Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина <math>Y</math> называется бесконечно делимой, если для любого <math>n \in \mathbb{N}</math> она может быть представлена в виде

<math>Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i</math>,

где <math>\left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n</math> - независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция <math>\phi_Y(t)</math> бесконечно делимой случайной величины <math>Y</math> имеет вид:

<math>\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}}(t)</math>.

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения <math>\Phi(x)</math> c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции имел вид: <math>\ln \phi(t) = i \gamma t + \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{itx} - 1 - itx}{x^2} dG(x) </math>, где <math>\gamma</math> - вещественная постоянная, а <math>G(x)</math> - неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть <math>\phi(t)</math> - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации <math>G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, такая что

<math>\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)</math>

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство <math>(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)</math>, где

<math>m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}</math>

для некоторого <math>\lambda > 0</math>. Тогда случайная величина <math>X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math>, имеющая вид

<math>X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}</math>

не является бесконечно делимой.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.

Отрывок, характеризующий Бесконечно делимое распределение

Из молодежи, не считая старшей дочери графини (которая была четырьмя годами старше сестры и держала себя уже, как большая) и гостьи барышни, в гостиной остались Николай и Соня племянница. Соня была тоненькая, миниатюрненькая брюнетка с мягким, отененным длинными ресницами взглядом, густой черною косой, два раза обвившею ее голову, и желтоватым оттенком кожи на лице и в особенности на обнаженных худощавых, но грациозных мускулистых руках и шее. Плавностью движений, мягкостью и гибкостью маленьких членов и несколько хитрою и сдержанною манерой она напоминала красивого, но еще не сформировавшегося котенка, который будет прелестною кошечкой. Она, видимо, считала приличным выказывать улыбкой участие к общему разговору; но против воли ее глаза из под длинных густых ресниц смотрели на уезжавшего в армию cousin [двоюродного брата] с таким девическим страстным обожанием, что улыбка ее не могла ни на мгновение обмануть никого, и видно было, что кошечка присела только для того, чтоб еще энергичнее прыгнуть и заиграть с своим соusin, как скоро только они так же, как Борис с Наташей, выберутся из этой гостиной.
– Да, ma chere, – сказал старый граф, обращаясь к гостье и указывая на своего Николая. – Вот его друг Борис произведен в офицеры, и он из дружбы не хочет отставать от него; бросает и университет и меня старика: идет в военную службу, ma chere. А уж ему место в архиве было готово, и всё. Вот дружба то? – сказал граф вопросительно.
– Да ведь война, говорят, объявлена, – сказала гостья.
– Давно говорят, – сказал граф. – Опять поговорят, поговорят, да так и оставят. Ma chere, вот дружба то! – повторил он. – Он идет в гусары.
Гостья, не зная, что сказать, покачала головой.
– Совсем не из дружбы, – отвечал Николай, вспыхнув и отговариваясь как будто от постыдного на него наклепа. – Совсем не дружба, а просто чувствую призвание к военной службе.
Он оглянулся на кузину и на гостью барышню: обе смотрели на него с улыбкой одобрения.
– Нынче обедает у нас Шуберт, полковник Павлоградского гусарского полка. Он был в отпуску здесь и берет его с собой. Что делать? – сказал граф, пожимая плечами и говоря шуточно о деле, которое, видимо, стоило ему много горя.
– Я уж вам говорил, папенька, – сказал сын, – что ежели вам не хочется меня отпустить, я останусь. Но я знаю, что я никуда не гожусь, кроме как в военную службу; я не дипломат, не чиновник, не умею скрывать того, что чувствую, – говорил он, всё поглядывая с кокетством красивой молодости на Соню и гостью барышню.