Алгоритм вычисления собственных значений

В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы.

Собственные значения и собственные векторы

Если задана n × n квадратная матрица A над вещественными или комплексными числами, собственное значение λ и соответствующий ему корневой вектор v — это пара, удовлетворяющая равенству

<math>\left(A - \lambda E\right)^k {\bold v} = 0,</math>

где v ненулевой n × 1 вектор-столбец, E является n × n единичной матрицей, k — положительным целым, а λ и v могут быть комплексными, даже если A вещественна. Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = λv. Любое собственное значение λ матрицы A имеет простой собственный вектор, соответствующий ему так, что если k — наименьшее целое, при котором (A - λE)^k v = 0 для корневого вектора v, то (A - λE)^k-1 v будет простым собственным вектором. Значение k всегда можно взять меньше либо равным n. В частности, (A - λE)ⁿ v = 0 для всех корневых векторов v соответствующих λ.

Для любого собственного значения λ матрицы A ядро ker(A - λE) состоит из всех собственных векторов, соответствующих λ, (вместе с 0) и называется собственным подпространством числа λ, а векторное подпространство ker((A - λE)ⁿ) состоит из всех корневых векторов (дополненное нулевым вектором) и называется корневым подпространством. Геометрическая кратность значения λ является размерностью его собственного подпространства. Алгебраическая кратность значения λ является размерностью его корневого подпространства. Дальнейшие термины связаны с равенством

<math>p_A\left(z\right) = {\rm det}\left( zE - A \right) = \prod_{i=1}^k (z - \lambda_i)^{\alpha_i},</math>

Здесь det — определитель, λ_i — все различные собственные значения матрицы A, а α_i — соответствующие алгебраические кратности. Функция p_A(z) — это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена. Поскольку любой собственный вектор является корневым вектором, геометрическая кратность меньше либо равна алгебраической кратности. Сумма алгебраических кратностей равна n степени характеристического многочлена. Уравнение p_A(z) = 0 называется характеристическим уравнением, поскольку его корни являются в точности собственными значениями матрицы A. По теореме Гамильтона — Кэли сама матрица A удовлетворяет тому же самому уравнению: p_A(A) = 0. Как следствие, столбцы матрицы <math>\textstyle \prod_{i \ne j} (A - \lambda_iE)^{\alpha_i}</math> должны быть либо 0, либо корневыми векторами, соответствующими собственному значению λ_j, поскольку они уничтожаются матрицей <math>\textstyle (A - \lambda_jE)^{\alpha_j}.</math>

Любой набор корневых векторов различных собственных значений линейно независим, так что базис для всего C ⁿ можно выбрать из набора корневых векторов. Точнее этот базис {v_i}ⁿ_i=1 можно выбрать и выстроить так, что

• если v_i и v_j имеют одно и то же собственное значение, то тоже будет верно для любого v_k при k между i и j;
• если v_i не является простым собственным вектором и если λ_i его собственное значение, то (A - λ_iE )v_i = v_i-1 (в частности v₁ должен быть простым собственным вектором).

Если эти базисные вектора расположить как столбцы матрицы V = [ v₁ v₂ ... v_n ], то V можно использовать для преобразования матрицы A в её нормальную жорданову форму:

<math>V^{-1}AV = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \beta_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \beta_2 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{bmatrix},</math>

где λ_i — собственные значения, β_i = 1 если (A - λ_i+1)v_i+1 = v_i и β_i = 0 в других случаях.

Если W является обратимой матрицей и λ — собственное значение матрицы A с соответствующим корневым вектором v, то (W ^-1AW - λE )^k W ^-kv = 0. Таким образом, λ является собственным значением матрицы W ^-1AW с соответствующим корневым вектором W ^-kv. Таким образом, подобные матрицы имеют те же самые собственные значения.

Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы

Эрмитово-сопряжённая матрица M^* к комплексной матрице M — это траспонированная матрица с заменой всех элементов на сопряжённые значения: M ^* = M ^T. Квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует с эрмитово-сопряжённой: A^*A = AA^*. Матрица называется эрмитовой, если она равна своей сопряжённой: A^* = A. Все эрмитовы матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряжённая к ней — это просто транспонированная матрица и она будет эрмитовой в том и только в том случае, когда она симметрична. Если применить это к столбцам, сопряжённость можно использовать для определения канонического скалярного произведения в C ⁿ: w • v = w^* v. Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств:

• Каждый корневой собственный вектор нормальной матрицы является простым собственным вектором.
• Любая нормальная матрица подобна диагональной, поскольку её нормальная жорданова форма является диагональной матрицей.
• Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям нормальной матрицы, ортогональны.
• Для любой нормальной матрицы A C ⁿ имеет ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов матрицы A. Соответствующая матрица собственных векторов является унитарной.
• Собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными числами, поскольку (λ - λ)v = (A^* - A)v = (A - A)v = 0 для ненулевого собственного вектора v.
• Если матрица A вещественна, существует ортонормальный базис для R ⁿ, состоящий из собственных векторов матрицы A, в том и только в том случае, когда A симметрична.

Возможно как для вещественных, так и для комплексных матриц иметь все собственные значения вещественными, не будучи при этом эрмитовой матрицей. Например, вещественная треугольная матрица имеет все свои собственные значения на диагонали, но, в общем случае, не симметрична.

Число обусловленности

Любую задачу вычислительной математики можно рассматривать как вычисление некоторой функции ƒ от некоторого аргумента x. Число обусловленности κ(ƒ, x) задачи — это отношение относительной ошибки результата вычисления к относительной ошибке параметра функции и зависит как от функции, так и от параметра. Число обусловленности описывает насколько возрастает ошибка во время вычислений. Десятичный логарифм этого числа говорит о количестве знаков, которые мы теряем по отношению к исходным данным. Число обусловленности относится к наилучшему сценарию, отражая нестабильность самой задачи, независимо от способа решения. Никакой алгоритм не может дать результат лучше, чем определённый числом обусловленности, разве что случайно. Однако плохо разработанный алгоритм может дать существенно более плохие результаты. Например, как будет упомянуто ниже, задача нахождения собственных значений нормальной матрицы всегда хорошо обусловлена, однако задача нахождения корней многочлена может быть очень плохо обусловлена. Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена.

Для задачи решения системы линейных уравнений Av = b, где A является обратимой, число обусловленности κ(A^-1, b) определяется выражением ||A||_op||A^-1||_op, где || ||_op — операторная норма, подчинённая обычной евклидовой норме на C ⁿ. Поскольку это число не зависит от b и является тем же самым как для A, так и для A^-1, оно обычно называется числом обусловленности κ(A) матрицы A. Это значение κ(A) является также абсолютным значением отношения наибольшего собственного значения матрицы A к её наименьшему собственному значению. Если A является унитарной, то ||A||_op = ||A^-1||_op = 1, так что κ(A) = 1. В общем случае для матриц часто сложно вычислить операторную норму. По этой причине обычно используют другие нормы матрицы для оценки числа обусловленности.

Для задачи вычисления собственных значений Бауэр и Файк доказали, что если λ является собственным значением диагонализируемой n × n матрицы A с матрицей собственных векторов V, то абсолютная ошибка вычисления λ ограничена произведением κ(V) и абсолютной ошибкой в A. Как следствие, число обусловленности для вычисления λ равно κ(λ, A) = κ(V) = ||V ||_op ||V ^-1||_op. Если матрица A нормальна, то V является унитарной и κ(λ, A) = 1. Таким образом, задача вычисления собственных значений нормальных матриц хорошо обусловлена.

Было показано, что число обусловленности задачи вычисления собственного подпространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению λ, обратно пропорционально минимальному расстоянию между λ и другими, отличными от λ, собственными значениями матрицы A. В частности, задача определения собственного подпространства для нормальных матриц хорошо обусловлена для изолированных собственных значений. Если собственные значения не изолированы, лучшее, на что мы можем рассчитывать, это определение подпространства всех собственных векторов близлежащих собственных значений.

Алгоритмы

Любой нормированный многочлен является характеристическим многочленом сопровождающей матрицы, поэтому алгоритм для вычисления собственных значений можно использовать для нахождения корней многочленов. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц. В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению.

Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения.

Приведение обычно осуществляется сдвигом: A заменяется на A - μE для некоторой константы μ. Собственное значение, найденное для A - μE, должно быть добавлено к μ, чтобы получить собственное значение матрицы A. Например, в степенном методе μ = λ. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если λ является приближением к собственному значению, итерация степенного метода вряд ли найдёт его во второй раз. И наоборот, методы, основанные на обратной итерации находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению.

Приведение можно совершить путём сужения матрицы A к пространству столбцов матрицы A - λE. Поскольку A - λE вырождена, пространство столбцов имеет меньшую размерность. Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. Процесс можно продолжать пока не будут найдены все собственные значения.

Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием μ к ближайшей аппроксимации собственного значения. Это быстро приводит к собственному вектору ближайшего к μ собственного значения. Для небольших матриц альтернативой служит использование столбцового подпространства произведения A - λ́E для каждого из остальных собственных значений λ́.

Матрицы Хессенберга и трёхдигональные матрицы

Поскольку собственными значениями треугольной матрицы являются диагональные элементы, в общем случае не существует конечного метода подобного исключениям Гаусса для приведения матрицы к треугольной форме, сохраняя при этом собственные значения, однако можно получить нечто близкое к треугольной матрице. Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже первой поддиагонали равны нулю. Нижняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все члены выше первой наддиагонали равны нулю. Матрицы, которые являются как нижними, так и верхними матрицами Хессенберга — это трёхдиагональные матрицы. Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. Существует несколько методов сведения матриц к матрицам Хессенберга с теми же собственными значениями. Если исходная матрица симметрична или эрмитова, то результирующая матрица будет трёхдиагональной.

Если нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения. Если также нужны и собственные векторы, матрица подобия необходима для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга к собственным векторам исходной матрицы.

Метод	Применим к матрицам	Результат	Цена без матрицы подобия	Цена с матрицей подобия	Описание
Преобразования Хаусхолдера	общего вида	матрица Хессенберга	2n3⁄3 + O(n2)	4n3⁄3 + O(n2)	Отражение каждого столбца относительно подпространства для обнуления нижних элементов столбца.
Повороты Гивенса	общего вида	матрица Хессенберга	4n3⁄3 + O(n2)		Осуществляется плоское вращении для обнуления отдельных элементов. Вращения упорядочены так, что следующие вращения не затрагивают нулевые элементы.
Итерации Арнольди	общего вида	матрица Хессенберга			Осуществляется ортогонализация Грама ― Шмидта на подпространствах Крылова.
Алгоритм Ланцоша	эрмитова	трёхдиагональная матрица			Итерации Арнольди для эрмитовых матриц.

Итеративные алгоритмы

Итеративные алгоритмы решают задачу вычисления собственных значений путём построения последовательностей, сходящихся к собственным значениям. Некоторые алгоритмы дают также последовательности векторов, сходящихся к собственным векторам. Чаще всего последовательности собственных значений выражаются через последовательности подобных матриц, которые сходятся к треугольной или диагональной форме, что позволяет затем просто получить собственные значения. Последовательности собственных векторов выражаются через соответствующие матрицы подобия.

Метод	Применим к матрицам	Результат	Цена за один шаг	Сходимость	Описание
Степенной метод	общего вида	наибольшее собственное значение и соответствующий вектор	O(n2)	Линейная	Многократное умножение матрицы на произвольно выбранный начальный вектор с последующей нормализацией.
Обратные итерации	общего вида	ближайшее к μ собственное значение и соответствующий вектор		Линейная	Степенная итерация с матрицей (A - μE )-1
Итерация отношения Рэлея	эрмитова	ближайшее к μ собственное значение и соответствующий вектор		Кубическая	Степенная итерация с матрицей (A - μiE )-1, где μi является отношением Рэлея от предыдущей итерации.
Предобусловленная обратная итерация или LOBPCG	положительно определённая вещественная симметричная	ближайшее к μ собственное значение и соответствующий вектор			Обратная итерация с предобуславливанием (приближённое обращение матрицы A).
Метод деления пополам	вещественная симметричная трёхдиагональная	любое собственное значение		Линейная	Использует метод бисекции для поиска корней характеристического многочлена и свойства последовательности Штурма.
Итерации Лагерра	вещественная симметричная трёхдиагональная	любое собственное значение		Кубическая	Использует метод Лагерра вычисления корней характеристического многочлена и свойства последовательности Штурма.
Алгоритм QR	хессенберга	все собственные значения	O(n2)	Кубическая	Разложение A = QR, где Q ортогональная, R ― треугольная, затем используется итерация к RQ.
		все собственные значения	6n3 + O(n2)
Метод Якоби	вещественная симметричная	все собственные значения	O(n3)	квадратичная	Использует поворот Гивенса в попытке избавиться от недиагональных элементов. Попытка не удаётся, но усиливает диагональ.
Разделяй и властвуй	эрмитова трёхдиагональная	все собственные значения	O(n2)		Матрица разбивается на подматрицы, которые диагонализируются, затем воссоединяются.
		все собственные значения	(4⁄3)n3 + O(n2)
Метод гомотопии	вещественная симметричная трёхдиагональная	все собственные значения	O(n2)		Строится вычисляемая гомотопия.
Метод спектральной свёртки	вещественная симметричная	ближайшее к μ собственное значение и соответствующий собственный вектор			Предобусловленная обратная итерация, применённая к (A - μE )2
Алгоритм MRRR	вещественная симметричная трёхдиагональная	некоторые или все собственные значения и соответствующие собственные вектора	O(n2)		«Multiple Relatively Robust Representations» — Осуществляется обратная итерация с разложением LDLT смещённой матрицы.

Прямое вычисление

Не существует простых алгоритмов прямого вычисления собственных значений для матриц в общем случае, но для многих специальных классов матриц собственные значения можно вычислить прямо. Это:

Треугольные матрицы

Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением её диагональных элементов, то для теугольной матрицы T <math>\scriptstyle \mathrm{det}\left ( \lambda E - T \right ) = {\prod}_i \left ( \lambda - T_{ii} \right )</math>. Таким образом, собственные значения T ― это её диагональные элементы.

Разложимые полиномиальные уравнения

Если p ― любой многочлен и p(A) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. Если удаётся разложить многочлен p на множители, то собственные значения A находятся среди его корней.

Например, проектор ― это квадратная матрица P, удовлетворяющая уравнению P² = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ² = λ будут 0 и 1. Таким образом, проектор имеет 0 и 1 в качестве собственных значений. Кратность собственного значения 0 ― это дефект P, в то время как кратность 1 ― это ранг P.

Другой пример ― матрица A, удовлетворяющая уравнению A² = α²E для некоторого скаляра α. Собственные значения должны быть равны ±α. Операторы проектирования

<math>P_+=\frac{1}{2}\left(E+\frac{A}{\alpha}\right)</math>

<math>P_-=\frac{1}{2}\left(E-\frac{A}{\alpha}\right)</math>

удовлетворяют равенствам

<math>AP_+=\alpha P_+ \quad AP_-=-\alpha P_-</math>

и

<math>P_+P_+=P_+ \quad P_-P_-=P_- \quad P_+P_-=P_-P_+=0.</math>

Пространства столбцов матриц P₊ и P_- являются подпространствами собственных векторов матрицы A, соответствующими +α и -α, соответственно.

Матрицы 2×2

Для размерностей от 2 до 4 существуют использующие радикалы формулы, которые можно использовать для вычисления собственных значений. Для матриц 2×2 и 3×3 это обычная практика, но для матриц 4×4 растущая сложность формул корней делает этот подход менее привлекательным.

Для матриц 2×2

<math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},</math>

характеристический многочлен равен

<math>{\rm det} \begin{bmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix} = \lambda^2\, -\, \left( a + d \right )\lambda\, +\, \left ( ad - bc \right ) = \lambda^2\, -\, \lambda\, {\rm tr}(A)\, +\, {\rm det}(A).</math>

Собственные значения можно найти как корни квадратного уравнения:

<math>\lambda = \frac{{\rm tr}(A) \pm \sqrt{{\rm tr}^2 (A) - 4 {\rm det}(A)}}{2}.</math>

Если определить <math>\textstyle {\rm gap}\left ( A \right ) = \sqrt{{\rm tr}^2 (A) - 4 {\rm det}(A)}</math> как расстояние между двумя собственными значениями, легко вычислить

<math>\frac{\part\lambda}{\part a} = \frac{1}{2}\left ( 1 \pm \frac{a - d}{{\rm gap}(A)} \right ),\qquad \frac{\part\lambda}{\part b} = \frac{\pm c}{{\rm gap}(A)}</math>

с подобными формулами для c и d. Отсюда следует, что вычисление хорошо обусловлено, если собственные значения изолированы.

Собственные векторы можно получить, используя теорему Гамильтона — Кэли. Если λ₁, λ₂ — собственные значения, то (A - λ₁E )(A - λ₂E ) = (A - λ₂E )(A - λ₁E ) = 0, так что столбцы (A - λ₂E ) обнуляются матрицей (A - λ₁E ) и наоборот. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой матрицы должны содержать собственные векторы для другого собственного значения (если же матрица нулевая, то A является произведением единичной матрицы на константу и любой ненулевой вектор является собственным).

Например, пусть

<math>A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix},</math>

тогда tr(A) = 4 - 3 = 1 и det(A) = 4(-3) - 3(-2) = -6, так что характеристичесое уравнение равно

<math> 0 = \lambda^2 - \lambda - 6 = (\lambda - 3)(\lambda + 2),</math>

а собственные значения равны 3 и −2. Теперь

<math>A - 3E = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -6 \end{bmatrix}</math>, <math>\qquad A + 2E = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}</math>

В обеих матрицах столбцы отличаются скалярными коэффициентами, так что можно выбирать любой столбец. Так, (1, -2) можно использовать в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению −2, а (3, -1) в качестве собственного вектора для собственного числа 3, что легко можно проверить умножением на матрицу A.

Матрицы 3×3

Если A является матрицей 3×3, то характеристическим уравнением будет:

<math>{\rm det} \left( \alpha E - A \right) = \alpha^3 - \alpha^2 {\rm tr}(A) - \alpha \frac{1}{2}\left( {\rm tr}(A^2) - {\rm tr}^2(A) \right) - {\rm det}(A) = 0.</math>

Это уравнение можно решить с помощью методов Кардано или Лагранжа, но аффинное преобразование матрицы A существенно упрощает выражение и ведёт прямо к тригонометрическому решению. Если A = pB + qE, то A и B имеют одни и те же собственные векторы и β является собственным значением матрицы B тогда и только тогда, когда α = pβ + q является собственным значением матрицы A. Если положить <math>\textstyle q = {\rm tr}(A)/3</math> и <math>\textstyle p =\left({\rm tr}\left((A - qE)^2\right)/ 6\right)^{1/2}</math>, получим

<math>{\rm det} \left( \beta E - B \right) = \beta^3 - 3 \beta - {\rm det}(B) = 0.</math>

Подстановка β = 2cos θ и некоторое упрощение с использованием тождества cos 3θ = 4cos³ θ - 3cos θ сводит уравнение к cos 3θ = det(B) / 2. Таким образом,

<math>\beta = 2{\rm cos}\left(\frac{1}{3}{\rm arccos}\left( {\rm det}(B)/2 \right) + \frac{2k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2.</math>

Если det(B) является комплексным числом или больше 2 по абсолютной величине, арккосинус для всех трёх величин k следует брать из одной и той же ветви. Проблема не возникает, если A вещественна и симметрична, приводя к простому алгоритму:

% Given a real symmetric 3x3 matrix A, compute the eigenvalues

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = trace(A)/3
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * E)       % E is the identity matrix
   r = det(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

Снова, собственные векторы A можно получить путём использования теоремы Гамильтона — Кэли. Если α₁, α₂, α₃ — различные собственные значения матрицы A, то (A - α₁E)(A - α₂E)(A - α₃E) = 0. Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. Однако если a₃ = a₁, то (A - α₁E)²(A - α₂E) = 0 и (A - α₂E)(A - α₁E)² = 0. Таким образом, корневое собственное подпространство α₁ натянуто на столбцы A - α₂E, в то время как обычное собственное подпространство натянуто на столбцы (A - α₁E)(A - α₂E). Обычное собственное подпространство α₂ натянуто на столбцы (A - α₁E)².

Например, пусть

<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 5 \\ -2 & -1 & -4 \end{bmatrix}.</math>

Характеристическое уравнение равно

<math> 0 = \lambda^3 - \lambda^2 - \lambda + 1 = (\lambda - 1)^2(\lambda + 1),</math>

с собственными значениями 1 (кратности 2) и −1. Вычисляем

<math>A - E = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}, \qquad A + E = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}</math>,

а затем

<math>(A - E)^2 = \begin{bmatrix} -4 & 0 & -8 \\ -4 & 0 & -8 \\ 4 & 0 & 8 \end{bmatrix}, \qquad (A - E)(A + E) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}</math>.

Тогда (-4, -4, 4) является собственным вектором для −1, а (4, 2, -2) является собственным вектором для 1. Векторы (2, 3, -1) и (6, 5, -3) являются корневыми векторами, соответствующими значению 1, любой из которых можно скомбинировать с (-4, -4, 4) и (4, 2, -2), образуя базис корневых векторов матрицы A.

См. также

• Список алгоритмов вычисления собственных значений

Литература

• Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
• Б. Парлет. Симметричная проблема собственных значений. — Москва: «Мир», 1983.
• Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970.

Дополнительная литература

• Adam W. Bojanczyk, Adam Lutoborski Computation of the Euler angles of a symmetric 3X3 matrix // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — Jan 1991. — Т. 12, вып. 1. — С. 41—48. — DOI:10.1137/0612005.

Отрывок, характеризующий Алгоритм вычисления собственных значений

– Это, ребята, к урожайному году.
– Дровец то еще надо будет.
– Спину погреешь, а брюха замерзла. Вот чуда.
– О, господи!
– Что толкаешься то, – про тебя одного огонь, что ли? Вишь… развалился.
Из за устанавливающегося молчания послышался храп некоторых заснувших; остальные поворачивались и грелись, изредка переговариваясь. От дальнего, шагов за сто, костра послышался дружный, веселый хохот.
– Вишь, грохочат в пятой роте, – сказал один солдат. – И народу что – страсть!
Один солдат поднялся и пошел к пятой роте.
– То то смеху, – сказал он, возвращаясь. – Два хранцуза пристали. Один мерзлый вовсе, а другой такой куражный, бяда! Песни играет.
– О о? пойти посмотреть… – Несколько солдат направились к пятой роте.


Пятая рота стояла подле самого леса. Огромный костер ярко горел посреди снега, освещая отягченные инеем ветви деревьев.
В середине ночи солдаты пятой роты услыхали в лесу шаги по снегу и хряск сучьев.
– Ребята, ведмедь, – сказал один солдат. Все подняли головы, прислушались, и из леса, в яркий свет костра, выступили две, держащиеся друг за друга, человеческие, странно одетые фигуры.
Это были два прятавшиеся в лесу француза. Хрипло говоря что то на непонятном солдатам языке, они подошли к костру. Один был повыше ростом, в офицерской шляпе, и казался совсем ослабевшим. Подойдя к костру, он хотел сесть, но упал на землю. Другой, маленький, коренастый, обвязанный платком по щекам солдат, был сильнее. Он поднял своего товарища и, указывая на свой рот, говорил что то. Солдаты окружили французов, подстелили больному шинель и обоим принесли каши и водки.
Ослабевший французский офицер был Рамбаль; повязанный платком был его денщик Морель.
Когда Морель выпил водки и доел котелок каши, он вдруг болезненно развеселился и начал не переставая говорить что то не понимавшим его солдатам. Рамбаль отказывался от еды и молча лежал на локте у костра, бессмысленными красными глазами глядя на русских солдат. Изредка он издавал протяжный стон и опять замолкал. Морель, показывая на плечи, внушал солдатам, что это был офицер и что его надо отогреть. Офицер русский, подошедший к костру, послал спросить у полковника, не возьмет ли он к себе отогреть французского офицера; и когда вернулись и сказали, что полковник велел привести офицера, Рамбалю передали, чтобы он шел. Он встал и хотел идти, но пошатнулся и упал бы, если бы подле стоящий солдат не поддержал его.
– Что? Не будешь? – насмешливо подмигнув, сказал один солдат, обращаясь к Рамбалю.
– Э, дурак! Что врешь нескладно! То то мужик, право, мужик, – послышались с разных сторон упреки пошутившему солдату. Рамбаля окружили, подняли двое на руки, перехватившись ими, и понесли в избу. Рамбаль обнял шеи солдат и, когда его понесли, жалобно заговорил:
– Oh, nies braves, oh, mes bons, mes bons amis! Voila des hommes! oh, mes braves, mes bons amis! [О молодцы! О мои добрые, добрые друзья! Вот люди! О мои добрые друзья!] – и, как ребенок, головой склонился на плечо одному солдату.
Между тем Морель сидел на лучшем месте, окруженный солдатами.
Морель, маленький коренастый француз, с воспаленными, слезившимися глазами, обвязанный по бабьи платком сверх фуражки, был одет в женскую шубенку. Он, видимо, захмелев, обнявши рукой солдата, сидевшего подле него, пел хриплым, перерывающимся голосом французскую песню. Солдаты держались за бока, глядя на него.
– Ну ка, ну ка, научи, как? Я живо перейму. Как?.. – говорил шутник песенник, которого обнимал Морель.
Vive Henri Quatre,
Vive ce roi vaillanti –
[Да здравствует Генрих Четвертый!
Да здравствует сей храбрый король!
и т. д. (французская песня) ]
пропел Морель, подмигивая глазом.
Сe diable a quatre…
– Виварика! Виф серувару! сидябляка… – повторил солдат, взмахнув рукой и действительно уловив напев.
– Вишь, ловко! Го го го го го!.. – поднялся с разных сторон грубый, радостный хохот. Морель, сморщившись, смеялся тоже.
– Ну, валяй еще, еще!
Qui eut le triple talent,
De boire, de battre,
Et d'etre un vert galant…
[Имевший тройной талант,
пить, драться
и быть любезником…]
– A ведь тоже складно. Ну, ну, Залетаев!..
– Кю… – с усилием выговорил Залетаев. – Кью ю ю… – вытянул он, старательно оттопырив губы, – летриптала, де бу де ба и детравагала, – пропел он.
– Ай, важно! Вот так хранцуз! ой… го го го го! – Что ж, еще есть хочешь?
– Дай ему каши то; ведь не скоро наестся с голоду то.
Опять ему дали каши; и Морель, посмеиваясь, принялся за третий котелок. Радостные улыбки стояли на всех лицах молодых солдат, смотревших на Мореля. Старые солдаты, считавшие неприличным заниматься такими пустяками, лежали с другой стороны костра, но изредка, приподнимаясь на локте, с улыбкой взглядывали на Мореля.
– Тоже люди, – сказал один из них, уворачиваясь в шинель. – И полынь на своем кореню растет.
– Оо! Господи, господи! Как звездно, страсть! К морозу… – И все затихло.
Звезды, как будто зная, что теперь никто не увидит их, разыгрались в черном небе. То вспыхивая, то потухая, то вздрагивая, они хлопотливо о чем то радостном, но таинственном перешептывались между собой.

Х
Войска французские равномерно таяли в математически правильной прогрессии. И тот переход через Березину, про который так много было писано, была только одна из промежуточных ступеней уничтожения французской армии, а вовсе не решительный эпизод кампании. Ежели про Березину так много писали и пишут, то со стороны французов это произошло только потому, что на Березинском прорванном мосту бедствия, претерпеваемые французской армией прежде равномерно, здесь вдруг сгруппировались в один момент и в одно трагическое зрелище, которое у всех осталось в памяти. Со стороны же русских так много говорили и писали про Березину только потому, что вдали от театра войны, в Петербурге, был составлен план (Пфулем же) поимки в стратегическую западню Наполеона на реке Березине. Все уверились, что все будет на деле точно так, как в плане, и потому настаивали на том, что именно Березинская переправа погубила французов. В сущности же, результаты Березинской переправы были гораздо менее гибельны для французов потерей орудий и пленных, чем Красное, как то показывают цифры.
Единственное значение Березинской переправы заключается в том, что эта переправа очевидно и несомненно доказала ложность всех планов отрезыванья и справедливость единственно возможного, требуемого и Кутузовым и всеми войсками (массой) образа действий, – только следования за неприятелем. Толпа французов бежала с постоянно усиливающейся силой быстроты, со всею энергией, направленной на достижение цели. Она бежала, как раненый зверь, и нельзя ей было стать на дороге. Это доказало не столько устройство переправы, сколько движение на мостах. Когда мосты были прорваны, безоружные солдаты, московские жители, женщины с детьми, бывшие в обозе французов, – все под влиянием силы инерции не сдавалось, а бежало вперед в лодки, в мерзлую воду.
Стремление это было разумно. Положение и бегущих и преследующих было одинаково дурно. Оставаясь со своими, каждый в бедствии надеялся на помощь товарища, на определенное, занимаемое им место между своими. Отдавшись же русским, он был в том же положении бедствия, но становился на низшую ступень в разделе удовлетворения потребностей жизни. Французам не нужно было иметь верных сведений о том, что половина пленных, с которыми не знали, что делать, несмотря на все желание русских спасти их, – гибли от холода и голода; они чувствовали, что это не могло быть иначе. Самые жалостливые русские начальники и охотники до французов, французы в русской службе не могли ничего сделать для пленных. Французов губило бедствие, в котором находилось русское войско. Нельзя было отнять хлеб и платье у голодных, нужных солдат, чтобы отдать не вредным, не ненавидимым, не виноватым, но просто ненужным французам. Некоторые и делали это; но это было только исключение.
Назади была верная погибель; впереди была надежда. Корабли были сожжены; не было другого спасения, кроме совокупного бегства, и на это совокупное бегство были устремлены все силы французов.
Чем дальше бежали французы, чем жальче были их остатки, в особенности после Березины, на которую, вследствие петербургского плана, возлагались особенные надежды, тем сильнее разгорались страсти русских начальников, обвинявших друг друга и в особенности Кутузова. Полагая, что неудача Березинского петербургского плана будет отнесена к нему, недовольство им, презрение к нему и подтрунивание над ним выражались сильнее и сильнее. Подтрунивание и презрение, само собой разумеется, выражалось в почтительной форме, в той форме, в которой Кутузов не мог и спросить, в чем и за что его обвиняют. С ним не говорили серьезно; докладывая ему и спрашивая его разрешения, делали вид исполнения печального обряда, а за спиной его подмигивали и на каждом шагу старались его обманывать.
Всеми этими людьми, именно потому, что они не могли понимать его, было признано, что со стариком говорить нечего; что он никогда не поймет всего глубокомыслия их планов; что он будет отвечать свои фразы (им казалось, что это только фразы) о золотом мосте, о том, что за границу нельзя прийти с толпой бродяг, и т. п. Это всё они уже слышали от него. И все, что он говорил: например, то, что надо подождать провиант, что люди без сапог, все это было так просто, а все, что они предлагали, было так сложно и умно, что очевидно было для них, что он был глуп и стар, а они были не властные, гениальные полководцы.
В особенности после соединения армий блестящего адмирала и героя Петербурга Витгенштейна это настроение и штабная сплетня дошли до высших пределов. Кутузов видел это и, вздыхая, пожимал только плечами. Только один раз, после Березины, он рассердился и написал Бенигсену, доносившему отдельно государю, следующее письмо:
«По причине болезненных ваших припадков, извольте, ваше высокопревосходительство, с получения сего, отправиться в Калугу, где и ожидайте дальнейшего повеления и назначения от его императорского величества».
Но вслед за отсылкой Бенигсена к армии приехал великий князь Константин Павлович, делавший начало кампании и удаленный из армии Кутузовым. Теперь великий князь, приехав к армии, сообщил Кутузову о неудовольствии государя императора за слабые успехи наших войск и за медленность движения. Государь император сам на днях намеревался прибыть к армии.
Старый человек, столь же опытный в придворном деле, как и в военном, тот Кутузов, который в августе того же года был выбран главнокомандующим против воли государя, тот, который удалил наследника и великого князя из армии, тот, который своей властью, в противность воле государя, предписал оставление Москвы, этот Кутузов теперь тотчас же понял, что время его кончено, что роль его сыграна и что этой мнимой власти у него уже нет больше. И не по одним придворным отношениям он понял это. С одной стороны, он видел, что военное дело, то, в котором он играл свою роль, – кончено, и чувствовал, что его призвание исполнено. С другой стороны, он в то же самое время стал чувствовать физическую усталость в своем старом теле и необходимость физического отдыха.
29 ноября Кутузов въехал в Вильно – в свою добрую Вильну, как он говорил. Два раза в свою службу Кутузов был в Вильне губернатором. В богатой уцелевшей Вильне, кроме удобств жизни, которых так давно уже он был лишен, Кутузов нашел старых друзей и воспоминания. И он, вдруг отвернувшись от всех военных и государственных забот, погрузился в ровную, привычную жизнь настолько, насколько ему давали покоя страсти, кипевшие вокруг него, как будто все, что совершалось теперь и имело совершиться в историческом мире, нисколько его не касалось.
Чичагов, один из самых страстных отрезывателей и опрокидывателей, Чичагов, который хотел сначала сделать диверсию в Грецию, а потом в Варшаву, но никак не хотел идти туда, куда ему было велено, Чичагов, известный своею смелостью речи с государем, Чичагов, считавший Кутузова собою облагодетельствованным, потому что, когда он был послан в 11 м году для заключения мира с Турцией помимо Кутузова, он, убедившись, что мир уже заключен, признал перед государем, что заслуга заключения мира принадлежит Кутузову; этот то Чичагов первый встретил Кутузова в Вильне у замка, в котором должен был остановиться Кутузов. Чичагов в флотском вицмундире, с кортиком, держа фуражку под мышкой, подал Кутузову строевой рапорт и ключи от города. То презрительно почтительное отношение молодежи к выжившему из ума старику выражалось в высшей степени во всем обращении Чичагова, знавшего уже обвинения, взводимые на Кутузова.
Разговаривая с Чичаговым, Кутузов, между прочим, сказал ему, что отбитые у него в Борисове экипажи с посудою целы и будут возвращены ему.
– C'est pour me dire que je n'ai pas sur quoi manger… Je puis au contraire vous fournir de tout dans le cas meme ou vous voudriez donner des diners, [Вы хотите мне сказать, что мне не на чем есть. Напротив, могу вам служить всем, даже если бы вы захотели давать обеды.] – вспыхнув, проговорил Чичагов, каждым словом своим желавший доказать свою правоту и потому предполагавший, что и Кутузов был озабочен этим самым. Кутузов улыбнулся своей тонкой, проницательной улыбкой и, пожав плечами, отвечал: – Ce n'est que pour vous dire ce que je vous dis. [Я хочу сказать только то, что говорю.]
В Вильне Кутузов, в противность воле государя, остановил большую часть войск. Кутузов, как говорили его приближенные, необыкновенно опустился и физически ослабел в это свое пребывание в Вильне. Он неохотно занимался делами по армии, предоставляя все своим генералам и, ожидая государя, предавался рассеянной жизни.
Выехав с своей свитой – графом Толстым, князем Волконским, Аракчеевым и другими, 7 го декабря из Петербурга, государь 11 го декабря приехал в Вильну и в дорожных санях прямо подъехал к замку. У замка, несмотря на сильный мороз, стояло человек сто генералов и штабных офицеров в полной парадной форме и почетный караул Семеновского полка.
Курьер, подскакавший к замку на потной тройке, впереди государя, прокричал: «Едет!» Коновницын бросился в сени доложить Кутузову, дожидавшемуся в маленькой швейцарской комнатке.
Через минуту толстая большая фигура старика, в полной парадной форме, со всеми регалиями, покрывавшими грудь, и подтянутым шарфом брюхом, перекачиваясь, вышла на крыльцо. Кутузов надел шляпу по фронту, взял в руки перчатки и бочком, с трудом переступая вниз ступеней, сошел с них и взял в руку приготовленный для подачи государю рапорт.
Беготня, шепот, еще отчаянно пролетевшая тройка, и все глаза устремились на подскакивающие сани, в которых уже видны были фигуры государя и Волконского.
Все это по пятидесятилетней привычке физически тревожно подействовало на старого генерала; он озабоченно торопливо ощупал себя, поправил шляпу и враз, в ту минуту как государь, выйдя из саней, поднял к нему глаза, подбодрившись и вытянувшись, подал рапорт и стал говорить своим мерным, заискивающим голосом.
Государь быстрым взглядом окинул Кутузова с головы до ног, на мгновенье нахмурился, но тотчас же, преодолев себя, подошел и, расставив руки, обнял старого генерала. Опять по старому, привычному впечатлению и по отношению к задушевной мысли его, объятие это, как и обыкновенно, подействовало на Кутузова: он всхлипнул.
Государь поздоровался с офицерами, с Семеновским караулом и, пожав еще раз за руку старика, пошел с ним в замок.
Оставшись наедине с фельдмаршалом, государь высказал ему свое неудовольствие за медленность преследования, за ошибки в Красном и на Березине и сообщил свои соображения о будущем походе за границу. Кутузов не делал ни возражений, ни замечаний. То самое покорное и бессмысленное выражение, с которым он, семь лет тому назад, выслушивал приказания государя на Аустерлицком поле, установилось теперь на его лице.
Когда Кутузов вышел из кабинета и своей тяжелой, ныряющей походкой, опустив голову, пошел по зале, чей то голос остановил его.
– Ваша светлость, – сказал кто то.
Кутузов поднял голову и долго смотрел в глаза графу Толстому, который, с какой то маленькою вещицей на серебряном блюде, стоял перед ним. Кутузов, казалось, не понимал, чего от него хотели.
Вдруг он как будто вспомнил: чуть заметная улыбка мелькнула на его пухлом лице, и он, низко, почтительно наклонившись, взял предмет, лежавший на блюде. Это был Георгий 1 й степени.


На другой день были у фельдмаршала обед и бал, которые государь удостоил своим присутствием. Кутузову пожалован Георгий 1 й степени; государь оказывал ему высочайшие почести; но неудовольствие государя против фельдмаршала было известно каждому. Соблюдалось приличие, и государь показывал первый пример этого; но все знали, что старик виноват и никуда не годится. Когда на бале Кутузов, по старой екатерининской привычке, при входе государя в бальную залу велел к ногам его повергнуть взятые знамена, государь неприятно поморщился и проговорил слова, в которых некоторые слышали: «старый комедиант».
Неудовольствие государя против Кутузова усилилось в Вильне в особенности потому, что Кутузов, очевидно, не хотел или не мог понимать значение предстоящей кампании.
Когда на другой день утром государь сказал собравшимся у него офицерам: «Вы спасли не одну Россию; вы спасли Европу», – все уже тогда поняли, что война не кончена.
Один Кутузов не хотел понимать этого и открыто говорил свое мнение о том, что новая война не может улучшить положение и увеличить славу России, а только может ухудшить ее положение и уменьшить ту высшую степень славы, на которой, по его мнению, теперь стояла Россия. Он старался доказать государю невозможность набрания новых войск; говорил о тяжелом положении населений, о возможности неудач и т. п.
При таком настроении фельдмаршал, естественно, представлялся только помехой и тормозом предстоящей войны.
Для избежания столкновений со стариком сам собою нашелся выход, состоящий в том, чтобы, как в Аустерлице и как в начале кампании при Барклае, вынуть из под главнокомандующего, не тревожа его, не объявляя ему о том, ту почву власти, на которой он стоял, и перенести ее к самому государю.
С этою целью понемногу переформировался штаб, и вся существенная сила штаба Кутузова была уничтожена и перенесена к государю. Толь, Коновницын, Ермолов – получили другие назначения. Все громко говорили, что фельдмаршал стал очень слаб и расстроен здоровьем.
Ему надо было быть слабым здоровьем, для того чтобы передать свое место тому, кто заступал его. И действительно, здоровье его было слабо.
Как естественно, и просто, и постепенно явился Кутузов из Турции в казенную палату Петербурга собирать ополчение и потом в армию, именно тогда, когда он был необходим, точно так же естественно, постепенно и просто теперь, когда роль Кутузова была сыграна, на место его явился новый, требовавшийся деятель.
Война 1812 го года, кроме своего дорогого русскому сердцу народного значения, должна была иметь другое – европейское.
За движением народов с запада на восток должно было последовать движение народов с востока на запад, и для этой новой войны нужен был новый деятель, имеющий другие, чем Кутузов, свойства, взгляды, движимый другими побуждениями.
Александр Первый для движения народов с востока на запад и для восстановления границ народов был так же необходим, как необходим был Кутузов для спасения и славы России.
Кутузов не понимал того, что значило Европа, равновесие, Наполеон. Он не мог понимать этого. Представителю русского народа, после того как враг был уничтожен, Россия освобождена и поставлена на высшую степень своей славы, русскому человеку, как русскому, делать больше было нечего. Представителю народной войны ничего не оставалось, кроме смерти. И он умер.


Пьер, как это большею частью бывает, почувствовал всю тяжесть физических лишений и напряжений, испытанных в плену, только тогда, когда эти напряжения и лишения кончились. После своего освобождения из плена он приехал в Орел и на третий день своего приезда, в то время как он собрался в Киев, заболел и пролежал больным в Орле три месяца; с ним сделалась, как говорили доктора, желчная горячка. Несмотря на то, что доктора лечили его, пускали кровь и давали пить лекарства, он все таки выздоровел.
Все, что было с Пьером со времени освобождения и до болезни, не оставило в нем почти никакого впечатления. Он помнил только серую, мрачную, то дождливую, то снежную погоду, внутреннюю физическую тоску, боль в ногах, в боку; помнил общее впечатление несчастий, страданий людей; помнил тревожившее его любопытство офицеров, генералов, расспрашивавших его, свои хлопоты о том, чтобы найти экипаж и лошадей, и, главное, помнил свою неспособность мысли и чувства в то время. В день своего освобождения он видел труп Пети Ростова. В тот же день он узнал, что князь Андрей был жив более месяца после Бородинского сражения и только недавно умер в Ярославле, в доме Ростовых. И в тот же день Денисов, сообщивший эту новость Пьеру, между разговором упомянул о смерти Элен, предполагая, что Пьеру это уже давно известно. Все это Пьеру казалось тогда только странно. Он чувствовал, что не может понять значения всех этих известий. Он тогда торопился только поскорее, поскорее уехать из этих мест, где люди убивали друг друга, в какое нибудь тихое убежище и там опомниться, отдохнуть и обдумать все то странное и новое, что он узнал за это время. Но как только он приехал в Орел, он заболел. Проснувшись от своей болезни, Пьер увидал вокруг себя своих двух людей, приехавших из Москвы, – Терентия и Ваську, и старшую княжну, которая, живя в Ельце, в имении Пьера, и узнав о его освобождении и болезни, приехала к нему, чтобы ходить за ним.
Во время своего выздоровления Пьер только понемногу отвыкал от сделавшихся привычными ему впечатлений последних месяцев и привыкал к тому, что его никто никуда не погонит завтра, что теплую постель его никто не отнимет и что у него наверное будет обед, и чай, и ужин. Но во сне он еще долго видел себя все в тех же условиях плена. Так же понемногу Пьер понимал те новости, которые он узнал после своего выхода из плена: смерть князя Андрея, смерть жены, уничтожение французов.
Радостное чувство свободы – той полной, неотъемлемой, присущей человеку свободы, сознание которой он в первый раз испытал на первом привале, при выходе из Москвы, наполняло душу Пьера во время его выздоровления. Он удивлялся тому, что эта внутренняя свобода, независимая от внешних обстоятельств, теперь как будто с излишком, с роскошью обставлялась и внешней свободой. Он был один в чужом городе, без знакомых. Никто от него ничего не требовал; никуда его не посылали. Все, что ему хотелось, было у него; вечно мучившей его прежде мысли о жене больше не было, так как и ее уже не было.
– Ах, как хорошо! Как славно! – говорил он себе, когда ему подвигали чисто накрытый стол с душистым бульоном, или когда он на ночь ложился на мягкую чистую постель, или когда ему вспоминалось, что жены и французов нет больше. – Ах, как хорошо, как славно! – И по старой привычке он делал себе вопрос: ну, а потом что? что я буду делать? И тотчас же он отвечал себе: ничего. Буду жить. Ах, как славно!
То самое, чем он прежде мучился, чего он искал постоянно, цели жизни, теперь для него не существовало. Эта искомая цель жизни теперь не случайно не существовала для него только в настоящую минуту, но он чувствовал, что ее нет и не может быть. И это то отсутствие цели давало ему то полное, радостное сознание свободы, которое в это время составляло его счастие.
Он не мог иметь цели, потому что он теперь имел веру, – не веру в какие нибудь правила, или слова, или мысли, но веру в живого, всегда ощущаемого бога. Прежде он искал его в целях, которые он ставил себе. Это искание цели было только искание бога; и вдруг он узнал в своем плену не словами, не рассуждениями, но непосредственным чувством то, что ему давно уж говорила нянюшка: что бог вот он, тут, везде. Он в плену узнал, что бог в Каратаеве более велик, бесконечен и непостижим, чем в признаваемом масонами Архитектоне вселенной. Он испытывал чувство человека, нашедшего искомое у себя под ногами, тогда как он напрягал зрение, глядя далеко от себя. Он всю жизнь свою смотрел туда куда то, поверх голов окружающих людей, а надо было не напрягать глаз, а только смотреть перед собой.
Он не умел видеть прежде великого, непостижимого и бесконечного ни в чем. Он только чувствовал, что оно должно быть где то, и искал его. Во всем близком, понятном он видел одно ограниченное, мелкое, житейское, бессмысленное. Он вооружался умственной зрительной трубой и смотрел в даль, туда, где это мелкое, житейское, скрываясь в тумане дали, казалось ему великим и бесконечным оттого только, что оно было неясно видимо. Таким ему представлялась европейская жизнь, политика, масонство, философия, филантропия. Но и тогда, в те минуты, которые он считал своей слабостью, ум его проникал и в эту даль, и там он видел то же мелкое, житейское, бессмысленное. Теперь же он выучился видеть великое, вечное и бесконечное во всем, и потому естественно, чтобы видеть его, чтобы наслаждаться его созерцанием, он бросил трубу, в которую смотрел до сих пор через головы людей, и радостно созерцал вокруг себя вечно изменяющуюся, вечно великую, непостижимую и бесконечную жизнь. И чем ближе он смотрел, тем больше он был спокоен и счастлив. Прежде разрушавший все его умственные постройки страшный вопрос: зачем? теперь для него не существовал. Теперь на этот вопрос – зачем? в душе его всегда готов был простой ответ: затем, что есть бог, тот бог, без воли которого не спадет волос с головы человека.


Пьер почти не изменился в своих внешних приемах. На вид он был точно таким же, каким он был прежде. Так же, как и прежде, он был рассеян и казался занятым не тем, что было перед глазами, а чем то своим, особенным. Разница между прежним и теперешним его состоянием состояла в том, что прежде, когда он забывал то, что было перед ним, то, что ему говорили, он, страдальчески сморщивши лоб, как будто пытался и не мог разглядеть чего то, далеко отстоящего от него. Теперь он так же забывал то, что ему говорили, и то, что было перед ним; но теперь с чуть заметной, как будто насмешливой, улыбкой он всматривался в то самое, что было перед ним, вслушивался в то, что ему говорили, хотя очевидно видел и слышал что то совсем другое. Прежде он казался хотя и добрым человеком, но несчастным; и потому невольно люди отдалялись от него. Теперь улыбка радости жизни постоянно играла около его рта, и в глазах его светилось участие к людям – вопрос: довольны ли они так же, как и он? И людям приятно было в его присутствии.
Прежде он много говорил, горячился, когда говорил, и мало слушал; теперь он редко увлекался разговором и умел слушать так, что люди охотно высказывали ему свои самые задушевные тайны.
Княжна, никогда не любившая Пьера и питавшая к нему особенно враждебное чувство с тех пор, как после смерти старого графа она чувствовала себя обязанной Пьеру, к досаде и удивлению своему, после короткого пребывания в Орле, куда она приехала с намерением доказать Пьеру, что, несмотря на его неблагодарность, она считает своим долгом ходить за ним, княжна скоро почувствовала, что она его любит. Пьер ничем не заискивал расположения княжны. Он только с любопытством рассматривал ее. Прежде княжна чувствовала, что в его взгляде на нее были равнодушие и насмешка, и она, как и перед другими людьми, сжималась перед ним и выставляла только свою боевую сторону жизни; теперь, напротив, она чувствовала, что он как будто докапывался до самых задушевных сторон ее жизни; и она сначала с недоверием, а потом с благодарностью выказывала ему затаенные добрые стороны своего характера.
Самый хитрый человек не мог бы искуснее вкрасться в доверие княжны, вызывая ее воспоминания лучшего времени молодости и выказывая к ним сочувствие. А между тем вся хитрость Пьера состояла только в том, что он искал своего удовольствия, вызывая в озлобленной, cyхой и по своему гордой княжне человеческие чувства.
– Да, он очень, очень добрый человек, когда находится под влиянием не дурных людей, а таких людей, как я, – говорила себе княжна.
Перемена, происшедшая в Пьере, была замечена по своему и его слугами – Терентием и Васькой. Они находили, что он много попростел. Терентий часто, раздев барина, с сапогами и платьем в руке, пожелав покойной ночи, медлил уходить, ожидая, не вступит ли барин в разговор. И большею частью Пьер останавливал Терентия, замечая, что ему хочется поговорить.
– Ну, так скажи мне… да как же вы доставали себе еду? – спрашивал он. И Терентий начинал рассказ о московском разорении, о покойном графе и долго стоял с платьем, рассказывая, а иногда слушая рассказы Пьера, и, с приятным сознанием близости к себе барина и дружелюбия к нему, уходил в переднюю.
Доктор, лечивший Пьера и навещавший его каждый день, несмотря на то, что, по обязанности докторов, считал своим долгом иметь вид человека, каждая минута которого драгоценна для страждущего человечества, засиживался часами у Пьера, рассказывая свои любимые истории и наблюдения над нравами больных вообще и в особенности дам.