Бикватернион

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Определение

Бикватернионы можно описать как множества чисел вида «<math>w+x*i+y*j+z*k</math>»,   где w, x, y, z — есть те или иные «специальные комплексные числа». Альтернативный способ введения — Процедура Кэли — Диксона: это гиперкомплексные числа вида «<math>a+I*b</math>»,  где a, b — любые кватернионы, а I — «мнимая единица расширения». Известны три разных вида бикватернионов, в зависимости от того, какого типа «комплексные» числа положены в основу этого представления (иначе говоря, каковы свойства расширяемой операции умножения для числа «I»):

• эллиптические (ординарные) (если <math>I^2=-1</math>);
• параболические (дуальные) (если <math>I^2=0</math>);
• гиперболические (двойные) (если <math>I^2=+1.</math>)

История и применения

Об ординарных бикватернионах написал Гамильтон в 1844 г. (см. Труды Ирландской Королевской Академии 1844 и 1850 стр.388). В число наиболее видных сторонников этих бикватернионов следует включить Александра Макфарлейна (en:Alexander Macfarlane), Артура У. Конвея, Людвика Зильберштейна (en:Ludwik Silberstein) и Корнелиуса Ланцоша. Единичная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца, на которой основана специальная теория относительности.

Двойные кватернионы изучал Клиффорд, Уильям. Дуальные кватернионы инструментально обеспечивают нестандартный анализ обычных кватернионов. Далее, если не оговорено, речь идёт об ординарных бикватернионах.

Свойства

«Алгебра бикватернионов» есть тензорное произведение алгебр C⊗H (взятое над вещественными числами), где C — та или иная алгебра комплексных чисел, а H — алгебра обычных (вещественных) кватернионов. Как C-алгебра бикватернионы изоморфны алгебре комплексных матриц 2x2 M₂(C).

Матричное представление

Есть три комплексные матрицы, для которых: <math>\begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}.</math>  Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица», а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел i*j = k; j*i = -k. Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов. Следовательно, если сопоставить матрице <math>\begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix}</math> бикватернион q == u*1 + v*i + w*j + x*k, то для данной 2×2 комплексной матрицы, всегда существуют комплексные величины u, v, w, x в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно кольцу (ординарных) бикватернионов.

Подалгебры

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов как алгебры над полем вещественных чисел R, набор {1, I, i, Ii, j, Ij, k, Ik} образует базис, эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов Ii, Ij, Ik ="+1". Значит, вещественная подалгебра, образуемая <math>\lbrace x + y(Ii) : x, y \in R \rbrace </math> изоморфна кольцу, которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой аналогичной строящейся над единичной гиперболой). Элементы Ij, Ik определяют такие же подалгебры.

Элементы <math>\lbrace x + yj : x,y \in C \rbrace</math> образуют подалгебру изоморфную бикомплексным числам (tessarine).

Третий вид подалгебры, т. н. «кокватернионы», порождается Ij, Ik, так как вещественное линейное подпространство с базисом {1, i, Ij, Ik} замкнуто по умножению (ведь Ij*Ik=-i). Указанный базис образует диэдрическую группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра, трактуют бикватернионы Ii, Ij, Ik (или их отрицание), рассматривая их в преставлении M(2,C), как матрицы Паули.

Ссылки

• [karataev.nm.ru/hipclass/file9.html Бикватернионы] (ординарные) — популярное изложение
• Vladislav V Kravchenko Applied Quaternionic Analysis. Heldermann 2003, — 134p. ISBN 3-88538-228-8 (см.)

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Бикватернион

Все стояли в унылом молчании. Высокий малый водил губами и пошатывался.
– У него спросить бы!.. Это сам и есть?.. Как же, успросил!.. А то что ж… Он укажет… – вдруг послышалось в задних рядах толпы, и общее внимание обратилось на выезжавшие на площадь дрожки полицеймейстера, сопутствуемого двумя конными драгунами.
Полицеймейстер, ездивший в это утро по приказанию графа сжигать барки и, по случаю этого поручения, выручивший большую сумму денег, находившуюся у него в эту минуту в кармане, увидав двинувшуюся к нему толпу людей, приказал кучеру остановиться.
– Что за народ? – крикнул он на людей, разрозненно и робко приближавшихся к дрожкам. – Что за народ? Я вас спрашиваю? – повторил полицеймейстер, не получавший ответа.
– Они, ваше благородие, – сказал приказный во фризовой шинели, – они, ваше высокородие, по объявлению сиятельнейшего графа, не щадя живота, желали послужить, а не то чтобы бунт какой, как сказано от сиятельнейшего графа…
– Граф не уехал, он здесь, и об вас распоряжение будет, – сказал полицеймейстер. – Пошел! – сказал он кучеру. Толпа остановилась, скучиваясь около тех, которые слышали то, что сказало начальство, и глядя на отъезжающие дрожки.
Полицеймейстер в это время испуганно оглянулся, что то сказал кучеру, и лошади его поехали быстрее.
– Обман, ребята! Веди к самому! – крикнул голос высокого малого. – Не пущай, ребята! Пущай отчет подаст! Держи! – закричали голоса, и народ бегом бросился за дрожками.
Толпа за полицеймейстером с шумным говором направилась на Лубянку.
– Что ж, господа да купцы повыехали, а мы за то и пропадаем? Что ж, мы собаки, что ль! – слышалось чаще в толпе.


Вечером 1 го сентября, после своего свидания с Кутузовым, граф Растопчин, огорченный и оскорбленный тем, что его не пригласили на военный совет, что Кутузов не обращал никакого внимания на его предложение принять участие в защите столицы, и удивленный новым открывшимся ему в лагере взглядом, при котором вопрос о спокойствии столицы и о патриотическом ее настроении оказывался не только второстепенным, но совершенно ненужным и ничтожным, – огорченный, оскорбленный и удивленный всем этим, граф Растопчин вернулся в Москву. Поужинав, граф, не раздеваясь, прилег на канапе и в первом часу был разбужен курьером, который привез ему письмо от Кутузова. В письме говорилось, что так как войска отступают на Рязанскую дорогу за Москву, то не угодно ли графу выслать полицейских чиновников, для проведения войск через город. Известие это не было новостью для Растопчина. Не только со вчерашнего свиданья с Кутузовым на Поклонной горе, но и с самого Бородинского сражения, когда все приезжавшие в Москву генералы в один голос говорили, что нельзя дать еще сражения, и когда с разрешения графа каждую ночь уже вывозили казенное имущество и жители до половины повыехали, – граф Растопчин знал, что Москва будет оставлена; но тем не менее известие это, сообщенное в форме простой записки с приказанием от Кутузова и полученное ночью, во время первого сна, удивило и раздражило графа.
Впоследствии, объясняя свою деятельность за это время, граф Растопчин в своих записках несколько раз писал, что у него тогда было две важные цели: De maintenir la tranquillite a Moscou et d'en faire partir les habitants. [Сохранить спокойствие в Москве и выпроводить из нее жителей.] Если допустить эту двоякую цель, всякое действие Растопчина оказывается безукоризненным. Для чего не вывезена московская святыня, оружие, патроны, порох, запасы хлеба, для чего тысячи жителей обмануты тем, что Москву не сдадут, и разорены? – Для того, чтобы соблюсти спокойствие в столице, отвечает объяснение графа Растопчина. Для чего вывозились кипы ненужных бумаг из присутственных мест и шар Леппиха и другие предметы? – Для того, чтобы оставить город пустым, отвечает объяснение графа Растопчина. Стоит только допустить, что что нибудь угрожало народному спокойствию, и всякое действие становится оправданным.
Все ужасы террора основывались только на заботе о народном спокойствии.