Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

<math>a_1 x_1+...+a_n x_n=N,</math>

где <math>a_1,...,a_n</math> — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при <math>|z|<1</math>)

<math>F_i(z)=\sum^\infty_{k=0}{(z^{a_i})^k}</math>

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

<math>F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N,</math>

где <math>l(N)</math> — число решений изучаемого уравнения. На основе этого метода был построен круговой метод Харди — Литлвуда.

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида <math>S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p}</math>, которые могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-за чего они являются частным случаем тригонометрических сумм. Метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль в аналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

<math>\Pi_p \left ( 1-\frac{1}{p^s} \right ) ^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^s}</math>,

которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения <math>\zeta(s) = 0</math> лежат на так называемой критической прямой <math>\mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}</math>, где <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

<math>\Pi_p \left (1-\frac{\chi (p)}{p^s} \right )^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{\chi (n)}{n^s}</math>,

при этом функция <math>\chi(p)</math>, получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходяших <math>X</math>, обозначенное как <math>\pi (X)</math>, стремится к бесконечности по следующему закону:

<math>a \frac{X}{\ln(X)} < \pi(X) < b \frac{X}{\ln(X)}</math>, где <math>a>1/2 \ln 2</math> и <math>b<2 \ln 2</math>.

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

См. также

• Теория чисел

Литература

• Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, vol. 74 (3rd revised ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6 
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, vol. 46, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7 
• Б.М. Широков, Петрозаводский государственный университет им. О. В. Куусинена. Аналитическая теория чисел. — Петрозаводский гос. университет им. О.В. Куусинена, 1986. — 93 с.
• А. Б. Венков, Леон Арменович Тахтаджян. Аналитическая теория чисел и теория функций. — Наука, 1979. — Т. 2. — 224 с.

Отрывок, характеризующий Аналитическая теория чисел

– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его , дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.


– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.