Барицентр

В математике и физике барицентр или геометрический центр двумерной области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры. Определение распространяется на любой объект в n-мерном пространстве — барицентр является средним положением всех точек фигуры по всем координатным направлениям. Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

В физике термин «барицентр» может означать центр масс или центр тяжести в зависимости от контекста. Центр масс (и центр тяжести в постоянном гравитационном поле) является средним арифметическим всех точек с учётом локальной плотности или удельного веса. Если физический объект имеет постоянную плотность, то его центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Свойства

Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца или миски, например, лежат вне фигуры.

Если барицентр известен, он является фиксированной точкой группы изометрии симметрий фигуры. Барицентр объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии. Барицентры многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, окружность, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид, и т.д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников.

По те же самым причинам барицентр объекта с трансляционной симметрией не определён (или лежит вне пространства фигуры), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки.

Центроид треугольника

• Барицентр треугольника называется центроидом и лежит на пересечении трёх медиан, также он лежит на прямой Эйлера треугольника, которая также проходит через другие ключевые точки, включая ортоцентр и центр описанной окружности.

• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
  • В частности, если <math>M</math> — центроид треугольника <math>ABC</math> то для любой точки O верно, что

    <math>\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})</math>.

• Пусть M — любая точка на плоскости, на которой лежит треугольник с вершинами A, B и C и пусть G — центроид этого треугольника, тогда сумма квадратов расстояний от M до трёх вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний от центроида G до вершин треугольника плюс утроенное расстояние между M и G:

<math>MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2</math>.

• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин треугольника:

<math>AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)</math>.

• Центр масс сторон треугольника совпадает с центром вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с инцентром дополнительного треугольника или с центром Шпикера.
• Барицентр (точка пресечения медиан) треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведенные через нее три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трех из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально.
• О других свойствах центроида треугольника смотрите ниже.

Центроид четырехугольника

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

.

Определение местоположения барицентра

Метод отвеса

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как (a) на рисунке ниже, можно найти экспериментально с использованием отвеса и булавки путём нахождения центра масс тонкой пластины однородной плотности, имеющей ту же форму. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке (b). Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр (c)

(a)	(b)	(c)

Этот метод можно распространить (в теории) на вогнутые фигуры, когда барицентр лежит вне их, а также тела (постоянной плотности), но положение линии отвеса придётся отмечать каким-то иным способом.

Метод балансировки

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

Случай конечного множества точек

Барицентр конечного множества из <math>{k}</math> точек <math>\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_k</math> в <math>\mathbb{R}^n</math> находится по формуле

<math>\mathbf{G} = \frac{\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{x}_k}{k} </math>.

Эта точка минимизирует сумму квадратов расстояний между ней и точками множества.

С помощью геометрического разложения

Барицентр плоской фигуры <math>X</math> можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math>, найдя положение барицентров <math>G_i</math> и площадей <math>A_i</math> каждой части, а затем вычислив

<math> G_x = \frac{\sum G_{i_x} A_i}{\sum A_i} , G_y = \frac{\sum G_{i_y} A_i}{\sum A_i}</math>

Дыры в фигуре <math>X</math>, наложения частей, или части, выступающие за фигуру, можно рассматривать как фигуры с отрицательной площадью <math>A_i</math>. А именно, знак площади <math>A_i</math> нужно выбирать так, чтобы сумма знаков <math>A_i</math> для всех частей, включающих точку <math>p</math>, была равна 1, если <math>p</math> принадлежит <math>X</math>, и 0 в противном случае.

Например, фигуру (a) на рисунке справа легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком и круглое отверстие с отрицательным (b).

Барицентр каждой части легко найти в любом списке барицентров простых фигур (c). Затем вычисляется барицентр фигуры, как средневзвешенное трёх точек. Горизонтальное положение барицентра, считая от левого края фигуры, равно

<math>x = \frac{5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{1}{2}10^2 - 3 \times \pi2.5^2}{10^2 + \frac{1}{2}10^2 -\pi2.5^2} \approx 8.5.</math>

Вертикальное положение вычисляется аналогично.

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только <math>A_i</math> обозначают уже объёмы частей тела <math>X_i</math>, а не площади. Формула верна также для пространства <math>\R^d</math> любой размерности <math>d</math> при замене площади <math>d</math>-мерными мерами частей.

Интегрированием

Барицентр подмножества X пространства <math>\R^n</math> можно вычислить с помощью интеграла

<math>G = \frac{\int x g(x) \; dx}{\int g(x) \; dx}</math>

где интегрирование ведётся по всему пространству <math>\R^n</math>, а g является характеристической функцией подмножества, принимающей 1 внутри X и 0 вне его. Заметим, что знаменатель равен просто мере множества X. Формула неприменима к множеству нулевой меры, а также к множествам, для которых интеграл расходится.

Другая формула для барицентра

<math>G_k = \frac{\int z S_k(z) \; dz}{\int S_k(z) \; dz}</math>

где G_k является k-й координатой G, а S_k(z) — мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемой уравнением x_k = z. Снова знаменатель — это просто мера множества X.

Для плоской фигуры координатами барицентра будут

<math>G_{\mathrm x} = \frac{\int x S_{\mathrm y}(x) \; dx}{A}</math>

<math>G_{\mathrm y} = \frac{\int y S_{\mathrm x}(y) \; dy}{A}</math>

где A — площадь фигуры X, S_y(x) — длина пересечения X с вертикальной прямой с абциссой x, S_x(y) — аналогичная величина при обмене осей.

Для ограниченной области

Координаты барицентра <math>(\bar{x},\;\bar{y})</math> области, ограниченной графиками непрерывных функций <math>f</math> и <math>g</math>, таких что <math>f(x) \geq g(x)</math> на интервале <math>[a, b]</math>, <math>a \leq x \leq b</math>, задаются выражениями

<math>\bar{x}=\frac{1}{A}\int_a^b x[f(x) - g(x)]\;dx</math>.

<math>\bar{y}=\frac{1}{A}\int_a^b \left[\frac{f(x) + g(x)}{2}\right][f(x) - g(x)]\;dx,</math>.

где <math>A</math> — площадь области (вычисляется по формуле <math>\int_a^b [f(x) - g(x)]\;dx</math>).

Объекта в форме буквы L

Метод нахождения барицентра фигуры, имеющей форму буквы L.

1. Делим фигуру на два прямоугольника как показано на fig 2. Находим барицентры этих двух прямоугольников как пересечение диагоналей. Рисуем отрезок, соединяющую барицентры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.
2. Делим фигуру на два прямоугольника другим способом (fig 3). Находим барицентры этих двух прямоугольников. Проводим отрезок, соединяющий центры. Барицентр фигуры должен лежать на отрезке CD.
3. Поскольку барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O не обязана лежать внутри фигуры.

Треугольника и тетраэдра

Барицентр треугольника совпадает с пересечением медиан. Барицентр разбивает каждую медиану в отношении 2:1, то есть барицентр находится на расстоянии ⅓ от стороны до противоположной вершины (см. рисунок). Его декартовыми координатами является среднее координат трёх вершин. То есть, если вершинами треугольника являются <math>a = (x_a, y_a),</math> <math>b = (x_b, y_b)</math> и <math>c = (x_c, y_c),</math> то барицентр вычисляется по формуле

<math>

 G = \frac13(a+b+c) = \left(\frac13 (x_a+x_b+x_c),\;\;
 \frac13(y_a+y_b+y_c)\right).</math>

Таким образом, барицентр имеет барицентрические координаты <math>\tfrac13:\tfrac13:\tfrac13</math>.

В трилинейных координатах барицентр можно получить одним из эквивалентных способов:

<math>G=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ca:ab=\csc A :\csc B:\csc C</math>

<math>=\cos A+\cos B \cdot \cos C:\cos B+\cos C \cdot \cos A: \cos C+\cos A \cdot \cos B</math>

<math>=\sec A+\sec B \cdot \sec C:\sec B+\sec C \cdot \sec A: \sec C+ \sec A \cdot\sec B.</math>

Барицентр является также физически центром масс треугольника, сделанного из однородного листового материала, а также если вся масса сконцентрирована в вершинах и одинаково разделена между ними. Если же масса распределена равномерно вдоль периметра, то центр масс лежит в точке Шпикера (инцентр серединного треугольника), который (в общем случае) не совпадает с центроидом всего треугольника.

Площадь треугольника равна 1.5 длины любой стороны, умноженной на расстояние от центроида до стороны .

Центроид треугольника лежит на прямой Эйлера между его ортоцентром H и центром его описанной окружности O, ровно вдвое ближе ко второму, чем к первому:

<math>GH=2GO.</math>

Кроме того, для инцентра I и центра девяти точек N, мы имеем

<math>GH=4GN,</math>

<math>GO=2GN,</math>

<math>IG< HG,</math>

<math>IH < HG,</math>

<math>IG< IO.</math>

Аналогичными свойствами обладает тетраэдр — его барицентр является пересечением отрезков, соединяющих вершины с барицентрами противоположных граней. Эти отрезки делятся барицентром в отношении 3:1. Результат обобщается на любой n-мерный симплекс очевидным способом. Если вершины симплекса обозначить <math>{v_0,\ldots,v_n}</math> и рассматривать вершины как вектора, центроид равен

<math>G = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i.</math>

Геометрический барицентр совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сконцентрирована в вершинах как n-равных масс.

Изогональным сопряжением центроида треугольника является точка пересечения его симедиан.

Барицентр многоугольника

Барицентром самонепересекающегося замкнутого многоугольника, заданного n вершинами (x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (x_n−1,y_n−1) является точка (G_x, G_y), где

<math>G_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

<math>G_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

и где A является площадью многоугольника (со знаком),

<math>A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)\;</math>.

В этой формуле предполагается, что вершины пронумерованы вдоль периметра многоугольника. Коме того, вершина ( x_n, y_n ) считается той же самой, что и ( x₀, y₀ ). Заметим, что если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A, вычисленная выше, будет отрицательной, но координаты барицентра подкорректируют этот случай.

Барицентр конуса и пирамиды

Барицентр конуса или пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину тела с барицентром основания. Для целого конуса или пирамиды барицентр находится на расстоянии 1/4 от основания к вершине. Для поверхности конуса или пирамиды (боковая поверхность без внутренности и без основания) центроид находится на 1/3 расстояния от основания до вершины.

Тетраэдр

Тетраэдр является телом в трёхмерном пространстве, имеющим четыре треугольника в качестве граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с барицентром противоположной грани, называется медианой, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, называется бимедианой. Таким образом, имеется четыре медианы и две бимедианы. Эти шесть отрезков пересекаются в барицентре тетраэдра. Барицентр тетраэдра лежит посередине между точкой Монжа и центром описанной сферы. Эти точки задают прямую Эйлера тетраэдра, являющуюся аналогом прямой Эйлера треугольника.

Смотрите также

• Центр масс
• Центроид треугольника
• Центр тяжести
• Центр Чебышева
• Среднее Фреше
• k-means
• Список барицентров
• Теоремы Паппа — Гульдина
• Замечательные точки треугольника

Литература

• Leung Kam-tim, Suen Suk-nam. Vectors, matrices and geometry. — Hong Kong University Press, 1994.

• Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. — 2nd. — New York: Barnes & Noble, 1925.
• Paul Bourke Calculating the area and centroid of a polygon.
• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007.
• David C. Kay. College Geometry. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
• Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. Calculus of a Single Variable. — 6th. — Houghton Mifflin Company, 1998.
• Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. College Calculus with Analytic Geometry. — 2nd. — Reading: Addison-Wesley, 1970.

Ссылки

• [faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
• [www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml Characteristic Property of Centroid] at cut-the-knot
• [www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml Barycentric Coordinates] at cut-the-knot
• Interactive animations showing [www.mathopenref.com/trianglecentroid.html Centroid of a triangle] and [www.mathopenref.com/constcentroid.html Centroid construction with compass and straightedge]
• [dynamicmathematicslearning.com/findingtrianglemedian.html Experimentally finding the medians and centroid of a triangle] at [dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.

Отрывок, характеризующий Барицентр

– Право, она очень мила! – сказал Ростов Ильину, выходившему с ним.
– Прелесть какая женщина! – с шестнадцатилетней серьезностью отвечал Ильин.
Через полчаса выстроенный эскадрон стоял на дороге. Послышалась команда: «Садись! – солдаты перекрестились и стали садиться. Ростов, выехав вперед, скомандовал: «Марш! – и, вытянувшись в четыре человека, гусары, звуча шлепаньем копыт по мокрой дороге, бренчаньем сабель и тихим говором, тронулись по большой, обсаженной березами дороге, вслед за шедшей впереди пехотой и батареей.
Разорванные сине лиловые тучи, краснея на восходе, быстро гнались ветром. Становилось все светлее и светлее. Ясно виднелась та курчавая травка, которая заседает всегда по проселочным дорогам, еще мокрая от вчерашнего дождя; висячие ветви берез, тоже мокрые, качались от ветра и роняли вбок от себя светлые капли. Яснее и яснее обозначались лица солдат. Ростов ехал с Ильиным, не отстававшим от него, стороной дороги, между двойным рядом берез.
Ростов в кампании позволял себе вольность ездить не на фронтовой лошади, а на казацкой. И знаток и охотник, он недавно достал себе лихую донскую, крупную и добрую игреневую лошадь, на которой никто не обскакивал его. Ехать на этой лошади было для Ростова наслаждение. Он думал о лошади, об утре, о докторше и ни разу не подумал о предстоящей опасности.
Прежде Ростов, идя в дело, боялся; теперь он не испытывал ни малейшего чувства страха. Не оттого он не боялся, что он привык к огню (к опасности нельзя привыкнуть), но оттого, что он выучился управлять своей душой перед опасностью. Он привык, идя в дело, думать обо всем, исключая того, что, казалось, было бы интереснее всего другого, – о предстоящей опасности. Сколько он ни старался, ни упрекал себя в трусости первое время своей службы, он не мог этого достигнуть; но с годами теперь это сделалось само собою. Он ехал теперь рядом с Ильиным между березами, изредка отрывая листья с веток, которые попадались под руку, иногда дотрогиваясь ногой до паха лошади, иногда отдавая, не поворачиваясь, докуренную трубку ехавшему сзади гусару, с таким спокойным и беззаботным видом, как будто он ехал кататься. Ему жалко было смотреть на взволнованное лицо Ильина, много и беспокойно говорившего; он по опыту знал то мучительное состояние ожидания страха и смерти, в котором находился корнет, и знал, что ничто, кроме времени, не поможет ему.
Только что солнце показалось на чистой полосе из под тучи, как ветер стих, как будто он не смел портить этого прелестного после грозы летнего утра; капли еще падали, но уже отвесно, – и все затихло. Солнце вышло совсем, показалось на горизонте и исчезло в узкой и длинной туче, стоявшей над ним. Через несколько минут солнце еще светлее показалось на верхнем крае тучи, разрывая ее края. Все засветилось и заблестело. И вместе с этим светом, как будто отвечая ему, раздались впереди выстрелы орудий.
Не успел еще Ростов обдумать и определить, как далеки эти выстрелы, как от Витебска прискакал адъютант графа Остермана Толстого с приказанием идти на рысях по дороге.
Эскадрон объехал пехоту и батарею, также торопившуюся идти скорее, спустился под гору и, пройдя через какую то пустую, без жителей, деревню, опять поднялся на гору. Лошади стали взмыливаться, люди раскраснелись.
– Стой, равняйся! – послышалась впереди команда дивизионера.
– Левое плечо вперед, шагом марш! – скомандовали впереди.
И гусары по линии войск прошли на левый фланг позиции и стали позади наших улан, стоявших в первой линии. Справа стояла наша пехота густой колонной – это были резервы; повыше ее на горе видны были на чистом чистом воздухе, в утреннем, косом и ярком, освещении, на самом горизонте, наши пушки. Впереди за лощиной видны были неприятельские колонны и пушки. В лощине слышна была наша цепь, уже вступившая в дело и весело перещелкивающаяся с неприятелем.
Ростову, как от звуков самой веселой музыки, стало весело на душе от этих звуков, давно уже не слышанных. Трап та та тап! – хлопали то вдруг, то быстро один за другим несколько выстрелов. Опять замолкло все, и опять как будто трескались хлопушки, по которым ходил кто то.
Гусары простояли около часу на одном месте. Началась и канонада. Граф Остерман с свитой проехал сзади эскадрона, остановившись, поговорил с командиром полка и отъехал к пушкам на гору.
Вслед за отъездом Остермана у улан послышалась команда:
– В колонну, к атаке стройся! – Пехота впереди их вздвоила взводы, чтобы пропустить кавалерию. Уланы тронулись, колеблясь флюгерами пик, и на рысях пошли под гору на французскую кавалерию, показавшуюся под горой влево.
Как только уланы сошли под гору, гусарам ведено было подвинуться в гору, в прикрытие к батарее. В то время как гусары становились на место улан, из цепи пролетели, визжа и свистя, далекие, непопадавшие пули.
Давно не слышанный этот звук еще радостнее и возбудительное подействовал на Ростова, чем прежние звуки стрельбы. Он, выпрямившись, разглядывал поле сражения, открывавшееся с горы, и всей душой участвовал в движении улан. Уланы близко налетели на французских драгун, что то спуталось там в дыму, и через пять минут уланы понеслись назад не к тому месту, где они стояли, но левее. Между оранжевыми уланами на рыжих лошадях и позади их, большой кучей, видны были синие французские драгуны на серых лошадях.


Ростов своим зорким охотничьим глазом один из первых увидал этих синих французских драгун, преследующих наших улан. Ближе, ближе подвигались расстроенными толпами уланы, и французские драгуны, преследующие их. Уже можно было видеть, как эти, казавшиеся под горой маленькими, люди сталкивались, нагоняли друг друга и махали руками или саблями.
Ростов, как на травлю, смотрел на то, что делалось перед ним. Он чутьем чувствовал, что ежели ударить теперь с гусарами на французских драгун, они не устоят; но ежели ударить, то надо было сейчас, сию минуту, иначе будет уже поздно. Он оглянулся вокруг себя. Ротмистр, стоя подле него, точно так же не спускал глаз с кавалерии внизу.
– Андрей Севастьяныч, – сказал Ростов, – ведь мы их сомнем…
– Лихая бы штука, – сказал ротмистр, – а в самом деле…
Ростов, не дослушав его, толкнул лошадь, выскакал вперед эскадрона, и не успел он еще скомандовать движение, как весь эскадрон, испытывавший то же, что и он, тронулся за ним. Ростов сам не знал, как и почему он это сделал. Все это он сделал, как он делал на охоте, не думая, не соображая. Он видел, что драгуны близко, что они скачут, расстроены; он знал, что они не выдержат, он знал, что была только одна минута, которая не воротится, ежели он упустит ее. Пули так возбудительно визжали и свистели вокруг него, лошадь так горячо просилась вперед, что он не мог выдержать. Он тронул лошадь, скомандовал и в то же мгновение, услыхав за собой звук топота своего развернутого эскадрона, на полных рысях, стал спускаться к драгунам под гору. Едва они сошли под гору, как невольно их аллюр рыси перешел в галоп, становившийся все быстрее и быстрее по мере того, как они приближались к своим уланам и скакавшим за ними французским драгунам. Драгуны были близко. Передние, увидав гусар, стали поворачивать назад, задние приостанавливаться. С чувством, с которым он несся наперерез волку, Ростов, выпустив во весь мах своего донца, скакал наперерез расстроенным рядам французских драгун. Один улан остановился, один пеший припал к земле, чтобы его не раздавили, одна лошадь без седока замешалась с гусарами. Почти все французские драгуны скакали назад. Ростов, выбрав себе одного из них на серой лошади, пустился за ним. По дороге он налетел на куст; добрая лошадь перенесла его через него, и, едва справясь на седле, Николай увидал, что он через несколько мгновений догонит того неприятеля, которого он выбрал своей целью. Француз этот, вероятно, офицер – по его мундиру, согнувшись, скакал на своей серой лошади, саблей подгоняя ее. Через мгновенье лошадь Ростова ударила грудью в зад лошади офицера, чуть не сбила ее с ног, и в то же мгновенье Ростов, сам не зная зачем, поднял саблю и ударил ею по французу.
В то же мгновение, как он сделал это, все оживление Ростова вдруг исчезло. Офицер упал не столько от удара саблей, который только слегка разрезал ему руку выше локтя, сколько от толчка лошади и от страха. Ростов, сдержав лошадь, отыскивал глазами своего врага, чтобы увидать, кого он победил. Драгунский французский офицер одной ногой прыгал на земле, другой зацепился в стремени. Он, испуганно щурясь, как будто ожидая всякую секунду нового удара, сморщившись, с выражением ужаса взглянул снизу вверх на Ростова. Лицо его, бледное и забрызганное грязью, белокурое, молодое, с дырочкой на подбородке и светлыми голубыми глазами, было самое не для поля сражения, не вражеское лицо, а самое простое комнатное лицо. Еще прежде, чем Ростов решил, что он с ним будет делать, офицер закричал: «Je me rends!» [Сдаюсь!] Он, торопясь, хотел и не мог выпутать из стремени ногу и, не спуская испуганных голубых глаз, смотрел на Ростова. Подскочившие гусары выпростали ему ногу и посадили его на седло. Гусары с разных сторон возились с драгунами: один был ранен, но, с лицом в крови, не давал своей лошади; другой, обняв гусара, сидел на крупе его лошади; третий взлеаал, поддерживаемый гусаром, на его лошадь. Впереди бежала, стреляя, французская пехота. Гусары торопливо поскакали назад с своими пленными. Ростов скакал назад с другими, испытывая какое то неприятное чувство, сжимавшее ему сердце. Что то неясное, запутанное, чего он никак не мог объяснить себе, открылось ему взятием в плен этого офицера и тем ударом, который он нанес ему.
Граф Остерман Толстой встретил возвращавшихся гусар, подозвал Ростова, благодарил его и сказал, что он представит государю о его молодецком поступке и будет просить для него Георгиевский крест. Когда Ростова потребовали к графу Остерману, он, вспомнив о том, что атака его была начата без приказанья, был вполне убежден, что начальник требует его для того, чтобы наказать его за самовольный поступок. Поэтому лестные слова Остермана и обещание награды должны бы были тем радостнее поразить Ростова; но все то же неприятное, неясное чувство нравственно тошнило ему. «Да что бишь меня мучает? – спросил он себя, отъезжая от генерала. – Ильин? Нет, он цел. Осрамился я чем нибудь? Нет. Все не то! – Что то другое мучило его, как раскаяние. – Да, да, этот французский офицер с дырочкой. И я хорошо помню, как рука моя остановилась, когда я поднял ее».
Ростов увидал отвозимых пленных и поскакал за ними, чтобы посмотреть своего француза с дырочкой на подбородке. Он в своем странном мундире сидел на заводной гусарской лошади и беспокойно оглядывался вокруг себя. Рана его на руке была почти не рана. Он притворно улыбнулся Ростову и помахал ему рукой, в виде приветствия. Ростову все так же было неловко и чего то совестно.
Весь этот и следующий день друзья и товарищи Ростова замечали, что он не скучен, не сердит, но молчалив, задумчив и сосредоточен. Он неохотно пил, старался оставаться один и о чем то все думал.
Ростов все думал об этом своем блестящем подвиге, который, к удивлению его, приобрел ему Георгиевский крест и даже сделал ему репутацию храбреца, – и никак не мог понять чего то. «Так и они еще больше нашего боятся! – думал он. – Так только то и есть всего, то, что называется геройством? И разве я это делал для отечества? И в чем он виноват с своей дырочкой и голубыми глазами? А как он испугался! Он думал, что я убью его. За что ж мне убивать его? У меня рука дрогнула. А мне дали Георгиевский крест. Ничего, ничего не понимаю!»
Но пока Николай перерабатывал в себе эти вопросы и все таки не дал себе ясного отчета в том, что так смутило его, колесо счастья по службе, как это часто бывает, повернулось в его пользу. Его выдвинули вперед после Островненского дела, дали ему батальон гусаров и, когда нужно было употребить храброго офицера, давали ему поручения.


Получив известие о болезни Наташи, графиня, еще не совсем здоровая и слабая, с Петей и со всем домом приехала в Москву, и все семейство Ростовых перебралось от Марьи Дмитриевны в свой дом и совсем поселилось в Москве.
Болезнь Наташи была так серьезна, что, к счастию ее и к счастию родных, мысль о всем том, что было причиной ее болезни, ее поступок и разрыв с женихом перешли на второй план. Она была так больна, что нельзя было думать о том, насколько она была виновата во всем случившемся, тогда как она не ела, не спала, заметно худела, кашляла и была, как давали чувствовать доктора, в опасности. Надо было думать только о том, чтобы помочь ей. Доктора ездили к Наташе и отдельно и консилиумами, говорили много по французски, по немецки и по латыни, осуждали один другого, прописывали самые разнообразные лекарства от всех им известных болезней; но ни одному из них не приходила в голову та простая мысль, что им не может быть известна та болезнь, которой страдала Наташа, как не может быть известна ни одна болезнь, которой одержим живой человек: ибо каждый живой человек имеет свои особенности и всегда имеет особенную и свою новую, сложную, неизвестную медицине болезнь, не болезнь легких, печени, кожи, сердца, нервов и т. д., записанных в медицине, но болезнь, состоящую из одного из бесчисленных соединений в страданиях этих органов. Эта простая мысль не могла приходить докторам (так же, как не может прийти колдуну мысль, что он не может колдовать) потому, что их дело жизни состояло в том, чтобы лечить, потому, что за то они получали деньги, и потому, что на это дело они потратили лучшие годы своей жизни. Но главное – мысль эта не могла прийти докторам потому, что они видели, что они несомненно полезны, и были действительно полезны для всех домашних Ростовых. Они были полезны не потому, что заставляли проглатывать больную большей частью вредные вещества (вред этот был мало чувствителен, потому что вредные вещества давались в малом количестве), но они полезны, необходимы, неизбежны были (причина – почему всегда есть и будут мнимые излечители, ворожеи, гомеопаты и аллопаты) потому, что они удовлетворяли нравственной потребности больной и людей, любящих больную. Они удовлетворяли той вечной человеческой потребности надежды на облегчение, потребности сочувствия и деятельности, которые испытывает человек во время страдания. Они удовлетворяли той вечной, человеческой – заметной в ребенке в самой первобытной форме – потребности потереть то место, которое ушиблено. Ребенок убьется и тотчас же бежит в руки матери, няньки для того, чтобы ему поцеловали и потерли больное место, и ему делается легче, когда больное место потрут или поцелуют. Ребенок не верит, чтобы у сильнейших и мудрейших его не было средств помочь его боли. И надежда на облегчение и выражение сочувствия в то время, как мать трет его шишку, утешают его. Доктора для Наташи были полезны тем, что они целовали и терли бобо, уверяя, что сейчас пройдет, ежели кучер съездит в арбатскую аптеку и возьмет на рубль семь гривен порошков и пилюль в хорошенькой коробочке и ежели порошки эти непременно через два часа, никак не больше и не меньше, будет в отварной воде принимать больная.
Что же бы делали Соня, граф и графиня, как бы они смотрели на слабую, тающую Наташу, ничего не предпринимая, ежели бы не было этих пилюль по часам, питья тепленького, куриной котлетки и всех подробностей жизни, предписанных доктором, соблюдать которые составляло занятие и утешение для окружающих? Чем строже и сложнее были эти правила, тем утешительнее было для окружающих дело. Как бы переносил граф болезнь своей любимой дочери, ежели бы он не знал, что ему стоила тысячи рублей болезнь Наташи и что он не пожалеет еще тысяч, чтобы сделать ей пользу: ежели бы он не знал, что, ежели она не поправится, он не пожалеет еще тысяч и повезет ее за границу и там сделает консилиумы; ежели бы он не имел возможности рассказывать подробности о том, как Метивье и Феллер не поняли, а Фриз понял, и Мудров еще лучше определил болезнь? Что бы делала графиня, ежели бы она не могла иногда ссориться с больной Наташей за то, что она не вполне соблюдает предписаний доктора?