Тензор

У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания).

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу <math>d\times d\times \cdots \times d</math>, заполненную числами — компонентами тензора (где <math>d</math> — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом. Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

Тензор обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: <math>X^{i_1i_2\dots i_r}_{j_1j_2\dots j_s}</math>. При смене базиса ковариантные компоненты меняются так же, как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные — обратно изменению базиса (обратным преобразованием).

Содержание

1 Определения
- 1.1 Современное определение
- 1.2 Тензор как полилинейная функция
2 Компоненты тензора
- 2.1 О классическом определении
3 Примеры
4 Тензорные операции
5 Симметрии
6 Тензоры в физике
7 См. также
8 Литература

Определения

Современное определение

Тензор ранга <math>(n,m)</math> над <math>d</math>-мерным векторным пространством <math>V</math> — это элемент тензорного произведения <math>n</math> пространств <math>V</math> и <math>m</math> сопряжённых пространств <math>V^*</math> (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на <math>V</math>)

<math> \begin{matrix} \tau \in T^n_m(V) & = & \underbrace{ V\otimes \ldots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^*\otimes \ldots \otimes V^*} \\ & & n & & m \end{matrix}

</math>

Сумма чисел <math>n+m</math> называется валентностью тензора (её также часто называют рангом). Тензор ранга <math>(n,m)</math> также называется <math>n</math> раз контравариантным и <math>m</math> раз ковариантным, иногда говорят тензор n-ранга, имея в виду ранг (0, n) или (n, 0), например, <math> \varepsilon_{ijk}</math> — тензор 3-го ранга (3 индекса).

Тензор как полилинейная функция

Точно так же, как тензор ранга <math>(0,1)</math> можно представлять как линейный функционал на пространстве <math>V</math>, тензор <math>\tau</math> ранга <math>(0,n)</math> удобно представлять себе как функцию <math>\tau(v_1,v_2,\ldots,v_n)</math> от <math>n</math> векторных аргументов <math>v_i\in V</math>, которая линейна по каждому аргументу <math>v_i</math> (такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы <math>c</math> из поля <math>F</math> (над которым определено векторное пространство).

<math>\tau(v_1,\ldots,cv_A,\ldots,v_n)=c\tau(v_1,\ldots,v_A,\ldots,v_n)</math>

<math>\tau(v_1,\ldots,v_A+v_A',\ldots,v_n)=\tau(v_1,\ldots,v_A,\ldots,v_n)+\tau(v_1,\ldots,v_A',\ldots,v_n).</math>

В том же ключе, тензор <math>\tau</math> произвольного ранга <math>(n,m)</math> представляется полилинейным функционалом от <math>m</math> векторов и <math>n</math> ковекторов:

<math>\tau(v_1,v_2,\ldots,v_m,\omega^1,\omega^2,\ldots,\omega^n)</math>

<math>\tau:V^m\times (V^*)^n \to F </math>

Компоненты тензора

Выберем в пространстве <math>V</math> базис <math>\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_d\}</math>, и соответственно <math>\{\mathbf{f}^1,\mathbf{f}^2,\ldots,\mathbf{f}^d\}</math> — дуальный базис в сопряжённом пространстве <math>V^*</math> (то есть <math>(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b</math>, где <math>\delta_a^b</math> — символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров <math>\Tau^n_m(V)=\left(\bigotimes_{i=1}^n V\right) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^m V^*\right)</math> естественным образом возникает базис

<math>\{

\mathbf{e}_{i_1}\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_n}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_1}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_m}\},\quad 1\leqslant i_a,j_b \leqslant d</math>. Произвольный тензор <math>\tau\in \Tau^n_m(V)</math> можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

<math>\tau

= \sum_{j_1,j_2,\ldots,j_m} \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} {\tau^{i_1,i_2,\ldots,i_n}_{j_1,j_2,\ldots,j_m}} \mathbf{e}_{i_1}\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_n}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_1}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_m}.</math> Используя соглашение Эйнштейна, это разложение можно записать как

<math>\tau

= {\tau^{i_1,i_2,\ldots,i_n}_{j_1,j_2,\ldots,j_m}} \mathbf{e}_{i_1}\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{e}_{i_n}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_1}\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_2}\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{f}^{j_m}.</math>

Числа <math>\tau^{i_1,i_2,\ldots,i_n}_{j_1,j_2,\ldots,j_m}</math> называются компонентами тензора <math>\tau</math>. Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора <math>h</math> будет таким:

<math>h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k</math>

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе <math>\Tau^m_n(V)=\left(\bigotimes_{i=1}^n V^*\right) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^m V\right)</math>:

<math>{\tau^{i_1,i_2,\ldots,i_m}_{j_1,j_2,\ldots,j_n}}

= \tau( \mathbf{f}^{i_1},\mathbf{f}^{i_2},\ldots,\mathbf{f}^{i_m}, \mathbf{e}_{j_1},\mathbf{e}_{j_2},\ldots,\mathbf{e}_{j_n} ),\quad 1\leqslant i_a, j_b \leqslant d.</math>

О классическом определении

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом, то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, таблицей (вообще говоря, <math>n</math>-мерной, где <math>n</math> — валентность тензора (см. выше)).

Так, вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом (строкой или лучше — столбцом), а такие объекты, как линейный оператор и квадратичная форма, — двумерной матрицей. Скаляр же (тензор нулевого ранга) задаётся одним числом (которое можно рассматривать как нульмерный массив с единственным элементом). (Скаляры и векторы удобно рассматривать в качестве частных случаев тензоров, так как все тензорные определения и теоремы для них в силе и векторы со скалярами можно при общем рассмотрении не упоминать отдельно.)

Вводятся тензорные операции, которые можно считать прямым обобщением матричных операций (умножение матриц между собой и с векторами), а также векторных операций, таких, как скалярное произведение. Эти операции, если исходить из современного (аксиоматического) определения, прямо вытекают из (поли-)линейности тензоров в этом определении, после разложения векторов, свёртываемых с тензорами, по базису векторного пространства, точно так же, как и матричные операции вытекают из линейности линейных операторов и билинейных форм, представлением каждого из которых в конкретном базисе является конкретная матрица.

С помощью этих операций тензоры связываются с такими фундаментальными геометрическими объектами, как векторы и скаляры, чем, в конечном счёте, определяется их геометрический смысл. Эти же операции связывают тензоры с матрицами преобразований координат (матрицами Якоби). Если речь идёт о тензорном анализе на (римановом или псевдоримановом, с которыми обычно имеют дело в классическом подходе, по крайней мере, на первом этапе) многообразии общего вида, все эти операции определяются обычно общековариантным способом (то есть способом, не зависящим от выбора криволинейных координат) с помощью метрического тензора.

Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка — с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор как геометрическая сущность от них не зависит.

Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое.

Например, скалярное произведение и длина векторов не меняются при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса

Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуются по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

преобразуются так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

Примеры

Тензор ранга <math>(0,0)</math> есть скаляр;
Тензор ранга <math>(1,0)</math> есть вектор (точнее — контравариантный вектор) — это элемент пространства <math>V^{**}</math>, которое изоморфно пространству <math>V</math>;
Тензор ранга <math>(0,1)</math> есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства <math>V^*</math>;
Тензор ранга <math>(0,2)</math> есть билинейная форма, например, метрический тензор <math>g_{ij}</math> на касательном пространстве.
Тензор ранга <math>(1,1)</math> есть линейный оператор <math>A:V\to V</math> или <math>A:V^*\to V^*</math>
- В частности, единичный оператор, который может быть представлен единичной матрицей <math>\delta^i_j</math>, — тензор ранга <math>(1,1)</math>.
Форма объёма на <math>n</math>-мерном линейном пространстве есть пример антисимметрического тензора ранга <math>(0,n)</math> (или <math>n</math> раз ковариантного)
Риманова кривизна в естественном виде <math>R^i_{\ jkl}</math> — пример тензора ранга <math>(1,3)</math>, её свёртки — тензор Риччи <math>R_{ij}</math> и скалярная кривизна <math>R=R_{ij}g^{ij}</math> — примеры тензоров соответственно ранга <math>(0,2)</math> и <math>(0,0)</math>, то есть последний — скаляр.
Символ Леви-Чивиты — тензор 3-го ранга <math> \varepsilon_{ijk}</math>.

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

Простым, хотя в целом несколько искусственным, примером такой таблички, не представляющей тензор, может быть табличка, компоненты которой представляют набор произвольных чисел, никак не меняющихся при произвольных преобразованиях координат. Такой объект не представляет тензора, или, во всяком случае, не представляет тензора на линейном пространстве, в котором произошло преобразование координат. Так, набор из трёх чисел не представляет трёхмерного вектора, если эти числа не преобразуются при замене координат совершенно определённым образом.
Также в общем случае подмножество компонент тензора высшего ранга не является тензором низшего ранга.
Не представляет тензора также объект, все компоненты которого нули хотя бы в одной невырожденной системе координат (в полном базисе), тогда как в другой хотя бы одна компонента ненулевая. Этот факт — следствие (поли-)линейности тензоров.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся:

Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.
Символы Кристоффеля <math>\Gamma^i_{\ jk}</math> также не представляют тензора, хотя бы потому, что они могут быть обращены в ноль выбором координат вблизи произвольной точки, так же, как выбором (криволинейных) координат могут быть сделаны ненулевыми. Однако свёртка компонент связности с вектором дает настоящий вектор, а их разность — настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров — расслоения струй.

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

Умножение на скаляр — умножение каждого компонента тензора на скаляр. Аналогично умножению вектора или скалярной величины (и то, и другое являются частными случаями тензора);
Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
- Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.
Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга <math>(m,n)</math> на тензор ранга <math>(m',n')</math> является тензор суммарного ранга <math>(m+m',n+n')</math>, то есть если <math>\sigma\in T^m_n</math> и <math>\tau \in T^{m'}_{n'}</math> то их произведение

<math>\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}.</math>

Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:

Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:
<math> B^i_{\ kl}\ = \sum_j A^{ji}_{\ \ jkl} = A^{ji}_{\ \ jkl}</math>
- (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
- След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.
Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:
<math> C^i_{jk}\ = \sum_m B^i_m A^m_{jk} = B^i_m A^m_{jk}</math> (последнее — в записи Эйнштейна).

— операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.
- Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:
<math> u^i\ = \sum_j A^i_j v^j = A^i_j v^j</math> (последнее — в записи Эйнштейна).
- Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:
<math> C^i_j\ = \sum_k B^i_k A^k_j = B^i_k A^k_j</math> (последнее — в записи Эйнштейна).
Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора <math>T_{ij}</math> — это симметричный тензор <math>\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)</math>, а антисимметризация — антисимметричный тензор <math>\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)</math>. В общем случае симметризация по <math>n</math> индексам имеет вид

<math>T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},</math>

а антисимметризация:

<math>T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\over n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}</math>

Здесь <math>\sigma</math> — всевозможные перестановки индексов <math>i_1,\ldots,i_n,</math> а <math>\mathrm{sign}\,(\sigma)</math> — чётность перестановки <math>\sigma.</math> Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

Если <math>T_{i_1\ldots i_n}</math> симметричен по <math>i_1\ldots i_n,</math> то симметризация по этим индексам совпадает с <math>T,</math> а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.
Если <math>T_{ij} \in V\otimes V,</math> то <math>T_{(ij)} \in V \vee V,</math> <math>T_{[ij]} \in V \wedge V.</math> Здесь <math>\vee</math> — симметричное, а <math>\wedge</math> — внешнее произведение векторных пространств.

Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

<math>T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m});</math>

<math>T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},\ldots,e_{i_m}) = T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},\ldots,e_{i_m})</math>

или в компонентах

<math>{T_{\underline{j_1,j_2},\ldots,j_n}}^{i_1,i_2,\ldots,i_m} = {T_{\underline{j_2,j_1},\ldots,j_n}}^{i_1,i_2,\ldots,i_m},\quad \forall j_1,j_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*));</math>

<math>{T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},\ldots,i_m} = {T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},\ldots,i_m},\quad \forall i_1,i_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*)).</math>

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

<math>T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m});</math>

<math>T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},\ldots,e_{i_m}) = -T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},\ldots,e_{i_m})</math>

или в компонентах

<math>T_{\underline{j_1,j_2},\ldots,j_n}^{i_1,i_2,\ldots,i_m} = -T_{\underline{j_2,j_1},\ldots,j_n}^{i_1,i_2,\ldots,i_m},\quad \forall j_1, j_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*));</math>

<math>T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}^{\underline{i_1,i_2},\ldots,i_m} = -T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}^{\underline{i_2,i_1},\ldots,i_m},\quad \forall i_1, i_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*)).</math>

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны).

Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана <math>R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}</math> антисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензоры в физике

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твердое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Примерами тензоров в физике являются:

метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.
выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории.
тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряженности электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.
напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.
едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д.
в механике абсолютно твердого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твердое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.
аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.
часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).
термин 4-тензор — применяется для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временно́е» и три «пространственных».

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно — симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора (удельной) электропроводности <math>\sigma</math>. Интуитивно понятно, что анизотропная среда, например, кристалл, или даже какой-то специально изготовленный искусственный материал, не будет в общем случае проводить ток одинаково легко во всех направлениях (например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоев или каких-то надмолекулярных структур — можно представить себе, например, тонкие проволочки хорошо проводящего металла, одинаково ориентированные и вплавленные в плохо проводящую среду). Возьмем за основу для простоты и конкретности, последнюю модель (хорошо проводящие проволочки в плохо проводящей среде). Электропроводность вдоль проволочек будет большой, назовем её <math>\sigma_1</math>, а поперек — маленькой, обозначим её <math>\sigma_2</math>. (Ясно, что в общем случае (например, когда проволочки сплюснуты в сечении и эта сплюснутость также ориентирована у всех проволочек одинаково, электропроводность <math>\sigma_3</math> будет отличаться от <math>\sigma_2</math>, в случае же круглых равномерно распределенных проволочек — <math>\sigma_2=\sigma_3</math>, но не равны <math>\sigma_1</math>.) Довольно нетривиальный в общем случае, но довольно очевидный в нашем примере, факт состоит в том, что найдутся три взаимно перпендикулярных направления, для которых связь вектора плотности тока <math>\mathbf{j}</math> и напряженности вызывающего его электрического поля <math>\mathbf{E}</math> будут связаны просто числовым множителем (в нашем примере — это направление вдоль проволочек, второе — вдоль их сплюснутости и третье перпендикулярное первым двум). Но любой вектор можно разложить на компоненты по этим удобным направлениям:

<math> \mathbf{E} = E_1 \mathbf{e}_1 + E_2 \mathbf{e}_2 + E_3 \mathbf{e}_3 </math>

<math> \mathbf{j} = j_1 \mathbf{e}_1 + j_2 \mathbf{e}_2 + j_3 \mathbf{e}_3 </math>

тогда можно для каждой компоненты записать:

<math>\ j_i = \sigma_i E_i </math>

И мы увидим, что для любого направления, не совпадающего с 1, 2 и 3, вектор <math>\mathbf{j}</math> уже не будет совпадать по направлению с <math>\mathbf{E}</math>, если только не равны хотя бы два из <math>\sigma_1</math>, <math>\sigma_2</math> и <math>\sigma_3</math>.

Переходя к произвольным декартовым координатам, не совпадающим с этими выделенными направлениями, мы вынуждены будем включить матрицу поворота для преобразования координат, и поэтому в произвольной системе координат соотношение между <math>\mathbf{j}</math> и <math>\mathbf{E}</math> будет выглядеть так:

<math>\ j_i = \sum_k \sigma_{ik} E_k </math>

то есть тензор электропроводности будет представлен симметричной матрицей <math>3 \times 3</math>.

Учитывая же то, что удельная мощность тепловыделения <math>w</math> в проводнике равна скалярному произведению <math>\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}</math>, нетрудно записать:

<math>\ w = \sum_{ik} E_i \sigma_{ik} E_k </math>

или

где <math>\rho</math> — удельное сопротивление — матрица, обратная матрице <math>\sigma</math>. Так мы наглядно видим еще одно типичное использование симметричного тензора второго ранга в физике — как квадратичной формы, преобразующей вектор в скаляр.

В этом примере для простоты использовались только прямоугольные равномасштабные декартовы координаты, поэтому различие верхних и нижних тензорных индексов отсутствует.

Таким образом, мы получили (правда, говоря строго, только для случая симметричного тензора) хороший наглядный геометрический образ тензора, применимый в физике. Этот образ состоит из ортогонального базиса (называемого собственным базисом тензора или его собственными координатами), ориентированного в пространстве определенным образом (определяемым свойствами среды, порождающей тензор), и трех (для трехмерного пространства) чисел (коэффициентов), связанных каждое с одной из этих осей (называемых собственными числами или собственными значениями тензора), предназначенных для умножения на них соответствующих компонент вектора, чтобы получить компоненты вектора нового. Как видим, в частном случае <math>\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3</math> умножение на тензор <math>\sigma</math> сводится к умножению на число (на скаляр).

Или, умножая квадраты этих компонент (компонент в собственном базисе тензора) вектора на собственные числа, и сложив их, получаем скаляр. Поверхности уровня такой квадратичной формы — эллипсоиды. Такой эллипсоид служит также хорошим геометрическим образом тензора. Направление его главных осей дает собственный базис тензора, а их величины определяют его собственные числа.

В алгебре же всё сказанное иллюстрирует понятия собственных векторов (собственного базиса) и собственных чисел линейного оператора, квадратичной формы или матрицы, а процесс нахождения собственного базиса и собственных чисел (называемый задачей на собственные значения) называется диагонализацией оператора, квадратичной (или билинейной) формы или матрицы (так как матрица, представляющая оператор или билинейную форму становится в этом базисе диагональной).

См. также

Напишите отзыв о статье "Тензор"

Литература

Акивис М. А., Гольдберг В. В. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/AkivisGoldberg1969ru.djvu Тензорное исчисление.] — М.: Наука, 1969;
Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. ISBN 5-06-004155-7.
Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
Кочин Н. Е. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kochin1965ru.djvu Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание).] — М.: Наука, 1965;
Мак-Коннел А. Дж. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] — М.: Физматлит, 1963;
Номидзу К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Nomidzu1960ru.djvu Группы Ли и дифференциальная геометрия.] — М.: ИЛ, 1960;
Победря Б. Е. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pobedrya1986ru.djvu Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.).] — М.: Изд-во МГУ, 1986;
Рашевский П. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1967ru.djvu Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание).] — М.: Наука, 1967;
Шарипов Р. А. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sharipov2004ru.pdf Быстрое введение в тензорный анализ.] — БашГУ.

Отрывок, характеризующий Тензор

– Да, вот вы опять холостяк и жених, – сказала княжна Марья.
Пьер вдруг багрово покраснел и долго старался не смотреть на Наташу. Когда он решился взглянуть на нее, лицо ее было холодно, строго и даже презрительно, как ему показалось.
– Но вы точно видели и говорили с Наполеоном, как нам рассказывали? – сказала княжна Марья.
Пьер засмеялся.
– Ни разу, никогда. Всегда всем кажется, что быть в плену – значит быть в гостях у Наполеона. Я не только не видал его, но и не слыхал о нем. Я был гораздо в худшем обществе.
Ужин кончался, и Пьер, сначала отказывавшийся от рассказа о своем плене, понемногу вовлекся в этот рассказ.
– Но ведь правда, что вы остались, чтоб убить Наполеона? – спросила его Наташа, слегка улыбаясь. – Я тогда догадалась, когда мы вас встретили у Сухаревой башни; помните?
Пьер признался, что это была правда, и с этого вопроса, понемногу руководимый вопросами княжны Марьи и в особенности Наташи, вовлекся в подробный рассказ о своих похождениях.
Сначала он рассказывал с тем насмешливым, кротким взглядом, который он имел теперь на людей и в особенности на самого себя; но потом, когда он дошел до рассказа об ужасах и страданиях, которые он видел, он, сам того не замечая, увлекся и стал говорить с сдержанным волнением человека, в воспоминании переживающего сильные впечатления.
Княжна Марья с кроткой улыбкой смотрела то на Пьера, то на Наташу. Она во всем этом рассказе видела только Пьера и его доброту. Наташа, облокотившись на руку, с постоянно изменяющимся, вместе с рассказом, выражением лица, следила, ни на минуту не отрываясь, за Пьером, видимо, переживая с ним вместе то, что он рассказывал. Не только ее взгляд, но восклицания и короткие вопросы, которые она делала, показывали Пьеру, что из того, что он рассказывал, она понимала именно то, что он хотел передать. Видно было, что она понимала не только то, что он рассказывал, но и то, что он хотел бы и не мог выразить словами. Про эпизод свой с ребенком и женщиной, за защиту которых он был взят, Пьер рассказал таким образом:
– Это было ужасное зрелище, дети брошены, некоторые в огне… При мне вытащили ребенка… женщины, с которых стаскивали вещи, вырывали серьги…
Пьер покраснел и замялся.
– Тут приехал разъезд, и всех тех, которые не грабили, всех мужчин забрали. И меня.
– Вы, верно, не все рассказываете; вы, верно, сделали что нибудь… – сказала Наташа и помолчала, – хорошее.
Пьер продолжал рассказывать дальше. Когда он рассказывал про казнь, он хотел обойти страшные подробности; но Наташа требовала, чтобы он ничего не пропускал.
Пьер начал было рассказывать про Каратаева (он уже встал из за стола и ходил, Наташа следила за ним глазами) и остановился.
– Нет, вы не можете понять, чему я научился у этого безграмотного человека – дурачка.
– Нет, нет, говорите, – сказала Наташа. – Он где же?
– Его убили почти при мне. – И Пьер стал рассказывать последнее время их отступления, болезнь Каратаева (голос его дрожал беспрестанно) и его смерть.
Пьер рассказывал свои похождения так, как он никогда их еще не рассказывал никому, как он сам с собою никогда еще не вспоминал их. Он видел теперь как будто новое значение во всем том, что он пережил. Теперь, когда он рассказывал все это Наташе, он испытывал то редкое наслаждение, которое дают женщины, слушая мужчину, – не умные женщины, которые, слушая, стараются или запомнить, что им говорят, для того чтобы обогатить свой ум и при случае пересказать то же или приладить рассказываемое к своему и сообщить поскорее свои умные речи, выработанные в своем маленьком умственном хозяйстве; а то наслажденье, которое дают настоящие женщины, одаренные способностью выбирания и всасыванья в себя всего лучшего, что только есть в проявлениях мужчины. Наташа, сама не зная этого, была вся внимание: она не упускала ни слова, ни колебания голоса, ни взгляда, ни вздрагиванья мускула лица, ни жеста Пьера. Она на лету ловила еще не высказанное слово и прямо вносила в свое раскрытое сердце, угадывая тайный смысл всей душевной работы Пьера.
Княжна Марья понимала рассказ, сочувствовала ему, но она теперь видела другое, что поглощало все ее внимание; она видела возможность любви и счастия между Наташей и Пьером. И в первый раз пришедшая ей эта мысль наполняла ее душу радостию.
Было три часа ночи. Официанты с грустными и строгими лицами приходили переменять свечи, но никто не замечал их.
Пьер кончил свой рассказ. Наташа блестящими, оживленными глазами продолжала упорно и внимательно глядеть на Пьера, как будто желая понять еще то остальное, что он не высказал, может быть. Пьер в стыдливом и счастливом смущении изредка взглядывал на нее и придумывал, что бы сказать теперь, чтобы перевести разговор на другой предмет. Княжна Марья молчала. Никому в голову не приходило, что три часа ночи и что пора спать.
– Говорят: несчастия, страдания, – сказал Пьер. – Да ежели бы сейчас, сию минуту мне сказали: хочешь оставаться, чем ты был до плена, или сначала пережить все это? Ради бога, еще раз плен и лошадиное мясо. Мы думаем, как нас выкинет из привычной дорожки, что все пропало; а тут только начинается новое, хорошее. Пока есть жизнь, есть и счастье. Впереди много, много. Это я вам говорю, – сказал он, обращаясь к Наташе.
– Да, да, – сказала она, отвечая на совсем другое, – и я ничего бы не желала, как только пережить все сначала.
Пьер внимательно посмотрел на нее.
– Да, и больше ничего, – подтвердила Наташа.
– Неправда, неправда, – закричал Пьер. – Я не виноват, что я жив и хочу жить; и вы тоже.
Вдруг Наташа опустила голову на руки и заплакала.
– Что ты, Наташа? – сказала княжна Марья.
– Ничего, ничего. – Она улыбнулась сквозь слезы Пьеру. – Прощайте, пора спать.
Пьер встал и простился.

Княжна Марья и Наташа, как и всегда, сошлись в спальне. Они поговорили о том, что рассказывал Пьер. Княжна Марья не говорила своего мнения о Пьере. Наташа тоже не говорила о нем.
– Ну, прощай, Мари, – сказала Наташа. – Знаешь, я часто боюсь, что мы не говорим о нем (князе Андрее), как будто мы боимся унизить наше чувство, и забываем.
Княжна Марья тяжело вздохнула и этим вздохом признала справедливость слов Наташи; но словами она не согласилась с ней.
– Разве можно забыть? – сказала она.
– Мне так хорошо было нынче рассказать все; и тяжело, и больно, и хорошо. Очень хорошо, – сказала Наташа, – я уверена, что он точно любил его. От этого я рассказала ему… ничего, что я рассказала ему? – вдруг покраснев, спросила она.
– Пьеру? О нет! Какой он прекрасный, – сказала княжна Марья.
– Знаешь, Мари, – вдруг сказала Наташа с шаловливой улыбкой, которой давно не видала княжна Марья на ее лице. – Он сделался какой то чистый, гладкий, свежий; точно из бани, ты понимаешь? – морально из бани. Правда?
– Да, – сказала княжна Марья, – он много выиграл.
– И сюртучок коротенький, и стриженые волосы; точно, ну точно из бани… папа, бывало…
– Я понимаю, что он (князь Андрей) никого так не любил, как его, – сказала княжна Марья.
– Да, и он особенный от него. Говорят, что дружны мужчины, когда совсем особенные. Должно быть, это правда. Правда, он совсем на него не похож ничем?
– Да, и чудесный.
– Ну, прощай, – отвечала Наташа. И та же шаловливая улыбка, как бы забывшись, долго оставалась на ее лице.

Пьер долго не мог заснуть в этот день; он взад и вперед ходил по комнате, то нахмурившись, вдумываясь во что то трудное, вдруг пожимая плечами и вздрагивая, то счастливо улыбаясь.
Он думал о князе Андрее, о Наташе, об их любви, и то ревновал ее к прошедшему, то упрекал, то прощал себя за это. Было уже шесть часов утра, а он все ходил по комнате.
«Ну что ж делать. Уж если нельзя без этого! Что ж делать! Значит, так надо», – сказал он себе и, поспешно раздевшись, лег в постель, счастливый и взволнованный, но без сомнений и нерешительностей.
«Надо, как ни странно, как ни невозможно это счастье, – надо сделать все для того, чтобы быть с ней мужем и женой», – сказал он себе.
Пьер еще за несколько дней перед этим назначил в пятницу день своего отъезда в Петербург. Когда он проснулся, в четверг, Савельич пришел к нему за приказаниями об укладке вещей в дорогу.
«Как в Петербург? Что такое Петербург? Кто в Петербурге? – невольно, хотя и про себя, спросил он. – Да, что то такое давно, давно, еще прежде, чем это случилось, я зачем то собирался ехать в Петербург, – вспомнил он. – Отчего же? я и поеду, может быть. Какой он добрый, внимательный, как все помнит! – подумал он, глядя на старое лицо Савельича. – И какая улыбка приятная!» – подумал он.
– Что ж, все не хочешь на волю, Савельич? – спросил Пьер.
– Зачем мне, ваше сиятельство, воля? При покойном графе, царство небесное, жили и при вас обиды не видим.
– Ну, а дети?
– И дети проживут, ваше сиятельство: за такими господами жить можно.
– Ну, а наследники мои? – сказал Пьер. – Вдруг я женюсь… Ведь может случиться, – прибавил он с невольной улыбкой.
– И осмеливаюсь доложить: хорошее дело, ваше сиятельство.
«Как он думает это легко, – подумал Пьер. – Он не знает, как это страшно, как опасно. Слишком рано или слишком поздно… Страшно!»
– Как же изволите приказать? Завтра изволите ехать? – спросил Савельич.
– Нет; я немножко отложу. Я тогда скажу. Ты меня извини за хлопоты, – сказал Пьер и, глядя на улыбку Савельича, подумал: «Как странно, однако, что он не знает, что теперь нет никакого Петербурга и что прежде всего надо, чтоб решилось то. Впрочем, он, верно, знает, но только притворяется. Поговорить с ним? Как он думает? – подумал Пьер. – Нет, после когда нибудь».
За завтраком Пьер сообщил княжне, что он был вчера у княжны Марьи и застал там, – можете себе представить кого? – Натали Ростову.
Княжна сделала вид, что она в этом известии не видит ничего более необыкновенного, как в том, что Пьер видел Анну Семеновну.
– Вы ее знаете? – спросил Пьер.
– Я видела княжну, – отвечала она. – Я слышала, что ее сватали за молодого Ростова. Это было бы очень хорошо для Ростовых; говорят, они совсем разорились.
– Нет, Ростову вы знаете?
– Слышала тогда только про эту историю. Очень жалко.
«Нет, она не понимает или притворяется, – подумал Пьер. – Лучше тоже не говорить ей».
Княжна также приготавливала провизию на дорогу Пьеру.
«Как они добры все, – думал Пьер, – что они теперь, когда уж наверное им это не может быть более интересно, занимаются всем этим. И все для меня; вот что удивительно».
В этот же день к Пьеру приехал полицеймейстер с предложением прислать доверенного в Грановитую палату для приема вещей, раздаваемых нынче владельцам.
«Вот и этот тоже, – думал Пьер, глядя в лицо полицеймейстера, – какой славный, красивый офицер и как добр! Теперь занимается такими пустяками. А еще говорят, что он не честен и пользуется. Какой вздор! А впрочем, отчего же ему и не пользоваться? Он так и воспитан. И все так делают. А такое приятное, доброе лицо, и улыбается, глядя на меня».
Пьер поехал обедать к княжне Марье.
Проезжая по улицам между пожарищами домов, он удивлялся красоте этих развалин. Печные трубы домов, отвалившиеся стены, живописно напоминая Рейн и Колизей, тянулись, скрывая друг друга, по обгорелым кварталам. Встречавшиеся извозчики и ездоки, плотники, рубившие срубы, торговки и лавочники, все с веселыми, сияющими лицами, взглядывали на Пьера и говорили как будто: «А, вот он! Посмотрим, что выйдет из этого».
При входе в дом княжны Марьи на Пьера нашло сомнение в справедливости того, что он был здесь вчера, виделся с Наташей и говорил с ней. «Может быть, это я выдумал. Может быть, я войду и никого не увижу». Но не успел он вступить в комнату, как уже во всем существе своем, по мгновенному лишению своей свободы, он почувствовал ее присутствие. Она была в том же черном платье с мягкими складками и так же причесана, как и вчера, но она была совсем другая. Если б она была такою вчера, когда он вошел в комнату, он бы не мог ни на мгновение не узнать ее.
Она была такою же, какою он знал ее почти ребенком и потом невестой князя Андрея. Веселый вопросительный блеск светился в ее глазах; на лице было ласковое и странно шаловливое выражение.
Пьер обедал и просидел бы весь вечер; но княжна Марья ехала ко всенощной, и Пьер уехал с ними вместе.
На другой день Пьер приехал рано, обедал и просидел весь вечер. Несмотря на то, что княжна Марья и Наташа были очевидно рады гостю; несмотря на то, что весь интерес жизни Пьера сосредоточивался теперь в этом доме, к вечеру они всё переговорили, и разговор переходил беспрестанно с одного ничтожного предмета на другой и часто прерывался. Пьер засиделся в этот вечер так поздно, что княжна Марья и Наташа переглядывались между собою, очевидно ожидая, скоро ли он уйдет. Пьер видел это и не мог уйти. Ему становилось тяжело, неловко, но он все сидел, потому что не мог подняться и уйти.
Княжна Марья, не предвидя этому конца, первая встала и, жалуясь на мигрень, стала прощаться.
– Так вы завтра едете в Петербург? – сказала ока.
– Нет, я не еду, – с удивлением и как будто обидясь, поспешно сказал Пьер. – Да нет, в Петербург? Завтра; только я не прощаюсь. Я заеду за комиссиями, – сказал он, стоя перед княжной Марьей, краснея и не уходя.
Наташа подала ему руку и вышла. Княжна Марья, напротив, вместо того чтобы уйти, опустилась в кресло и своим лучистым, глубоким взглядом строго и внимательно посмотрела на Пьера. Усталость, которую она очевидно выказывала перед этим, теперь совсем прошла. Она тяжело и продолжительно вздохнула, как будто приготавливаясь к длинному разговору.
Все смущение и неловкость Пьера, при удалении Наташи, мгновенно исчезли и заменились взволнованным оживлением. Он быстро придвинул кресло совсем близко к княжне Марье.
– Да, я и хотел сказать вам, – сказал он, отвечая, как на слова, на ее взгляд. – Княжна, помогите мне. Что мне делать? Могу я надеяться? Княжна, друг мой, выслушайте меня. Я все знаю. Я знаю, что я не стою ее; я знаю, что теперь невозможно говорить об этом. Но я хочу быть братом ей. Нет, я не хочу.. я не могу…
Он остановился и потер себе лицо и глаза руками.
– Ну, вот, – продолжал он, видимо сделав усилие над собой, чтобы говорить связно. – Я не знаю, с каких пор я люблю ее. Но я одну только ее, одну любил во всю мою жизнь и люблю так, что без нее не могу себе представить жизни. Просить руки ее теперь я не решаюсь; но мысль о том, что, может быть, она могла бы быть моею и что я упущу эту возможность… возможность… ужасна. Скажите, могу я надеяться? Скажите, что мне делать? Милая княжна, – сказал он, помолчав немного и тронув ее за руку, так как она не отвечала.
– Я думаю о том, что вы мне сказали, – отвечала княжна Марья. – Вот что я скажу вам. Вы правы, что теперь говорить ей об любви… – Княжна остановилась. Она хотела сказать: говорить ей о любви теперь невозможно; но она остановилась, потому что она третий день видела по вдруг переменившейся Наташе, что не только Наташа не оскорбилась бы, если б ей Пьер высказал свою любовь, но что она одного только этого и желала.
– Говорить ей теперь… нельзя, – все таки сказала княжна Марья.
– Но что же мне делать?
– Поручите это мне, – сказала княжна Марья. – Я знаю…
Пьер смотрел в глаза княжне Марье.
– Ну, ну… – говорил он.
– Я знаю, что она любит… полюбит вас, – поправилась княжна Марья.
Не успела она сказать эти слова, как Пьер вскочил и с испуганным лицом схватил за руку княжну Марью.
– Отчего вы думаете? Вы думаете, что я могу надеяться? Вы думаете?!
– Да, думаю, – улыбаясь, сказала княжна Марья. – Напишите родителям. И поручите мне. Я скажу ей, когда будет можно. Я желаю этого. И сердце мое чувствует, что это будет.
– Нет, это не может быть! Как я счастлив! Но это не может быть… Как я счастлив! Нет, не может быть! – говорил Пьер, целуя руки княжны Марьи.
– Вы поезжайте в Петербург; это лучше. А я напишу вам, – сказала она.
– В Петербург? Ехать? Хорошо, да, ехать. Но завтра я могу приехать к вам?
На другой день Пьер приехал проститься. Наташа была менее оживлена, чем в прежние дни; но в этот день, иногда взглянув ей в глаза, Пьер чувствовал, что он исчезает, что ни его, ни ее нет больше, а есть одно чувство счастья. «Неужели? Нет, не может быть», – говорил он себе при каждом ее взгляде, жесте, слове, наполнявших его душу радостью.
Когда он, прощаясь с нею, взял ее тонкую, худую руку, он невольно несколько дольше удержал ее в своей.
«Неужели эта рука, это лицо, эти глаза, все это чуждое мне сокровище женской прелести, неужели это все будет вечно мое, привычное, такое же, каким я сам для себя? Нет, это невозможно!..»
– Прощайте, граф, – сказала она ему громко. – Я очень буду ждать вас, – прибавила она шепотом.
И эти простые слова, взгляд и выражение лица, сопровождавшие их, в продолжение двух месяцев составляли предмет неистощимых воспоминаний, объяснений и счастливых мечтаний Пьера. «Я очень буду ждать вас… Да, да, как она сказала? Да, я очень буду ждать вас. Ах, как я счастлив! Что ж это такое, как я счастлив!» – говорил себе Пьер.

В душе Пьера теперь не происходило ничего подобного тому, что происходило в ней в подобных же обстоятельствах во время его сватовства с Элен.
Он не повторял, как тогда, с болезненным стыдом слов, сказанных им, не говорил себе: «Ах, зачем я не сказал этого, и зачем, зачем я сказал тогда „je vous aime“?» [я люблю вас] Теперь, напротив, каждое слово ее, свое он повторял в своем воображении со всеми подробностями лица, улыбки и ничего не хотел ни убавить, ни прибавить: хотел только повторять. Сомнений в том, хорошо ли, или дурно то, что он предпринял, – теперь не было и тени. Одно только страшное сомнение иногда приходило ему в голову. Не во сне ли все это? Не ошиблась ли княжна Марья? Не слишком ли я горд и самонадеян? Я верю; а вдруг, что и должно случиться, княжна Марья скажет ей, а она улыбнется и ответит: «Как странно! Он, верно, ошибся. Разве он не знает, что он человек, просто человек, а я?.. Я совсем другое, высшее».
Только это сомнение часто приходило Пьеру. Планов он тоже не делал теперь никаких. Ему казалось так невероятно предстоящее счастье, что стоило этому совершиться, и уж дальше ничего не могло быть. Все кончалось.
Радостное, неожиданное сумасшествие, к которому Пьер считал себя неспособным, овладело им. Весь смысл жизни, не для него одного, но для всего мира, казался ему заключающимся только в его любви и в возможности ее любви к нему. Иногда все люди казались ему занятыми только одним – его будущим счастьем. Ему казалось иногда, что все они радуются так же, как и он сам, и только стараются скрыть эту радость, притворяясь занятыми другими интересами. В каждом слове и движении он видел намеки на свое счастие. Он часто удивлял людей, встречавшихся с ним, своими значительными, выражавшими тайное согласие, счастливыми взглядами и улыбками. Но когда он понимал, что люди могли не знать про его счастье, он от всей души жалел их и испытывал желание как нибудь объяснить им, что все то, чем они заняты, есть совершенный вздор и пустяки, не стоящие внимания.
Когда ему предлагали служить или когда обсуждали какие нибудь общие, государственные дела и войну, предполагая, что от такого или такого исхода такого то события зависит счастие всех людей, он слушал с кроткой соболезнующею улыбкой и удивлял говоривших с ним людей своими странными замечаниями. Но как те люди, которые казались Пьеру понимающими настоящий смысл жизни, то есть его чувство, так и те несчастные, которые, очевидно, не понимали этого, – все люди в этот период времени представлялись ему в таком ярком свете сиявшего в нем чувства, что без малейшего усилия, он сразу, встречаясь с каким бы то ни было человеком, видел в нем все, что было хорошего и достойного любви.
Рассматривая дела и бумаги своей покойной жены, он к ее памяти не испытывал никакого чувства, кроме жалости в том, что она не знала того счастья, которое он знал теперь. Князь Василий, особенно гордый теперь получением нового места и звезды, представлялся ему трогательным, добрым и жалким стариком.
Пьер часто потом вспоминал это время счастливого безумия. Все суждения, которые он составил себе о людях и обстоятельствах за этот период времени, остались для него навсегда верными. Он не только не отрекался впоследствии от этих взглядов на людей и вещи, но, напротив, в внутренних сомнениях и противуречиях прибегал к тому взгляду, который он имел в это время безумия, и взгляд этот всегда оказывался верен.
«Может быть, – думал он, – я и казался тогда странен и смешон; но я тогда не был так безумен, как казалось. Напротив, я был тогда умнее и проницательнее, чем когда либо, и понимал все, что стоит понимать в жизни, потому что… я был счастлив».
Безумие Пьера состояло в том, что он не дожидался, как прежде, личных причин, которые он называл достоинствами людей, для того чтобы любить их, а любовь переполняла его сердце, и он, беспричинно любя людей, находил несомненные причины, за которые стоило любить их.

С первого того вечера, когда Наташа, после отъезда Пьера, с радостно насмешливой улыбкой сказала княжне Марье, что он точно, ну точно из бани, и сюртучок, и стриженый, с этой минуты что то скрытое и самой ей неизвестное, но непреодолимое проснулось в душе Наташи.
Все: лицо, походка, взгляд, голос – все вдруг изменилось в ней. Неожиданные для нее самой – сила жизни, надежды на счастье всплыли наружу и требовали удовлетворения. С первого вечера Наташа как будто забыла все то, что с ней было. Она с тех пор ни разу не пожаловалась на свое положение, ни одного слова не сказала о прошедшем и не боялась уже делать веселые планы на будущее. Она мало говорила о Пьере, но когда княжна Марья упоминала о нем, давно потухший блеск зажигался в ее глазах и губы морщились странной улыбкой.
Перемена, происшедшая в Наташе, сначала удивила княжну Марью; но когда она поняла ее значение, то перемена эта огорчила ее. «Неужели она так мало любила брата, что так скоро могла забыть его», – думала княжна Марья, когда она одна обдумывала происшедшую перемену. Но когда она была с Наташей, то не сердилась на нее и не упрекала ее. Проснувшаяся сила жизни, охватившая Наташу, была, очевидно, так неудержима, так неожиданна для нее самой, что княжна Марья в присутствии Наташи чувствовала, что она не имела права упрекать ее даже в душе своей.
Наташа с такой полнотой и искренностью вся отдалась новому чувству, что и не пыталась скрывать, что ей было теперь не горестно, а радостно и весело.
Когда, после ночного объяснения с Пьером, княжна Марья вернулась в свою комнату, Наташа встретила ее на пороге.
– Он сказал? Да? Он сказал? – повторила она. И радостное и вместе жалкое, просящее прощения за свою радость, выражение остановилось на лице Наташи.
– Я хотела слушать у двери; но я знала, что ты скажешь мне.
Как ни понятен, как ни трогателен был для княжны Марьи тот взгляд, которым смотрела на нее Наташа; как ни жалко ей было видеть ее волнение; но слова Наташи в первую минуту оскорбили княжну Марью. Она вспомнила о брате, о его любви.
«Но что же делать! она не может иначе», – подумала княжна Марья; и с грустным и несколько строгим лицом передала она Наташе все, что сказал ей Пьер. Услыхав, что он собирается в Петербург, Наташа изумилась.
– В Петербург? – повторила она, как бы не понимая. Но, вглядевшись в грустное выражение лица княжны Марьи, она догадалась о причине ее грусти и вдруг заплакала. – Мари, – сказала она, – научи, что мне делать. Я боюсь быть дурной. Что ты скажешь, то я буду делать; научи меня…
– Ты любишь его?
– Да, – прошептала Наташа.
– О чем же ты плачешь? Я счастлива за тебя, – сказала княжна Марья, за эти слезы простив уже совершенно радость Наташи.
– Это будет не скоро, когда нибудь. Ты подумай, какое счастие, когда я буду его женой, а ты выйдешь за Nicolas.
– Наташа, я тебя просила не говорить об этом. Будем говорить о тебе.
Они помолчали.
– Только для чего же в Петербург! – вдруг сказала Наташа, и сама же поспешно ответила себе: – Нет, нет, это так надо… Да, Мари? Так надо…

Прошло семь лет после 12 го года. Взволнованное историческое море Европы улеглось в свои берега. Оно казалось затихшим; но таинственные силы, двигающие человечество (таинственные потому, что законы, определяющие их движение, неизвестны нам), продолжали свое действие.
Несмотря на то, что поверхность исторического моря казалась неподвижною, так же непрерывно, как движение времени, двигалось человечество. Слагались, разлагались различные группы людских сцеплений; подготовлялись причины образования и разложения государств, перемещений народов.
Историческое море, не как прежде, направлялось порывами от одного берега к другому: оно бурлило в глубине. Исторические лица, не как прежде, носились волнами от одного берега к другому; теперь они, казалось, кружились на одном месте. Исторические лица, прежде во главе войск отражавшие приказаниями войн, походов, сражений движение масс, теперь отражали бурлившее движение политическими и дипломатическими соображениями, законами, трактатами…
Эту деятельность исторических лиц историки называют реакцией.
Описывая деятельность этих исторических лиц, бывших, по их мнению, причиною того, что они называют реакцией, историки строго осуждают их. Все известные люди того времени, от Александра и Наполеона до m me Stael, Фотия, Шеллинга, Фихте, Шатобриана и проч., проходят перед их строгим судом и оправдываются или осуждаются, смотря по тому, содействовали ли они прогрессу или реакции.
В России, по их описанию, в этот период времени тоже происходила реакция, и главным виновником этой реакции был Александр I – тот самый Александр I, который, по их же описаниям, был главным виновником либеральных начинаний своего царствования и спасения России.
В настоящей русской литературе, от гимназиста до ученого историка, нет человека, который не бросил бы своего камушка в Александра I за неправильные поступки его в этот период царствования.
«Он должен был поступить так то и так то. В таком случае он поступил хорошо, в таком дурно. Он прекрасно вел себя в начале царствования и во время 12 го года; но он поступил дурно, дав конституцию Польше, сделав Священный Союз, дав власть Аракчееву, поощряя Голицына и мистицизм, потом поощряя Шишкова и Фотия. Он сделал дурно, занимаясь фронтовой частью армии; он поступил дурно, раскассировав Семеновский полк, и т. д.».
Надо бы исписать десять листов для того, чтобы перечислить все те упреки, которые делают ему историки на основании того знания блага человечества, которым они обладают.
Что значат эти упреки?
Те самые поступки, за которые историки одобряют Александра I, – как то: либеральные начинания царствования, борьба с Наполеоном, твердость, выказанная им в 12 м году, и поход 13 го года, не вытекают ли из одних и тех же источников – условий крови, воспитания, жизни, сделавших личность Александра тем, чем она была, – из которых вытекают и те поступки, за которые историки порицают его, как то: Священный Союз, восстановление Польши, реакция 20 х годов?
В чем же состоит сущность этих упреков?
В том, что такое историческое лицо, как Александр I, лицо, стоявшее на высшей возможной ступени человеческой власти, как бы в фокусе ослепляющего света всех сосредоточивающихся на нем исторических лучей; лицо, подлежавшее тем сильнейшим в мире влияниям интриг, обманов, лести, самообольщения, которые неразлучны с властью; лицо, чувствовавшее на себе, всякую минуту своей жизни, ответственность за все совершавшееся в Европе, и лицо не выдуманное, а живое, как и каждый человек, с своими личными привычками, страстями, стремлениями к добру, красоте, истине, – что это лицо, пятьдесят лет тому назад, не то что не было добродетельно (за это историки не упрекают), а не имело тех воззрений на благо человечества, которые имеет теперь профессор, смолоду занимающийся наукой, то есть читанном книжек, лекций и списыванием этих книжек и лекций в одну тетрадку.
Но если даже предположить, что Александр I пятьдесят лет тому назад ошибался в своем воззрении на то, что есть благо народов, невольно должно предположить, что и историк, судящий Александра, точно так же по прошествии некоторого времени окажется несправедливым, в своем воззрении на то, что есть благо человечества. Предположение это тем более естественно и необходимо, что, следя за развитием истории, мы видим, что с каждым годом, с каждым новым писателем изменяется воззрение на то, что есть благо человечества; так что то, что казалось благом, через десять лет представляется злом; и наоборот. Мало того, одновременно мы находим в истории совершенно противоположные взгляды на то, что было зло и что было благо: одни данную Польше конституцию и Священный Союз ставят в заслугу, другие в укор Александру.
Про деятельность Александра и Наполеона нельзя сказать, чтобы она была полезна или вредна, ибо мы не можем сказать, для чего она полезна и для чего вредна. Если деятельность эта кому нибудь не нравится, то она не нравится ему только вследствие несовпадения ее с ограниченным пониманием его о том, что есть благо. Представляется ли мне благом сохранение в 12 м году дома моего отца в Москве, или слава русских войск, или процветание Петербургского и других университетов, или свобода Польши, или могущество России, или равновесие Европы, или известного рода европейское просвещение – прогресс, я должен признать, что деятельность всякого исторического лица имела, кроме этих целей, ещь другие, более общие и недоступные мне цели.
Но положим, что так называемая наука имеет возможность примирить все противоречия и имеет для исторических лиц и событий неизменное мерило хорошего и дурного.
Положим, что Александр мог сделать все иначе. Положим, что он мог, по предписанию тех, которые обвиняют его, тех, которые профессируют знание конечной цели движения человечества, распорядиться по той программе народности, свободы, равенства и прогресса (другой, кажется, нет), которую бы ему дали теперешние обвинители. Положим, что эта программа была бы возможна и составлена и что Александр действовал бы по ней. Что же сталось бы тогда с деятельностью всех тех людей, которые противодействовали тогдашнему направлению правительства, – с деятельностью, которая, по мнению историков, хороша и полезна? Деятельности бы этой не было; жизни бы не было; ничего бы не было.