Борелевская сигма-алгебра

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля.



Связанные понятия

Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.

Свойства

  • Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию <math>f(x) = \tfrac{1}{2}(x+c(x))</math> на отрезке <math>[0;1]</math>, где <math>c(x)</math> — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Так же измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна <math>\tfrac{1}{2}</math>, а значит, мера образа его дополнения также равна <math>\tfrac{1}{2}</math>. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество <math>A</math>. Тогда его прообраз <math>f^{-1}(A)</math> будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе <math>A</math> было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении).


Напишите отзыв о статье "Борелевская сигма-алгебра"

Отрывок, характеризующий Борелевская сигма-алгебра

– Аль уж ехать хочешь? – спросил он.
Не отвечая на вопрос и не оглядываясь на хозяина, перебирая свои покупки, Алпатыч спросил, сколько за постой следовало хозяину.
– Сочтем! Что ж, у губернатора был? – спросил Ферапонтов. – Какое решение вышло?
Алпатыч отвечал, что губернатор ничего решительно не сказал ему.
– По нашему делу разве увеземся? – сказал Ферапонтов. – Дай до Дорогобужа по семи рублей за подводу. И я говорю: креста на них нет! – сказал он.
– Селиванов, тот угодил в четверг, продал муку в армию по девяти рублей за куль. Что же, чай пить будете? – прибавил он. Пока закладывали лошадей, Алпатыч с Ферапонтовым напились чаю и разговорились о цене хлебов, об урожае и благоприятной погоде для уборки.
– Однако затихать стала, – сказал Ферапонтов, выпив три чашки чая и поднимаясь, – должно, наша взяла. Сказано, не пустят. Значит, сила… А намесь, сказывали, Матвей Иваныч Платов их в реку Марину загнал, тысяч осьмнадцать, что ли, в один день потопил.
Алпатыч собрал свои покупки, передал их вошедшему кучеру, расчелся с хозяином. В воротах прозвучал звук колес, копыт и бубенчиков выезжавшей кибиточки.
Было уже далеко за полдень; половина улицы была в тени, другая была ярко освещена солнцем. Алпатыч взглянул в окно и пошел к двери. Вдруг послышался странный звук дальнего свиста и удара, и вслед за тем раздался сливающийся гул пушечной пальбы, от которой задрожали стекла.
Алпатыч вышел на улицу; по улице пробежали два человека к мосту. С разных сторон слышались свисты, удары ядер и лопанье гранат, падавших в городе. Но звуки эти почти не слышны были и не обращали внимания жителей в сравнении с звуками пальбы, слышными за городом. Это было бомбардирование, которое в пятом часу приказал открыть Наполеон по городу, из ста тридцати орудий. Народ первое время не понимал значения этого бомбардирования.
Звуки падавших гранат и ядер возбуждали сначала только любопытство. Жена Ферапонтова, не перестававшая до этого выть под сараем, умолкла и с ребенком на руках вышла к воротам, молча приглядываясь к народу и прислушиваясь к звукам.