Бра и кет
| 〈 | ∣ | 〉 |
| bra | ket | |
| бра | кет | |
| ско | бка |
Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.
Содержание
Определение и использование
В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства <math>\mathcal{H},</math> элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом <math>|\psi\rangle</math>.
Каждому кет-вектору <math>|\psi\rangle</math> ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к <math>\mathcal{H},</math> то есть из <math>\mathcal{H}^*.</math>
Бра-вектор <math>\langle \psi |</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*</math> определяется соотношением:
<math>\langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right)</math>, для любого кет-вектора <math>|\rho\rangle.</math>
Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису <math>\mathcal{H}^*</math> или <math>\mathcal{H}.</math>
Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде <math>\langle \varphi \mid\psi\rangle;</math> две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: <math>\langle \psi \mid\psi\rangle \geqslant 0.</math> На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки <math>\langle \psi \mid\psi\rangle = 1.</math>
Линейные операторы
Если <math>A\colon H\to H</math> — линейный оператор из <math>H</math> в <math>H</math>, то действие оператора <math>A</math> на кет-вектор <math>|\psi\rangle</math> записывается как <math>A|\psi\rangle.</math>
Для каждого оператора <math>A</math> и бра-вектора <math>\langle\varphi|</math> вводится функционал <math>(\langle\varphi|A)</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*,</math> то есть бра-вектор, умноженный на оператор <math>A</math>, который определяется равенством:
- <math>\bigg(\langle\varphi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\varphi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg),</math> для любого вектора <math>|\psi\rangle.</math>
Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто <math>\langle\varphi\mid A\mid\psi\rangle.</math>
Это выражение называется свёрткой оператора <math>A</math> с бра-вектором <math>\langle \varphi |</math> и кет-вектором <math>|\psi\rangle.</math> Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).
В частности, матричный элемент оператора <math>A</math> в определённом базисе (в тензорных обозначениях — <math>A_{kl}</math>) записывается в обозначениях Дирака как <math>\langle k\mid A\mid l\rangle,</math> а среднее значение наблюдаемой на состоянии <math>\psi</math> — как <math>\langle\psi\mid A\mid\psi\rangle.</math>
Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):
- <math> |\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle,</math>
- <math> \langle \tilde\varphi | = \langle \varphi |A.</math>
Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:
- <math> H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,</math> где <math>H</math> — гамильтониан, а <math>E</math> — скаляр (уровень энергии).
Отличия бра-кет-обозначений от традиционных
В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения <math>\langle\varphi,\;\psi\rangle</math> в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.
С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору <math>i|\psi\rangle</math> будет являться бра-вектор <math>-i \langle \psi |</math> (где <math>i</math> — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.
Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния <math>\psi</math> (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.
В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как <math>e_k,</math> в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: <math>\langle k|\;,\;|l\rangle.</math> Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.
Математические свойства
Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, <math>\mathcal{H}=R^n,</math> то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».
Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера <math>N\times 1</math>, бра-векторы — размера <math>1\times N</math>, операторы — размера <math>N\times N</math>, где <math>N</math> — количество состояний квантовой системы (размерность пространства <math>\mathcal{H}</math>). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.
Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:
| = \begin{pmatrix}\overline{c}_1, \overline{c}_2, \ldots , \overline{c}_N\end{pmatrix},</math> | где | \psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{pmatrix}</math> |
Запись типа <math>\langle \ldots \rangle</math> всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева <math>\langle,</math> кет-вектор — скобку справа <math>\rangle.</math> Вводится также произведение в «неестественном» порядке — <math>| \varphi\rangle \langle \psi | </math> (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор <math>|\psi\rangle \langle \varphi|</math> имеет ранг 1 и является тензорным произведением <math>|\psi\rangle</math> и <math>\langle \varphi|.</math> Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор <math>|\psi\rangle \langle \psi|</math> (при нормировке <math>\langle \psi \mid\psi\rangle = 1</math>) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в <math>\mathcal{H}.</math>
Имеет место ассоциативность:
- <math>\langle\varphi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\varphi\mid A\mid\psi\rangle\ =\ \langle \varphi |A \cdot| \psi\rangle,</math>
- <math>|\psi\rangle\cdot\langle\varphi\mid\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\varphi|) \cdot| \tilde\psi\rangle</math>
и т. д.
Интересные факты
- На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины «бра» и «кет» как «ско» и «бка».
Напишите отзыв о статье "Бра и кет"
Литература
- Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
- Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
- Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
- Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
- Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.
 |
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. |
Отрывок, характеризующий Бра и кет
– Нет, это нельзя, – сказала она решительно, всплеснув руками. – Non, Marie, decidement ca ne vous va pas. Je vous aime mieux dans votre petite robe grise de tous les jours. Non, de grace, faites cela pour moi. [Нет, Мари, решительно это не идет к вам. Я вас лучше люблю в вашем сереньком ежедневном платьице: пожалуйста, сделайте это для меня.] Катя, – сказала она горничной, – принеси княжне серенькое платье, и посмотрите, m lle Bourienne, как я это устрою, – сказала она с улыбкой предвкушения артистической радости.Но когда Катя принесла требуемое платье, княжна Марья неподвижно всё сидела перед зеркалом, глядя на свое лицо, и в зеркале увидала, что в глазах ее стоят слезы, и что рот ее дрожит, приготовляясь к рыданиям.
– Voyons, chere princesse, – сказала m lle Bourienne, – encore un petit effort. [Ну, княжна, еще маленькое усилие.]
Маленькая княгиня, взяв платье из рук горничной, подходила к княжне Марье.
– Нет, теперь мы это сделаем просто, мило, – говорила она.
Голоса ее, m lle Bourienne и Кати, которая о чем то засмеялась, сливались в веселое лепетанье, похожее на пение птиц.
– Non, laissez moi, [Нет, оставьте меня,] – сказала княжна.
И голос ее звучал такой серьезностью и страданием, что лепетанье птиц тотчас же замолкло. Они посмотрели на большие, прекрасные глаза, полные слез и мысли, ясно и умоляюще смотревшие на них, и поняли, что настаивать бесполезно и даже жестоко.
– Au moins changez de coiffure, – сказала маленькая княгиня. – Je vous disais, – с упреком сказала она, обращаясь к m lle Bourienne, – Marieie a une de ces figures, auxquelles ce genre de coiffure ne va pas du tout. Mais du tout, du tout. Changez de grace. [По крайней мере, перемените прическу. У Мари одно из тех лиц, которым этот род прически совсем нейдет. Перемените, пожалуйста.]
– Laissez moi, laissez moi, tout ca m'est parfaitement egal, [Оставьте меня, мне всё равно,] – отвечал голос, едва удерживающий слезы.
M lle Bourienne и маленькая княгиня должны были признаться самим себе, что княжна. Марья в этом виде была очень дурна, хуже, чем всегда; но было уже поздно. Она смотрела на них с тем выражением, которое они знали, выражением мысли и грусти. Выражение это не внушало им страха к княжне Марье. (Этого чувства она никому не внушала.) Но они знали, что когда на ее лице появлялось это выражение, она была молчалива и непоколебима в своих решениях.
– Vous changerez, n'est ce pas? [Вы перемените, не правда ли?] – сказала Лиза, и когда княжна Марья ничего не ответила, Лиза вышла из комнаты.
Княжна Марья осталась одна. Она не исполнила желания Лизы и не только не переменила прически, но и не взглянула на себя в зеркало. Она, бессильно опустив глаза и руки, молча сидела и думала. Ей представлялся муж, мужчина, сильное, преобладающее и непонятно привлекательное существо, переносящее ее вдруг в свой, совершенно другой, счастливый мир. Ребенок свой, такой, какого она видела вчера у дочери кормилицы, – представлялся ей у своей собственной груди. Муж стоит и нежно смотрит на нее и ребенка. «Но нет, это невозможно: я слишком дурна», думала она.
– Пожалуйте к чаю. Князь сейчас выйдут, – сказал из за двери голос горничной.
Она очнулась и ужаснулась тому, о чем она думала. И прежде чем итти вниз, она встала, вошла в образную и, устремив на освещенный лампадой черный лик большого образа Спасителя, простояла перед ним с сложенными несколько минут руками. В душе княжны Марьи было мучительное сомненье. Возможна ли для нее радость любви, земной любви к мужчине? В помышлениях о браке княжне Марье мечталось и семейное счастие, и дети, но главною, сильнейшею и затаенною ее мечтою была любовь земная. Чувство было тем сильнее, чем более она старалась скрывать его от других и даже от самой себя. Боже мой, – говорила она, – как мне подавить в сердце своем эти мысли дьявола? Как мне отказаться так, навсегда от злых помыслов, чтобы спокойно исполнять Твою волю? И едва она сделала этот вопрос, как Бог уже отвечал ей в ее собственном сердце: «Не желай ничего для себя; не ищи, не волнуйся, не завидуй. Будущее людей и твоя судьба должна быть неизвестна тебе; но живи так, чтобы быть готовой ко всему. Если Богу угодно будет испытать тебя в обязанностях брака, будь готова исполнить Его волю». С этой успокоительной мыслью (но всё таки с надеждой на исполнение своей запрещенной, земной мечты) княжна Марья, вздохнув, перекрестилась и сошла вниз, не думая ни о своем платье, ни о прическе, ни о том, как она войдет и что скажет. Что могло всё это значить в сравнении с предопределением Бога, без воли Которого не падет ни один волос с головы человеческой.
Когда княжна Марья взошла в комнату, князь Василий с сыном уже были в гостиной, разговаривая с маленькой княгиней и m lle Bourienne. Когда она вошла своей тяжелой походкой, ступая на пятки, мужчины и m lle Bourienne приподнялись, и маленькая княгиня, указывая на нее мужчинам, сказала: Voila Marie! [Вот Мари!] Княжна Марья видела всех и подробно видела. Она видела лицо князя Василья, на мгновенье серьезно остановившееся при виде княжны и тотчас же улыбнувшееся, и лицо маленькой княгини, читавшей с любопытством на лицах гостей впечатление, которое произведет на них Marie. Она видела и m lle Bourienne с ее лентой и красивым лицом и оживленным, как никогда, взглядом, устремленным на него; но она не могла видеть его, она видела только что то большое, яркое и прекрасное, подвинувшееся к ней, когда она вошла в комнату. Сначала к ней подошел князь Василий, и она поцеловала плешивую голову, наклонившуюся над ее рукою, и отвечала на его слова, что она, напротив, очень хорошо помнит его. Потом к ней подошел Анатоль. Она всё еще не видала его. Она только почувствовала нежную руку, твердо взявшую ее, и чуть дотронулась до белого лба, над которым были припомажены прекрасные русые волосы. Когда она взглянула на него, красота его поразила ее. Анатопь, заложив большой палец правой руки за застегнутую пуговицу мундира, с выгнутой вперед грудью, а назад – спиною, покачивая одной отставленной ногой и слегка склонив голову, молча, весело глядел на княжну, видимо совершенно о ней не думая. Анатоль был не находчив, не быстр и не красноречив в разговорах, но у него зато была драгоценная для света способность спокойствия и ничем не изменяемая уверенность. Замолчи при первом знакомстве несамоуверенный человек и выкажи сознание неприличности этого молчания и желание найти что нибудь, и будет нехорошо; но Анатоль молчал, покачивал ногой, весело наблюдая прическу княжны. Видно было, что он так спокойно мог молчать очень долго. «Ежели кому неловко это молчание, так разговаривайте, а мне не хочется», как будто говорил его вид. Кроме того в обращении с женщинами у Анатоля была та манера, которая более всего внушает в женщинах любопытство, страх и даже любовь, – манера презрительного сознания своего превосходства. Как будто он говорил им своим видом: «Знаю вас, знаю, да что с вами возиться? А уж вы бы рады!» Может быть, что он этого не думал, встречаясь с женщинами (и даже вероятно, что нет, потому что он вообще мало думал), но такой у него был вид и такая манера. Княжна почувствовала это и, как будто желая ему показать, что она и не смеет думать об том, чтобы занять его, обратилась к старому князю. Разговор шел общий и оживленный, благодаря голоску и губке с усиками, поднимавшейся над белыми зубами маленькой княгини. Она встретила князя Василья с тем приемом шуточки, который часто употребляется болтливо веселыми людьми и который состоит в том, что между человеком, с которым так обращаются, и собой предполагают какие то давно установившиеся шуточки и веселые, отчасти не всем известные, забавные воспоминания, тогда как никаких таких воспоминаний нет, как их и не было между маленькой княгиней и князем Васильем. Князь Василий охотно поддался этому тону; маленькая княгиня вовлекла в это воспоминание никогда не бывших смешных происшествий и Анатоля, которого она почти не знала. M lle Bourienne тоже разделяла эти общие воспоминания, и даже княжна Марья с удовольствием почувствовала и себя втянутою в это веселое воспоминание.
– Вот, по крайней мере, мы вами теперь вполне воспользуемся, милый князь, – говорила маленькая княгиня, разумеется по французски, князю Василью, – это не так, как на наших вечерах у Annette, где вы всегда убежите; помните cette chere Annette? [милую Аннет?]
