Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение<math>: \mathrm{arcsin}\, x; \mathrm{arcsin}\,x</math> — это угол, синус которого равен <math>x</math>)
• арккосинус (обозначение: <math>\mathrm{arccos}\, x; \mathrm{arccos}\, x</math> — это угол, косинус которого равен <math>x</math> и т. д.)
• арктангенс (обозначение: <math>\mathrm{arctg}\, x</math>; в иностранной литературе <math>\mathrm{arctan}\, x</math>)
• арккотангенс (обозначение: <math>\mathrm{arcctg}\, x</math>; в иностранной литературе <math>\mathrm{arccot}\, x</math> или <math>\mathrm{arccotan}\, x</math>)
• арксеканс (обозначение: <math>\mathrm{arcsec}\, x</math>)
• арккосеканс (обозначение: <math>\mathrm{arccosec}\, x</math>; в иностранной литературе <math>\mathrm{arccsc}\, x</math>)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math> , но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п., — это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданому числу. Например, <math>\arcsin 1/2</math> означает множество углов <math>\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )</math>, синус которых равен <math>1/2</math>. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т.д.
В общем случае при условии <math>-1 \leqslant \alpha \leqslant 1</math> все решения уравнения <math>\sin x = \alpha</math> можно представить в виде <math>x = (-1)^n \arcsin \alpha + \pi n, ~ n = 0, \pm1, \pm2, \dots ~ .</math>

Основное соотношение

<math>\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}</math>

<math>\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}</math>

Функция arcsin

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, выраженного в радианах, для которого <math>\sin x = m,\, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},\, |m|\leqslant 1.</math>

Функция <math>y=\sin x</math> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция <math>y=\arcsin x</math> является строго возрастающей.

• <math>\sin (\arcsin x) = x\qquad</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
• <math>\arcsin(\sin y) = y\qquad</math> при <math>-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},</math>
• <math>D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad</math> (область определения),
• <math>E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad</math> (область значений).

Свойства функции arcsin

• <math>\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad</math> (функция является нечётной).
• <math>\arcsin x>0</math> при <math>0 < x \leqslant 1</math>.
• <math>\arcsin x = 0</math> при <math>x=0.</math>
• <math>\arcsin x < 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 0.</math>
• <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1

\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.</math>

• <math>\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math>
• <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1

\\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.</math>

Получение функции arcsin

Дана функция <math>y=\sin x.</math> На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y= \arcsin x</math> функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math>. Так как для функции <math>y=\sin x</math> на интервале <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math> каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция <math>y=\arcsin x,</math> график которой симметричен графику функции <math>y=\sin x</math> на отрезке <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math> относительно прямой <math>y=x.</math> (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости <math>Oxy</math>)

Функция arccos

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, в радианной мере, для которого <math>\cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.</math>

Функция <math>y=\cos x</math> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция <math>y=\arccos x</math> является строго убывающей.

• <math>\cos (\arccos x)=x</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
• <math>\arccos (\cos y) = y</math> при <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
• <math>D(\arccos x)=[-1; 1],</math> (область определения),
• <math>E(\arccos x)=[0; \pi].</math> (область значений).

Свойства функции arccos

• <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos x</math> (функция центрально-симметрична относительно точки <math>\left (0; \frac{\pi}{2}\right)</math>), является индифферентной.
• <math>\arccos x > 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 1.</math>
• <math>\arccos x = 0</math> при <math>x=1.</math>
• <math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.</math>
• <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x < 0

\end{matrix}\right.</math>

• <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1

\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.</math>

• <math>\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2} </math>
• <math>\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2} </math>
• <math>\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x} </math>

Получение функции arccos

Дана функция <math>y=\cos x.</math> На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y=\arccos x</math> функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — <math>[0; \pi].</math> На этом отрезке <math>y=\cos x</math> строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке <math>[0; \pi]</math> существует обратная функция <math>y = \arccos x,</math> график которой симметричен графику <math>y=\cos x</math> на отрезке <math>[0; \pi]</math> относительно прямой <math>y=x.</math>

Функция arctg

Арктангенсом числа m называется такое значение угла <math>\alpha</math>, выраженное в радианах, для которого <math>\operatorname{tg}\, \alpha = m , \quad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}.</math>

Функция <math>y=\operatorname{arctg} x</math> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция <math>y=\operatorname{arctg} x</math> является строго возрастающей.

• <math>\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
• <math>\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y</math> при <math>-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},</math>
• <math>D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty),</math>
• <math>E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math>

Свойства функции arctg

• <math>\operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad</math>

• <math> \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} </math>

• <math> \operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} </math>, при x > 0.

• <math> \operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} </math>

• <math> \operatorname{arctg} x = -i \operatorname{arcth} {ix} </math>

• <math> \operatorname{arcth} x = i \operatorname{arctg} {ix} </math>

Получение функции arctg

Дана функция <math>y=\operatorname{tg}\, x.</math> На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math> функцией не является (т. к. нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).</math> На этом отрезке <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> существует обратная <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math>, график которой симметричен графику <math>y=\operatorname{tg}\,x</math> на отрезке <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> относительно прямой <math>y=x.</math>

Функция arcctg

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.</math>

Функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> является строго убывающей.

• <math>\operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
• <math>\operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y</math> при <math>0<y<\pi,</math>
• <math>D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),</math>
• <math>E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).</math>

Свойства функции arcctg

• <math>\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x</math> (график функции центрально-симметричен относительно точки <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right).</math>
• <math>\operatorname{arcctg}\, x > 0</math> при любых <math>x.</math>
• <math>\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0

\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x < 0\end{matrix}\right.</math>

• <math>\operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.</math>

Получение функции arcctg

Дана функция <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math>. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — <math>(0; \pi)</math>. На этом отрезке <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале <math>(0; \pi)</math> существует обратная функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math>, график которой симметричен графику <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> на отрезке <math>(0; \pi)</math> относительно прямой <math>y=x.</math>

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, <math>x \rightarrow -x</math>) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы: <math>\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2.</math>

Функция arcsec

<math>\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)</math>

Функция arccosec

<math>\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (y)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{y}\right)</math>

Производные от обратных тригонометрических функций

<math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
<math>(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
<math>(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}.</math>
<math>(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}.</math>

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

<math>

\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\

\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C. \end{align}</math>

Для действительных x ≥ 1:

<math>

\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}</math>

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

<math>

\begin{align} \arcsin z & {}= -i \ln (iz+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi}{2}-i\ln (z+\sqrt{z^2-1}), \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \arccos z & {}= \dfrac{\pi}{2} + i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}), \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \operatorname{arctg}\,z & {}= \dfrac{i}{2} ( \ln(1-iz)-\ln(1+iz) ), \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \operatorname{arcctg}\,z & {}= \dfrac{i}{2} \left( \ln \left( \dfrac{z-i}{z} \right)-\ln \left( \dfrac{z+i}{z} \right) \right), \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right), \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \operatorname{arccosec}\,z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) = - i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right). \end{align} </math>

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html Обратные тригонометрические функции] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
• [yunc.org/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95_%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%93%D0%9E%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%98%D0%95_%D0%A4%D0%A3%D0%9D%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98 Обратные тригонометрические функции] // [ru.wikipedia.org/wiki/Энциклопедический_словарь_(Педагогика) Энциклопедический словарь юного математика] / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
• [yotx.ru Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн]
• [www.planetcalc.ru/326/ Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции]

См. также

• Тригонометрические функции
• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

Отрывок, характеризующий Обратные тригонометрические функции

Фельдшер однако не подтвердил слов доктора.
– Что он такой длинный, рыжеватый? – спросил доктор.
Ростов описал наружность Денисова.
– Был, был такой, – как бы радостно проговорил доктор, – этот должно быть умер, а впрочем я справлюсь, у меня списки были. Есть у тебя, Макеев?
– Списки у Макара Алексеича, – сказал фельдшер. – А пожалуйте в офицерские палаты, там сами увидите, – прибавил он, обращаясь к Ростову.
– Эх, лучше не ходить, батюшка, – сказал доктор: – а то как бы сами тут не остались. – Но Ростов откланялся доктору и попросил фельдшера проводить его.
– Не пенять же чур на меня, – прокричал доктор из под лестницы.
Ростов с фельдшером вошли в коридор. Больничный запах был так силен в этом темном коридоре, что Ростов схватился зa нос и должен был остановиться, чтобы собраться с силами и итти дальше. Направо отворилась дверь, и оттуда высунулся на костылях худой, желтый человек, босой и в одном белье.
Он, опершись о притолку, блестящими, завистливыми глазами поглядел на проходящих. Заглянув в дверь, Ростов увидал, что больные и раненые лежали там на полу, на соломе и шинелях.
– А можно войти посмотреть? – спросил Ростов.
– Что же смотреть? – сказал фельдшер. Но именно потому что фельдшер очевидно не желал впустить туда, Ростов вошел в солдатские палаты. Запах, к которому он уже успел придышаться в коридоре, здесь был еще сильнее. Запах этот здесь несколько изменился; он был резче, и чувствительно было, что отсюда то именно он и происходил.
В длинной комнате, ярко освещенной солнцем в большие окна, в два ряда, головами к стенам и оставляя проход по середине, лежали больные и раненые. Большая часть из них были в забытьи и не обратили вниманья на вошедших. Те, которые были в памяти, все приподнялись или подняли свои худые, желтые лица, и все с одним и тем же выражением надежды на помощь, упрека и зависти к чужому здоровью, не спуская глаз, смотрели на Ростова. Ростов вышел на середину комнаты, заглянул в соседние двери комнат с растворенными дверями, и с обеих сторон увидал то же самое. Он остановился, молча оглядываясь вокруг себя. Он никак не ожидал видеть это. Перед самым им лежал почти поперек середняго прохода, на голом полу, больной, вероятно казак, потому что волосы его были обстрижены в скобку. Казак этот лежал навзничь, раскинув огромные руки и ноги. Лицо его было багрово красно, глаза совершенно закачены, так что видны были одни белки, и на босых ногах его и на руках, еще красных, жилы напружились как веревки. Он стукнулся затылком о пол и что то хрипло проговорил и стал повторять это слово. Ростов прислушался к тому, что он говорил, и разобрал повторяемое им слово. Слово это было: испить – пить – испить! Ростов оглянулся, отыскивая того, кто бы мог уложить на место этого больного и дать ему воды.
– Кто тут ходит за больными? – спросил он фельдшера. В это время из соседней комнаты вышел фурштадский солдат, больничный служитель, и отбивая шаг вытянулся перед Ростовым.
– Здравия желаю, ваше высокоблагородие! – прокричал этот солдат, выкатывая глаза на Ростова и, очевидно, принимая его за больничное начальство.
– Убери же его, дай ему воды, – сказал Ростов, указывая на казака.
– Слушаю, ваше высокоблагородие, – с удовольствием проговорил солдат, еще старательнее выкатывая глаза и вытягиваясь, но не трогаясь с места.
– Нет, тут ничего не сделаешь, – подумал Ростов, опустив глаза, и хотел уже выходить, но с правой стороны он чувствовал устремленный на себя значительный взгляд и оглянулся на него. Почти в самом углу на шинели сидел с желтым, как скелет, худым, строгим лицом и небритой седой бородой, старый солдат и упорно смотрел на Ростова. С одной стороны, сосед старого солдата что то шептал ему, указывая на Ростова. Ростов понял, что старик намерен о чем то просить его. Он подошел ближе и увидал, что у старика была согнута только одна нога, а другой совсем не было выше колена. Другой сосед старика, неподвижно лежавший с закинутой головой, довольно далеко от него, был молодой солдат с восковой бледностью на курносом, покрытом еще веснушками, лице и с закаченными под веки глазами. Ростов поглядел на курносого солдата, и мороз пробежал по его спине.
– Да ведь этот, кажется… – обратился он к фельдшеру.
– Уж как просили, ваше благородие, – сказал старый солдат с дрожанием нижней челюсти. – Еще утром кончился. Ведь тоже люди, а не собаки…
– Сейчас пришлю, уберут, уберут, – поспешно сказал фельдшер. – Пожалуйте, ваше благородие.
– Пойдем, пойдем, – поспешно сказал Ростов, и опустив глаза, и сжавшись, стараясь пройти незамеченным сквозь строй этих укоризненных и завистливых глаз, устремленных на него, он вышел из комнаты.


Пройдя коридор, фельдшер ввел Ростова в офицерские палаты, состоявшие из трех, с растворенными дверями, комнат. В комнатах этих были кровати; раненые и больные офицеры лежали и сидели на них. Некоторые в больничных халатах ходили по комнатам. Первое лицо, встретившееся Ростову в офицерских палатах, был маленький, худой человечек без руки, в колпаке и больничном халате с закушенной трубочкой, ходивший в первой комнате. Ростов, вглядываясь в него, старался вспомнить, где он его видел.
– Вот где Бог привел свидеться, – сказал маленький человек. – Тушин, Тушин, помните довез вас под Шенграбеном? А мне кусочек отрезали, вот… – сказал он, улыбаясь, показывая на пустой рукав халата. – Василья Дмитриевича Денисова ищете? – сожитель! – сказал он, узнав, кого нужно было Ростову. – Здесь, здесь и Тушин повел его в другую комнату, из которой слышался хохот нескольких голосов.
«И как они могут не только хохотать, но жить тут»? думал Ростов, всё слыша еще этот запах мертвого тела, которого он набрался еще в солдатском госпитале, и всё еще видя вокруг себя эти завистливые взгляды, провожавшие его с обеих сторон, и лицо этого молодого солдата с закаченными глазами.
Денисов, закрывшись с головой одеялом, спал не постели, несмотря на то, что был 12 й час дня.
– А, Г'остов? 3до'ово, здо'ово, – закричал он всё тем же голосом, как бывало и в полку; но Ростов с грустью заметил, как за этой привычной развязностью и оживленностью какое то новое дурное, затаенное чувство проглядывало в выражении лица, в интонациях и словах Денисова.
Рана его, несмотря на свою ничтожность, все еще не заживала, хотя уже прошло шесть недель, как он был ранен. В лице его была та же бледная опухлость, которая была на всех гошпитальных лицах. Но не это поразило Ростова; его поразило то, что Денисов как будто не рад был ему и неестественно ему улыбался. Денисов не расспрашивал ни про полк, ни про общий ход дела. Когда Ростов говорил про это, Денисов не слушал.
Ростов заметил даже, что Денисову неприятно было, когда ему напоминали о полке и вообще о той, другой, вольной жизни, которая шла вне госпиталя. Он, казалось, старался забыть ту прежнюю жизнь и интересовался только своим делом с провиантскими чиновниками. На вопрос Ростова, в каком положении было дело, он тотчас достал из под подушки бумагу, полученную из комиссии, и свой черновой ответ на нее. Он оживился, начав читать свою бумагу и особенно давал заметить Ростову колкости, которые он в этой бумаге говорил своим врагам. Госпитальные товарищи Денисова, окружившие было Ростова – вновь прибывшее из вольного света лицо, – стали понемногу расходиться, как только Денисов стал читать свою бумагу. По их лицам Ростов понял, что все эти господа уже не раз слышали всю эту успевшую им надоесть историю. Только сосед на кровати, толстый улан, сидел на своей койке, мрачно нахмурившись и куря трубку, и маленький Тушин без руки продолжал слушать, неодобрительно покачивая головой. В середине чтения улан перебил Денисова.
– А по мне, – сказал он, обращаясь к Ростову, – надо просто просить государя о помиловании. Теперь, говорят, награды будут большие, и верно простят…
– Мне просить государя! – сказал Денисов голосом, которому он хотел придать прежнюю энергию и горячность, но который звучал бесполезной раздражительностью. – О чем? Ежели бы я был разбойник, я бы просил милости, а то я сужусь за то, что вывожу на чистую воду разбойников. Пускай судят, я никого не боюсь: я честно служил царю, отечеству и не крал! И меня разжаловать, и… Слушай, я так прямо и пишу им, вот я пишу: «ежели бы я был казнокрад…
– Ловко написано, что и говорить, – сказал Тушин. Да не в том дело, Василий Дмитрич, – он тоже обратился к Ростову, – покориться надо, а вот Василий Дмитрич не хочет. Ведь аудитор говорил вам, что дело ваше плохо.
– Ну пускай будет плохо, – сказал Денисов. – Вам написал аудитор просьбу, – продолжал Тушин, – и надо подписать, да вот с ними и отправить. У них верно (он указал на Ростова) и рука в штабе есть. Уже лучше случая не найдете.
– Да ведь я сказал, что подличать не стану, – перебил Денисов и опять продолжал чтение своей бумаги.
Ростов не смел уговаривать Денисова, хотя он инстинктом чувствовал, что путь, предлагаемый Тушиным и другими офицерами, был самый верный, и хотя он считал бы себя счастливым, ежели бы мог оказать помощь Денисову: он знал непреклонность воли Денисова и его правдивую горячность.
Когда кончилось чтение ядовитых бумаг Денисова, продолжавшееся более часа, Ростов ничего не сказал, и в самом грустном расположении духа, в обществе опять собравшихся около него госпитальных товарищей Денисова, провел остальную часть дня, рассказывая про то, что он знал, и слушая рассказы других. Денисов мрачно молчал в продолжение всего вечера.
Поздно вечером Ростов собрался уезжать и спросил Денисова, не будет ли каких поручений?
– Да, постой, – сказал Денисов, оглянулся на офицеров и, достав из под подушки свои бумаги, пошел к окну, на котором у него стояла чернильница, и сел писать.
– Видно плетью обуха не пег'ешибешь, – сказал он, отходя от окна и подавая Ростову большой конверт. – Это была просьба на имя государя, составленная аудитором, в которой Денисов, ничего не упоминая о винах провиантского ведомства, просил только о помиловании.
– Передай, видно… – Он не договорил и улыбнулся болезненно фальшивой улыбкой.


Вернувшись в полк и передав командиру, в каком положении находилось дело Денисова, Ростов с письмом к государю поехал в Тильзит.
13 го июня, французский и русский императоры съехались в Тильзите. Борис Друбецкой просил важное лицо, при котором он состоял, о том, чтобы быть причислену к свите, назначенной состоять в Тильзите.
– Je voudrais voir le grand homme, [Я желал бы видеть великого человека,] – сказал он, говоря про Наполеона, которого он до сих пор всегда, как и все, называл Буонапарте.
– Vous parlez de Buonaparte? [Вы говорите про Буонапарта?] – сказал ему улыбаясь генерал.
Борис вопросительно посмотрел на своего генерала и тотчас же понял, что это было шуточное испытание.
– Mon prince, je parle de l'empereur Napoleon, [Князь, я говорю об императоре Наполеоне,] – отвечал он. Генерал с улыбкой потрепал его по плечу.
– Ты далеко пойдешь, – сказал он ему и взял с собою.
Борис в числе немногих был на Немане в день свидания императоров; он видел плоты с вензелями, проезд Наполеона по тому берегу мимо французской гвардии, видел задумчивое лицо императора Александра, в то время как он молча сидел в корчме на берегу Немана, ожидая прибытия Наполеона; видел, как оба императора сели в лодки и как Наполеон, приставши прежде к плоту, быстрыми шагами пошел вперед и, встречая Александра, подал ему руку, и как оба скрылись в павильоне. Со времени своего вступления в высшие миры, Борис сделал себе привычку внимательно наблюдать то, что происходило вокруг него и записывать. Во время свидания в Тильзите он расспрашивал об именах тех лиц, которые приехали с Наполеоном, о мундирах, которые были на них надеты, и внимательно прислушивался к словам, которые были сказаны важными лицами. В то самое время, как императоры вошли в павильон, он посмотрел на часы и не забыл посмотреть опять в то время, когда Александр вышел из павильона. Свидание продолжалось час и пятьдесят три минуты: он так и записал это в тот вечер в числе других фактов, которые, он полагал, имели историческое значение. Так как свита императора была очень небольшая, то для человека, дорожащего успехом по службе, находиться в Тильзите во время свидания императоров было делом очень важным, и Борис, попав в Тильзит, чувствовал, что с этого времени положение его совершенно утвердилось. Его не только знали, но к нему пригляделись и привыкли. Два раза он исполнял поручения к самому государю, так что государь знал его в лицо, и все приближенные не только не дичились его, как прежде, считая за новое лицо, но удивились бы, ежели бы его не было.
Борис жил с другим адъютантом, польским графом Жилинским. Жилинский, воспитанный в Париже поляк, был богат, страстно любил французов, и почти каждый день во время пребывания в Тильзите, к Жилинскому и Борису собирались на обеды и завтраки французские офицеры из гвардии и главного французского штаба.