Корень (математика)

Это статья об извлечении корней. См. также Корень уравнения и Корень многочлена.

Корень <math>n</math>-й степени из числа <math>a</math> определяется как такое число <math>b</math>, что <math>b^n=a.</math> Здесь <math>n</math> — натуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай <math>n=1</math> тривиален.

Обозначение: <math>b=\sqrt[n]{a},</math> символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число <math>a</math> (подкоренное выражение) чаще всего вещественное или комплексное.

Примеры для вещественных чисел:

• <math>\sqrt[2]{9}=\pm 3,</math> потому что <math>{(\pm 3)}^2=9.</math>
• <math>\sqrt[3]{\ 64}=4,</math> потому что <math>4^3=64.</math>
• <math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3},</math> потому что <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.</math>

Как видно из первого примера, у вещественного корня могут быть два значения (положительное и отрицательное), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно, в первом примере это число <math>3.</math>

Определение и связанные понятия

Кроме приведенного выше, можно дать два равносильных определения корня:

• Корень <math>n</math>-й степени из числа <math>a</math> есть решение <math>x</math> уравнения <math>x^n=a</math> (отметим, что решений может быть несколько или ни одного)
• Корень <math>n</math>-й степени из числа <math>a</math> есть корень многочлена <math>x^n-a,</math> то есть значение <math>x</math>, при котором указанный многочлен равен нулю.

Операция вычисления <math>\sqrt[n]{a}</math> называется «извлечением корня <math>n</math>-й степени» из числа <math>a</math>. Это одна из двух операций, обратных по отношению к возведению в степень, а именно — нахождение основания степени <math>b</math> по известному показателю <math>n</math> и результату возведения в степень <math>a=b^n</math>. Вторая обратная операция, логарифмирование, находит показатель степени по известным основанию и результату.

Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия.

• Квадратный корень: <math>\sqrt{a}.</math> В этом случае показатель степени 2 обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Геометрически <math>\sqrt{a}</math> можно истолковать как длину стороны квадрата, площадь которого равна <math>a</math>.
• Кубический корень: <math>\sqrt[3]{a}.</math> Геометрически <math>\sqrt[3]{a}</math> — это длина ребра куба, объём которого равен <math>a</math>.

Корни из вещественных чисел

Корень <math>n</math>-й степени из вещественного числа <math>a</math>, в зависимости от чётности <math>n</math> и знака <math>a</math>, может иметь от 0 до 2 вещественных значений.

Общие свойства

• Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, однозначно определенное.

<math>\sqrt[n]{a} = b</math>,   где   <math>a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},</math>   <math>n</math> — нечётное

Например, <math>\sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1</math>

• Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число, однозначно определенное.

<math>\sqrt[n]{a} = b</math>,   где   <math>a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>   <math>n</math> — нечётное

Например, <math>\sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1</math>

• Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками, но равными по модулю.

<math>\sqrt[n]{a} = \pm b</math>,   где   <math>a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},</math>   <math>n</math> — чётное

Например, <math>\sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2</math>

• Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число. Ниже будет показано, как извлекать такие корни в более широкой системе — множестве комплексных чисел (тогда значениями корня будут <math>n</math> комплексных чисел).

<math>\sqrt[n]{a}</math>   не существует, если   <math>a < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>   <math>n</math> — чётное

• Корень любой натуральной степени из нуля — нуль.

<math>\sqrt[n]{0} = 0,</math>   где   <math>n \in \mathbb{N}</math>

Арифметический корень

Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании. Поэтому было введено практически важное ограничение этого понятия.

Арифметический корень <math>n</math>-й степени из неотрицательного вещественного числа <math>a</math> — это такое неотрицательное число <math>b</math>, что <math>b^n=a.</math> Обозначается арифметический корень тем же знаком радикала.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа <math>4</math> имеет два значения: <math>2</math> и <math>-2</math>, из них арифметическим является первое.

Поскольку арифметический корень и алгебраический обозначаются одним и тем же символом, но являются разными объектами, в рамках данной статьи арифметический корень обозначается синим цветом, а алгебраический — чёрным.

Алгебраические свойства

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени, что подчёркивается выделением знака радикала синим цветом (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения.

• Взаимопогашение корня и степени — для нечётного <math>n</math>:    <math>\sqrt[n]{a^n} = a</math>, для чётного <math>n</math>:    <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|</math>
• Если <math>a<b</math>, то и <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

• <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>

Аналогично для деления:

• <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0 </math>

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень:

• <math>a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m</math>

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на одно и то же число (множитель показателя степени и показатель степени подкоренного выражения):

• <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N.</math> Пример: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2</math>
• <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \; n,k \in \mathbb N</math>

Для корней нечётной степени укажем дополнительное свойство:

• <math>\sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a}</math>

Извлечение корня и возведение в дробную степень

Операция возведения в степень первоначально была введена как сокращённая запись операции умножения натуральных чисел: <math>m^n={\color{Gray}\underbrace{\color{Black}m\cdot m\cdot\dots\cdot m}_{\color{Black}n}}</math>. Следующим шагом было определение возведения в произвольную целую, в том числе отрицательную, степень: <math>m^{-n}=\frac{1}{m^n}.</math>

Операция извлечения арифметического корня позволяет определить возведение положительного числа в любую рациональную (дробную) степень:

<math>a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}},</math>     <math>a>0</math>

При этом числитель <math>m</math> дроби <math>\frac{m}{n}</math> может иметь знак. Свойства расширенной операции в основном аналогичны возведению в целую степень.

Это определение означает, что извлечение корня и обратное к нему возведение в степень фактически объединяются в одну алгебраическую операцию. В частности:

<math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}</math>

Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел могут привести к ошибкам, поскольку значение алгебраического корня неоднозначно, а область значений арифметического корня ограничена неотрицательными числами. Пример возможной ошибки:

<math>-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1</math>

Функция корня

• Графики функций корня
• Función raíz 1.png

  Функции корня и обратные к ним степенные функции на интервале <math>[0; \ 1]</math>

• Función raíz 2.png

  Функции корня:
  — арифметический, чётные степени 2, 4, 6
  — общий, нечётные степени 3, 5, 7

Если рассматривать подкоренное выражение как переменную, мы получим функцию корня <math>n</math>-й степени: <math>y=\sqrt[n] x</math>. Функция корня относится к категории алгебраических функций. График любой функции корня проходит через начало координат и точку <math>(1; \ 1)</math>.

Как сказано выше, для корня чётной степени, чтобы обеспечить однозначность функции, корень должен быть арифметическим, так что аргумент <math>x</math> неотрицателен. Функция корня нечётной степени однозначна и существует для любого вещественного значения аргумента.

Тип функции корня	Область определения	Область значений	Другие свойства
Чётной степени	<math>[0; \ +\infty )</math>	<math>[0; \ +\infty )</math>	Функция выпукла вверх на всей области определения
Нечётной степени	<math>(-\infty; +\infty)</math>	<math>(-\infty; +\infty)</math>	Функция нечётна

Для любой степени функция корня строго возрастает, непрерывна всюду внутри своей области определения. Неограниченно дифференцируема всюду, кроме начала координат, где производная обращается в бесконечность . Производная определяется по формуле:

<math>\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>   . В частности,   <math>\frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}</math>.

Функция неограниченно интегрируема во всей области определения. Неопределенный интеграл ищется по формуле:

<math>\int \sqrt[n]{x} \;dx = \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C</math>   . В частности,   <math>\int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C</math>   , где   <math>C</math> — произвольная постоянная.

Неограниченная дифференцируемость и интегрируемость функции

• Формула нахождения производной <math>k</math>-го порядка функции <math>\sqrt[n]{x}</math>:

<math>\frac {d^k}{dx^k} \sqrt[n]{x} = (-1)^{k} \frac {\prod^{k-1}_{m=0}(mn-1)}{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn-1}}}}</math>

где <math>\ k, n \in \mathbb {N}, \ x \ne 0</math>

• Формула нахождения <math>k</math>-го неопределённого интеграла функции <math>\sqrt[n]{x}</math>:

<math>\underbrace {\int\cdots\int}_{k} \sqrt[n]{x} \ \underbrace {dx\cdots dx}_{k} = \frac {{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn+1}}}}{\prod^{k}_{m=1}(1+mn)} + C</math>

где <math>k, n \in \mathbb {N}, \ C=const</math>

Правые части формул являются алгебраическими выражениями, которые существуют всегда, при натуральном <math>k</math>. Следовательно и левые тоже.

Предельные соотношения

Приведём несколько полезных пределов, содержащих корни.

<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1</math>

<math>\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x</math>

<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}</math>

<math>\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}</math>

Практическое вычисление корней

Функция вычисления квадратных и кубических корней предусмотрена во многих калькуляторах; например, калькулятор Windows показывает соответствующие кнопки в режиме «Инженерный» (Научный). Если на электронном калькуляторе есть клавиша возведения в степень: <math>y^x,</math> то для извлечения корня из текущего числа надо нажать следующие клавиши.

<math>y^x</math>

Набрать показатель корня

Нажать клавишу <math>1/x</math>

Нажать клавишу <math>=</math>

Для расчёта вручную можно использовать быстро сходящийся метод, изложенный в статье «Алгоритм нахождения корня n-ной степени». Для степеней выше третьей можно использовать логарифмическое тождество:

<math>\sqrt[n]{x} = a^\frac {\log_a (x)} n = e^\frac {\ln (x)} n</math>

Для извлечения корня надо найти логарифм подкоренного выражения, разделить на степень корня и найти антилогарифм результата.

Корни из комплексных чисел

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Способы нахождения

Запишем комплексное число <math>z</math> в тригонометрической форме:

<math>z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right)</math>.

Тогда корни <math>n</math>-й степени из <math>z</math> определяются формулой Муавра (тригонометрическая форма):

<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>

или в показательной форме:

<math>z = r e^{i\varphi}</math>

<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>

Обозначения                     <math>z = x + iy, \ z \in \mathbb{C}</math> (комплексное число), <math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (действительная часть комплексного числа), <math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (мнимая часть комплексного числа), <math>i</math> — мнимая единица, <math>r=|z|={\color{blue}\sqrt{\color{black}{x^2+y^2}}}</math> (модуль комплексного числа), <math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (аргумент комплексного числа), <math>e</math> — основание натурального логарифма.

Корень степени <math>n</math> из ненулевого комплексного числа имеет <math>n</math> значений (это следствие основной теоремы алгебры), и все они различны. Значение корня, получаемое при <math>k=0</math>, часто называется главным.

Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова (он определяется как арифметический корень из модуля изначального комплексного числа), а меняется лишь его аргумент, все <math>n</math> значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}</math> c центром в начале координат. Корни делят эту окружность на <math>n</math> равных частей.

Примеры

Найдём <math>\sqrt{-4}</math>. Поскольку <math>-4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}),</math> по формуле получаем:

<math>\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1</math>

При <math>k=0</math> получим первый корень <math>2 i</math>, при <math>k=1</math> получим второй корень <math>(-2 i).</math>

Другой пример: найдём <math>\sqrt[4]{-16}</math>. Представим подкоренное выражение в тригонометрической форме:

<math>-16 = 16\ (\cos(\pi + 2k\pi) + i \sin(\pi + 2k\pi) )</math>

По формуле Муавра получаем:

<math>z_k = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)</math>

В итоге имеем четыре значения корня:

<math>z_0=2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1+i)</math>

<math>z_1=2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (-1+i)</math>

<math>z_2=2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}\ (1+i)</math>

<math>z_3=2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1-i)</math>

Можно записать сводный ответ в виде: <math>\sqrt[4]{-16} = \sqrt{2}\ (\pm 1 \pm i)</math>

Комплексная функция корня и риманова поверхность

Рассмотрим комплексную функцию корня <math>n</math>-й степени: <math>w=\sqrt[n]{z}.</math> Согласно сказанному выше, эта функция является многозначной (точнее, <math>n</math>-значной) функцией, и это создаёт неудобства при её исследовании и применении. В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью.

• Riemann sqrt.svg

  Риманова поверхность для комплексного квадратного корня

• Riemann surface 4th root.jpg

  Риманова поверхность для комплексного корня 4-й степени

Для комплексной функции корня <math>n</math>-й степени её риманова поверхность (см. рисунки) состоит из <math>n</math> ветвей (листов), связанных винтообразно, причём последний лист связан с первым. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Один из листов содержит главные значения корня, получаемые как аналитическое продолжение вещественного корня с положительного луча вещественной оси.

Опишем для простоты комплексную функцию квадратного корня. Её риманова поверхность состоит из двух листов. Первый лист можно представить как комплексную плоскость, у которой вырезан положительный луч вещественной оси. Значения функции корня <math>w</math> на этом листе имеют вдвое меньший аргумент, чем <math>z</math>, и поэтому они заполняют верхнюю часть комплексной плоскости значений. На разрезе первый лист склеен со вторым, и функция непрерывно продолжается через разрез на второй лист, где её значения заполняют нижнюю часть комплексной плоскости значений. Оставшиеся свободными начало первого листа и конец второго тоже склеим, после чего полученная функция на римановой поверхности становится однозначной и всюду непрерывной.

Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при <math>z=0</math>. Особые точки: <math>z=0</math> и <math>z=\infty</math> (точки разветвления бесконечного порядка). Понятие точки разветвления означает, что замкнутый контур в окрестности нуля неизбежно содержит переход с листа на лист.

В силу односвязности риманова поверхность корня является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки <math>0</math>.

Вариации и обобщения

Корень <math>n</math>-й степени из <math>a</math> есть решение уравнения <math>x^n=a</math>, и его в принципе можно определить всюду, где такое уравнение имеет смысл. Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах. Лучше всего исследованы обобщённые квадратные корни.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня <math>a, b,</math> то <math>a^2=b^2,</math> откуда: <math>(a-b)(a+b)=0</math>, то есть, в силу отсутствия делителей нуля, <math>a=\pm b</math>. В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

В теории чисел рассматривается конечное кольцо вычетов по модулю <math>m</math>: если сравнение <math>x^n \equiv a \pmod m</math> имеет решение, то целое число <math>a</math> называется вычетом степени n (в противном случае — невычетом степени n). Решение <math>x</math>, если оно существует, является полным аналогом корня n-й степени из целого числа <math>a</math>. Чаще всего используются случаи:

• <math>n=2</math> (квадратичные вычеты)
• <math>n=3</math> (кубические вычеты)
• <math>n=4</math> (биквадратичные вычеты)

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из <math>-1</math> образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой:

<math>\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,.</math>

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из матрицы существует и единственен. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций, операторов и других математических объектов.

История

Развитие понятия

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:

• Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
• Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
• Решение квадратных уравнений.

Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для <math>\sqrt{a}</math> рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа <math>n</math>. Представив подкоренное выражение в виде: <math>a=n^2+r</math>, получаем: <math>x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:

<math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для <math>\sqrt{5}</math>, например, <math>a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> и мы получаем последовательность приближений:

<math> x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779</math>

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие: <math>\sqrt{2}</math> — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век).

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень <math>n</math>-й степени как возведение в степень <math>\frac{1}{n}</math>.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел.

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

Этимология термина и происхождение символики

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона (XVIII век).

См. также

• Алгоритм нахождения корня n-ной степени
• Возведение в степень
• Квадратный корень
• Корни из единицы
• Кубический корень
• Логарифм
• Основная теорема алгебры
• Степенная функция

Литература

• Выгодский М. Я. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu Справочник по элементарной математике]. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972.
• Корн Г., Корн Т. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Справочник по математике (для научных работников и инженеров)]. — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, часть 1. — изд. 4-е. — М.: Мнемозина, 2003. — 376 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

Отрывок, характеризующий Корень (математика)

– Эй! кто у вас староста тут? – крикнул Ростов, быстрым шагом подойдя к толпе.
– Староста то? На что вам?.. – спросил Карп. Но не успел он договорить, как шапка слетела с него и голова мотнулась набок от сильного удара.
– Шапки долой, изменники! – крикнул полнокровный голос Ростова. – Где староста? – неистовым голосом кричал он.
– Старосту, старосту кличет… Дрон Захарыч, вас, – послышались кое где торопливо покорные голоса, и шапки стали сниматься с голов.
– Нам бунтовать нельзя, мы порядки блюдем, – проговорил Карп, и несколько голосов сзади в то же мгновенье заговорили вдруг:
– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.

Ростов, не желая навязывать свое знакомство княжне, не пошел к ней, а остался в деревне, ожидая ее выезда. Дождавшись выезда экипажей княжны Марьи из дома, Ростов сел верхом и до пути, занятого нашими войсками, в двенадцати верстах от Богучарова, верхом провожал ее. В Янкове, на постоялом дворе, он простился с нею почтительно, в первый раз позволив себе поцеловать ее руку.
– Как вам не совестно, – краснея, отвечал он княжне Марье на выражение благодарности за ее спасенье (как она называла его поступок), – каждый становой сделал бы то же. Если бы нам только приходилось воевать с мужиками, мы бы не допустили так далеко неприятеля, – говорил он, стыдясь чего то и стараясь переменить разговор. – Я счастлив только, что имел случай познакомиться с вами. Прощайте, княжна, желаю вам счастия и утешения и желаю встретиться с вами при более счастливых условиях. Ежели вы не хотите заставить краснеть меня, пожалуйста, не благодарите.
Но княжна, если не благодарила более словами, благодарила его всем выражением своего сиявшего благодарностью и нежностью лица. Она не могла верить ему, что ей не за что благодарить его. Напротив, для нее несомненно было то, что ежели бы его не было, то она, наверное, должна была бы погибнуть и от бунтовщиков и от французов; что он, для того чтобы спасти ее, подвергал себя самым очевидным и страшным опасностям; и еще несомненнее было то, что он был человек с высокой и благородной душой, который умел понять ее положение и горе. Его добрые и честные глаза с выступившими на них слезами, в то время как она сама, заплакав, говорила с ним о своей потере, не выходили из ее воображения.
Когда она простилась с ним и осталась одна, княжна Марья вдруг почувствовала в глазах слезы, и тут уж не в первый раз ей представился странный вопрос, любит ли она его?
По дороге дальше к Москве, несмотря на то, что положение княжны было не радостно, Дуняша, ехавшая с ней в карете, не раз замечала, что княжна, высунувшись в окно кареты, чему то радостно и грустно улыбалась.
«Ну что же, ежели бы я и полюбила его? – думала княжна Марья.
Как ни стыдно ей было признаться себе, что она первая полюбила человека, который, может быть, никогда не полюбит ее, она утешала себя мыслью, что никто никогда не узнает этого и что она не будет виновата, ежели будет до конца жизни, никому не говоря о том, любить того, которого она любила в первый и в последний раз.
Иногда она вспоминала его взгляды, его участие, его слова, и ей казалось счастье не невозможным. И тогда то Дуняша замечала, что она, улыбаясь, глядела в окно кареты.
«И надо было ему приехать в Богучарово, и в эту самую минуту! – думала княжна Марья. – И надо было его сестре отказать князю Андрею! – И во всем этом княжна Марья видела волю провиденья.
Впечатление, произведенное на Ростова княжной Марьей, было очень приятное. Когда ои вспоминал про нее, ему становилось весело, и когда товарищи, узнав о бывшем с ним приключении в Богучарове, шутили ему, что он, поехав за сеном, подцепил одну из самых богатых невест в России, Ростов сердился. Он сердился именно потому, что мысль о женитьбе на приятной для него, кроткой княжне Марье с огромным состоянием не раз против его воли приходила ему в голову. Для себя лично Николай не мог желать жены лучше княжны Марьи: женитьба на ней сделала бы счастье графини – его матери, и поправила бы дела его отца; и даже – Николай чувствовал это – сделала бы счастье княжны Марьи. Но Соня? И данное слово? И от этого то Ростов сердился, когда ему шутили о княжне Болконской.


Приняв командование над армиями, Кутузов вспомнил о князе Андрее и послал ему приказание прибыть в главную квартиру.
Князь Андрей приехал в Царево Займище в тот самый день и в то самое время дня, когда Кутузов делал первый смотр войскам. Князь Андрей остановился в деревне у дома священника, у которого стоял экипаж главнокомандующего, и сел на лавочке у ворот, ожидая светлейшего, как все называли теперь Кутузова. На поле за деревней слышны были то звуки полковой музыки, то рев огромного количества голосов, кричавших «ура!новому главнокомандующему. Тут же у ворот, шагах в десяти от князя Андрея, пользуясь отсутствием князя и прекрасной погодой, стояли два денщика, курьер и дворецкий. Черноватый, обросший усами и бакенбардами, маленький гусарский подполковник подъехал к воротам и, взглянув на князя Андрея, спросил: здесь ли стоит светлейший и скоро ли он будет?
Князь Андрей сказал, что он не принадлежит к штабу светлейшего и тоже приезжий. Гусарский подполковник обратился к нарядному денщику, и денщик главнокомандующего сказал ему с той особенной презрительностью, с которой говорят денщики главнокомандующих с офицерами:
– Что, светлейший? Должно быть, сейчас будет. Вам что?
Гусарский подполковник усмехнулся в усы на тон денщика, слез с лошади, отдал ее вестовому и подошел к Болконскому, слегка поклонившись ему. Болконский посторонился на лавке. Гусарский подполковник сел подле него.
– Тоже дожидаетесь главнокомандующего? – заговорил гусарский подполковник. – Говог'ят, всем доступен, слава богу. А то с колбасниками беда! Недаг'ом Ег'молов в немцы пг'осился. Тепег'ь авось и г'усским говог'ить можно будет. А то чег'т знает что делали. Все отступали, все отступали. Вы делали поход? – спросил он.
– Имел удовольствие, – отвечал князь Андрей, – не только участвовать в отступлении, но и потерять в этом отступлении все, что имел дорогого, не говоря об именьях и родном доме… отца, который умер с горя. Я смоленский.
– А?.. Вы князь Болконский? Очень г'ад познакомиться: подполковник Денисов, более известный под именем Васьки, – сказал Денисов, пожимая руку князя Андрея и с особенно добрым вниманием вглядываясь в лицо Болконского. – Да, я слышал, – сказал он с сочувствием и, помолчав немного, продолжал: – Вот и скифская война. Это все хог'ошо, только не для тех, кто своими боками отдувается. А вы – князь Андг'ей Болконский? – Он покачал головой. – Очень г'ад, князь, очень г'ад познакомиться, – прибавил он опять с грустной улыбкой, пожимая ему руку.
Князь Андрей знал Денисова по рассказам Наташи о ее первом женихе. Это воспоминанье и сладко и больно перенесло его теперь к тем болезненным ощущениям, о которых он последнее время давно уже не думал, но которые все таки были в его душе. В последнее время столько других и таких серьезных впечатлений, как оставление Смоленска, его приезд в Лысые Горы, недавнее известно о смерти отца, – столько ощущений было испытано им, что эти воспоминания уже давно не приходили ему и, когда пришли, далеко не подействовали на него с прежней силой. И для Денисова тот ряд воспоминаний, которые вызвало имя Болконского, было далекое, поэтическое прошедшее, когда он, после ужина и пения Наташи, сам не зная как, сделал предложение пятнадцатилетней девочке. Он улыбнулся воспоминаниям того времени и своей любви к Наташе и тотчас же перешел к тому, что страстно и исключительно теперь занимало его. Это был план кампании, который он придумал, служа во время отступления на аванпостах. Он представлял этот план Барклаю де Толли и теперь намерен был представить его Кутузову. План основывался на том, что операционная линия французов слишком растянута и что вместо того, или вместе с тем, чтобы действовать с фронта, загораживая дорогу французам, нужно было действовать на их сообщения. Он начал разъяснять свой план князю Андрею.
– Они не могут удержать всей этой линии. Это невозможно, я отвечаю, что пг'ог'ву их; дайте мне пятьсот человек, я г'азог'ву их, это вег'но! Одна система – паг'тизанская.
Денисов встал и, делая жесты, излагал свой план Болконскому. В средине его изложения крики армии, более нескладные, более распространенные и сливающиеся с музыкой и песнями, послышались на месте смотра. На деревне послышался топот и крики.
– Сам едет, – крикнул казак, стоявший у ворот, – едет! Болконский и Денисов подвинулись к воротам, у которых стояла кучка солдат (почетный караул), и увидали подвигавшегося по улице Кутузова, верхом на невысокой гнедой лошадке. Огромная свита генералов ехала за ним. Барклай ехал почти рядом; толпа офицеров бежала за ними и вокруг них и кричала «ура!».
Вперед его во двор проскакали адъютанты. Кутузов, нетерпеливо подталкивая свою лошадь, плывшую иноходью под его тяжестью, и беспрестанно кивая головой, прикладывал руку к бедой кавалергардской (с красным околышем и без козырька) фуражке, которая была на нем. Подъехав к почетному караулу молодцов гренадеров, большей частью кавалеров, отдававших ему честь, он с минуту молча, внимательно посмотрел на них начальническим упорным взглядом и обернулся к толпе генералов и офицеров, стоявших вокруг него. Лицо его вдруг приняло тонкое выражение; он вздернул плечами с жестом недоумения.
– И с такими молодцами всё отступать и отступать! – сказал он. – Ну, до свиданья, генерал, – прибавил он и тронул лошадь в ворота мимо князя Андрея и Денисова.
– Ура! ура! ура! – кричали сзади его.
С тех пор как не видал его князь Андрей, Кутузов еще потолстел, обрюзг и оплыл жиром. Но знакомые ему белый глаз, и рана, и выражение усталости в его лице и фигуре были те же. Он был одет в мундирный сюртук (плеть на тонком ремне висела через плечо) и в белой кавалергардской фуражке. Он, тяжело расплываясь и раскачиваясь, сидел на своей бодрой лошадке.
– Фю… фю… фю… – засвистал он чуть слышно, въезжая на двор. На лице его выражалась радость успокоения человека, намеревающегося отдохнуть после представительства. Он вынул левую ногу из стремени, повалившись всем телом и поморщившись от усилия, с трудом занес ее на седло, облокотился коленкой, крякнул и спустился на руки к казакам и адъютантам, поддерживавшим его.
Он оправился, оглянулся своими сощуренными глазами и, взглянув на князя Андрея, видимо, не узнав его, зашагал своей ныряющей походкой к крыльцу.
– Фю… фю… фю, – просвистал он и опять оглянулся на князя Андрея. Впечатление лица князя Андрея только после нескольких секунд (как это часто бывает у стариков) связалось с воспоминанием о его личности.
– А, здравствуй, князь, здравствуй, голубчик, пойдем… – устало проговорил он, оглядываясь, и тяжело вошел на скрипящее под его тяжестью крыльцо. Он расстегнулся и сел на лавочку, стоявшую на крыльце.
– Ну, что отец?
– Вчера получил известие о его кончине, – коротко сказал князь Андрей.
Кутузов испуганно открытыми глазами посмотрел на князя Андрея, потом снял фуражку и перекрестился: «Царство ему небесное! Да будет воля божия над всеми нами!Он тяжело, всей грудью вздохнул и помолчал. „Я его любил и уважал и сочувствую тебе всей душой“. Он обнял князя Андрея, прижал его к своей жирной груди и долго не отпускал от себя. Когда он отпустил его, князь Андрей увидал, что расплывшие губы Кутузова дрожали и на глазах были слезы. Он вздохнул и взялся обеими руками за лавку, чтобы встать.
– Пойдем, пойдем ко мне, поговорим, – сказал он; но в это время Денисов, так же мало робевший перед начальством, как и перед неприятелем, несмотря на то, что адъютанты у крыльца сердитым шепотом останавливали его, смело, стуча шпорами по ступенькам, вошел на крыльцо. Кутузов, оставив руки упертыми на лавку, недовольно смотрел на Денисова. Денисов, назвав себя, объявил, что имеет сообщить его светлости дело большой важности для блага отечества. Кутузов усталым взглядом стал смотреть на Денисова и досадливым жестом, приняв руки и сложив их на животе, повторил: «Для блага отечества? Ну что такое? Говори». Денисов покраснел, как девушка (так странно было видеть краску на этом усатом, старом и пьяном лице), и смело начал излагать свой план разрезания операционной линии неприятеля между Смоленском и Вязьмой. Денисов жил в этих краях и знал хорошо местность. План его казался несомненно хорошим, в особенности по той силе убеждения, которая была в его словах. Кутузов смотрел себе на ноги и изредка оглядывался на двор соседней избы, как будто он ждал чего то неприятного оттуда. Из избы, на которую он смотрел, действительно во время речи Денисова показался генерал с портфелем под мышкой.
– Что? – в середине изложения Денисова проговорил Кутузов. – Уже готовы?
– Готов, ваша светлость, – сказал генерал. Кутузов покачал головой, как бы говоря: «Как это все успеть одному человеку», и продолжал слушать Денисова.
– Даю честное благородное слово гусского офицег'а, – говорил Денисов, – что я г'азог'ву сообщения Наполеона.
– Тебе Кирилл Андреевич Денисов, обер интендант, как приходится? – перебил его Кутузов.
– Дядя г'одной, ваша светлость.
– О! приятели были, – весело сказал Кутузов. – Хорошо, хорошо, голубчик, оставайся тут при штабе, завтра поговорим. – Кивнув головой Денисову, он отвернулся и протянул руку к бумагам, которые принес ему Коновницын.
– Не угодно ли вашей светлости пожаловать в комнаты, – недовольным голосом сказал дежурный генерал, – необходимо рассмотреть планы и подписать некоторые бумаги. – Вышедший из двери адъютант доложил, что в квартире все было готово. Но Кутузову, видимо, хотелось войти в комнаты уже свободным. Он поморщился…
– Нет, вели подать, голубчик, сюда столик, я тут посмотрю, – сказал он. – Ты не уходи, – прибавил он, обращаясь к князю Андрею. Князь Андрей остался на крыльце, слушая дежурного генерала.
Во время доклада за входной дверью князь Андрей слышал женское шептанье и хрустение женского шелкового платья. Несколько раз, взглянув по тому направлению, он замечал за дверью, в розовом платье и лиловом шелковом платке на голове, полную, румяную и красивую женщину с блюдом, которая, очевидно, ожидала входа влавввквмандующего. Адъютант Кутузова шепотом объяснил князю Андрею, что это была хозяйка дома, попадья, которая намеревалась подать хлеб соль его светлости. Муж ее встретил светлейшего с крестом в церкви, она дома… «Очень хорошенькая», – прибавил адъютант с улыбкой. Кутузов оглянулся на эти слова. Кутузов слушал доклад дежурного генерала (главным предметом которого была критика позиции при Цареве Займище) так же, как он слушал Денисова, так же, как он слушал семь лет тому назад прения Аустерлицкого военного совета. Он, очевидно, слушал только оттого, что у него были уши, которые, несмотря на то, что в одном из них был морской канат, не могли не слышать; но очевидно было, что ничто из того, что мог сказать ему дежурный генерал, не могло не только удивить или заинтересовать его, но что он знал вперед все, что ему скажут, и слушал все это только потому, что надо прослушать, как надо прослушать поющийся молебен. Все, что говорил Денисов, было дельно и умно. То, что говорил дежурный генерал, было еще дельнее и умнее, но очевидно было, что Кутузов презирал и знание и ум и знал что то другое, что должно было решить дело, – что то другое, независимое от ума и знания. Князь Андрей внимательно следил за выражением лица главнокомандующего, и единственное выражение, которое он мог заметить в нем, было выражение скуки, любопытства к тому, что такое означал женский шепот за дверью, и желание соблюсти приличие. Очевидно было, что Кутузов презирал ум, и знание, и даже патриотическое чувство, которое выказывал Денисов, но презирал не умом, не чувством, не знанием (потому что он и не старался выказывать их), а он презирал их чем то другим. Он презирал их своей старостью, своею опытностью жизни. Одно распоряжение, которое от себя в этот доклад сделал Кутузов, откосилось до мародерства русских войск. Дежурный редерал в конце доклада представил светлейшему к подписи бумагу о взысканий с армейских начальников по прошению помещика за скошенный зеленый овес.
Кутузов зачмокал губами и закачал головой, выслушав это дело.
– В печку… в огонь! И раз навсегда тебе говорю, голубчик, – сказал он, – все эти дела в огонь. Пуская косят хлеба и жгут дрова на здоровье. Я этого не приказываю и не позволяю, но и взыскивать не могу. Без этого нельзя. Дрова рубят – щепки летят. – Он взглянул еще раз на бумагу. – О, аккуратность немецкая! – проговорил он, качая головой.


– Ну, теперь все, – сказал Кутузов, подписывая последнюю бумагу, и, тяжело поднявшись и расправляя складки своей белой пухлой шеи, с повеселевшим лицом направился к двери.
Попадья, с бросившеюся кровью в лицо, схватилась за блюдо, которое, несмотря на то, что она так долго приготовлялась, она все таки не успела подать вовремя. И с низким поклоном она поднесла его Кутузову.
Глаза Кутузова прищурились; он улыбнулся, взял рукой ее за подбородок и сказал:
– И красавица какая! Спасибо, голубушка!
Он достал из кармана шаровар несколько золотых и положил ей на блюдо.
– Ну что, как живешь? – сказал Кутузов, направляясь к отведенной для него комнате. Попадья, улыбаясь ямочками на румяном лице, прошла за ним в горницу. Адъютант вышел к князю Андрею на крыльцо и приглашал его завтракать; через полчаса князя Андрея позвали опять к Кутузову. Кутузов лежал на кресле в том же расстегнутом сюртуке. Он держал в руке французскую книгу и при входе князя Андрея, заложив ее ножом, свернул. Это был «Les chevaliers du Cygne», сочинение madame de Genlis [«Рыцари Лебедя», мадам де Жанлис], как увидал князь Андрей по обертке.
– Ну садись, садись тут, поговорим, – сказал Кутузов. – Грустно, очень грустно. Но помни, дружок, что я тебе отец, другой отец… – Князь Андрей рассказал Кутузову все, что он знал о кончине своего отца, и о том, что он видел в Лысых Горах, проезжая через них.
– До чего… до чего довели! – проговорил вдруг Кутузов взволнованным голосом, очевидно, ясно представив себе, из рассказа князя Андрея, положение, в котором находилась Россия. – Дай срок, дай срок, – прибавил он с злобным выражением лица и, очевидно, не желая продолжать этого волновавшего его разговора, сказал: – Я тебя вызвал, чтоб оставить при себе.
– Благодарю вашу светлость, – отвечал князь Андрей, – но я боюсь, что не гожусь больше для штабов, – сказал он с улыбкой, которую Кутузов заметил. Кутузов вопросительно посмотрел на него. – А главное, – прибавил князь Андрей, – я привык к полку, полюбил офицеров, и люди меня, кажется, полюбили. Мне бы жалко было оставить полк. Ежели я отказываюсь от чести быть при вас, то поверьте…
Умное, доброе и вместе с тем тонко насмешливое выражение светилось на пухлом лице Кутузова. Он перебил Болконского:
– Жалею, ты бы мне нужен был; но ты прав, ты прав. Нам не сюда люди нужны. Советчиков всегда много, а людей нет. Не такие бы полки были, если бы все советчики служили там в полках, как ты. Я тебя с Аустерлица помню… Помню, помню, с знаменем помню, – сказал Кутузов, и радостная краска бросилась в лицо князя Андрея при этом воспоминании. Кутузов притянул его за руку, подставляя ему щеку, и опять князь Андрей на глазах старика увидал слезы. Хотя князь Андрей и знал, что Кутузов был слаб на слезы и что он теперь особенно ласкает его и жалеет вследствие желания выказать сочувствие к его потере, но князю Андрею и радостно и лестно было это воспоминание об Аустерлице.
– Иди с богом своей дорогой. Я знаю, твоя дорога – это дорога чести. – Он помолчал. – Я жалел о тебе в Букареште: мне послать надо было. – И, переменив разговор, Кутузов начал говорить о турецкой войне и заключенном мире. – Да, немало упрекали меня, – сказал Кутузов, – и за войну и за мир… а все пришло вовремя. Tout vient a point a celui qui sait attendre. [Все приходит вовремя для того, кто умеет ждать.] A и там советчиков не меньше было, чем здесь… – продолжал он, возвращаясь к советчикам, которые, видимо, занимали его. – Ох, советчики, советчики! – сказал он. Если бы всех слушать, мы бы там, в Турции, и мира не заключили, да и войны бы не кончили. Всё поскорее, а скорое на долгое выходит. Если бы Каменский не умер, он бы пропал. Он с тридцатью тысячами штурмовал крепости. Взять крепость не трудно, трудно кампанию выиграть. А для этого не нужно штурмовать и атаковать, а нужно терпение и время. Каменский на Рущук солдат послал, а я их одних (терпение и время) посылал и взял больше крепостей, чем Каменский, и лошадиное мясо турок есть заставил. – Он покачал головой. – И французы тоже будут! Верь моему слову, – воодушевляясь, проговорил Кутузов, ударяя себя в грудь, – будут у меня лошадиное мясо есть! – И опять глаза его залоснились слезами.
– Однако до лжно же будет принять сражение? – сказал князь Андрей.
– До лжно будет, если все этого захотят, нечего делать… А ведь, голубчик: нет сильнее тех двух воинов, терпение и время; те всё сделают, да советчики n'entendent pas de cette oreille, voila le mal. [этим ухом не слышат, – вот что плохо.] Одни хотят, другие не хотят. Что ж делать? – спросил он, видимо, ожидая ответа. – Да, что ты велишь делать? – повторил он, и глаза его блестели глубоким, умным выражением. – Я тебе скажу, что делать, – проговорил он, так как князь Андрей все таки не отвечал. – Я тебе скажу, что делать и что я делаю. Dans le doute, mon cher, – он помолчал, – abstiens toi, [В сомнении, мой милый, воздерживайся.] – выговорил он с расстановкой.
– Ну, прощай, дружок; помни, что я всей душой несу с тобой твою потерю и что я тебе не светлейший, не князь и не главнокомандующий, а я тебе отец. Ежели что нужно, прямо ко мне. Прощай, голубчик. – Он опять обнял и поцеловал его. И еще князь Андрей не успел выйти в дверь, как Кутузов успокоительно вздохнул и взялся опять за неконченный роман мадам Жанлис «Les chevaliers du Cygne».
Как и отчего это случилось, князь Андрей не мог бы никак объяснить; но после этого свидания с Кутузовым он вернулся к своему полку успокоенный насчет общего хода дела и насчет того, кому оно вверено было. Чем больше он видел отсутствие всего личного в этом старике, в котором оставались как будто одни привычки страстей и вместо ума (группирующего события и делающего выводы) одна способность спокойного созерцания хода событий, тем более он был спокоен за то, что все будет так, как должно быть. «У него не будет ничего своего. Он ничего не придумает, ничего не предпримет, – думал князь Андрей, – но он все выслушает, все запомнит, все поставит на свое место, ничему полезному не помешает и ничего вредного не позволит. Он понимает, что есть что то сильнее и значительнее его воли, – это неизбежный ход событий, и он умеет видеть их, умеет понимать их значение и, ввиду этого значения, умеет отрекаться от участия в этих событиях, от своей личной волн, направленной на другое. А главное, – думал князь Андрей, – почему веришь ему, – это то, что он русский, несмотря на роман Жанлис и французские поговорки; это то, что голос его задрожал, когда он сказал: „До чего довели!“, и что он захлипал, говоря о том, что он „заставит их есть лошадиное мясо“. На этом же чувстве, которое более или менее смутно испытывали все, и основано было то единомыслие и общее одобрение, которое сопутствовало народному, противному придворным соображениям, избранию Кутузова в главнокомандующие.


После отъезда государя из Москвы московская жизнь потекла прежним, обычным порядком, и течение этой жизни было так обычно, что трудно было вспомнить о бывших днях патриотического восторга и увлечения, и трудно было верить, что действительно Россия в опасности и что члены Английского клуба суть вместе с тем и сыны отечества, готовые для него на всякую жертву. Одно, что напоминало о бывшем во время пребывания государя в Москве общем восторженно патриотическом настроении, было требование пожертвований людьми и деньгами, которые, как скоро они были сделаны, облеклись в законную, официальную форму и казались неизбежны.
С приближением неприятеля к Москве взгляд москвичей на свое положение не только не делался серьезнее, но, напротив, еще легкомысленнее, как это всегда бывает с людьми, которые видят приближающуюся большую опасность. При приближении опасности всегда два голоса одинаково сильно говорят в душе человека: один весьма разумно говорит о том, чтобы человек обдумал самое свойство опасности и средства для избавления от нее; другой еще разумнее говорит, что слишком тяжело и мучительно думать об опасности, тогда как предвидеть все и спастись от общего хода дела не во власти человека, и потому лучше отвернуться от тяжелого, до тех пор пока оно не наступило, и думать о приятном. В одиночестве человек большею частью отдается первому голосу, в обществе, напротив, – второму. Так было и теперь с жителями Москвы. Давно так не веселились в Москве, как этот год.
Растопчинские афишки с изображением вверху питейного дома, целовальника и московского мещанина Карпушки Чигирина, который, быв в ратниках и выпив лишний крючок на тычке, услыхал, будто Бонапарт хочет идти на Москву, рассердился, разругал скверными словами всех французов, вышел из питейного дома и заговорил под орлом собравшемуся народу, читались и обсуживались наравне с последним буриме Василия Львовича Пушкина.
В клубе, в угловой комнате, собирались читать эти афиши, и некоторым нравилось, как Карпушка подтрунивал над французами, говоря, что они от капусты раздуются, от каши перелопаются, от щей задохнутся, что они все карлики и что их троих одна баба вилами закинет. Некоторые не одобряли этого тона и говорила, что это пошло и глупо. Рассказывали о том, что французов и даже всех иностранцев Растопчин выслал из Москвы, что между ними шпионы и агенты Наполеона; но рассказывали это преимущественно для того, чтобы при этом случае передать остроумные слова, сказанные Растопчиным при их отправлении. Иностранцев отправляли на барке в Нижний, и Растопчин сказал им: «Rentrez en vous meme, entrez dans la barque et n'en faites pas une barque ne Charon». [войдите сами в себя и в эту лодку и постарайтесь, чтобы эта лодка не сделалась для вас лодкой Харона.] Рассказывали, что уже выслали из Москвы все присутственные места, и тут же прибавляли шутку Шиншина, что за это одно Москва должна быть благодарна Наполеону. Рассказывали, что Мамонову его полк будет стоить восемьсот тысяч, что Безухов еще больше затратил на своих ратников, но что лучше всего в поступке Безухова то, что он сам оденется в мундир и поедет верхом перед полком и ничего не будет брать за места с тех, которые будут смотреть на него.
– Вы никому не делаете милости, – сказала Жюли Друбецкая, собирая и прижимая кучку нащипанной корпии тонкими пальцами, покрытыми кольцами.