Абелево расширение

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Например, расширение <math>\Q [\sqrt 2]</math> является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа <math>\sqrt 2</math> и <math>- \sqrt 2</math>. Расширение <math>\Q [\sqrt[3]{2}, \sqrt 3 i]</math> не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена <math>x^3 - 2</math> и его автоморфизмы, фиксирующие <math>\Q</math>, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелевого расширения явлюется циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени <math>n</math>, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени <math>n</math> из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая^{[уточнить]} это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/AbelianExtension.html Abelian Extension] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Абелево расширение

– Ежели вы спрашиваете меня, – сказал князь Андрей, не глядя на отца (он в первый раз в жизни осуждал своего отца), – я не хотел говорить; но ежели вы меня спрашиваете, то я скажу вам откровенно свое мнение насчет всего этого. Ежели есть недоразумения и разлад между вами и Машей, то я никак не могу винить ее – я знаю, как она вас любит и уважает. Ежели уж вы спрашиваете меня, – продолжал князь Андрей, раздражаясь, потому что он всегда был готов на раздражение в последнее время, – то я одно могу сказать: ежели есть недоразумения, то причиной их ничтожная женщина, которая бы не должна была быть подругой сестры.
Старик сначала остановившимися глазами смотрел на сына и ненатурально открыл улыбкой новый недостаток зуба, к которому князь Андрей не мог привыкнуть.
– Какая же подруга, голубчик? А? Уж переговорил! А?
– Батюшка, я не хотел быть судьей, – сказал князь Андрей желчным и жестким тоном, – но вы вызвали меня, и я сказал и всегда скажу, что княжна Марья ни виновата, а виноваты… виновата эта француженка…
– А присудил!.. присудил!.. – сказал старик тихим голосом и, как показалось князю Андрею, с смущением, но потом вдруг он вскочил и закричал: – Вон, вон! Чтоб духу твоего тут не было!..

Князь Андрей хотел тотчас же уехать, но княжна Марья упросила остаться еще день. В этот день князь Андрей не виделся с отцом, который не выходил и никого не пускал к себе, кроме m lle Bourienne и Тихона, и спрашивал несколько раз о том, уехал ли его сын. На другой день, перед отъездом, князь Андрей пошел на половину сына. Здоровый, по матери кудрявый мальчик сел ему на колени. Князь Андрей начал сказывать ему сказку о Синей Бороде, но, не досказав, задумался. Он думал не об этом хорошеньком мальчике сыне в то время, как он его держал на коленях, а думал о себе. Он с ужасом искал и не находил в себе ни раскаяния в том, что он раздражил отца, ни сожаления о том, что он (в ссоре в первый раз в жизни) уезжает от него. Главнее всего ему было то, что он искал и не находил той прежней нежности к сыну, которую он надеялся возбудить в себе, приласкав мальчика и посадив его к себе на колени.