Больцано, Бернард

Бернард Больцано
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano
Научная сфера:	математика, философия, теология
Известен как:	автор арифметической теории вещественного числа

Бернард Больца́но (чеш. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 5 октября 1781, Прага — 18 декабря 1848) — чешский математик, философ и теолог, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.

Биография

Бернард Больцано родился 5 октября 1781 года в городе Праге в семье выходца из Северной Италии.

В 1796 году поступил в Карлов университет в Праге, сначала изучал математику, философию и физику на факультете философии, с 1800 — теологию на факультете теологии, в 1804 году принял сан католического священника. В 1805 году получил новообразованную кафедру истории и философии религии и защитил докторскую диссертацию . В 1818 году избран деканом философского факультета. Труды периода до 1819 года в основном относятся к теологии и философии, в них оппонировал Канту, выступал против психологизма в логике и чёткое разграничение логического и психологического.

Свободомыслие Больцано вызвало раздражение церковных властей, Папа римский потребовал у австрийского императора сместить Больцано. В 1820 году решением императора Больцано был снят со всех постов в университете и взят под надзор полиции. Больцано уехал в деревню и посвятил себя математике и логике.

В 1843 году Больцано заболел воспалением легких в тяжёлой форме. Осенью 1848 года его состояние ухудшилось, и 18 декабря 1848 года он умер в пражской больнице. Похоронен на Ольшанском кладбище.

Научная деятельность

При жизни Больцано опубликовал только пять небольших работ по математике и несколько анонимных философских трактатов. Они значительно опередили научный уровень того времени и не привлекли внимания научной общественности. Только в конце XIX века, когда эти идеи независимо переоткрыли Вейерштрасс и Дедекинд, историки обнаружили и оценили по заслугам сочинения Больцано, и прежде всего его строгое обоснование математического анализа, построенное в работе «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один вещественный корень уравнения». Больцано также на четыре года раньше Коши и более строго, чем он, вывел необходимое условие сходимости вещественных рядов.

В работе 1830 года Больцано нашёл первые примеры непрерывных нигде не дифференцируемых функций.

В труде «Наукоучение» (1837, нем. Wissenschaftslehre) представил объемлющее изложение традиционных логических учений.

В работе «Парадоксы бесконечного» (нем. Paradoxien des Unendlichen), впервые изданной уже посмертно в 1851 году, сформулировал идеи, близкие к наивной теории множеств Кантора. В этой работе Больцано ввёл понятие множества и взаимно-однозначного соответствия. Также в этой работе была доказано утверждение о наличии предельной точки у любого бесконечного ограниченного множества, ставшее позднее известным как теорема Больцано — Вейерштрасса.

Философские взгляды

Философские идеи Больцано содержатся главным образом в сочинениях «Наукоучение», «Парадоксы бесконечного» и «Атаназия, или Мысли о бессмертии души». В философии Больцано был убеждённым метафизиком и последователем Лейбница, идеи которого развивал вполне самостоятельно. На его философские взгляды повлияли также сочинения Аристотеля, Гоббса, Спинозы и естественнонаучные открытия его времени. В то же время философ остался в стороне от какого-либо влияния Канта, к идеям которого относился весьма критически. Больцано отвергал учение Канта о невозможности метафизического познания, а в его аргументах находил массу противоречий и логических ошибок. В основе метафизики Больцано лежит понятие субстанции. Субстанция есть то, что существует само по себе, в отличие от свойств или атрибутов, которые существуют только в другом предмете. Субстанция является носительницей своих свойств, сама же не может быть свойством другой вещи. Невоспринимаемость субстанции не есть повод отрицать её существование. Все воспринимаемые вещи состоят из бесчисленного множества субстанций, которые Больцано понимал по образцу монад Лейбница. Впрочем, в отличие от Лейбница, он не называл субстанцию монадой и иногда говорил о ней как об атоме.

Главным свойством единичной субстанции является активная сила представления. Образцом всякой субстанции является человеческая душа; все органические и неорганические тела вселенной состоят из субстанций, подобных нашей душе. В природе нет ничего безжизненного; даже простейшие существа — черви, полипы, инфузории — обладают способностью ощущения и представления. Возникновение живого из неживого противоречит законам логики, поэтому элементарную способность ощущения следует предположить и в неорганической природе. Отличие органических от неорганических тел объясняется наличием в них господствующей субстанции, которая, собственно, и называется душой. Отдельные субстанции отличаются между собой различной силой представления; субстанции, обладающие наибольшей силой представления, являются душами.

Все субстанции наделены внутренними силами, простейшими из которых являются силы притяжения и отталкивания. В отличие от Лейбница, Больцано признавал между субстанциями реальное взаимодействие и отвергал учение о предустановленной гармонии. Никакое действие субстанции не осуществляется только из внутренних причин; каждая субстанция находится во взаимодействии с другими субстанциями. Действие исключительно от себя характерно только для Бога. Больцано отвергал механистический детерминизм, настаивая на необходимости различать внешние и внутренние причины. Чем больше субстанция действует из внутренних причин, тем она свободнее. В основе эволюции и прогресса, наблюдаемых в мире, лежит способность субстанций к увеличению и уменьшению силы. Развитие субстанции идёт в направлении всё большей свободы, то есть всё большей зависимости от внутренних причин. Подлинно свободными являются только разумные существа. В учении о пространстве и времени Больцано отвергал теорию Канта об априорности и разделял мнение Лейбница, рассматривавшего их как формы отношений между вещами. Физическое протяжение образуется множеством субстанций, подобно тому как геометрическое протяжение создаётся множеством точек. Не существует пустого пространства и абсолютного времени, ибо отношение субстанций не может существовать в отсутствие самих субстанций. Все субстанции обладают индивидуальностью и изменчивостью, тогда как точки пространства и моменты времени лишены этих свойств и являются чистыми абстракциями.

Особое место в творчестве Больцано занимали вопросы религии, которым он придавал большое значение. Основание для веры в Бога философ находил в своей логике, соглашаясь с доказательствами бытия Бога у Лейбница и отвергая основанную на практических постулатах религию Канта. Религия, полагал Больцано, не выводится из морали; невозможно верить в Бога, свободу и бессмертие, если для этого нет объективных оснований. Будучи верующим католиком, Больцано критически относился к традиционному богословию и разделял идеи католического просвещения, из-за чего имел репутацию вольнодумца. Сущность христианства он полагал в следовании нравственному закону, а в текстах Священного Писания видел нравоучительные истории, не содержащие объективной истины и требующие аллегорического толкования.

В сочинении «Атаназия, или Мысли о бессмертии души» Больцано обосновывал веру в бессмертие, опираясь на идею неуничтожимости субстанций. Все сложные тела в природе возникают и исчезают, распадаясь на отдельные субстанции; однако душа не является ни одной из этих сложных вещей. Напротив, сама будучи субстанцией, она не подлежит возникновению и уничтожению и не может распасться на части. Существование души не зависит от существования тела; в течение жизни наше тело постоянно меняется, в то время как наше «я» остаётся тождественным самому себе. Душа не содержится в органах чувств или в какой-либо иной части тела. Она уже многократно переживала смерть тела в прошлом и переживёт её в будущем.

Сочинения

• 1810: Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik
• 1810: Über die Vaterlandsliebe
• 1816: Der binomische Lehrsatz
• 1816: Über das Verhältnis der beiden Volksstämme in Böhmen
• 1817: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege
• 1827: Athanasia oder Gründe für die Unsterblichkeit der Seele
• 1834: Lehrbuch der Religionswissenschaft
• 1837: Wissenschaftslehre
• 1843: Über den Begriff des Schönen
• 1849: Über die Eintheilung der schönen Künste
• 1851: Paradoxien des Unendlichen
• 1867: Anti-Euklid
• 1875: Größenlehre

Издания

• Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один вещественный корень уравнения. В кн.: Э. Кольман. Бернард Больцано. М.: Изд. АН СССР, 1955, с. 170—204. (Переиздано в кн: Больцано, Коши, Дедекинд, Кантор. Непрерывность функций и числовых областей. Новосибирск, АНТ, 1998.)
• [www.mathesis.ru/book/bolzano Парадоксы безконечнаго]. Одесса: Mathesis, 1911. (Переиздано в современной орфографии в кн: Парадоксы бесконечного. Минск: Изд. В. П. Ильина, 1999, с. 75-196.)
• Больцано Б. Учение о науке. - СПб.: "Наука", 2003. - 518 с. - ISBN 5-02-026846-1 .
• Schriften. Bd. I—II. Prag, 1930-31.
• Early mathematical works. Prague, 1981.

Литература

• Кольман Э. Бернард Больцано. М.: Изд. АН СССР, 1955.
• Колядко В. И. Бернард Больцано. М.: 1982.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.
• Рыхлик К. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 515-532.
• Больцано, Бернгард // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. [www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bolzano.html Больцано, Бернард] (англ.) — биография в архиве MacTutor.

Отрывок, характеризующий Больцано, Бернард

– Сделай это для нее, mon cher; всё таки она много пострадала от покойника, – сказал ему князь Василий, давая подписать какую то бумагу в пользу княжны.
Князь Василий решил, что эту кость, вексель в 30 т., надо было всё таки бросить бедной княжне с тем, чтобы ей не могло притти в голову толковать об участии князя Василия в деле мозаикового портфеля. Пьер подписал вексель, и с тех пор княжна стала еще добрее. Младшие сестры стали также ласковы к нему, в особенности самая младшая, хорошенькая, с родинкой, часто смущала Пьера своими улыбками и смущением при виде его.
Пьеру так естественно казалось, что все его любят, так казалось бы неестественно, ежели бы кто нибудь не полюбил его, что он не мог не верить в искренность людей, окружавших его. Притом ему не было времени спрашивать себя об искренности или неискренности этих людей. Ему постоянно было некогда, он постоянно чувствовал себя в состоянии кроткого и веселого опьянения. Он чувствовал себя центром какого то важного общего движения; чувствовал, что от него что то постоянно ожидается; что, не сделай он того, он огорчит многих и лишит их ожидаемого, а сделай то то и то то, всё будет хорошо, – и он делал то, что требовали от него, но это что то хорошее всё оставалось впереди.
Более всех других в это первое время как делами Пьера, так и им самим овладел князь Василий. Со смерти графа Безухого он не выпускал из рук Пьера. Князь Василий имел вид человека, отягченного делами, усталого, измученного, но из сострадания не могущего, наконец, бросить на произвол судьбы и плутов этого беспомощного юношу, сына его друга, apres tout, [в конце концов,] и с таким огромным состоянием. В те несколько дней, которые он пробыл в Москве после смерти графа Безухого, он призывал к себе Пьера или сам приходил к нему и предписывал ему то, что нужно было делать, таким тоном усталости и уверенности, как будто он всякий раз приговаривал:
«Vous savez, que je suis accable d'affaires et que ce n'est que par pure charite, que je m'occupe de vous, et puis vous savez bien, que ce que je vous propose est la seule chose faisable». [Ты знаешь, я завален делами; но было бы безжалостно покинуть тебя так; разумеется, что я тебе говорю, есть единственно возможное.]
– Ну, мой друг, завтра мы едем, наконец, – сказал он ему однажды, закрывая глаза, перебирая пальцами его локоть и таким тоном, как будто то, что он говорил, было давным давно решено между ними и не могло быть решено иначе.
– Завтра мы едем, я тебе даю место в своей коляске. Я очень рад. Здесь у нас всё важное покончено. А мне уж давно бы надо. Вот я получил от канцлера. Я его просил о тебе, и ты зачислен в дипломатический корпус и сделан камер юнкером. Теперь дипломатическая дорога тебе открыта.
Несмотря на всю силу тона усталости и уверенности, с которой произнесены были эти слова, Пьер, так долго думавший о своей карьере, хотел было возражать. Но князь Василий перебил его тем воркующим, басистым тоном, который исключал возможность перебить его речь и который употреблялся им в случае необходимости крайнего убеждения.
– Mais, mon cher, [Но, мой милый,] я это сделал для себя, для своей совести, и меня благодарить нечего. Никогда никто не жаловался, что его слишком любили; а потом, ты свободен, хоть завтра брось. Вот ты всё сам в Петербурге увидишь. И тебе давно пора удалиться от этих ужасных воспоминаний. – Князь Василий вздохнул. – Так так, моя душа. А мой камердинер пускай в твоей коляске едет. Ах да, я было и забыл, – прибавил еще князь Василий, – ты знаешь, mon cher, что у нас были счеты с покойным, так с рязанского я получил и оставлю: тебе не нужно. Мы с тобою сочтемся.
То, что князь Василий называл с «рязанского», было несколько тысяч оброка, которые князь Василий оставил у себя.
В Петербурге, так же как и в Москве, атмосфера нежных, любящих людей окружила Пьера. Он не мог отказаться от места или, скорее, звания (потому что он ничего не делал), которое доставил ему князь Василий, а знакомств, зовов и общественных занятий было столько, что Пьер еще больше, чем в Москве, испытывал чувство отуманенности, торопливости и всё наступающего, но не совершающегося какого то блага.
Из прежнего его холостого общества многих не было в Петербурге. Гвардия ушла в поход. Долохов был разжалован, Анатоль находился в армии, в провинции, князь Андрей был за границей, и потому Пьеру не удавалось ни проводить ночей, как он прежде любил проводить их, ни отводить изредка душу в дружеской беседе с старшим уважаемым другом. Всё время его проходило на обедах, балах и преимущественно у князя Василия – в обществе толстой княгини, его жены, и красавицы Элен.
Анна Павловна Шерер, так же как и другие, выказала Пьеру перемену, происшедшую в общественном взгляде на него.
Прежде Пьер в присутствии Анны Павловны постоянно чувствовал, что то, что он говорит, неприлично, бестактно, не то, что нужно; что речи его, кажущиеся ему умными, пока он готовит их в своем воображении, делаются глупыми, как скоро он громко выговорит, и что, напротив, самые тупые речи Ипполита выходят умными и милыми. Теперь всё, что ни говорил он, всё выходило charmant [очаровательно]. Ежели даже Анна Павловна не говорила этого, то он видел, что ей хотелось это сказать, и она только, в уважение его скромности, воздерживалась от этого.
В начале зимы с 1805 на 1806 год Пьер получил от Анны Павловны обычную розовую записку с приглашением, в котором было прибавлено: «Vous trouverez chez moi la belle Helene, qu'on ne se lasse jamais de voir». [у меня будет прекрасная Элен, на которую никогда не устанешь любоваться.]
Читая это место, Пьер в первый раз почувствовал, что между ним и Элен образовалась какая то связь, признаваемая другими людьми, и эта мысль в одно и то же время и испугала его, как будто на него накладывалось обязательство, которое он не мог сдержать, и вместе понравилась ему, как забавное предположение.
Вечер Анны Павловны был такой же, как и первый, только новинкой, которою угощала Анна Павловна своих гостей, был теперь не Мортемар, а дипломат, приехавший из Берлина и привезший самые свежие подробности о пребывании государя Александра в Потсдаме и о том, как два высочайшие друга поклялись там в неразрывном союзе отстаивать правое дело против врага человеческого рода. Пьер был принят Анной Павловной с оттенком грусти, относившейся, очевидно, к свежей потере, постигшей молодого человека, к смерти графа Безухого (все постоянно считали долгом уверять Пьера, что он очень огорчен кончиною отца, которого он почти не знал), – и грусти точно такой же, как и та высочайшая грусть, которая выражалась при упоминаниях об августейшей императрице Марии Феодоровне. Пьер почувствовал себя польщенным этим. Анна Павловна с своим обычным искусством устроила кружки своей гостиной. Большой кружок, где были князь Василий и генералы, пользовался дипломатом. Другой кружок был у чайного столика. Пьер хотел присоединиться к первому, но Анна Павловна, находившаяся в раздраженном состоянии полководца на поле битвы, когда приходят тысячи новых блестящих мыслей, которые едва успеваешь приводить в исполнение, Анна Павловна, увидев Пьера, тронула его пальцем за рукав.
– Attendez, j'ai des vues sur vous pour ce soir. [У меня есть на вас виды в этот вечер.] Она взглянула на Элен и улыбнулась ей. – Ma bonne Helene, il faut, que vous soyez charitable pour ma рauvre tante, qui a une adoration pour vous. Allez lui tenir compagnie pour 10 minutes. [Моя милая Элен, надо, чтобы вы были сострадательны к моей бедной тетке, которая питает к вам обожание. Побудьте с ней минут 10.] А чтоб вам не очень скучно было, вот вам милый граф, который не откажется за вами следовать.
Красавица направилась к тетушке, но Пьера Анна Павловна еще удержала подле себя, показывая вид, как будто ей надо сделать еще последнее необходимое распоряжение.
– Не правда ли, она восхитительна? – сказала она Пьеру, указывая на отплывающую величавую красавицу. – Et quelle tenue! [И как держит себя!] Для такой молодой девушки и такой такт, такое мастерское уменье держать себя! Это происходит от сердца! Счастлив будет тот, чьей она будет! С нею самый несветский муж будет невольно занимать самое блестящее место в свете. Не правда ли? Я только хотела знать ваше мнение, – и Анна Павловна отпустила Пьера.
Пьер с искренностью отвечал Анне Павловне утвердительно на вопрос ее об искусстве Элен держать себя. Ежели он когда нибудь думал об Элен, то думал именно о ее красоте и о том не обыкновенном ее спокойном уменьи быть молчаливо достойною в свете.
Тетушка приняла в свой уголок двух молодых людей, но, казалось, желала скрыть свое обожание к Элен и желала более выразить страх перед Анной Павловной. Она взглядывала на племянницу, как бы спрашивая, что ей делать с этими людьми. Отходя от них, Анна Павловна опять тронула пальчиком рукав Пьера и проговорила:
– J'espere, que vous ne direz plus qu'on s'ennuie chez moi, [Надеюсь, вы не скажете другой раз, что у меня скучают,] – и взглянула на Элен.
Элен улыбнулась с таким видом, который говорил, что она не допускала возможности, чтобы кто либо мог видеть ее и не быть восхищенным. Тетушка прокашлялась, проглотила слюни и по французски сказала, что она очень рада видеть Элен; потом обратилась к Пьеру с тем же приветствием и с той же миной. В середине скучливого и спотыкающегося разговора Элен оглянулась на Пьера и улыбнулась ему той улыбкой, ясной, красивой, которой она улыбалась всем. Пьер так привык к этой улыбке, так мало она выражала для него, что он не обратил на нее никакого внимания. Тетушка говорила в это время о коллекции табакерок, которая была у покойного отца Пьера, графа Безухого, и показала свою табакерку. Княжна Элен попросила посмотреть портрет мужа тетушки, который был сделан на этой табакерке.
– Это, верно, делано Винесом, – сказал Пьер, называя известного миниатюриста, нагибаясь к столу, чтоб взять в руки табакерку, и прислушиваясь к разговору за другим столом.
Он привстал, желая обойти, но тетушка подала табакерку прямо через Элен, позади ее. Элен нагнулась вперед, чтобы дать место, и, улыбаясь, оглянулась. Она была, как и всегда на вечерах, в весьма открытом по тогдашней моде спереди и сзади платье. Ее бюст, казавшийся всегда мраморным Пьеру, находился в таком близком расстоянии от его глаз, что он своими близорукими глазами невольно различал живую прелесть ее плеч и шеи, и так близко от его губ, что ему стоило немного нагнуться, чтобы прикоснуться до нее. Он слышал тепло ее тела, запах духов и скрып ее корсета при движении. Он видел не ее мраморную красоту, составлявшую одно целое с ее платьем, он видел и чувствовал всю прелесть ее тела, которое было закрыто только одеждой. И, раз увидав это, он не мог видеть иначе, как мы не можем возвратиться к раз объясненному обману.