Астроида

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная)[1] — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса <math>r</math>, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса <math>R=4r</math>. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем <math>k=4</math>.





История

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.[1]

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

<math>x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}</math>

Параметрическое уравнение:[2]

<math>x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t</math>

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

<math>(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0</math>

Свойства

  • Имеются четыре каспа.
  • Длина дуги от точки с 0 до <math>t\le \pi/2</math>
<math>l=\frac32R\sin^2t</math>
  • Длина всей кривой <math>6R</math>.
  • Радиус кривизны:
<math>r(t)=\frac32R\sin2t</math>
  • Площадь, ограниченная кривой:
<math>S=\frac{3}{8} \pi R^2</math>
  • Объем тела вращения относительно любой координатной оси:
<math>V=\pi \int \limits_{-R}^{R}\left (R^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi R^3 </math>
  • Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых[1].
  • Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
  • Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса[1]. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
    <math>x = a\cos^3 t; \quad y = b\sin^3 t</math>
или в декартовых прямоугольных координатах
<math> y=b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32}</math>
  • Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения равен
<math> \int b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32}dx = \frac{1}{16}b \left ( \sqrt{1-\left (\frac{x}{a} \right )^ {\frac{2}{3}}} \left ( -3a \sqrt[3]{\frac{x}{a}} + x \left ( 14 -8\left ( \frac{x}{a}\right )^{\frac{2}{3}} \right ) \right ) + 3a \arcsin\left ( \sqrt[3]{\frac{x}{a}} \right ) \right ) + C </math>
Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Напишите отзыв о статье "Астроида"

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 4 Александрова, 2008, с. 17.
  2. ↑ Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.

Литература

  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.