Абсолютная группа Галуа
Поделись знанием:
– Да еще и ковры то дай бог на три ящика разложить, – сказал буфетчик.
– Да постой, пожалуйста. – И Наташа быстро, ловко начала разбирать. – Это не надо, – говорила она про киевские тарелки, – это да, это в ковры, – говорила она про саксонские блюда.
– Да оставь, Наташа; ну полно, мы уложим, – с упреком говорила Соня.
– Эх, барышня! – говорил дворецкий. Но Наташа не сдалась, выкинула все вещи и быстро начала опять укладывать, решая, что плохие домашние ковры и лишнюю посуду не надо совсем брать. Когда всё было вынуто, начали опять укладывать. И действительно, выкинув почти все дешевое, то, что не стоило брать с собой, все ценное уложили в два ящика. Не закрывалась только крышка коверного ящика. Можно было вынуть немного вещей, но Наташа хотела настоять на своем. Она укладывала, перекладывала, нажимала, заставляла буфетчика и Петю, которого она увлекла за собой в дело укладыванья, нажимать крышку и сама делала отчаянные усилия.
– Да полно, Наташа, – говорила ей Соня. – Я вижу, ты права, да вынь один верхний.
– Не хочу, – кричала Наташа, одной рукой придерживая распустившиеся волосы по потному лицу, другой надавливая ковры. – Да жми же, Петька, жми! Васильич, нажимай! – кричала она. Ковры нажались, и крышка закрылась. Наташа, хлопая в ладоши, завизжала от радости, и слезы брызнули у ней из глаз. Но это продолжалось секунду. Тотчас же она принялась за другое дело, и уже ей вполне верили, и граф не сердился, когда ему говорили, что Наталья Ильинишна отменила его приказанье, и дворовые приходили к Наташе спрашивать: увязывать или нет подводу и довольно ли она наложена? Дело спорилось благодаря распоряжениям Наташи: оставлялись ненужные вещи и укладывались самым тесным образом самые дорогие.
Но как ни хлопотали все люди, к поздней ночи еще не все могло быть уложено. Графиня заснула, и граф, отложив отъезд до утра, пошел спать.
Соня, Наташа спали, не раздеваясь, в диванной. В эту ночь еще нового раненого провозили через Поварскую, и Мавра Кузминишна, стоявшая у ворот, заворотила его к Ростовым. Раненый этот, по соображениям Мавры Кузминишны, был очень значительный человек. Его везли в коляске, совершенно закрытой фартуком и с спущенным верхом. На козлах вместе с извозчиком сидел старик, почтенный камердинер. Сзади в повозке ехали доктор и два солдата.
– Пожалуйте к нам, пожалуйте. Господа уезжают, весь дом пустой, – сказала старушка, обращаясь к старому слуге.
– Да что, – отвечал камердинер, вздыхая, – и довезти не чаем! У нас и свой дом в Москве, да далеко, да и не живет никто.
– К нам милости просим, у наших господ всего много, пожалуйте, – говорила Мавра Кузминишна. – А что, очень нездоровы? – прибавила она.
Камердинер махнул рукой.
– Не чаем довезти! У доктора спросить надо. – И камердинер сошел с козел и подошел к повозке.
– Хорошо, – сказал доктор.
Камердинер подошел опять к коляске, заглянул в нее, покачал головой, велел кучеру заворачивать на двор и остановился подле Мавры Кузминишны.
Абсолютная группа Галуа <math>G_K</math> поля <math>K</math> — группа Галуа <math>K^{sep}</math> над <math>K</math>, где <math>K^{sep}</math> — сепарабельное замыкание <math>K</math>. Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля <math>K</math>, которые оставляют <math>K</math> неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.
(Если <math>K</math> — совершенное поле, <math>K^{sep}</math> совпадает с алгебраическим замыканием <math>K^{alg}</math> поля <math>K</math>. Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)
Примеры
- Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
- Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как <math>\mathbb{C}</math> — сепарабельное замыкание <math>\mathbb{R}</math> и <math>[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2</math>.
- Абсолютная группа Галуа конечного поля <math>K</math> изоморфна группе <math> \hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.</math> Здесь <math>\varprojlim</math> — проективный предел.
- Автоморфизм Фробениуса <math>Fr</math> — канонический (топологический) генератор <math>G_K</math> (<math>Fr(x) = x^q</math>, где <math>q</math> — число элементов в <math>K</math>).
- Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой[1].
- В более общем случае, пусть <math>C</math> — алгебраически замкнутое поле и <math>x</math> — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля <math>K = C(x)</math> — свободная группа ранга равного мощности <math>C</math>[2][3][4].
- Пусть <math>K</math> — конечное расширение p-адических чисел <math>Q_p</math>. Для <math>p \neq 2</math>, его абсолютная группа Галуа порождается <math>[K:Q_p]+3</math> элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
- Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.
Открытые проблемы
- Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на dessins d’enfants[en] Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
- Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.
Напишите отзыв о статье "Абсолютная группа Галуа"
Примечания
- ↑ Adrien Douady. Détermination d'un groupe de Galois (фр.) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. — 1964. — Vol. 258. — P. 5305–5308., MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0162796 0162796]
- ↑ David Harbater Fundamental groups and embedding problems in characteristic p (англ.) // American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 186. — P. 353–369.
- ↑ Dan Haran, Moshe Jarden. The absolute Galois group of C(x) (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : журнал. — 2000. — Vol. 196, no. 2. — P. 445–459. — DOI:10.2140/pjm.2000.196.445.
- ↑ Florian Pop. Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1995. — Vol. 120, no. 3. — P. 555–578. — DOI:10.1007/bf01241142.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Абсолютная группа Галуа
– Блюда надо сюда, в ковры, – сказала она.– Да еще и ковры то дай бог на три ящика разложить, – сказал буфетчик.
– Да постой, пожалуйста. – И Наташа быстро, ловко начала разбирать. – Это не надо, – говорила она про киевские тарелки, – это да, это в ковры, – говорила она про саксонские блюда.
– Да оставь, Наташа; ну полно, мы уложим, – с упреком говорила Соня.
– Эх, барышня! – говорил дворецкий. Но Наташа не сдалась, выкинула все вещи и быстро начала опять укладывать, решая, что плохие домашние ковры и лишнюю посуду не надо совсем брать. Когда всё было вынуто, начали опять укладывать. И действительно, выкинув почти все дешевое, то, что не стоило брать с собой, все ценное уложили в два ящика. Не закрывалась только крышка коверного ящика. Можно было вынуть немного вещей, но Наташа хотела настоять на своем. Она укладывала, перекладывала, нажимала, заставляла буфетчика и Петю, которого она увлекла за собой в дело укладыванья, нажимать крышку и сама делала отчаянные усилия.
– Да полно, Наташа, – говорила ей Соня. – Я вижу, ты права, да вынь один верхний.
– Не хочу, – кричала Наташа, одной рукой придерживая распустившиеся волосы по потному лицу, другой надавливая ковры. – Да жми же, Петька, жми! Васильич, нажимай! – кричала она. Ковры нажались, и крышка закрылась. Наташа, хлопая в ладоши, завизжала от радости, и слезы брызнули у ней из глаз. Но это продолжалось секунду. Тотчас же она принялась за другое дело, и уже ей вполне верили, и граф не сердился, когда ему говорили, что Наталья Ильинишна отменила его приказанье, и дворовые приходили к Наташе спрашивать: увязывать или нет подводу и довольно ли она наложена? Дело спорилось благодаря распоряжениям Наташи: оставлялись ненужные вещи и укладывались самым тесным образом самые дорогие.
Но как ни хлопотали все люди, к поздней ночи еще не все могло быть уложено. Графиня заснула, и граф, отложив отъезд до утра, пошел спать.
Соня, Наташа спали, не раздеваясь, в диванной. В эту ночь еще нового раненого провозили через Поварскую, и Мавра Кузминишна, стоявшая у ворот, заворотила его к Ростовым. Раненый этот, по соображениям Мавры Кузминишны, был очень значительный человек. Его везли в коляске, совершенно закрытой фартуком и с спущенным верхом. На козлах вместе с извозчиком сидел старик, почтенный камердинер. Сзади в повозке ехали доктор и два солдата.
– Пожалуйте к нам, пожалуйте. Господа уезжают, весь дом пустой, – сказала старушка, обращаясь к старому слуге.
– Да что, – отвечал камердинер, вздыхая, – и довезти не чаем! У нас и свой дом в Москве, да далеко, да и не живет никто.
– К нам милости просим, у наших господ всего много, пожалуйте, – говорила Мавра Кузминишна. – А что, очень нездоровы? – прибавила она.
Камердинер махнул рукой.
– Не чаем довезти! У доктора спросить надо. – И камердинер сошел с козел и подошел к повозке.
– Хорошо, – сказал доктор.
Камердинер подошел опять к коляске, заглянул в нее, покачал головой, велел кучеру заворачивать на двор и остановился подле Мавры Кузминишны.
