Алгебра множеств
Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).
Определение
Семейство <math>\mathfrak{A} \subset 2^{X}</math> подмножеств множества <math>X</math> (здесь <math>2^{X}</math> — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- <math>\varnothing\in \mathfrak{A}.</math>
- Если <math>A\in \mathfrak{A}</math>, то и его дополнение <math>X\setminus A\in\mathfrak{A}.</math>
- Объединение двух множеств <math>A,B\in \mathfrak{A}</math> также принадлежит <math>\mathfrak{A}.</math>
Замечания
- По определению, если алгебра содержит множество <math>A</math>, то она содержит и его дополнение. Объединением <math>A</math> с его дополнением является исходное множество <math>X</math>. Дополнением к множеству <math>X</math> является пустое множество. Это означает, что множество <math>X</math> и пустое множество содержится в алгебре по определению.
- В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
- Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
- Если исходное множество <math>X</math> является пространством элементарных событий, то алгебра <math>\mathfrak{A}</math> называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Алгебра событий
Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий <math>\Omega</math>, элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
- алгебра конечных подмножеств <math>\Omega</math>;
- сигма-алгебра счётных подмножеств <math>\Omega</math>;
- алгебра подмножеств <math>{\mathbb{R}}^n</math>, образованная конечными объединениями интервалов;
- сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства <math>\Omega</math>, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества <math>\Omega</math>;
- алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.
Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности <math>\mathbf{P}</math>. Если <math>\mathbf{P} (x)=0</math>, то событие <math>x \subseteq \Omega</math> называется невозможным событием; если <math>\mathbf{P}(x)=1</math>, то событие <math>x \subseteq \Omega</math> называется достоверным событием;
Событие <math> A + B </math> или <math>A \cup B </math> , заключается в том, что из двух событий <math> A </math> и <math> B </math> происходит по крайней мере одно, называется суммой событий <math> A </math> и <math> B </math>.
Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.
См. также
- Сигма-алгебра
- Кольцо
- Полукольцо
- Аксиоматика Колмогорова
- Элементарное событие
- Событие (теория вероятностей)
- Вероятностное пространство
Напишите отзыв о статье "Алгебра множеств"
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
|
Это заготовка статьи по теории множеств. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Алгебра множеств
В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим.Великолепная приемная комната была полна. Все почтительно встали, когда главнокомандующий, пробыв около получаса наедине с больным, вышел оттуда, слегка отвечая на поклоны и стараясь как можно скорее пройти мимо устремленных на него взглядов докторов, духовных лиц и родственников. Князь Василий, похудевший и побледневший за эти дни, провожал главнокомандующего и что то несколько раз тихо повторил ему.
Проводив главнокомандующего, князь Василий сел в зале один на стул, закинув высоко ногу на ногу, на коленку упирая локоть и рукою закрыв глаза. Посидев так несколько времени, он встал и непривычно поспешными шагами, оглядываясь кругом испуганными глазами, пошел чрез длинный коридор на заднюю половину дома, к старшей княжне.
Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее.
– Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши.
– Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.
– Таинство, матушка, великое, – отвечало духовное лицо, проводя рукою по лысине, по которой пролегало несколько прядей зачесанных полуседых волос.
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
– Tres beau, – говорил доктор, отвечая на вопрос о погоде, – tres beau, princesse, et puis, a Moscou on se croit a la campagne. [прекрасная погода, княжна, и потом Москва так похожа на деревню.]
– N'est ce pas? [Не правда ли?] – сказала княжна, вздыхая. – Так можно ему пить?
Лоррен задумался.
– Он принял лекарство?
– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.
Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
