Аффинное пространство

Аффи́нное простра́нство — пространство, обобщающее аффинные свойства евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие нулевой точки, или начала отсчёта).

Определение

Аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <math>V</math> над полем <math>\mathbb{K}</math> — множество <math>A</math> со свободным транзитивным действием аддитивной группы <math>V</math> (если поле <math>\mathbb{K}</math> явно не указано, то подразумевается, что это — поле вещественных чисел).

Комментарий

Данное определение означает, что определена операция сложения элементов пространства <math>A</math> (называемых точками аффинного пространства) с векторами из пространства <math>V</math> (которое называют пространством свободных векторов для аффинного пространства <math>A</math>), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. <math>(M + v) + w = M + (v + w)</math> для всех <math>M\in A</math> и всех <math>v, w\in V</math>;
2. <math>M + 0 = M</math> для всех <math>M\in A</math>;
3. для любых двух точек <math>M, N\in A</math> существует единственный вектор <math>v\in V</math> (обозначаемый <math>\overrightarrow{MN}</math> или <math>\overrightarrow{N-M}</math>) со свойством <math>N = M + v</math>.

Таким образом, образ действия <math>v\in V</math> на <math>M\in A</math> обозначается <math>M + v</math>.

Связанные определения

Возможно рассматривать произвольные линейные комбинации точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:

• комбинация — барицентрическая (то есть сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из <math>A</math>;
• комбинация — сбалансированная (то есть сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из <math>V</math>.

По аналогии с понятием линейной независимости векторов вводят понятие аффинной независимости точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют аффинно зависимыми, если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде барицентрической комбинации остальных точек. В противном случае эти точки называются аффинно независимыми.

Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной сбалансированной комбинации данных точек, равной нулевому вектору.

Размерность аффинного пространства равна по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как точечный базис (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют барицентрическими координатами рассматриваемой точки.

Аффинное подпространство ― подмножество <math>M</math> векторного пространства <math>E</math>, являющееся сдвигом какого-либо его линейного подпространства <math>L</math>, то есть множество <math>M</math> вида <math>x+L</math> при некотором <math>x\in M</math>.

Множество <math>M</math> определяет <math>L</math> однозначно, тогда как <math>x</math> определяется только с точностью до сдвига на вектор из <math>L</math>. Размерность <math>M</math> определяется как размерность подпространства <math>L</math>.

Аффинное подпространство, которому соответствует подпространство коразмерности 1, называется гиперплоскостью.

Вариации и обобщения

• Аналогичным образом определяется аффинное пространство над телом.

Литература

• Беклемишев Д. В.  Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высшая школа, 1998. — 320 с.
• Болтянский В. Г.  Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973. — 446 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.

Отрывок, характеризующий Аффинное пространство

Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал:
– La vilaine affaire de trainer ces cadavres apres soi. Vaudrait mieux fusiller cette canaille, [Скверное дело таскать за собой эти трупы. Лучше бы расстрелять эту сволочь.] – и громко засмеялся таким странным смехом, что Пете показалось, французы сейчас узнают обман, и он невольно отступил на шаг от костра. Никто не ответил на слова и смех Долохова, и французский офицер, которого не видно было (он лежал, укутавшись шинелью), приподнялся и прошептал что то товарищу. Долохов встал и кликнул солдата с лошадьми.
«Подадут или нет лошадей?» – думал Петя, невольно приближаясь к Долохову.
Лошадей подали.
– Bonjour, messieurs, [Здесь: прощайте, господа.] – сказал Долохов.
Петя хотел сказать bonsoir [добрый вечер] и не мог договорить слова. Офицеры что то шепотом говорили между собою. Долохов долго садился на лошадь, которая не стояла; потом шагом поехал из ворот. Петя ехал подле него, желая и не смея оглянуться, чтоб увидать, бегут или не бегут за ними французы.
Выехав на дорогу, Долохов поехал не назад в поле, а вдоль по деревне. В одном месте он остановился, прислушиваясь.
– Слышишь? – сказал он.
Петя узнал звуки русских голосов, увидал у костров темные фигуры русских пленных. Спустившись вниз к мосту, Петя с Долоховым проехали часового, который, ни слова не сказав, мрачно ходил по мосту, и выехали в лощину, где дожидались казаки.
– Ну, теперь прощай. Скажи Денисову, что на заре, по первому выстрелу, – сказал Долохов и хотел ехать, но Петя схватился за него рукою.
– Нет! – вскрикнул он, – вы такой герой. Ах, как хорошо! Как отлично! Как я вас люблю.
– Хорошо, хорошо, – сказал Долохов, но Петя не отпускал его, и в темноте Долохов рассмотрел, что Петя нагибался к нему. Он хотел поцеловаться. Долохов поцеловал его, засмеялся и, повернув лошадь, скрылся в темноте.

Х
Вернувшись к караулке, Петя застал Денисова в сенях. Денисов в волнении, беспокойстве и досаде на себя, что отпустил Петю, ожидал его.
– Слава богу! – крикнул он. – Ну, слава богу! – повторял он, слушая восторженный рассказ Пети. – И чег'т тебя возьми, из за тебя не спал! – проговорил Денисов. – Ну, слава богу, тепег'ь ложись спать. Еще вздг'емнем до утг'а.
– Да… Нет, – сказал Петя. – Мне еще не хочется спать. Да я и себя знаю, ежели засну, так уж кончено. И потом я привык не спать перед сражением.
Петя посидел несколько времени в избе, радостно вспоминая подробности своей поездки и живо представляя себе то, что будет завтра. Потом, заметив, что Денисов заснул, он встал и пошел на двор.
На дворе еще было совсем темно. Дождик прошел, но капли еще падали с деревьев. Вблизи от караулки виднелись черные фигуры казачьих шалашей и связанных вместе лошадей. За избушкой чернелись две фуры, у которых стояли лошади, и в овраге краснелся догоравший огонь. Казаки и гусары не все спали: кое где слышались, вместе с звуком падающих капель и близкого звука жевания лошадей, негромкие, как бы шепчущиеся голоса.
Петя вышел из сеней, огляделся в темноте и подошел к фурам. Под фурами храпел кто то, и вокруг них стояли, жуя овес, оседланные лошади. В темноте Петя узнал свою лошадь, которую он называл Карабахом, хотя она была малороссийская лошадь, и подошел к ней.
– Ну, Карабах, завтра послужим, – сказал он, нюхая ее ноздри и целуя ее.
– Что, барин, не спите? – сказал казак, сидевший под фурой.
– Нет; а… Лихачев, кажется, тебя звать? Ведь я сейчас только приехал. Мы ездили к французам. – И Петя подробно рассказал казаку не только свою поездку, но и то, почему он ездил и почему он считает, что лучше рисковать своей жизнью, чем делать наобум Лазаря.
– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?