Архимедова спираль

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Архимедова спиральспираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.





Описание

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  <math>\rho = k\varphi,</math>

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на <math>2\pi</math> соответствует смещение a = |BM| = |MA| = <math>2k\pi</math>. Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

<math>\rho = \frac{a}{2\pi}\varphi.</math>


При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям <math>\varphi</math> соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали <math>a = 2k\pi</math>. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора

Площадь <math>S</math> сектора OCM:

<math>S = \frac{1}{6} \varphi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)</math>,

  <math>\left(2 \right)</math>

где <math>\rho = OC</math>, <math>\rho' = OM</math>, <math>\varphi = \angle COM</math>.

При <math>\rho = 0</math>, <math>\rho' = a</math>, <math>\varphi = 2\pi</math>, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

<math>S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1</math>,

где <math>S'_1</math> — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — <math>a</math>.

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги <math>dl</math> равен (см. Рис.3):

<math>dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}</math>,

где <math>d\rho</math> — приращение радиуса <math>\rho</math>, при приращении угла <math>\varphi</math> на <math>d\varphi</math>. Для бесконечно малого приращения угла <math>d\varphi</math>, справедливо:

<math>dh^2 = \left(\rho d \varphi \right)^2</math>.

Поэтому:

<math>dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \varphi^2}</math>

так как <math>\rho = k\varphi</math> и

<math>d \rho = k d \varphi</math>

или

<math>dl = \sqrt{k^2 d \varphi^2 + k^2 \varphi^2 d \varphi^2}</math>
<math>dl = k d \varphi \sqrt{1 + \varphi^2}</math>.

Длина дуги <math>L</math> равна интегралу от <math> dl </math> по <math> d \varphi </math> в пределах от <math> 0 </math> до <math> \varphi</math>:

<math> L = \int\limits_{0}^ {\varphi} k \sqrt{1 + \varphi^2} d \varphi</math>
<math> L = \frac{k}{2} \left[ \varphi \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right]</math>.[1]

Напишите отзыв о статье "Архимедова спираль"

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html Archimedes' Spiral] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки