [blog.tanyakhovanova.com/?p=226 Tanya Khovanova — L-Irreptiles]

Отрывок, характеризующий «Делящаяся» плитка

– Экая бестия! – с тем же выражением досады проговорил Денисов. – И что он делал до сих пор?
– Это кто? – спросил Петя.
– Это наш пластун. Я его посылал языка взять.
– Ах, да, – сказал Петя с первого слова Денисова, кивая головой, как будто он все понял, хотя он решительно не понял ни одного слова.
Тихон Щербатый был один из самых нужных людей в партии. Он был мужик из Покровского под Гжатью. Когда, при начале своих действий, Денисов пришел в Покровское и, как всегда, призвав старосту, спросил о том, что им известно про французов, староста отвечал, как отвечали и все старосты, как бы защищаясь, что они ничего знать не знают, ведать не ведают. Но когда Денисов объяснил им, что его цель бить французов, и когда он спросил, не забредали ли к ним французы, то староста сказал, что мародеры бывали точно, но что у них в деревне только один Тишка Щербатый занимался этими делами. Денисов велел позвать к себе Тихона и, похвалив его за его деятельность, сказал при старосте несколько слов о той верности царю и отечеству и ненависти к французам, которую должны блюсти сыны отечества.
– Мы французам худого не делаем, – сказал Тихон, видимо оробев при этих словах Денисова. – Мы только так, значит, по охоте баловались с ребятами. Миродеров точно десятка два побили, а то мы худого не делали… – На другой день, когда Денисов, совершенно забыв про этого мужика, вышел из Покровского, ему доложили, что Тихон пристал к партии и просился, чтобы его при ней оставили. Денисов велел оставить его.
Тихон, сначала исправлявший черную работу раскладки костров, доставления воды, обдирания лошадей и т. п., скоро оказал большую охоту и способность к партизанской войне. Он по ночам уходил на добычу и всякий раз приносил с собой платье и оружие французское, а когда ему приказывали, то приводил и пленных. Денисов отставил Тихона от работ, стал брать его с собою в разъезды и зачислил в казаки.
Тихон не любил ездить верхом и всегда ходил пешком, никогда не отставая от кавалерии. Оружие его составляли мушкетон, который он носил больше для смеха, пика и топор, которым он владел, как волк владеет зубами, одинаково легко выбирая ими блох из шерсти и перекусывая толстые кости. Тихон одинаково верно, со всего размаха, раскалывал топором бревна и, взяв топор за обух, выстрагивал им тонкие колышки и вырезывал ложки. В партии Денисова Тихон занимал свое особенное, исключительное место. Когда надо было сделать что нибудь особенно трудное и гадкое – выворотить плечом в грязи повозку, за хвост вытащить из болота лошадь, ободрать ее, залезть в самую середину французов, пройти в день по пятьдесят верст, – все указывали, посмеиваясь, на Тихона.
– Что ему, черту, делается, меренина здоровенный, – говорили про него.
Один раз француз, которого брал Тихон, выстрелил в него из пистолета и попал ему в мякоть спины. Рана эта, от которой Тихон лечился только водкой, внутренне и наружно, была предметом самых веселых шуток во всем отряде и шуток, которым охотно поддавался Тихон.
– Что, брат, не будешь? Али скрючило? – смеялись ему казаки, и Тихон, нарочно скорчившись и делая рожи, притворяясь, что он сердится, самыми смешными ругательствами бранил французов. Случай этот имел на Тихона только то влияние, что после своей раны он редко приводил пленных.
Тихон был самый полезный и храбрый человек в партии. Никто больше его не открыл случаев нападения, никто больше его не побрал и не побил французов; и вследствие этого он был шут всех казаков, гусаров и сам охотно поддавался этому чину. Теперь Тихон был послан Денисовым, в ночь еще, в Шамшево для того, чтобы взять языка. Но, или потому, что он не удовлетворился одним французом, или потому, что он проспал ночь, он днем залез в кусты, в самую середину французов и, как видел с горы Денисов, был открыт ими.


Поговорив еще несколько времени с эсаулом о завтрашнем нападении, которое теперь, глядя на близость французов, Денисов, казалось, окончательно решил, он повернул лошадь и поехал назад.
– Ну, бг'ат, тепег'ь поедем обсушимся, – сказал он Пете.
Подъезжая к лесной караулке, Денисов остановился, вглядываясь в лес. По лесу, между деревьев, большими легкими шагами шел на длинных ногах, с длинными мотающимися руками, человек в куртке, лаптях и казанской шляпе, с ружьем через плечо и топором за поясом. Увидав Денисова, человек этот поспешно швырнул что то в куст и, сняв с отвисшими полями мокрую шляпу, подошел к начальнику. Это был Тихон. Изрытое оспой и морщинами лицо его с маленькими узкими глазами сияло самодовольным весельем. Он, высоко подняв голову и как будто удерживаясь от смеха, уставился на Денисова.
– Ну где пг'опадал? – сказал Денисов.
– Где пропадал? За французами ходил, – смело и поспешно отвечал Тихон хриплым, но певучим басом.
– Зачем же ты днем полез? Скотина! Ну что ж, не взял?..
– Взять то взял, – сказал Тихон.
– Где ж он?
– Да я его взял сперва наперво на зорьке еще, – продолжал Тихон, переставляя пошире плоские, вывернутые в лаптях ноги, – да и свел в лес. Вижу, не ладен. Думаю, дай схожу, другого поаккуратнее какого возьму.
– Ишь, шельма, так и есть, – сказал Денисов эсаулу. – Зачем же ты этого не пг'ивел?
– Да что ж его водить то, – сердито и поспешно перебил Тихон, – не гожающий. Разве я не знаю, каких вам надо?
– Эка бестия!.. Ну?..
– Пошел за другим, – продолжал Тихон, – подполоз я таким манером в лес, да и лег. – Тихон неожиданно и гибко лег на брюхо, представляя в лицах, как он это сделал. – Один и навернись, – продолжал он. – Я его таким манером и сграбь. – Тихон быстро, легко вскочил. – Пойдем, говорю, к полковнику. Как загалдит. А их тут четверо. Бросились на меня с шпажками. Я на них таким манером топором: что вы, мол, Христос с вами, – вскрикнул Тихон, размахнув руками и грозно хмурясь, выставляя грудь.
– То то мы с горы видели, как ты стречка задавал через лужи то, – сказал эсаул, суживая свои блестящие глаза.
Пете очень хотелось смеяться, но он видел, что все удерживались от смеха. Он быстро переводил глаза с лица Тихона на лицо эсаула и Денисова, не понимая того, что все это значило.
– Ты дуг'ака то не представляй, – сказал Денисов, сердито покашливая. – Зачем пег'вого не пг'ивел?
Тихон стал чесать одной рукой спину, другой голову, и вдруг вся рожа его растянулась в сияющую глупую улыбку, открывшую недостаток зуба (за что он и прозван Щербатый). Денисов улыбнулся, и Петя залился веселым смехом, к которому присоединился и сам Тихон.
– Да что, совсем несправный, – сказал Тихон. – Одежонка плохенькая на нем, куда же его водить то. Да и грубиян, ваше благородие. Как же, говорит, я сам анаральский сын, не пойду, говорит.
– Экая скотина! – сказал Денисов. – Мне расспросить надо…
– Да я его спрашивал, – сказал Тихон. – Он говорит: плохо зн аком. Наших, говорит, и много, да всё плохие; только, говорит, одна названия. Ахнете, говорит, хорошенько, всех заберете, – заключил Тихон, весело и решительно взглянув в глаза Денисова.
– Вот я те всыплю сотню гог'ячих, ты и будешь дуг'ака то ког'чить, – сказал Денисов строго.
– Да что же серчать то, – сказал Тихон, – что ж, я не видал французов ваших? Вот дай позатемняет, я табе каких хошь, хоть троих приведу.
– Ну, поедем, – сказал Денисов, и до самой караулки он ехал, сердито нахмурившись и молча.
Тихон зашел сзади, и Петя слышал, как смеялись с ним и над ним казаки о каких то сапогах, которые он бросил в куст.
Когда прошел тот овладевший им смех при словах и улыбке Тихона, и Петя понял на мгновенье, что Тихон этот убил человека, ему сделалось неловко. Он оглянулся на пленного барабанщика, и что то кольнуло его в сердце. Но эта неловкость продолжалась только одно мгновенье. Он почувствовал необходимость повыше поднять голову, подбодриться и расспросить эсаула с значительным видом о завтрашнем предприятии, с тем чтобы не быть недостойным того общества, в котором он находился.
Посланный офицер встретил Денисова на дороге с известием, что Долохов сам сейчас приедет и что с его стороны все благополучно.
Денисов вдруг повеселел и подозвал к себе Петю.
– Ну, г'асскажи ты мне пг'о себя, – сказал он.


Петя при выезде из Москвы, оставив своих родных, присоединился к своему полку и скоро после этого был взят ординарцем к генералу, командовавшему большим отрядом. Со времени своего производства в офицеры, и в особенности с поступления в действующую армию, где он участвовал в Вяземском сражении, Петя находился в постоянно счастливо возбужденном состоянии радости на то, что он большой, и в постоянно восторженной поспешности не пропустить какого нибудь случая настоящего геройства. Он был очень счастлив тем, что он видел и испытал в армии, но вместе с тем ему все казалось, что там, где его нет, там то теперь и совершается самое настоящее, геройское. И он торопился поспеть туда, где его не было.
Когда 21 го октября его генерал выразил желание послать кого нибудь в отряд Денисова, Петя так жалостно просил, чтобы послать его, что генерал не мог отказать. Но, отправляя его, генерал, поминая безумный поступок Пети в Вяземском сражении, где Петя, вместо того чтобы ехать дорогой туда, куда он был послан, поскакал в цепь под огонь французов и выстрелил там два раза из своего пистолета, – отправляя его, генерал именно запретил Пете участвовать в каких бы то ни было действиях Денисова. От этого то Петя покраснел и смешался, когда Денисов спросил, можно ли ему остаться. До выезда на опушку леса Петя считал, что ему надобно, строго исполняя свой долг, сейчас же вернуться. Но когда он увидал французов, увидал Тихона, узнал, что в ночь непременно атакуют, он, с быстротою переходов молодых людей от одного взгляда к другому, решил сам с собою, что генерал его, которого он до сих пор очень уважал, – дрянь, немец, что Денисов герой, и эсаул герой, и что Тихон герой, и что ему было бы стыдно уехать от них в трудную минуту.
Уже смеркалось, когда Денисов с Петей и эсаулом подъехали к караулке. В полутьме виднелись лошади в седлах, казаки, гусары, прилаживавшие шалашики на поляне и (чтобы не видели дыма французы) разводившие красневший огонь в лесном овраге. В сенях маленькой избушки казак, засучив рукава, рубил баранину. В самой избе были три офицера из партии Денисова, устроивавшие стол из двери. Петя снял, отдав сушить, свое мокрое платье и тотчас принялся содействовать офицерам в устройстве обеденного стола.
Через десять минут был готов стол, покрытый салфеткой. На столе была водка, ром в фляжке, белый хлеб и жареная баранина с солью.
Сидя вместе с офицерами за столом и разрывая руками, по которым текло сало, жирную душистую баранину, Петя находился в восторженном детском состоянии нежной любви ко всем людям и вследствие того уверенности в такой же любви к себе других людей.
– Так что же вы думаете, Василий Федорович, – обратился он к Денисову, – ничего, что я с вами останусь на денек? – И, не дожидаясь ответа, он сам отвечал себе: – Ведь мне велено узнать, ну вот я и узнаю… Только вы меня пустите в самую… в главную. Мне не нужно наград… А мне хочется… – Петя стиснул зубы и оглянулся, подергивая кверху поднятой головой и размахивая рукой.