Аксиальный вектор

Аксиальный вектор (англ. axial, осевой) или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах системы координат, но меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т.е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на минус единицу) при любой инверсии координатной системы.

Для того, чтобы подчеркнуть отличие настоящего вектора, координаты которого всегда преобразуются так же, как координаты вектора перемещения, настоящий вектор называют истинным или полярным вектором.

Простейшим примером аксиального вектора в трёхмерном пространстве является векторное произведение двух полярных векторов, например, в механике — момент импульса <math> \mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p</math>, в четырёхмерном пространстве — аксиальный ток.

Основные сведения

При преобразовании координат координаты аксиального вектора получают домножением на дополнительный множитель (-1) по сравнению с преобразованием координат истинных (иначе называемых полярными) векторов, если базис меняет ориентацию (например, если базис подвергают зеркальному отражению). Это, наряду с псевдоскаляром, частный случай псевдотензора. Графически изображенный псевдовектор при таком изменении координат меняет направление на противоположное.

• В геометрии наиболее употребительным применением псевдовектора может быть представление с его помощью трехмерного бесконечно малого поворота. Вероятно(?), термин аксиальный вектор происходит именно отсюда, так как псевдовектор определяет ось поворота (её направление), но только с точностью до множителя (±1), с направлением же вращения связан условным произвольным выбором правого базиса, в отличие от истинного (полярного) вектора, представляющего направленный отрезок (или параллельный перенос) вполне определенно и однозначно заданного точками начала и конца.

Обычный путь порождения псевдовекторов это псевдовекторные операции, наиболее обычной, если не единственной из употребительных в трехмерном случае является векторное произведение (так как оно в обычной координатной записи включает псевдотензор Леви-Чивиты) и операции, содержащие векторное произведение (например, ротор и т.п.) или нечетное их количество. Псевдовекторная операция порождает из истинных векторов и скаляров псевдовекторы и псевдоскаляры.

Так, при умножении истинного вектора на истинный вектор — получается в скалярном произведении истинный скаляр, а в векторном произведении — псевдовектор. При умножении истинного вектора на псевдовектор — получается в скалярном произведении псевдоскаляр, а в векторном произведении истинный вектор. При перемножении двух псевдовекторов — получаются соответственно истинный скаляр и псевдовектор.

В физических теориях, за исключением таких, в которых присутствует явное и в принципе наблюдаемое нарушение зеркальной симметрии пространства, псевдовекторы могут присутствовать в промежуточных величинах, но в конечных, наблюдаемых — множители (-1) при зеркальных отражениях координат должны уничтожаться, встречаясь в произведениях четное количество раз (четное количество псевдовекторных + псевдоскалярных + других псевдотензорных множителей).

• Например, в классической электродинамике индукция магнитного поля — псевдовектор, так как порождается псевдовекторной операцией, например <math>\ \mathbf j \times \mathbf r \ </math> в законе Био-Савара, но сама эта величина (псевдовектор) определена в принципе с точностью до условного множителя, который может быть выбран +1 или −1. Однако реально наблюдаемая величина — ускорение заряда под действием магнитного поля — при своем вычислении содержит еще одну псевдовекторную операцию <math>\ \mathbf v \times \mathbf B\ </math> в выражении для силы Лоренца, дающую еще один условный множитель ±1, равный первому, в ответе же произвол пропадает, так как произведение ±1·(±1) дает просто 1.
• В механике наиболее часто встречающаяся псевдовекторная величина — вектор угловой скорости и связанные с нею (например, момент импульса). Истинный вектор скорости получается из псевдовектора угловой скорости <math>\ \mathbf{\omega}\ </math> псевдовекторной операцией <math>\ \mathbf{\omega} \times \mathbf r \ </math>.

См. также

• Симметрия
• Скаляр

Отрывок, характеризующий Аксиальный вектор

Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.
Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения.
В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.
Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.
«Но всякий раз, когда были завоевания, были завоеватели; всякий раз, когда делались перевороты в государстве, были великие люди», – говорит история. Действительно, всякий раз, когда являлись завоеватели, были и войны, отвечает ум человеческий, но это не доказывает, чтобы завоеватели были причинами войн и чтобы возможно было найти законы войны в личной деятельности одного человека. Всякий раз, когда я, глядя на свои часы, вижу, что стрелка подошла к десяти, я слышу, что в соседней церкви начинается благовест, но из того, что всякий раз, что стрелка приходит на десять часов тогда, как начинается благовест, я не имею права заключить, что положение стрелки есть причина движения колоколов.