Ёмкость Минковского

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.





Определение

Пусть <math>(X,\mu, d)</math> метрическое пространство с мерой, где <math>d</math> является метрикой на <math>X</math>, а <math>\mu</math> — это борелевская мера. Для подмножества <math>A</math> в <math>X</math> и вещественного ε > 0, обозначим через

<math>A_\varepsilon = \{ x \in X \, | \, d(x, A) < \varepsilon \}</math>

его замкнутую <math>\varepsilon</math>-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности <math>k</math> определяется как нижний предел

<math>M_*(A) = \liminf_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k},</math>

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности <math>k</math> как верхий предел

<math>M^*(A) = \limsup_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k}.</math>

Если <math>M^*(A)=M_*(A)</math>, то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности <math>k</math> A по мере μ, и обозначается <math>M(A)</math>.

Свойства

  • Если <math>A</math> есть замкнутое <math>n</math>-спрямляемое множество в <math>\R^{n+k}</math>, то ёмкость Минковского <math>A</math> по отношению к объёму на <math>\R^{n+k}</math> существует и совпадает с его <math>n</math>-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

Напишите отзыв о статье "Ёмкость Минковского"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Ёмкость Минковского

– А знаешь ли, ты, моя душа, напрасно погорячился! Мне Митенька рассказал все.
«Я знал, подумал Николай, что никогда ничего не пойму здесь, в этом дурацком мире».
– Ты рассердился, что он не вписал эти 700 рублей. Ведь они у него написаны транспортом, а другую страницу ты не посмотрел.
– Папенька, он мерзавец и вор, я знаю. И что сделал, то сделал. А ежели вы не хотите, я ничего не буду говорить ему.
– Нет, моя душа (граф был смущен тоже. Он чувствовал, что он был дурным распорядителем имения своей жены и виноват был перед своими детьми но не знал, как поправить это) – Нет, я прошу тебя заняться делами, я стар, я…
– Нет, папенька, вы простите меня, ежели я сделал вам неприятное; я меньше вашего умею.
«Чорт с ними, с этими мужиками и деньгами, и транспортами по странице, думал он. Еще от угла на шесть кушей я понимал когда то, но по странице транспорт – ничего не понимаю», сказал он сам себе и с тех пор более не вступался в дела. Только однажды графиня позвала к себе сына, сообщила ему о том, что у нее есть вексель Анны Михайловны на две тысячи и спросила у Николая, как он думает поступить с ним.
– А вот как, – отвечал Николай. – Вы мне сказали, что это от меня зависит; я не люблю Анну Михайловну и не люблю Бориса, но они были дружны с нами и бедны. Так вот как! – и он разорвал вексель, и этим поступком слезами радости заставил рыдать старую графиню. После этого молодой Ростов, уже не вступаясь более ни в какие дела, с страстным увлечением занялся еще новыми для него делами псовой охоты, которая в больших размерах была заведена у старого графа.


Уже были зазимки, утренние морозы заковывали смоченную осенними дождями землю, уже зелень уклочилась и ярко зелено отделялась от полос буреющего, выбитого скотом, озимого и светло желтого ярового жнивья с красными полосами гречихи. Вершины и леса, в конце августа еще бывшие зелеными островами между черными полями озимей и жнивами, стали золотистыми и ярко красными островами посреди ярко зеленых озимей. Русак уже до половины затерся (перелинял), лисьи выводки начинали разбредаться, и молодые волки были больше собаки. Было лучшее охотничье время. Собаки горячего, молодого охотника Ростова уже не только вошли в охотничье тело, но и подбились так, что в общем совете охотников решено было три дня дать отдохнуть собакам и 16 сентября итти в отъезд, начиная с дубравы, где был нетронутый волчий выводок.