Аксиома Архимеда
Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировно Евдоксом Книдским в его теории отношений величин (понятие величины у Евдокса охватывает как числа, так и непрерывные величины: отрезки, площади, объёмы[1]):
Если имеются две величины, <math>a</math> и <math>b</math>, и <math>a</math> меньше <math>b</math>, то, взяв <math>a</math> слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти <math>b</math>:
Например, для отрезков, аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.
Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин. По-настоящему значение аксиомы Архимеда было понято в XIX веке, когда было обнаружено существование величин, для которых это свойство не выполняется. Вслед за этим, математические структуры, для которых свойство Архимеда выполняется стали называть архимедовыми, например, архимедово поле, архимедова группа, а те, для которых она не имеет места — неархимедовыми.
Содержание
История
Аксиома, известная в математике как аксиома Архимеда, в действительности была впервые сформулирована Евдоксом Книдским. Это предложение играло ключевую роль в его теории отношений, которая, по существу, являлась первой аксиоматической теорией действительного числа. Поэтому её также называют аксиомой Евдокса.
Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V).
Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга
«Начала», книга V, определение 4[2]
|
Аксиома Евдокса—Архимеда лежала в основе т. н. «метода исчерпывания», изобретенного Евдоксом, — метода нахождения площадей фигур, объёмов тел, длин дуг с помощью аналога современных сумм Римана и Дарбу. С помощью своего метода Евдокс строго доказал несколько теорем о вычислении площадей и объёмов. Однако наибольших результатов в этой области достиг Архимед. С помощью метода Евдокса он нашёл ряд новых площадей и объёмов. При этом, поскольку в Древней Греции не существовало понятия последовательности, предела последовательности, Архимеду приходилось в каждой конкретной задаче повторять рассуждения заново. Таким образом, в своих сочинениях Архимед формулировал и использовал аксиому Евдокса—Архимеда. При этом сам Архимед во введении к своей «Квадратуре параболы» подчеркивает, что эта аксиома употреблялась его предшественниками, и играла существенную роль в работах Евдокса[3].
Современное определение
Линейно упорядоченная группа
Пусть <math>G</math> — линейно упорядоченная группа (англ.), <math>a</math> и <math>b</math> — положительные элементы <math>G</math>. Элемент <math>a</math> называется бесконечно малым по отношению к элементу <math>b</math> (а <math>b</math> — бесконечно большим по отношению к <math>a</math>), если для любого натурального <math>n</math> имеет место неравенство
Группа <math>G</math> называется архимедовой, если для неё выполнена аксиома Архимеда: в <math>G</math> не существует пары элементов <math>a</math>, <math>b</math>, таких что <math>a</math> — бесконечно мал по отношению к <math>b</math>.
Упорядоченное поле
Пусть <math>K</math> — упорядоченное поле. Поскольку всякое упорядоченное поле является линейно упорядоченной группой, то все вышеприведенные определения бесконечно малого и бесконечно большого элементов, а также формулировка аксиомы Архимеда сохраняют силу. Однако здесь имеется ряд специфических особенностей, благодаря которым формулировка аксиомы Архимеда упрощается.
Пусть <math>a, b</math> — положительные элементы <math>K</math>.
- элемент <math>a</math> бесконечно мал по отношению к элементу <math>b</math>, тогда и только тогда, когда <math>a/b</math> бесконечно мал по отношению к <math>1 \in K</math> (такие элементы называются просто, бесконечно малыми)
- элемент <math>a</math> бесконечно большой по отношению к элементу <math>b</math>, тогда и только тогда, когда <math>a/b</math> бесконечно большой по отношению к <math>1 \in K</math> (такие элементы называются просто, бесконечно большими)
Бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов.
Соответственно формулировка аксиомы Архимеда упрощается: упорядоченное поле <math>K</math> обладает свойством Архимеда, если в нём нет бесконечно малых элементов, или, эквивалентно, если в нём нет бесконечно больших элементов. Если здесь развернуть определение бесконечно малого (или бесконечно большого) элемента, то получим следующую формулировку аксиомы Архимеда:
Для всякого элемента <math>a</math> поля <math>K</math> существует натуральный элемент <math>n</math>, такой что <math>n > a</math>
Или, эквивалентная формулировка,
Для всякого положительного элемента поля <math>\varepsilon > 0</math> существует натуральный элемент <math>n</math>, такой что <math>1/n < \varepsilon</math>
Примеры и контрпримеры
Множество действительных чисел
Наиболее известный пример архимедова поля — это множество действительных чисел. Если рассматривать множество действительных чисел как пополнение совокупности рациональных (например, с помощью дедекиндовых сечений), то свойство Архимеда для действительных чисел вытекает из того, что им обладают рациональные числа. В связи с этим следует отметить, что в одной из систем аксиом действительных чисел, которая была предложена Гильбертом[4] (аксиоматика Гильберта), совокупность действительных чисел определяется как максимальное архимедово упорядоченное поле, то есть упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда (то есть не содержащее инфинитезимальных элементов), которое нельзя расширить до большего архимедова упорядоченного поля.
Неархимедово упорядоченное поле
В качестве примера (вернее, контрпримера) упорядоченного поля, для которого не выполнена аксиома Архимеда, рассмотрим совокупность рациональных функций с действительными коэффициентами, то есть функций вида
R(x)=\frac{a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0}
</math>Относительно обычных операций сложения и умножения эта совокупность образует поле. Введем отношение порядка на совокупности рациональных функций следующим образом. Пусть <math>f</math> и <math>g</math> — две рациональные функции. Мы скажем, что <math>f > g</math>, тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности <math>+\infty</math> разность <math>f-g</math> имеет строго положительный знак. Это условие можно сформулировать и в терминах коэффициентов рациональных функций <math>f</math> и <math>g</math>. Запишем разность <math>f-g</math> в виде многочлен + правильная рациональная дробь:
f(x)-g(x) = c_{n-m} x^{n-m} + \ldots + c_1 x + c_0 + \frac{d_k x^k + \ldots + d_1 x + d_0}{x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1 x + b_0}
</math>где последнее слагаемое в правой части — правильная рациональная дробь, то есть степень числителя меньше степени знаменателя: <math>k < m</math>. Будем также считать что старший коэффициент знаменателя <math>b_m</math> равен <math>1</math>. Тогда <math>f > g</math> тогда и только тогда, когда либо <math>c_{n-m} > 0</math>, либо полиноминальная часть отсутствует и <math>d_k > 0</math>. Несложно проверить корректность этого определения порядка (следует проверить как то, что введенное отношение действительно является отношением порядка, и что это отношение согласовано с операциями поля).
Таким образом, совокупность рациональных функций образует упорядоченное поле. Заметим, что оно является расширением поля действительных чисел, но аксиома Архимеда здесь не имеет места (см. конец предыдущего раздела!). Действительно, рассмотрим элементы <math>1</math> и <math>x</math>. Очевидно, каким бы ни было натуральное число <math>n</math>, имеет место неравенство:
\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n} = n \cdot 1 < x
</math>Другими словами, <math>x</math> — бесконечно большой элемент поля. Тем самым аксиома Архимеда в этом поле не имеет места.
См. также
Напишите отзыв о статье "Аксиома Архимеда"
Примечания
- ↑ История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: «Наука», 2003. — Т. 1. — С. 96.
- ↑ Евклид. Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
- ↑ Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 148.
- ↑ Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — С. 87.
Литература
- История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: «Наука», 2003. — Т. 1.
- Евклид. Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
- Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948.
- Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
Отрывок, характеризующий Аксиома Архимеда
– Ну, и кончено, мой милый. Очень рад тебя видеть, очень рад тебя видеть. Поди к себе, княжна, поди, – говорил старый князь. – Очень, очень рад тебя видеть, – повторял он, обнимая князя Василья.«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.
Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.
– Mon bon ami? – вопросительно грустно и с готовностью всякого участия произнесла Анна Михайловна.
Граф зарыдал еще больше. «Николушка… письмо… ранен… бы… был… ma сhere… ранен… голубчик мой… графинюшка… в офицеры произведен… слава Богу… Графинюшке как сказать?…»
Анна Михайловна подсела к нему, отерла своим платком слезы с его глаз, с письма, закапанного ими, и свои слезы, прочла письмо, успокоила графа и решила, что до обеда и до чаю она приготовит графиню, а после чаю объявит всё, коли Бог ей поможет.
Всё время обеда Анна Михайловна говорила о слухах войны, о Николушке; спросила два раза, когда получено было последнее письмо от него, хотя знала это и прежде, и заметила, что очень легко, может быть, и нынче получится письмо. Всякий раз как при этих намеках графиня начинала беспокоиться и тревожно взглядывать то на графа, то на Анну Михайловну, Анна Михайловна самым незаметным образом сводила разговор на незначительные предметы. Наташа, из всего семейства более всех одаренная способностью чувствовать оттенки интонаций, взглядов и выражений лиц, с начала обеда насторожила уши и знала, что что нибудь есть между ее отцом и Анной Михайловной и что нибудь касающееся брата, и что Анна Михайловна приготавливает. Несмотря на всю свою смелость (Наташа знала, как чувствительна была ее мать ко всему, что касалось известий о Николушке), она не решилась за обедом сделать вопроса и от беспокойства за обедом ничего не ела и вертелась на стуле, не слушая замечаний своей гувернантки. После обеда она стремглав бросилась догонять Анну Михайловну и в диванной с разбега бросилась ей на шею.
– Тетенька, голубушка, скажите, что такое?
– Ничего, мой друг.
– Нет, душенька, голубчик, милая, персик, я не отстaнy, я знаю, что вы знаете.
Анна Михайловна покачала головой.
– Voua etes une fine mouche, mon enfant, [Ты вострушка, дитя мое.] – сказала она.
– От Николеньки письмо? Наверно! – вскрикнула Наташа, прочтя утвердительный ответ в лице Анны Михайловны.
– Но ради Бога, будь осторожнее: ты знаешь, как это может поразить твою maman.
– Буду, буду, но расскажите. Не расскажете? Ну, так я сейчас пойду скажу.
Анна Михайловна в коротких словах рассказала Наташе содержание письма с условием не говорить никому.
Честное, благородное слово, – крестясь, говорила Наташа, – никому не скажу, – и тотчас же побежала к Соне.
– Николенька…ранен…письмо… – проговорила она торжественно и радостно.
– Nicolas! – только выговорила Соня, мгновенно бледнея.
Наташа, увидав впечатление, произведенное на Соню известием о ране брата, в первый раз почувствовала всю горестную сторону этого известия.
Она бросилась к Соне, обняла ее и заплакала. – Немножко ранен, но произведен в офицеры; он теперь здоров, он сам пишет, – говорила она сквозь слезы.
– Вот видно, что все вы, женщины, – плаксы, – сказал Петя, решительными большими шагами прохаживаясь по комнате. – Я так очень рад и, право, очень рад, что брат так отличился. Все вы нюни! ничего не понимаете. – Наташа улыбнулась сквозь слезы.
– Ты не читала письма? – спрашивала Соня.
– Не читала, но она сказала, что всё прошло, и что он уже офицер…
– Слава Богу, – сказала Соня, крестясь. – Но, может быть, она обманула тебя. Пойдем к maman.
Петя молча ходил по комнате.
– Кабы я был на месте Николушки, я бы еще больше этих французов убил, – сказал он, – такие они мерзкие! Я бы их побил столько, что кучу из них сделали бы, – продолжал Петя.
– Молчи, Петя, какой ты дурак!…
– Не я дурак, а дуры те, кто от пустяков плачут, – сказал Петя.
– Ты его помнишь? – после минутного молчания вдруг спросила Наташа. Соня улыбнулась: «Помню ли Nicolas?»
– Нет, Соня, ты помнишь ли его так, чтоб хорошо помнить, чтобы всё помнить, – с старательным жестом сказала Наташа, видимо, желая придать своим словам самое серьезное значение. – И я помню Николеньку, я помню, – сказала она. – А Бориса не помню. Совсем не помню…
– Как? Не помнишь Бориса? – спросила Соня с удивлением.
– Не то, что не помню, – я знаю, какой он, но не так помню, как Николеньку. Его, я закрою глаза и помню, а Бориса нет (она закрыла глаза), так, нет – ничего!
– Ах, Наташа, – сказала Соня, восторженно и серьезно глядя на свою подругу, как будто она считала ее недостойной слышать то, что она намерена была сказать, и как будто она говорила это кому то другому, с кем нельзя шутить. – Я полюбила раз твоего брата, и, что бы ни случилось с ним, со мной, я никогда не перестану любить его во всю жизнь.
Наташа удивленно, любопытными глазами смотрела на Соню и молчала. Она чувствовала, что то, что говорила Соня, была правда, что была такая любовь, про которую говорила Соня; но Наташа ничего подобного еще не испытывала. Она верила, что это могло быть, но не понимала.
– Ты напишешь ему? – спросила она.
Соня задумалась. Вопрос о том, как писать к Nicolas и нужно ли писать и как писать, был вопрос, мучивший ее. Теперь, когда он был уже офицер и раненый герой, хорошо ли было с ее стороны напомнить ему о себе и как будто о том обязательстве, которое он взял на себя в отношении ее.
– Не знаю; я думаю, коли он пишет, – и я напишу, – краснея, сказала она.
– И тебе не стыдно будет писать ему?
Соня улыбнулась.
– Нет.
– А мне стыдно будет писать Борису, я не буду писать.
– Да отчего же стыдно?Да так, я не знаю. Неловко, стыдно.
– А я знаю, отчего ей стыдно будет, – сказал Петя, обиженный первым замечанием Наташи, – оттого, что она была влюблена в этого толстого с очками (так называл Петя своего тезку, нового графа Безухого); теперь влюблена в певца этого (Петя говорил об итальянце, Наташином учителе пенья): вот ей и стыдно.
– Петя, ты глуп, – сказала Наташа.
– Не глупее тебя, матушка, – сказал девятилетний Петя, точно как будто он был старый бригадир.
Графиня была приготовлена намеками Анны Михайловны во время обеда. Уйдя к себе, она, сидя на кресле, не спускала глаз с миниатюрного портрета сына, вделанного в табакерке, и слезы навертывались ей на глаза. Анна Михайловна с письмом на цыпочках подошла к комнате графини и остановилась.
– Не входите, – сказала она старому графу, шедшему за ней, – после, – и затворила за собой дверь.
Граф приложил ухо к замку и стал слушать.
Сначала он слышал звуки равнодушных речей, потом один звук голоса Анны Михайловны, говорившей длинную речь, потом вскрик, потом молчание, потом опять оба голоса вместе говорили с радостными интонациями, и потом шаги, и Анна Михайловна отворила ему дверь. На лице Анны Михайловны было гордое выражение оператора, окончившего трудную ампутацию и вводящего публику для того, чтоб она могла оценить его искусство.
– C'est fait! [Дело сделано!] – сказала она графу, торжественным жестом указывая на графиню, которая держала в одной руке табакерку с портретом, в другой – письмо и прижимала губы то к тому, то к другому.
Увидав графа, она протянула к нему руки, обняла его лысую голову и через лысую голову опять посмотрела на письмо и портрет и опять для того, чтобы прижать их к губам, слегка оттолкнула лысую голову. Вера, Наташа, Соня и Петя вошли в комнату, и началось чтение. В письме был кратко описан поход и два сражения, в которых участвовал Николушка, производство в офицеры и сказано, что он целует руки maman и papa, прося их благословения, и целует Веру, Наташу, Петю. Кроме того он кланяется m r Шелингу, и m mе Шос и няне, и, кроме того, просит поцеловать дорогую Соню, которую он всё так же любит и о которой всё так же вспоминает. Услыхав это, Соня покраснела так, что слезы выступили ей на глаза. И, не в силах выдержать обратившиеся на нее взгляды, она побежала в залу, разбежалась, закружилась и, раздув баллоном платье свое, раскрасневшаяся и улыбающаяся, села на пол. Графиня плакала.
– О чем же вы плачете, maman? – сказала Вера. – По всему, что он пишет, надо радоваться, а не плакать.
Это было совершенно справедливо, но и граф, и графиня, и Наташа – все с упреком посмотрели на нее. «И в кого она такая вышла!» подумала графиня.