Алгебраическое число
Поделись знанием:
</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
|заголовок2=Вещественные числа
и их расширения
Инструменты расширения
числовых систем
Иерархия чисел
|список4=<center>
</center>
|заголовок5=Другие
числовые системы
См. также
– Вас заставят плясать, как при Суворове вы плясали (on vous fera danser [вас заставят плясать]), – сказал Долохов.
– Qu'est ce qu'il chante? [Что он там поет?] – сказал один француз.
– De l'histoire ancienne, [Древняя история,] – сказал другой, догадавшись, что дело шло о прежних войнах. – L'Empereur va lui faire voir a votre Souvara, comme aux autres… [Император покажет вашему Сувара, как и другим…]
– Бонапарте… – начал было Долохов, но француз перебил его.
– Нет Бонапарте. Есть император! Sacre nom… [Чорт возьми…] – сердито крикнул он.
– Чорт его дери вашего императора!
И Долохов по русски, грубо, по солдатски обругался и, вскинув ружье, отошел прочь.
– Пойдемте, Иван Лукич, – сказал он ротному.
– Вот так по хранцузски, – заговорили солдаты в цепи. – Ну ка ты, Сидоров!
Сидоров подмигнул и, обращаясь к французам, начал часто, часто лепетать непонятные слова:
– Кари, мала, тафа, сафи, мутер, каска, – лопотал он, стараясь придавать выразительные интонации своему голосу.
– Го, го, го! ха ха, ха, ха! Ух! Ух! – раздался между солдатами грохот такого здорового и веселого хохота, невольно через цепь сообщившегося и французам, что после этого нужно было, казалось, разрядить ружья, взорвать заряды и разойтись поскорее всем по домам.
Но ружья остались заряжены, бойницы в домах и укреплениях так же грозно смотрели вперед и так же, как прежде, остались друг против друга обращенные, снятые с передков пушки.
Объехав всю линию войск от правого до левого фланга, князь Андрей поднялся на ту батарею, с которой, по словам штаб офицера, всё поле было видно. Здесь он слез с лошади и остановился у крайнего из четырех снятых с передков орудий. Впереди орудий ходил часовой артиллерист, вытянувшийся было перед офицером, но по сделанному ему знаку возобновивший свое равномерное, скучливое хождение. Сзади орудий стояли передки, еще сзади коновязь и костры артиллеристов. Налево, недалеко от крайнего орудия, был новый плетеный шалашик, из которого слышались оживленные офицерские голоса.
Действительно, с батареи открывался вид почти всего расположения русских войск и большей части неприятеля. Прямо против батареи, на горизонте противоположного бугра, виднелась деревня Шенграбен; левее и правее можно было различить в трех местах, среди дыма их костров, массы французских войск, которых, очевидно, большая часть находилась в самой деревне и за горою. Левее деревни, в дыму, казалось что то похожее на батарею, но простым глазом нельзя было рассмотреть хорошенько. Правый фланг наш располагался на довольно крутом возвышении, которое господствовало над позицией французов. По нем расположена была наша пехота, и на самом краю видны были драгуны. В центре, где и находилась та батарея Тушина, с которой рассматривал позицию князь Андрей, был самый отлогий и прямой спуск и подъем к ручью, отделявшему нас от Шенграбена. Налево войска наши примыкали к лесу, где дымились костры нашей, рубившей дрова, пехоты. Линия французов была шире нашей, и ясно было, что французы легко могли обойти нас с обеих сторон. Сзади нашей позиции был крутой и глубокий овраг, по которому трудно было отступать артиллерии и коннице. Князь Андрей, облокотясь на пушку и достав бумажник, начертил для себя план расположения войск. В двух местах он карандашом поставил заметки, намереваясь сообщить их Багратиону. Он предполагал, во первых, сосредоточить всю артиллерию в центре и, во вторых, кавалерию перевести назад, на ту сторону оврага. Князь Андрей, постоянно находясь при главнокомандующем, следя за движениями масс и общими распоряжениями и постоянно занимаясь историческими описаниями сражений, и в этом предстоящем деле невольно соображал будущий ход военных действий только в общих чертах. Ему представлялись лишь следующего рода крупные случайности: «Ежели неприятель поведет атаку на правый фланг, – говорил он сам себе, – Киевский гренадерский и Подольский егерский должны будут удерживать свою позицию до тех пор, пока резервы центра не подойдут к ним. В этом случае драгуны могут ударить во фланг и опрокинуть их. В случае же атаки на центр, мы выставляем на этом возвышении центральную батарею и под ее прикрытием стягиваем левый фланг и отступаем до оврага эшелонами», рассуждал он сам с собою…
Всё время, что он был на батарее у орудия, он, как это часто бывает, не переставая, слышал звуки голосов офицеров, говоривших в балагане, но не понимал ни одного слова из того, что они говорили. Вдруг звук голосов из балагана поразил его таким задушевным тоном, что он невольно стал прислушиваться.
– Нет, голубчик, – говорил приятный и как будто знакомый князю Андрею голос, – я говорю, что коли бы возможно было знать, что будет после смерти, тогда бы и смерти из нас никто не боялся. Так то, голубчик.
Другой, более молодой голос перебил его:
– Да бойся, не бойся, всё равно, – не минуешь.
– А всё боишься! Эх вы, ученые люди, – сказал третий мужественный голос, перебивая обоих. – То то вы, артиллеристы, и учены очень оттого, что всё с собой свезти можно, и водочки и закусочки.
И владелец мужественного голоса, видимо, пехотный офицер, засмеялся.
– А всё боишься, – продолжал первый знакомый голос. – Боишься неизвестности, вот чего. Как там ни говори, что душа на небо пойдет… ведь это мы знаем, что неба нет, a сфера одна.
Алгебраи́ческое число́ над полем <math>k</math> — элемент алгебраического замыкания поля <math>k</math>, то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из <math>k</math>.
Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть <math>k=\mathbb{Q}</math>, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается <math>\mathbb{A}</math>. Данная статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам». Поле <math>\mathbb{A}</math> является подполем поля комплексных чисел.
Связанные определения
- Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
- Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
- Если <math>\alpha</math> — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих <math>\alpha</math> своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим многочленом алгебраического числа <math>\alpha</math>. (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)
- Минимальный многочлен всегда является неприводимым.
- Степень канонического многочлена <math>\alpha</math> называется степенью алгебраического числа <math>\alpha</math>.
- Другие корни канонического многочлена <math>\alpha</math> называются сопряжёнными к <math>\alpha</math>.
- Высотой алгебраического числа <math>\alpha</math> называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем <math>\alpha</math> своим корнем.
Примеры
 |
Данный раздел имеет чрезмерный объём или содержит маловажные подробности. Если вы не согласны с этим, пожалуйста, покажите в тексте существенность излагаемого материала. В противном случае раздел может быть удалён. Подробности могут быть на странице обсуждения.
|
- Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
- Мнимая единица <math>i</math> и <math>\sqrt2</math> являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно <math>-i</math> и <math>-\sqrt2</math>.
- Для любых натуральных чисел <math>m</math> и <math>n</math> число <math>\sqrt[n]m</math> является алгебраическим числом степени <math>n</math>.
Свойства
- Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
- Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
- Сумма, разность, произведение и частное[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
- Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
- Для всякого алгебраического числа <math>\alpha</math> существует такое натуральное <math>N</math>, что <math>N\alpha</math> — целое алгебраическое число.
- Алгебраическое число <math>\alpha</math> степени <math>n</math> имеет <math>n</math> различных сопряжённых чисел (включая себя).
- <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля <math>\mathbb{A}</math>, переводящий <math>\alpha</math> в <math>\beta</math>.
- Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
- Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.[прояснить]
История
Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида <math>a + bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида <math>a + b\rho</math>, где <math>\rho = (-1+i\sqrt3)/2</math> — кубический корень из единицы, а <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.
См. также
Напишите отзыв о статье "Алгебраическое число"
Примечания
- ↑ кроме частного от деления на ноль
Ссылки
- Фельдман, Н. [kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm Алгебраические и трансцендентные числа] // Квант, № 7, 1983.
- Нестеренко Ю. В. [mech.math.msu.su/department/number/new/persons/nesterenko/lectures.html Лекции об алгебраических числах] // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.
| ||||||||||
| ||||||
и их расширения
|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]
|заголовок3=числовых систем
|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
|заголовок4=
| |||||||||||||||||||||||||||
| <math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> | Седенионы | ||||||||||||||||||||||||||
числовые системы
|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
|заголовок6=|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
}}
Отрывок, характеризующий Алгебраическое число
Зрители и слушатели французы засмеялись.– Вас заставят плясать, как при Суворове вы плясали (on vous fera danser [вас заставят плясать]), – сказал Долохов.
– Qu'est ce qu'il chante? [Что он там поет?] – сказал один француз.
– De l'histoire ancienne, [Древняя история,] – сказал другой, догадавшись, что дело шло о прежних войнах. – L'Empereur va lui faire voir a votre Souvara, comme aux autres… [Император покажет вашему Сувара, как и другим…]
– Бонапарте… – начал было Долохов, но француз перебил его.
– Нет Бонапарте. Есть император! Sacre nom… [Чорт возьми…] – сердито крикнул он.
– Чорт его дери вашего императора!
И Долохов по русски, грубо, по солдатски обругался и, вскинув ружье, отошел прочь.
– Пойдемте, Иван Лукич, – сказал он ротному.
– Вот так по хранцузски, – заговорили солдаты в цепи. – Ну ка ты, Сидоров!
Сидоров подмигнул и, обращаясь к французам, начал часто, часто лепетать непонятные слова:
– Кари, мала, тафа, сафи, мутер, каска, – лопотал он, стараясь придавать выразительные интонации своему голосу.
– Го, го, го! ха ха, ха, ха! Ух! Ух! – раздался между солдатами грохот такого здорового и веселого хохота, невольно через цепь сообщившегося и французам, что после этого нужно было, казалось, разрядить ружья, взорвать заряды и разойтись поскорее всем по домам.
Но ружья остались заряжены, бойницы в домах и укреплениях так же грозно смотрели вперед и так же, как прежде, остались друг против друга обращенные, снятые с передков пушки.
Объехав всю линию войск от правого до левого фланга, князь Андрей поднялся на ту батарею, с которой, по словам штаб офицера, всё поле было видно. Здесь он слез с лошади и остановился у крайнего из четырех снятых с передков орудий. Впереди орудий ходил часовой артиллерист, вытянувшийся было перед офицером, но по сделанному ему знаку возобновивший свое равномерное, скучливое хождение. Сзади орудий стояли передки, еще сзади коновязь и костры артиллеристов. Налево, недалеко от крайнего орудия, был новый плетеный шалашик, из которого слышались оживленные офицерские голоса.
Действительно, с батареи открывался вид почти всего расположения русских войск и большей части неприятеля. Прямо против батареи, на горизонте противоположного бугра, виднелась деревня Шенграбен; левее и правее можно было различить в трех местах, среди дыма их костров, массы французских войск, которых, очевидно, большая часть находилась в самой деревне и за горою. Левее деревни, в дыму, казалось что то похожее на батарею, но простым глазом нельзя было рассмотреть хорошенько. Правый фланг наш располагался на довольно крутом возвышении, которое господствовало над позицией французов. По нем расположена была наша пехота, и на самом краю видны были драгуны. В центре, где и находилась та батарея Тушина, с которой рассматривал позицию князь Андрей, был самый отлогий и прямой спуск и подъем к ручью, отделявшему нас от Шенграбена. Налево войска наши примыкали к лесу, где дымились костры нашей, рубившей дрова, пехоты. Линия французов была шире нашей, и ясно было, что французы легко могли обойти нас с обеих сторон. Сзади нашей позиции был крутой и глубокий овраг, по которому трудно было отступать артиллерии и коннице. Князь Андрей, облокотясь на пушку и достав бумажник, начертил для себя план расположения войск. В двух местах он карандашом поставил заметки, намереваясь сообщить их Багратиону. Он предполагал, во первых, сосредоточить всю артиллерию в центре и, во вторых, кавалерию перевести назад, на ту сторону оврага. Князь Андрей, постоянно находясь при главнокомандующем, следя за движениями масс и общими распоряжениями и постоянно занимаясь историческими описаниями сражений, и в этом предстоящем деле невольно соображал будущий ход военных действий только в общих чертах. Ему представлялись лишь следующего рода крупные случайности: «Ежели неприятель поведет атаку на правый фланг, – говорил он сам себе, – Киевский гренадерский и Подольский егерский должны будут удерживать свою позицию до тех пор, пока резервы центра не подойдут к ним. В этом случае драгуны могут ударить во фланг и опрокинуть их. В случае же атаки на центр, мы выставляем на этом возвышении центральную батарею и под ее прикрытием стягиваем левый фланг и отступаем до оврага эшелонами», рассуждал он сам с собою…
Всё время, что он был на батарее у орудия, он, как это часто бывает, не переставая, слышал звуки голосов офицеров, говоривших в балагане, но не понимал ни одного слова из того, что они говорили. Вдруг звук голосов из балагана поразил его таким задушевным тоном, что он невольно стал прислушиваться.
– Нет, голубчик, – говорил приятный и как будто знакомый князю Андрею голос, – я говорю, что коли бы возможно было знать, что будет после смерти, тогда бы и смерти из нас никто не боялся. Так то, голубчик.
Другой, более молодой голос перебил его:
– Да бойся, не бойся, всё равно, – не минуешь.
– А всё боишься! Эх вы, ученые люди, – сказал третий мужественный голос, перебивая обоих. – То то вы, артиллеристы, и учены очень оттого, что всё с собой свезти можно, и водочки и закусочки.
И владелец мужественного голоса, видимо, пехотный офицер, засмеялся.
– А всё боишься, – продолжал первый знакомый голос. – Боишься неизвестности, вот чего. Как там ни говори, что душа на небо пойдет… ведь это мы знаем, что неба нет, a сфера одна.
