Абелева группа
Поделись знанием:
Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.
Князь Андрей, после Аустерлицкой кампании, твердо pешил никогда не служить более в военной службе; и когда началась война, и все должны были служить, он, чтобы отделаться от действительной службы, принял должность под начальством отца по сбору ополчения. Старый князь с сыном как бы переменились ролями после кампании 1805 года. Старый князь, возбужденный деятельностью, ожидал всего хорошего от настоящей кампании; князь Андрей, напротив, не участвуя в войне и в тайне души сожалея о том, видел одно дурное.
26 февраля 1807 года, старый князь уехал по округу. Князь Андрей, как и большею частью во время отлучек отца, оставался в Лысых Горах. Маленький Николушка был нездоров уже 4 й день. Кучера, возившие старого князя, вернулись из города и привезли бумаги и письма князю Андрею.
Камердинер с письмами, не застав молодого князя в его кабинете, прошел на половину княжны Марьи; но и там его не было. Камердинеру сказали, что князь пошел в детскую.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, Петруша с бумагами пришел, – сказала одна из девушек помощниц няни, обращаясь к князю Андрею, который сидел на маленьком детском стуле и дрожащими руками, хмурясь, капал из стклянки лекарство в рюмку, налитую до половины водой.
– Что такое? – сказал он сердито, и неосторожно дрогнув рукой, перелил из стклянки в рюмку лишнее количество капель. Он выплеснул лекарство из рюмки на пол и опять спросил воды. Девушка подала ему.
В комнате стояла детская кроватка, два сундука, два кресла, стол и детские столик и стульчик, тот, на котором сидел князь Андрей. Окна были завешаны, и на столе горела одна свеча, заставленная переплетенной нотной книгой, так, чтобы свет не падал на кроватку.
– Мой друг, – обращаясь к брату, сказала княжна Марья от кроватки, у которой она стояла, – лучше подождать… после…
– Ах, сделай милость, ты всё говоришь глупости, ты и так всё дожидалась – вот и дождалась, – сказал князь Андрей озлобленным шопотом, видимо желая уколоть сестру.
– Мой друг, право лучше не будить, он заснул, – умоляющим голосом сказала княжна.
Князь Андрей встал и, на цыпочках, с рюмкой подошел к кроватке.
– Или точно не будить? – сказал он нерешительно.
– Как хочешь – право… я думаю… а как хочешь, – сказала княжна Марья, видимо робея и стыдясь того, что ее мнение восторжествовало. Она указала брату на девушку, шопотом вызывавшую его.
Была вторая ночь, что они оба не спали, ухаживая за горевшим в жару мальчиком. Все сутки эти, не доверяя своему домашнему доктору и ожидая того, за которым было послано в город, они предпринимали то то, то другое средство. Измученные бессоницей и встревоженные, они сваливали друг на друга свое горе, упрекали друг друга и ссорились.
Сюда перенаправляется запрос «Неабелева группа». На эту тему нужна отдельная статья.
А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа <math>(G, *)</math> абелева, если <math>a*b=b*a</math> для любых двух элементов <math>a,\;b\in G</math>.
Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком <math>+</math> и называется сложением[1].
Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.
Содержание
Примеры
- Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
- Любая циклическая группа <math>G=\langle a\rangle</math> абелева. Действительно, для любых <math>x=a^n</math> и <math>y=a^m</math> верно, что
- <math>xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx</math>.
- В частности, множество <math>\Z</math> целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов <math>\Z/n\Z\,.</math>
- Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле <math>\R</math> вещественных чисел с операцией сложения чисел.
- Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.
Связанные определения
- По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем <math>\Q</math> рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.
Свойства
- Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
- Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть <math>n</math> — натуральное число, а <math>x</math> — элемент коммутативной группы <math>G</math> с операцией, обозначаемой +, тогда <math>nx</math> можно определить как <math>x+x+\ldots+x</math> (<math>n</math> раз) и <math>(-n)x = -(nx)</math>.
- Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (т. е. модулей над областью главных идеалов <math>\Z</math>), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов.
- Множество гомоморфизмов <math>\operatorname{Hom}(G,\;H)</math> всех групповых гомоморфизмов из <math>G</math> в <math>H</math> само является абелевой группой. Действительно, пусть <math>f,\;g:G\to H</math> — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма <math>f+g</math>, заданная как <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если <math>H</math> не является коммутативной группой).
- Понятие абелевости тесно связанно с понятием центра <math>Z(G)</math> группы <math>G</math> — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы <math>G</math>, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
Конечные абелевы группы
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. <math>\Z_{mn}</math> изоморфно прямой сумме <math>\Z_m</math> и <math>\Z_n</math> тогда и только тогда, когда <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты.
Следовательно, можно записать абелеву группу <math>G</math> в форме прямой суммы
- <math>\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}</math>
двумя различными способами:
- Где числа <math>k_1,\;\ldots,\;k_u</math> степени простых
- Где <math>k_1</math> делит <math>k_2</math>, которое делит <math>k_3</math>, и так далее до <math>k_u</math>.
Например, <math>\Z/15\Z=\Z_{15}</math> может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: <math>\Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}</math>. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
Вариации и обобщения
- Дифференциальной группой называется абелева группа <math>\mathbf{C}</math>, в которой задан такой эндоморфизм <math>d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}</math>, что <math>d^2=0</math>. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра <math>\ker\,d</math> — циклами, элементы образа <math>\mathrm{Im}\,d</math> — границами.
См. также
Напишите отзыв о статье "Абелева группа"
Примечания
- ↑ Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
Отрывок, характеризующий Абелева группа
Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.
Князь Андрей, после Аустерлицкой кампании, твердо pешил никогда не служить более в военной службе; и когда началась война, и все должны были служить, он, чтобы отделаться от действительной службы, принял должность под начальством отца по сбору ополчения. Старый князь с сыном как бы переменились ролями после кампании 1805 года. Старый князь, возбужденный деятельностью, ожидал всего хорошего от настоящей кампании; князь Андрей, напротив, не участвуя в войне и в тайне души сожалея о том, видел одно дурное.
26 февраля 1807 года, старый князь уехал по округу. Князь Андрей, как и большею частью во время отлучек отца, оставался в Лысых Горах. Маленький Николушка был нездоров уже 4 й день. Кучера, возившие старого князя, вернулись из города и привезли бумаги и письма князю Андрею.
Камердинер с письмами, не застав молодого князя в его кабинете, прошел на половину княжны Марьи; но и там его не было. Камердинеру сказали, что князь пошел в детскую.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, Петруша с бумагами пришел, – сказала одна из девушек помощниц няни, обращаясь к князю Андрею, который сидел на маленьком детском стуле и дрожащими руками, хмурясь, капал из стклянки лекарство в рюмку, налитую до половины водой.
– Что такое? – сказал он сердито, и неосторожно дрогнув рукой, перелил из стклянки в рюмку лишнее количество капель. Он выплеснул лекарство из рюмки на пол и опять спросил воды. Девушка подала ему.
В комнате стояла детская кроватка, два сундука, два кресла, стол и детские столик и стульчик, тот, на котором сидел князь Андрей. Окна были завешаны, и на столе горела одна свеча, заставленная переплетенной нотной книгой, так, чтобы свет не падал на кроватку.
– Мой друг, – обращаясь к брату, сказала княжна Марья от кроватки, у которой она стояла, – лучше подождать… после…
– Ах, сделай милость, ты всё говоришь глупости, ты и так всё дожидалась – вот и дождалась, – сказал князь Андрей озлобленным шопотом, видимо желая уколоть сестру.
– Мой друг, право лучше не будить, он заснул, – умоляющим голосом сказала княжна.
Князь Андрей встал и, на цыпочках, с рюмкой подошел к кроватке.
– Или точно не будить? – сказал он нерешительно.
– Как хочешь – право… я думаю… а как хочешь, – сказала княжна Марья, видимо робея и стыдясь того, что ее мнение восторжествовало. Она указала брату на девушку, шопотом вызывавшую его.
Была вторая ночь, что они оба не спали, ухаживая за горевшим в жару мальчиком. Все сутки эти, не доверяя своему домашнему доктору и ожидая того, за которым было послано в город, они предпринимали то то, то другое средство. Измученные бессоницей и встревоженные, они сваливали друг на друга свое горе, упрекали друг друга и ссорились.
