Ёж (топология)
Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки <math>O</math>, единичного полуинтервала <math>\mathbb{P}=(0,1]</math> и произвольного множества <math>S</math> заданной мощности <math>\mathfrak{m}</math>, называемой колючестью ежа, как:
- <math>J(\mathfrak{m}) = \{O\}\cup(\mathbb{P}\times S)</math>,
с введением метрики следующим образом:
- <math>d(O,(x,s)) = x</math>
- <math>d((x,s_1), (y,s_2)) = \begin{cases} |x - y|, & s_1 = s_2 \\ x + y, & s_1 \neq s_2 \end{cases}</math>.
Название возникло из-за ассоциации с «иголками», торчащими из отрезка, «колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, <math>J(0)</math> — просто точка <math>O</math>, <math>J(1) = J(2)</math> — отрезок.
Свойства
Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества <math>S</math> с точностью до гомеоморфизма.
Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести <math>\mathfrak{m}</math> (при <math>\mathfrak{m}\ge \aleph_0</math>) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса <math>\mathfrak{m}</math>. То есть любое метризуемое пространство веса <math>\mathfrak{m}</math> гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести <math>\mathfrak{m}</math>.[1]
Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при <math>\mathfrak{m} \ge \aleph_0</math>[2], не сильно паракомпактен при <math>\mathfrak{m} > \aleph_0</math>[3].
Не является локально сепарабельным при <math>\mathfrak{m} > \aleph_0</math>[4].
<math>J(\mathfrak{m})</math> вкладывается в <math>J(\mathfrak{n})</math> при <math>\mathfrak{m} \le \mathfrak{n}</math>.
<math>J(\mathfrak{m})</math> вкладывается в плоскость <math> \mathbb{R}^2 </math> только при <math>\mathfrak{m}< \aleph_0</math> .
Если <math>\mathfrak{m}</math> — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа <math>J(\mathfrak{m})</math> равны <math>\aleph_0</math>. Иначе (при <math>\mathfrak{m} \ge \aleph_0</math>) характер равен <math>\aleph_0</math>, а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны <math>\mathfrak{m}</math>[5].
Интересные факты
Квадрат триода <math>J(3)</math> не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство <math>\mathbb{R}^3</math>.
На плоскости (<math>\mathbb{R}^2</math>) нельзя расположить несчётное количество триодов <math>J(3)</math> так, чтобы они попарно не пересекались.
Открытое отображение ежа - снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи <math>J(1)</math> и <math>J(2)</math>).
См. также
Напишите отзыв о статье "Ёж (топология)"
Примечания
- ↑ Swardson, M. A. [www.ams.org/journals/proc/1979-075-01/S0002-9939-1979-0529240-7/S0002-9939-1979-0529240-7.pdf A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem]. американское математическое общество (1 июня 1979).
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 395.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 528.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 425.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 375.
Литература
- Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Ёж (топология)
Несколько раненых шли по дороге. Ругательства, крики, стоны сливались в один общий гул. Стрельба затихла и, как потом узнал Ростов, стреляли друг в друга русские и австрийские солдаты.«Боже мой! что ж это такое? – думал Ростов. – И здесь, где всякую минуту государь может увидать их… Но нет, это, верно, только несколько мерзавцев. Это пройдет, это не то, это не может быть, – думал он. – Только поскорее, поскорее проехать их!»
Мысль о поражении и бегстве не могла притти в голову Ростову. Хотя он и видел французские орудия и войска именно на Праценской горе, на той самой, где ему велено было отыскивать главнокомандующего, он не мог и не хотел верить этому.
Около деревни Праца Ростову велено было искать Кутузова и государя. Но здесь не только не было их, но не было ни одного начальника, а были разнородные толпы расстроенных войск.
Он погонял уставшую уже лошадь, чтобы скорее проехать эти толпы, но чем дальше он подвигался, тем толпы становились расстроеннее. По большой дороге, на которую он выехал, толпились коляски, экипажи всех сортов, русские и австрийские солдаты, всех родов войск, раненые и нераненые. Всё это гудело и смешанно копошилось под мрачный звук летавших ядер с французских батарей, поставленных на Праценских высотах.
– Где государь? где Кутузов? – спрашивал Ростов у всех, кого мог остановить, и ни от кого не мог получить ответа.
Наконец, ухватив за воротник солдата, он заставил его ответить себе.
– Э! брат! Уж давно все там, вперед удрали! – сказал Ростову солдат, смеясь чему то и вырываясь.
Оставив этого солдата, который, очевидно, был пьян, Ростов остановил лошадь денщика или берейтора важного лица и стал расспрашивать его. Денщик объявил Ростову, что государя с час тому назад провезли во весь дух в карете по этой самой дороге, и что государь опасно ранен.
– Не может быть, – сказал Ростов, – верно, другой кто.
– Сам я видел, – сказал денщик с самоуверенной усмешкой. – Уж мне то пора знать государя: кажется, сколько раз в Петербурге вот так то видал. Бледный, пребледный в карете сидит. Четверню вороных как припустит, батюшки мои, мимо нас прогремел: пора, кажется, и царских лошадей и Илью Иваныча знать; кажется, с другим как с царем Илья кучер не ездит.
Ростов пустил его лошадь и хотел ехать дальше. Шедший мимо раненый офицер обратился к нему.
– Да вам кого нужно? – спросил офицер. – Главнокомандующего? Так убит ядром, в грудь убит при нашем полку.
– Не убит, ранен, – поправил другой офицер.
– Да кто? Кутузов? – спросил Ростов.
– Не Кутузов, а как бишь его, – ну, да всё одно, живых не много осталось. Вон туда ступайте, вон к той деревне, там всё начальство собралось, – сказал этот офицер, указывая на деревню Гостиерадек, и прошел мимо.
Ростов ехал шагом, не зная, зачем и к кому он теперь поедет. Государь ранен, сражение проиграно. Нельзя было не верить этому теперь. Ростов ехал по тому направлению, которое ему указали и по которому виднелись вдалеке башня и церковь. Куда ему было торопиться? Что ему было теперь говорить государю или Кутузову, ежели бы даже они и были живы и не ранены?
