Вариационное исчисление

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — один из мощнейших инструментов получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы).

Термины и определения

Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие:

• вариация (первая вариация),
• вариационная производная (первая вариационная производная),
• кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков.

Никак не связана с вариационным вычислением совпадающая по названию вариация функции в анализе.

Термин варьирование (варьировать) — применяется в вариационном исчислении для обозначения нахождения вариации или вариационной производной (это аналог термина дифференцирование для случая бесконечномерного аргумента, являющегося предметом вариационного исчисления). Также нередко для краткости (особенно в приложениях) термин варьирование применяется для обозначения решения вариационной задачи, сводимой к нахождению вариационной производной и приравнивания её нулю.

Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления.

Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике; в физике — задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.

История

Ещё в античные времена появились первые вариационные проблемы, относящиеся к категории изопериметрических задач — например, задача Дидоны. Древнегреческим математикам уже было известно:

1. Из всех фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг.
2. Из всех многоугольников с заданным числом сторон и заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник.
3. Из всех тел с заданной площадью поверхности наибольший объём имеет шар. Аналогичную задачу для шаровых сегментов решил Архимед, а Зенодор во II веке до н. э. написал книгу «Об изопериметрических фигурах» (сохранились обширные цитаты из неё в трудах других авторов).

Первый вариационный принцип сформулировал для траекторий отражённых световых лучей Герон Александрийский в работе «Катоптрика» (I век н. э.).

В средневековой Европе изопериметрическими задачами занимались И. Сакробоско (XIII век) и Т. Брадвардин (XIV век). После разработки анализа появились новые типы вариационных задач, в основном механического характера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) решает задачу: найти форму тела вращения, обеспечивающую наименьшее сопротивление при движении в газе или жидкости (при заданных размерах). Важной исторической задачей, давшей толчок к развитию современного варианта вариационного исчисления, стала задача о брахистохроне (1696). Её быстрое решение сразу несколькими математиками показало огромные возможности новых методов. Среди других задач стоит отметить определение формы цепной линии (то есть формы равновесия тяжёлой однородной нити, 1690 год). Общих методов решения вариационных задач в этот период ещё не существовало, каждая задача решалась с помощью остроумных (и не всегда безупречных) геометрических рассуждений.

Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время. В 1746 году Мопертюи обобщил это правило, введя в науку первый принцип наименьшего действия.

Решающий вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж. Эйлеру принадлежит первое систематическое изложение вариационного исчисления и сам термин (1766 год). Лагранж независимо получил (с 1755 года) многие основополагающие результаты и ввёл понятие вариации.

На этом этапе были выведены уравнения Эйлера — Лагранжа. Они представляют собой необходимое условие экстремума, ставшее аналитическим фундаментом вариационных методов. Вскоре, однако, выяснилось, что решения этих уравнений не во всех случаях дают реальный экстремум, и встала задача найти достаточные условия, гарантирующие экстремум. Первое глубокое исследование (второй вариации) предпринял Лежандр, однако Лагранж обнаружил в его работе ошибку. Результаты Лежандра уточнил и дополнил Якоби (1837), затем его ученик Гессе (1857) и позднее Вейерштрасс. Сейчас эти достаточные условия называются уравнениями Якоби.

Неформальное обсуждение

Содержанием вариационного исчисления является обобщение понятия дифференциала и производной функции конечномерного векторного аргумента на случай функционала — функции, областью определения которой служит некое множество или пространство функций, а значения лежат в множестве вещественных, либо комплексных чисел.

• Всюду ниже в этом параграфе подразумевается, что функции и функционалы обладают необходимой гладкостью, то есть вопрос существования тех или иных производных специально не рассматривается, тем более что во многих конкретных задачах этот вопрос не имеет практического значения (нужная гладкость заведомо есть).

Функционал <math>\Phi[f]</math> ставит в соответствие каждой конкретной функции <math>f</math> из его области определения — определённое число.

Нетрудно написать для функционала аналоги дифференциала и производной по направлению.

Вариация

Аналогом дифференциала (первого дифференциала) является в вариационном исчислении вариация (первая вариация):

<math>\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]</math>

(как и в случае дифференциала имеется в виду линейная часть этого приращения, а выражаясь традиционным образом — <math>\delta f</math> выбирается бесконечно малой, и при вычислении разности отбрасываются бесконечно малые высших порядков). При этом <math>\delta f</math> — играющее роль дифференциала или малого приращения независимой переменной — называется вариацией <math>f</math>.

Как видим, <math>\delta\Phi</math> сама в свою очередь является функционалом, так как она, вообще говоря, различна для разных <math>f</math> (также и для разных <math>\delta f</math>).

Таким образом, это — в применении к функционалам — прямой аналог дифференциала функции конечномерного (в том числе одномерного) аргумента:

<math>dy=y(x+dx)-y(x)</math>

— точно так же понимаемого как линейная часть приращения функции <math>y</math> при бесконечно малом приращении аргумента <math>x</math> (или линейный член при разложении <math>y</math> по степеням <math>dx</math> вблизи точки <math>x</math>).

Примеры  

• Для функционала <math>\Phi[f]=\cos(f(1))</math> вещественной функции вещественного аргумента — для любой <math>f</math> и <math>\delta f</math> будет верным <math>\delta\Phi=-\sin(f(1))</math>.
• Для функционала <math>\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))</math> вещественной функции вещественного аргумента — для любой <math>f</math> и <math>\delta f</math> будет верным <math>\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))</math>.
• Для функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx</math> вещественной функции вещественного аргумента — для любой <math>f</math> и <math>\delta f</math> будет верным <math>\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx</math>.

Производная по направлению

(Производная Гато) Производной функционала <math>\Phi</math> в точке <math>f</math> по направлению <math>g</math>, очевидно, будет

<math>\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.</math>

Этого в принципе уже достаточно для решения типичной вариационной задачи — нахождения «стационарных точек», то есть таких функций <math>f</math>, для которых первая вариация или производная по направлению обращается в ноль для любой бесконечно малой <math>\delta f</math> или любой конечной <math>g</math>. Именно эти «точки» в пространстве функций — то есть именно такие функции — являются кандидатами в экстремали (проверку того, действительно ли они являются экстремалями, то есть достигается ли на них локальный экстремум, надо делать отдельно, как и в случае функций конечномерного аргумента; интересно, что во многих задачах физики важнее найти не экстремали, а именно стационарные точки).

Примеры  

(Здесь не вводится специальных обозначений для производной по направлению.)

• Производная функционала <math>\Phi[f]=f(0)</math> в точке <math>f=\cos</math> по направлению <math>g=\cos</math> равна <math>\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1</math>.
• Производная функционала <math>\Phi[f]=f(0)</math> в точке <math>f=\cos</math> по направлению <math>g=\sin</math> равна <math>\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0</math>.
• Производная функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx</math> в точке <math>f=\cos</math> по направлению <math>g=\cos</math> равна <math>\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi</math>.
• Производная функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx</math> в точке <math>f=\cos</math> по направлению <math>g=\sin</math> равна <math>\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0</math>.

Вариационная производная

Для интегральных функционалов, которые являются очень важным для математики и приложений случаем, можно ввести не только аналог дифференциала и производную по направлению, но и производную Фреше — аналог конечномерного градиента, называемую вариационной производной.

То есть, в полной аналогии с конечномерным случаем, когда

<math>\vec{dy}=\big(\vec\nabla y,\;d\vec x\big)=\left(\frac{dy}{d\vec x},\;d\vec x\right)=\sum_i\partial_i y\,dx_i</math>,

где <math>\vec\nabla y</math> — обозначение градиента (или производной Фреше) функции <math>y</math>, а <math>(\;,\;)</math> — скалярное произведение; <math>\partial_i</math> — оператор частной производной по <math>i</math>-той координате, сумма представляет собой полный дифференциал.

Для функционала имеем

<math>\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\delta f(x)\,dx</math>,

где <math>\frac{\delta\Phi}{\delta f}</math> — обозначение вариационной производной <math>\Phi</math>, а суммирование конечномерной формулы естественно заменено интегрированием.

Итак,

<math>\frac{\delta\Phi}{\delta f}</math> — стандартное обозначение вариационной производной. Это также некая функция как от <math>x</math>, так и <math>f</math> (вообще говоря, это обобщённая функция, но эта оговорка выходит за рамки рассмотрения, так как предполагается, что все функции и функционалы сколь угодно гладки и не имеют особенностей).

Иными словами, если можно представить вариацию

<math>\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]</math>

в виде

<math>\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx</math>, где <math>A</math> — некоторая функция <math>x</math>,

то <math>A</math> есть вариационная производная <math>\Phi</math> по <math>f</math> («по <math>f</math>» здесь означает, что остальные аргументы или параметры не меняются; речевой оборот «по <math>f</math>» можно опустить в случае, когда точно определено, функционалом от какой функции рассматривается <math>\Phi</math>, что на практике может быть не ясным из самой его формулы, в которую могут входить и другие параметры и функции — см. также ниже). То есть

<math>\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.</math>

Примеры  

(А здесь разность интегралов сводится в один интеграл.)

• Для функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx</math> имеем

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.</math>

• Для функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx</math> вариационная производная вычисляется как:

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\limits_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).</math>

• Для функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx</math>

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.</math>

Если выразить бесконечно малую разность функции <math>\delta L(f)</math> через её производную и разность аргумента <math>\delta f</math>, получается:

<math>\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f.</math>

Легко видеть, что это определение обобщается на любую размерность интеграла. Для <math>n</math>-мерного случая верна прямо обобщающая одномерный случай формула:

<math>\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.</math>

Так же легко обобщается понятие вариационной производной на случай функционалов от нескольких аргументов:

<math>\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.</math>

Примеры  

(В здесь разность интегралов сводится в один интеграл.)

• Для функционала <math>\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy</math> многомерный случай вариационной производной вычисляется как:

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x,\;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.</math>

• Для функционала <math>\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx</math> имеем

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g(x)\right)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f},\;\frac{\delta\Phi}{\delta g}=\frac{\partial L}{\partial g}.</math>

Выражая бесконечно малую разность функции нескольких аргументов как полный дифференциал, получим:

<math>\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g.</math>

Вариации и вариационные производные второго и высших порядков

Как это описано выше для первого порядка, можно ввести понятие второй вариации и второй вариационной производной функционала, а также <math>n</math>-й вариации и <math>n</math>-й вариационной производной:

<math>\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi[f]}{\delta f^n}.</math>

Для функционалов, зависящих от нескольких функций, можно также ввести понятие смешанных вариационных производных разного порядка, например:

<math>\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.</math>

Здесь мы не будем останавливаться на этом подробно, всё делается полностью аналогично введению соответствующих дифференциалов и производных для функции конечномерного аргумента.

Функционал вблизи конкретной точки в пространстве функций раскладывается в ряд Тейлора, если, конечно, вариационные производные всех порядков существуют. Как и в конечномерных случаях, сумма конечного числа членов этого ряда даёт значение функционала с определённой точностью (соответствующего порядка малости) лишь при небольших отклонениях его аргумента (при бесконечно малых). Кроме того, как и в случае функций конечномерного аргумента, ряд Тейлора (сумма всех членов) может не сходиться к функционалу, в него разложенному, при любых ненулевых конечных смещениях, хотя такие случаи достаточно редки в приложениях.

Применение вариационного исчисления

Хотя задачи, к которым применимо вариационное исчисление, заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам:

1. нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал — точек стационарного функционала, стационарных функций, линий, траекторий, поверхностей и т. п., то есть нахождение для заданного <math>\Phi[f]</math> таких <math>f</math>, для которых <math>\delta\Phi=0</math> при любом (бесконечно малом) <math>\delta f</math>, или, иначе, где <math>\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0</math>,
2. нахождение локальных экстремумов функционала, то есть в первую очередь определение тех <math>f</math>, на которых <math>\Phi[f]</math> принимает локально экстремальные значения — нахождение экстремалей (иногда также определение знака экстремума).

Очевидно, обе задачи тесно связаны, и решение второй сводится (при должной гладкости функционала) к решению первой, а затем проверке, действительно ли достигается локальный экстремум (что делается независимо вручную, или — более систематически — исследованием вариационных производных второго и, если все они одного знака и хотя бы одна из них равна нулю, то и более высокого порядка). В описанном процессе выясняется и тип экстремума. Нередко (например, когда функция стационарного функционала единственная, а все изменения функционала при любом большом возмущении имеют один и тот же знак) решение вопроса, экстремум ли это и какого он типа, заранее очевидно.

При этом очень часто задача (1) оказывается не менее или даже более важной, чем задача (2), даже когда классификация стационарной точки неопределённа (то есть она может оказаться минимумом, максимумом или седловой точкой, а также слабым экстремумом, точкой, вблизи которой функционал точно постоянен или отличается от постоянного в более высоком порядке, чем второй). Например, в механике (и вообще в физике) кривая или поверхность стационарной потенциальной энергии означает равновесие, а вопрос, является ли она экстремалью, связан лишь с вопросом об устойчивости этого равновесия (который далеко не всегда важен). Траектории стационарного действия отвечают возможному движению, независимо от того, минимально действие на такой траектории, максимально, или седловидно. То же можно сказать о геометрической оптике, где любая линия стационарного времени (а не только минимального, как в простой формулировке принципа наименьшего времени Ферма) соответствует возможному движению светового луча неоднородной оптической среде. Есть системы, где вообще нет экстремалей, но стационарные точки существуют.

Способы нахождения условных экстремумов и условных стационарных точек (см. ниже) делают вариационное исчисление ещё более мощным орудием решения обеих задач.

Техника варьирования

Главным и обычным техническим приемом при нахождении вариационной производной интегрального функционала <math>\Phi[f]</math>, в подынтегральное выражение которого входит не только значение функции <math>f</math> в точке <math>x</math>, но и значения её производных, то есть не только <math>f(x)</math>, но и <math>df/dx</math>, <math>d^2f/dx^2</math> и так далее (в принципе могут входить производные любого порядка, хотя в практических задачах порядки выше второго, встречаются гораздо реже, а чаще всего порядок производных не выше первого; производные же какого-то порядка входят в практически интересные функционалы едва ли не всегда: например, такой функционал, как длина кривой, содержит производные первого порядка, а потенциальная энергия изогнутого упругого стержня — производные по меньшей мере второго порядка), служит интегрирование по частям. Оно, вслед за достаточно прозрачной и очевидной записью выражения вариации функционала прямо по рецепту, описанному в статье выше, позволяет достичь цели: нахождения вариационной производной.

Само выражение для вариации функционала выписывается достаточно прямо и просто. Но при этом возникает одно типичное неудобство, заключающееся в том, что при этом в выражении <math>\delta\Phi[f]</math> появляются под интегралом не только члены с <math>\delta f</math>, но и с <math>\delta(df/dx)</math>. Это неудобство устраняется интегрированием по частям.

Рассмотрим это сначала на простом частном примере, а затем на общем.

Пример: Пусть требуется найти вариационную производную функционала

<math>\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,</math>

где штрихом обозначена производная по <math>x</math>, и найти <math>f(x)</math>, для которых значение <math>\Phi</math> экстремально.

Нетрудно выписать

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left(\delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=</math>

<math>=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.</math>

Очевидно, операцию взятия производной по <math>x</math> свободно можно поменять местами с операцией <math>\delta</math>. Тогда

<math>\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.</math>

Теперь, чтобы <math>\delta f(x)</math> не стояло под знаком производной, мешающим вынести за скобки <math>\delta f(x)</math> из обоих членов (оставшееся в скобках суть вариационная производная), надо в первом слагаемом воспользоваться интегрированием по частям:

<math>\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=</math>

<math>=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx.</math>

Теперь можно опять превратить сумму интегралов в один и вынести за скобки <math>\delta f</math>:

<math>\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=</math>

<math>=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx=</math>

<math>=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\right)\delta f(x)\,dx,</math>

оставив граничный член <math>2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)</math>, стоящим отдельно.

Граничный член можно приравнять нулю, решив тем самым задачу нахождения вариационной производной (действительно, она по определению есть то, что стоит под интегралом в больших скобках, соответствовать определению мешает только граничный член). Объяснение факта равенства нулю граничного члена не слишком строго (см. примечание), но ограничимся им, чтобы сосредоточить внимание на главном.

Для начала зафиксируем <math>f</math> в граничных точках, тогда граничный член исчезнет, так как <math>\delta f</math> должно будет при такой фиксации обращаться в ноль при <math>x=1</math> и <math>x=2</math>. Для многих задач такая фиксация граничных условий имеет место изначально. При поиске экстремума и вариационной производной на классе функций с такими граничными условиями граничный член можно просто отбросить. Но если граничные условия не наложены самой задачей, их можно наложить искусственно, решить задачу для фиксированных условий, а затем среди множества решений для разных граничных условий можно выбрать оптимальное (это обычно не составляет труда). Короче говоря, решение задачи с обнулением граничного члена содержит в себе среди прочих и решение первоначальной задачи, нужно лишь сузить класс уже найденных решений, меняя <math>f(1)</math> и <math>f(2)</math> и подобрав среди них лучшее. (Более аккуратный и общий подход — см. ниже).

Таким образом, здесь под вариационной производной будем понимать вариационную производную по классу функций с фиксированными концами, которая (при поиске экстремали и в подобных задачах) будучи приравненной нулю, определяет поведение функции внутри отрезка <math>[1;\;2]</math>. В этом смысле, для нашего примера имеем:

<math>\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,</math>

а необходимое условие экстремальности состоит в равенстве её нулю, то есть имеем уравнение для <math>f</math>:

<math>-2f(x)+3(f(x))^2=0.\ </math>

Решение этого дифференциального уравнения даст явный вид <math>f(x)</math>, но задача нахождения решений дифференциального уравнения лежит уже за рамками вариационного исчисления. Задача последнего ограничена получением такого уравнения и, возможно, дополнительных условий, ограничивающих класс допустимых решений.

Пример в более общей записи: Пусть требуется найти вариационную производную функционала (предыдущий пример есть частный случай этого и может служить к нему иллюстрацией):

<math>\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f(x), ...)\right)\,dx,</math>

где штрихом обозначена производная по <math>x</math>, двумя штрихами — вторая производная по <math>x</math>, и могут еще иметься производные высших порядков, обозначенные многоточием, и найти <math>f(x)</math>, для которых значение <math>\Phi</math> экстремально. Здесь под L понимается некоторая (как правило, вполне определенная и конкретная для каждой конкретной задачи, как в примере выше, но здесь записанная для общности абстрактно) функция нескольких аргументов. Значения производных функции f в каждой точке области интегрирования (которая здесь обозначена как отрезок, но может представлять собой и всю числовую ось) подставляются как аргументы в L, после чего производится интегрирование по x.

Нетрудно выписать

<math>\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f(x), ...)\right)\,dx</math> =

<math>= \int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)

+ \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)
+ \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + ... \right)\,dx,</math>

где под частными производными <math>\frac{\partial L}{\partial f}, \frac{\partial L}{\partial f'}, \frac{\partial L}{\partial f}</math> итд подразумеваются просто частные производные функции L по её соответствующим аргументам, то есть в этой записи под <math>f, f', f</math> понимаются просто соответствующие параметры (смысл же — нахождение бесконечно малой разности между

<math>L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x)), ...\right)</math>

и

<math>L \left(f(x), f'(x), f(x), ...\right)</math>.

Очевидно, операцию взятия производной по <math>x</math> свободно можно поменять местами с операцией <math>\delta</math>, как это подробно разобрано в примере выше. Поэтому здесь мы просто не ставим скобок, указывающих порядок этих операций в выражениях <math>\delta f'(x), \delta f(x)</math> итд.

Теперь, чтобы <math>\delta f(x)</math> не стояло под знаком производной, мешающего вынести за скобки <math>\delta f(x)</math> из всех членов подынтегрального выражения (оставшееся в скобках — и будет вариационная производная), надо (представив интегралл суммы как сумму интегралов) ко второму слагаемому применить интегрированием по частям, к третьему — применить интегрирование по частям два раза, к дальнейшим, содержащим высшие производные (которые тут обозначены многоточием) применять интергрирование по частям три и более раз, пока все штрихи не уйдут с <math>\delta f(x)</math> итд:

<math>\int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)

+ \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)
+ \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + ... \right)\,dx

= \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx

+ \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)\,dx
+ \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx
+ ...\, =

</math>

<math>= \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx

+ \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b
- \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx

+ \frac{\partial L}{\partial f} \delta f'(x) \bigg|_a^b
- \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b
+ \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)\delta f(x)\,dx

+ ...

</math>

Теперь можно опять превратить сумму интегралов в один и вынести за скобки <math>\delta f</math>:

<math>\delta \Phi =

\frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b
+ \frac{\partial L}{\partial f} \delta f'(x) \bigg|_a^b
- \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b
+ ...

+ \int\limits_a^b \bigg(

\frac{\partial L}{\partial f}
- \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)'
+ \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)
+ ...

\bigg) \delta f(x)\,dx </math>

оставив граничный член стоящим отдельно. Граничный член можно приравнять нулю, как это описано и объяснено в частном примере выше, а также — более аккуратно — в отдельных параграфах ниже, посвященных отдельно вопросам, связанным с граничным членом.

Таким образом, здесь под вариационной производной будем понимать вариационную производную по классу функций с фиксированными концами, которая (при поиске экстремали и в подобных задачах) будучи приравненной нулю, определяет поведение функции внутри отрезка <math>[a;\;b]</math>. В этом смысле, для нашего примера имеем:

<math>\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}

- \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)'
+ \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)
+ ...

,</math> а необходимое условие экстремальности состоит в равенстве её нулю, то есть имеем уравнение для <math>f</math>:

<math>\frac{\partial L}{\partial f}

- \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)'
+ \bigg(\frac{\partial L}{\partial f}\bigg)
+ ...

=0.\ </math>

• (Подставив сюда конкретный вид функции L, получаем вместо этой записи конкретное уравнение, например, подставив в этот общий вид уравнения функцию в соответствии с частным примером, разобранным выше, а именно <math>L(f,f') = f^3 + f'^2,\ </math> получим и соответствующий тому примеру частный вид уравнения, так как здесь <math>\frac{\partial L}{\partial f} = 3 f, \frac{\partial L}{\partial f'} = 2 f',</math> а производных второго и высших (обозначенных многоточием) порядков — просто нет — они все равны нулю).

Решение же такого дифференциального уравнения, как уже было сказано выше, в принципе дает явный вид <math>f(x)</math>, что, впрочем лежит за рамками вариационного исчисления, ограничивающегося получением дифференциального уравнения и, возможно, дополнительных условий, ограничивающих класс допустимых решений (в связи с анализом граничного члена).

Использование обобщённых функций

В этом разделе рассматривается такой частный, но практически важный, случай применения обобщённых функций при решении вариационных задач, как использование дельта-функции Дирака.

Использование <math>\delta</math>-функции (не следует путать её обозначение <math>\delta(x)</math> с символом вариации!), как и использование обобщённых функций вообще, позволяет значительно расширить класс функционалов, которые могут быть записаны в форме интегральных функционалов, и к которым, следовательно, применимы основные приёмы варьирования (описанные выше). При этом в число функционалов, записываемых в такой форме, попадают такие практически важные функционалы, как краевые функционалы, что сильно облегчает работу с ними и делает её систематичной.

• Для облегчения восприятия данного раздела, будем выделять дельта-функцию жирным шрифтом: <math>\boldsymbol\delta</math> — чтобы отличать от символа вариации.

Рассмотрим простой пример. Пусть надо найти функцию <math>f(x)</math>, минимизирующую функционал <math>W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx</math> притом, что на неё наложены условия <math>f(0)=10,\;f(1)=20</math>.

Для того, чтобы было удобно решать эту задачу, наложенные условия полезно записать в виде <math>\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20</math> (в этом случае, <math>\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)</math> суть функционалы). Не ограничиваясь этим, используя основное свойство дельта-функции, запишем <math>\Gamma_0</math> и <math>\Gamma_1</math> в интегральной форме:

<math>\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,</math>

<math>\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.</math>

Теперь можно (расширив область интегрирования в определении <math>W</math>, хотя бы на бесконечно малую величину, за пределы отрезка <math>[0;1]</math>) свободно складывать и вычитать функционалы <math>W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1</math>, что позволяет формально просто свести решение исходной задачи к задаче об условном экстремуме функционала (см. ниже), сводящейся к отысканию экстремума нового функционала <math>V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1</math> с постоянными множителями <math>\lambda_0,\;\lambda_1</math>, конкретные значения которых после решения задачи по отысканию минимума <math>V</math> нужно подобрать, решив соответствующие алгебраические уравнения. Таким образом, граничные условия будут удовлетворены. А главное, функционал <math>V</math> при этом будет иметь вполне прозрачную интегральную форму, удобную для варьирования.

Сходный приём удобен при наложении на искомую функцию не граничных условий, а условий удовлетворения некоторому уравнению в каждой точке <math>x</math>.

Условные экстремумы

• Для краткости будем говорить в этом разделе об условных экстремумах, однако всё здесь написанное ра́вно приложимо к нахождению стационарных точек вообще.

Условным экстремумом называется экстремум не на всей области определения функции (функционала), а на определённом её подмножестве, выделяемом специально наложенным условием (или условиями). Обычно, речь идёт о выделении этим условием (условиями) подмножества области определения с меньшей размерностью, что для конечномерных областей имеет определённый наглядный смысл, но для бесконечномерных (каковы обычно области определения функционалов) налагаемые условия приходится рассматривать лишь абстрактно (что теоретически не мешает иметь в виду полезную аналогию с конечномерным случаем).

Пусть надо найти экстремум функционала <math>\Phi[f]</math> при некотором наложенном условии.

Замечания и примеры  

Как обычно, тривиальный случай, когда наложенное условие сводится к явному выражению чего-то через что-то (например, если известно, что <math>f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)</math>), нет смысла специально рассматривать, так как это приводит просто к некоторому переписыванию функционала в новом виде (или даже к сведению функционала к функции конечного количества переменных).

Рассмотрения заслуживает случай, когда налагаемое в виде равенства нулю (в общем случае, константе) неких других функционалов (одного или нескольких), или наложение на искомую функцию уравнения, которому она должна удовлетворять.

Типичный случай первой задачи с одним наложенным условием — изопериметрическая задача (например, задача Дидоны). Примером второго типа условия может быть наложение в некоторых физических задачах требования подчинению уравнению непрерывности (для стационарных задач — его стационарного варианта <math>\mathrm{div}\vec v=0</math>).

Основные виды задачи на условный экстремум, которые имеет смысл рассмотреть, таковы:

1. Надо найти экстремум функционала <math>U[f]\ </math> при условии равенства нулю другого функционала <math>V[f]=0\ </math>; (то, что в правой части нуль, не нарушает общности).
2. Надо найти экстремум функционала <math>U[f]\ </math> при условии <math>V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\ldots,\;V_N[f]=0</math>.
3. Надо найти экстремум функционала <math>U[f]\ </math> при условии выполнения для <math>f\ </math> уравнения <math>v(f,\;f',\;f,\;\ldots,\;f^{(n)})=0</math>, где <math>v\ </math> — некоторая функция <math>f\ </math> и/или производных <math>f\ </math>, обозначенных штрихами.

(Третий тип условия выписан здесь не в самом общем виде, но для наших целей этого достаточно.)

К первым двум случаям практически прямо (на принятом сейчас нами уровне строгости нет смысла проводить тут границу между случаем функций конечномерного аргумента, и функционалами) применим метод неопределенных множителей Лагранжа. А именно, для нахождения условного экстремума <math>U[f]\ </math> при наложении соответствующих условий, нужно решить вариационную задачу для функционала <math>\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]</math> в первом и <math>\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f]- \dots - \lambda_N V_N[f]</math> во втором случае, а затем подобрать (решив уравнение <math>d \hat U/ d \lambda = 0</math> в первом случае и N уравнений с частными производными по каждому из <math>\lambda_i</math> во втором) такие <math>\lambda</math>, которые реализуют минимум в найденном семействе функций f, для которого эти <math>\lambda</math> являются параметрами. То есть, что касается вариационного исчисления, то ключевым моментом является нахождение и приравнивание нулю вариации (или вариационной производной) для некоего нового функционала <math>\hat U[f]</math>, для этих двух случаев:

1. <math>\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,</math>
2. <math>\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \dots - \lambda_N V_N) = \delta (U - \sum_i\lambda_i V_i) = 0,</math>

Третий же случай рассмотрим здесь для интегрального функционала <math>U[f] = \int\limits_\Omega \dots d\Omega</math>. Тогда нахождение условного экстремума сводится сначала к варьированию функционала

<math>\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f,\;\ldots,\;f^{(n)})d\Omega</math>

<math>\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f,\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg)d\Omega</math>,

где <math>x</math> — переменная, принадлежащая области интегрирования <math>\Omega</math> (одномерной или n-мерной), а <math>\lambda(x)</math> — некая неопределенная функция x, которая войдет в уравнение, полученное после вычисления вариационной производной и приравнивания её нулю.

Обоснованием такого решения для случая 3 может служить представление для каждой точки <math>x_0</math> из <math>\Omega</math> выполнения равенства <math>v(f(x_0), f'(x_0), \dots, f^{(n)}(x_0)) = 0</math> в <math>x_0</math> как приравнивание нулю функционала <math>V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f,\;\ldots,\;f^{(n)})d\Omega</math> с использованием дельта-функции Дирака. Далее можно считать на рассматриваемом здесь неформальном уровне очевидным, что задача стала аналогичной варианту 2, и, после суммирования по всем <math>x_0</math>, её решение сводится к описанному выше.

Таким образом, ключевой момент с точки зрения вариационного исчисления в нахождении условного экстремума третьего типа сводится к

3.<math>\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f,\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg)d\Omega = 0.</math>

• Под производными при многомерном x можно иметь в виду, например, частные производные разного порядка, в том числе смешанные.

Уравнение Эйлера — Лагранжа

Одним из основных классических результатов вариационного исчисления, имеющих огромное практическое значение, являются уравнения Эйлера — Лагранжа — дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция, являющаяся стационарной для довольно общего в своем классе и очень важного вида интегрального функционала (а значит и функция, на которой такой функционал достигает локального экстремума, также должна удовлетворять этим уравнениям).

Достаточно стандартным для получения уравнений Эйлера — Лагранжа является обычный путь с нахождением вариационной производной и приравнивании её нулю или практически совпадающий с ним способ выписывания вариации с использованием стандартных обозначений, как это описано выше.

Здесь же для расширения типов примеров приводится вывод уравнений Эйлера — Лагранжа с использованием производной функционала по направлению.

Вывод с использованием производной по направлению. Частный пример

Для гладких функций вещественной переменной или конечномерного векторного аргумента максимум и минимум заданной функции может быть найден путём нахождения точек, в которых производная обращается в нуль (по крайней мере, это необходимое условие экстремума). Аналогично решение гладких задач вариационного исчисления может быть получено путём решения соответствующего уравнения Эйлера — Лагранжа.

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим сначала конкретную задачу нахождения кратчайшей кривой на плоскости, соединяющей две точки <math>(x_1,\;y_1)</math> и <math>(x_2,\;y_2)</math>. Длина кривой определяется выражением

<math>A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,</math>

где

<math>f'(x)=\frac{df}{dx},</math>

и где <math>y=f(x)</math>, <math>f(x_1)=y_1</math> и <math>f(x_2)=y_2</math>. Функция <math>f</math> должна иметь хотя бы одну производную. Если <math>f_0</math> — локальный минимум и <math>f_1</math> — подходящая функция, обращающаяся в нуль в граничных точках <math> x_1</math> и <math>x_2</math> и имеющая хотя бы первую производную, тогда мы получим

<math>A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]</math>

для любого <math>\varepsilon</math>, близкого к 0. Следовательно, производная <math>A[f_0+\varepsilon f_1]</math> по <math>\varepsilon</math> (соответствующая, с точностью до ненулевого множителя, первой вариации <math>A</math>, вычисленной через производную по направлению) должна обращаться в нуль при <math>\varepsilon=0</math> для любой функции <math>f_1</math>. Таким образом,

<math>\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0</math>

при любом выборе функции <math>f_1</math>. Если предположить, что <math>f_0</math> имеет вторую непрерывную производную, тогда можно воспользоваться формулой интегрирования по частям:

<math>\int\limits_a^b u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\,dx.</math>

После замены

<math>u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}},\quad v'(x)=f_1'(x),</math>

получается

<math>u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0,</math>

но первое слагаемое обращается в нуль, поскольку <math>v(x)=f_1(x)</math> было выбрано таким образом, чтобы обращаться в нуль в точках <math>x_1</math> и <math>x_2</math>. Следовательно,

<math>\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0</math>

для любой дважды дифференцируемой функции <math>f_1</math>, которая обращается в нуль на концах интервала. Это особый случай основной леммы вариационного исчисления:

<math>I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0</math>

для любой дифференцируемой функции <math>f_1(x)</math>, которая обращается в нуль на концах интервала. Поскольку <math>f_1(x)</math> есть произвольная функция в интервале интегрирования, можно сделать вывод, что <math>H(x)=0</math>. Тогда,

<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.</math>

Из этого уравнения следует, что

<math>\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.</math>

Таким образом, экстремумом в нашей задаче являются отрезки прямых линий.

• Легко заметить, что этот способ практически совпадает с обычным (использующим стандартные обозначения), если заменить <math>\varepsilon f_1</math> на <math>\delta f\ </math>.

Вывод с использованием производной по направлению. Более общий случай

Подобные же вычисления можно провести и в общем случае, когда

<math>A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx</math>

и <math>f</math> должна иметь две непрерывные производные. Повторяя рассуждения, находим экстремаль <math>f_0</math>, принимаем <math>f=f_0+\varepsilon f_1</math>, находим производную по <math>\varepsilon</math>, затем подставляем <math>\varepsilon=0</math>:

<math>\left.\frac{dA}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int\limits_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\,dx=</math>

<math>=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1+\frac{\partial L}{\partial f'}f'_1\right)\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}\right)\,dx+\left.\frac{\partial L}{\partial f'}f_1\right|_{x_1}^{x_2}=</math>

<math>=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}\right)\,dx=0.</math>

Наконец, в силу основной леммы вариационного исчисления можно заключить, что функция <math>L</math> должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа

<math>-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0.</math>

В общем случае, это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, решив которое, можно найти экстремаль <math>f</math>.

Уравнение Эйлера — Лагранжа является необходимым, но не достаточным условием наличия экстремума. Дополнительные условия формулируются отдельно.

См. также

• Принцип наименьшего действия
• Принцип Ферма
• Проблема Плато
• Уравнения Эйлера — Лагранжа
• Лагранжева система
• Вариационный бикомплекс
• Задача Больцы

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Афанасьев В. Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом 2-е изд., — М.: РХД, 2000
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление, задачи и упражнения. — М.: Наука, 1973
• Петров Ю. П. Из истории вариационного исчисления и теории оптимальных процессов // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1990. — № 32/33. — С. 53-73..
• Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — № 2. — С. 355-498.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — глава 19: Принцип наименьшего действия. (Очень простое, неформальное и наглядное введение в технику варьирования на примере принципа наименьшего действия; рекомендуется для старших школьников и, быть может, студентов младших курсов).
• Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Отрывок, характеризующий Вариационное исчисление

– Однако, брат, ты сердит, – сказал граф. – Данила ничего не сказал и только застенчиво улыбнулся детски кроткой и приятной улыбкой.


Старый граф поехал домой; Наташа с Петей обещались сейчас же приехать. Охота пошла дальше, так как было еще рано. В середине дня гончих пустили в поросший молодым частым лесом овраг. Николай, стоя на жнивье, видел всех своих охотников.
Насупротив от Николая были зеленя и там стоял его охотник, один в яме за выдавшимся кустом орешника. Только что завели гончих, Николай услыхал редкий гон известной ему собаки – Волторна; другие собаки присоединились к нему, то замолкая, то опять принимаясь гнать. Через минуту подали из острова голос по лисе, и вся стая, свалившись, погнала по отвершку, по направлению к зеленям, прочь от Николая.
Он видел скачущих выжлятников в красных шапках по краям поросшего оврага, видел даже собак, и всякую секунду ждал того, что на той стороне, на зеленях, покажется лисица.
Охотник, стоявший в яме, тронулся и выпустил собак, и Николай увидал красную, низкую, странную лисицу, которая, распушив трубу, торопливо неслась по зеленям. Собаки стали спеть к ней. Вот приблизились, вот кругами стала вилять лисица между ними, всё чаще и чаще делая эти круги и обводя вокруг себя пушистой трубой (хвостом); и вот налетела чья то белая собака, и вслед за ней черная, и всё смешалось, и звездой, врозь расставив зады, чуть колеблясь, стали собаки. К собакам подскакали два охотника: один в красной шапке, другой, чужой, в зеленом кафтане.
«Что это такое? подумал Николай. Откуда взялся этот охотник? Это не дядюшкин».
Охотники отбили лисицу и долго, не тороча, стояли пешие. Около них на чумбурах стояли лошади с своими выступами седел и лежали собаки. Охотники махали руками и что то делали с лисицей. Оттуда же раздался звук рога – условленный сигнал драки.
– Это Илагинский охотник что то с нашим Иваном бунтует, – сказал стремянный Николая.
Николай послал стремяного подозвать к себе сестру и Петю и шагом поехал к тому месту, где доезжачие собирали гончих. Несколько охотников поскакало к месту драки.
Николай слез с лошади, остановился подле гончих с подъехавшими Наташей и Петей, ожидая сведений о том, чем кончится дело. Из за опушки выехал дравшийся охотник с лисицей в тороках и подъехал к молодому барину. Он издалека снял шапку и старался говорить почтительно; но он был бледен, задыхался, и лицо его было злобно. Один глаз был у него подбит, но он вероятно и не знал этого.
– Что у вас там было? – спросил Николай.
– Как же, из под наших гончих он травить будет! Да и сука то моя мышастая поймала. Поди, судись! За лисицу хватает! Я его лисицей ну катать. Вот она, в тороках. А этого хочешь?… – говорил охотник, указывая на кинжал и вероятно воображая, что он всё еще говорит с своим врагом.
Николай, не разговаривая с охотником, попросил сестру и Петю подождать его и поехал на то место, где была эта враждебная, Илагинская охота.
Охотник победитель въехал в толпу охотников и там, окруженный сочувствующими любопытными, рассказывал свой подвиг.
Дело было в том, что Илагин, с которым Ростовы были в ссоре и процессе, охотился в местах, по обычаю принадлежавших Ростовым, и теперь как будто нарочно велел подъехать к острову, где охотились Ростовы, и позволил травить своему охотнику из под чужих гончих.
Николай никогда не видал Илагина, но как и всегда в своих суждениях и чувствах не зная середины, по слухам о буйстве и своевольстве этого помещика, всей душой ненавидел его и считал своим злейшим врагом. Он озлобленно взволнованный ехал теперь к нему, крепко сжимая арапник в руке, в полной готовности на самые решительные и опасные действия против своего врага.
Едва он выехал за уступ леса, как он увидал подвигающегося ему навстречу толстого барина в бобровом картузе на прекрасной вороной лошади, сопутствуемого двумя стремянными.
Вместо врага Николай нашел в Илагине представительного, учтивого барина, особенно желавшего познакомиться с молодым графом. Подъехав к Ростову, Илагин приподнял бобровый картуз и сказал, что очень жалеет о том, что случилось; что велит наказать охотника, позволившего себе травить из под чужих собак, просит графа быть знакомым и предлагает ему свои места для охоты.
Наташа, боявшаяся, что брат ее наделает что нибудь ужасное, в волнении ехала недалеко за ним. Увидав, что враги дружелюбно раскланиваются, она подъехала к ним. Илагин еще выше приподнял свой бобровый картуз перед Наташей и приятно улыбнувшись, сказал, что графиня представляет Диану и по страсти к охоте и по красоте своей, про которую он много слышал.
Илагин, чтобы загладить вину своего охотника, настоятельно просил Ростова пройти в его угорь, который был в версте, который он берег для себя и в котором было, по его словам, насыпано зайцев. Николай согласился, и охота, еще вдвое увеличившаяся, тронулась дальше.
Итти до Илагинского угоря надо было полями. Охотники разровнялись. Господа ехали вместе. Дядюшка, Ростов, Илагин поглядывали тайком на чужих собак, стараясь, чтобы другие этого не замечали, и с беспокойством отыскивали между этими собаками соперниц своим собакам.
Ростова особенно поразила своей красотой небольшая чистопсовая, узенькая, но с стальными мышцами, тоненьким щипцом (мордой) и на выкате черными глазами, краснопегая сучка в своре Илагина. Он слыхал про резвость Илагинских собак, и в этой красавице сучке видел соперницу своей Милке.
В середине степенного разговора об урожае нынешнего года, который завел Илагин, Николай указал ему на его краснопегую суку.
– Хороша у вас эта сучка! – сказал он небрежным тоном. – Резва?
– Эта? Да, эта – добрая собака, ловит, – равнодушным голосом сказал Илагин про свою краснопегую Ерзу, за которую он год тому назад отдал соседу три семьи дворовых. – Так и у вас, граф, умолотом не хвалятся? – продолжал он начатый разговор. И считая учтивым отплатить молодому графу тем же, Илагин осмотрел его собак и выбрал Милку, бросившуюся ему в глаза своей шириной.
– Хороша у вас эта чернопегая – ладна! – сказал он.
– Да, ничего, скачет, – отвечал Николай. «Вот только бы побежал в поле матёрый русак, я бы тебе показал, какая эта собака!» подумал он, и обернувшись к стремянному сказал, что он дает рубль тому, кто подозрит, т. е. найдет лежачего зайца.
– Я не понимаю, – продолжал Илагин, – как другие охотники завистливы на зверя и на собак. Я вам скажу про себя, граф. Меня веселит, знаете, проехаться; вот съедешься с такой компанией… уже чего же лучше (он снял опять свой бобровый картуз перед Наташей); а это, чтобы шкуры считать, сколько привез – мне всё равно!
– Ну да.
– Или чтоб мне обидно было, что чужая собака поймает, а не моя – мне только бы полюбоваться на травлю, не так ли, граф? Потом я сужу…
– Ату – его, – послышался в это время протяжный крик одного из остановившихся борзятников. Он стоял на полубугре жнивья, подняв арапник, и еще раз повторил протяжно: – А – ту – его! (Звук этот и поднятый арапник означали то, что он видит перед собой лежащего зайца.)
– А, подозрил, кажется, – сказал небрежно Илагин. – Что же, потравим, граф!
– Да, подъехать надо… да – что ж, вместе? – отвечал Николай, вглядываясь в Ерзу и в красного Ругая дядюшки, в двух своих соперников, с которыми еще ни разу ему не удалось поровнять своих собак. «Ну что как с ушей оборвут мою Милку!» думал он, рядом с дядюшкой и Илагиным подвигаясь к зайцу.
– Матёрый? – спрашивал Илагин, подвигаясь к подозрившему охотнику, и не без волнения оглядываясь и подсвистывая Ерзу…
– А вы, Михаил Никанорыч? – обратился он к дядюшке.
Дядюшка ехал насупившись.
– Что мне соваться, ведь ваши – чистое дело марш! – по деревне за собаку плачены, ваши тысячные. Вы померяйте своих, а я посмотрю!
– Ругай! На, на, – крикнул он. – Ругаюшка! – прибавил он, невольно этим уменьшительным выражая свою нежность и надежду, возлагаемую на этого красного кобеля. Наташа видела и чувствовала скрываемое этими двумя стариками и ее братом волнение и сама волновалась.
Охотник на полугорке стоял с поднятым арапником, господа шагом подъезжали к нему; гончие, шедшие на самом горизонте, заворачивали прочь от зайца; охотники, не господа, тоже отъезжали. Всё двигалось медленно и степенно.
– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.
– Милушка! матушка! – послышался торжествующий крик Николая. Казалось, сейчас ударит Милка и подхватит зайца, но она догнала и пронеслась. Русак отсел. Опять насела красавица Ерза и над самым хвостом русака повисла, как будто примеряясь как бы не ошибиться теперь, схватить за заднюю ляжку.
– Ерзанька! сестрица! – послышался плачущий, не свой голос Илагина. Ерза не вняла его мольбам. В тот самый момент, как надо было ждать, что она схватит русака, он вихнул и выкатил на рубеж между зеленями и жнивьем. Опять Ерза и Милка, как дышловая пара, выровнялись и стали спеть к зайцу; на рубеже русаку было легче, собаки не так быстро приближались к нему.
– Ругай! Ругаюшка! Чистое дело марш! – закричал в это время еще новый голос, и Ругай, красный, горбатый кобель дядюшки, вытягиваясь и выгибая спину, сравнялся с первыми двумя собаками, выдвинулся из за них, наддал с страшным самоотвержением уже над самым зайцем, сбил его с рубежа на зеленя, еще злей наддал другой раз по грязным зеленям, утопая по колена, и только видно было, как он кубарем, пачкая спину в грязь, покатился с зайцем. Звезда собак окружила его. Через минуту все стояли около столпившихся собак. Один счастливый дядюшка слез и отпазанчил. Потряхивая зайца, чтобы стекала кровь, он тревожно оглядывался, бегая глазами, не находя положения рукам и ногам, и говорил, сам не зная с кем и что.
«Вот это дело марш… вот собака… вот вытянул всех, и тысячных и рублевых – чистое дело марш!» говорил он, задыхаясь и злобно оглядываясь, как будто ругая кого то, как будто все были его враги, все его обижали, и только теперь наконец ему удалось оправдаться. «Вот вам и тысячные – чистое дело марш!»
– Ругай, на пазанку! – говорил он, кидая отрезанную лапку с налипшей землей; – заслужил – чистое дело марш!
– Она вымахалась, три угонки дала одна, – говорил Николай, тоже не слушая никого, и не заботясь о том, слушают ли его, или нет.
– Да это что же в поперечь! – говорил Илагинский стремянный.
– Да, как осеклась, так с угонки всякая дворняшка поймает, – говорил в то же время Илагин, красный, насилу переводивший дух от скачки и волнения. В то же время Наташа, не переводя духа, радостно и восторженно визжала так пронзительно, что в ушах звенело. Она этим визгом выражала всё то, что выражали и другие охотники своим единовременным разговором. И визг этот был так странен, что она сама должна бы была стыдиться этого дикого визга и все бы должны были удивиться ему, ежели бы это было в другое время.
Дядюшка сам второчил русака, ловко и бойко перекинул его через зад лошади, как бы упрекая всех этим перекидыванием, и с таким видом, что он и говорить ни с кем не хочет, сел на своего каураго и поехал прочь. Все, кроме его, грустные и оскорбленные, разъехались и только долго после могли притти в прежнее притворство равнодушия. Долго еще они поглядывали на красного Ругая, который с испачканной грязью, горбатой спиной, побрякивая железкой, с спокойным видом победителя шел за ногами лошади дядюшки.
«Что ж я такой же, как и все, когда дело не коснется до травли. Ну, а уж тут держись!» казалось Николаю, что говорил вид этой собаки.
Когда, долго после, дядюшка подъехал к Николаю и заговорил с ним, Николай был польщен тем, что дядюшка после всего, что было, еще удостоивает говорить с ним.


Когда ввечеру Илагин распростился с Николаем, Николай оказался на таком далеком расстоянии от дома, что он принял предложение дядюшки оставить охоту ночевать у него (у дядюшки), в его деревеньке Михайловке.
– И если бы заехали ко мне – чистое дело марш! – сказал дядюшка, еще бы того лучше; видите, погода мокрая, говорил дядюшка, отдохнули бы, графинечку бы отвезли в дрожках. – Предложение дядюшки было принято, за дрожками послали охотника в Отрадное; а Николай с Наташей и Петей поехали к дядюшке.
Человек пять, больших и малых, дворовых мужчин выбежало на парадное крыльцо встречать барина. Десятки женщин, старых, больших и малых, высунулись с заднего крыльца смотреть на подъезжавших охотников. Присутствие Наташи, женщины, барыни верхом, довело любопытство дворовых дядюшки до тех пределов, что многие, не стесняясь ее присутствием, подходили к ней, заглядывали ей в глаза и при ней делали о ней свои замечания, как о показываемом чуде, которое не человек, и не может слышать и понимать, что говорят о нем.
– Аринка, глянь ка, на бочькю сидит! Сама сидит, а подол болтается… Вишь рожок!
– Батюшки светы, ножик то…
– Вишь татарка!
– Как же ты не перекувыркнулась то? – говорила самая смелая, прямо уж обращаясь к Наташе.
Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.
– Что же вы не служите, дядюшка?
– Служил, да бросил. Не гожусь, чистое дело марш, я ничего не разберу. Это ваше дело, а у меня ума не хватит. Вот насчет охоты другое дело, это чистое дело марш! Отворите ка дверь то, – крикнул он. – Что ж затворили! – Дверь в конце коридора (который дядюшка называл колидор) вела в холостую охотническую: так называлась людская для охотников. Босые ноги быстро зашлепали и невидимая рука отворила дверь в охотническую. Из коридора ясно стали слышны звуки балалайки, на которой играл очевидно какой нибудь мастер этого дела. Наташа уже давно прислушивалась к этим звукам и теперь вышла в коридор, чтобы слышать их яснее.
– Это у меня мой Митька кучер… Я ему купил хорошую балалайку, люблю, – сказал дядюшка. – У дядюшки было заведено, чтобы, когда он приезжает с охоты, в холостой охотнической Митька играл на балалайке. Дядюшка любил слушать эту музыку.
– Как хорошо, право отлично, – сказал Николай с некоторым невольным пренебрежением, как будто ему совестно было признаться в том, что ему очень были приятны эти звуки.
– Как отлично? – с упреком сказала Наташа, чувствуя тон, которым сказал это брат. – Не отлично, а это прелесть, что такое! – Ей так же как и грибки, мед и наливки дядюшки казались лучшими в мире, так и эта песня казалась ей в эту минуту верхом музыкальной прелести.
– Еще, пожалуйста, еще, – сказала Наташа в дверь, как только замолкла балалайка. Митька настроил и опять молодецки задребезжал Барыню с переборами и перехватами. Дядюшка сидел и слушал, склонив голову на бок с чуть заметной улыбкой. Мотив Барыни повторился раз сто. Несколько раз балалайку настраивали и опять дребезжали те же звуки, и слушателям не наскучивало, а только хотелось еще и еще слышать эту игру. Анисья Федоровна вошла и прислонилась своим тучным телом к притолке.
– Изволите слушать, – сказала она Наташе, с улыбкой чрезвычайно похожей на улыбку дядюшки. – Он у нас славно играет, – сказала она.
– Вот в этом колене не то делает, – вдруг с энергическим жестом сказал дядюшка. – Тут рассыпать надо – чистое дело марш – рассыпать…
– А вы разве умеете? – спросила Наташа. – Дядюшка не отвечая улыбнулся.
– Посмотри ка, Анисьюшка, что струны то целы что ль, на гитаре то? Давно уж в руки не брал, – чистое дело марш! забросил.
Анисья Федоровна охотно пошла своей легкой поступью исполнить поручение своего господина и принесла гитару.
Дядюшка ни на кого не глядя сдунул пыль, костлявыми пальцами стукнул по крышке гитары, настроил и поправился на кресле. Он взял (несколько театральным жестом, отставив локоть левой руки) гитару повыше шейки и подмигнув Анисье Федоровне, начал не Барыню, а взял один звучный, чистый аккорд, и мерно, спокойно, но твердо начал весьма тихим темпом отделывать известную песню: По у ли и ице мостовой. В раз, в такт с тем степенным весельем (тем самым, которым дышало всё существо Анисьи Федоровны), запел в душе у Николая и Наташи мотив песни. Анисья Федоровна закраснелась и закрывшись платочком, смеясь вышла из комнаты. Дядюшка продолжал чисто, старательно и энергически твердо отделывать песню, изменившимся вдохновенным взглядом глядя на то место, с которого ушла Анисья Федоровна. Чуть чуть что то смеялось в его лице с одной стороны под седым усом, особенно смеялось тогда, когда дальше расходилась песня, ускорялся такт и в местах переборов отрывалось что то.
– Прелесть, прелесть, дядюшка; еще, еще, – закричала Наташа, как только он кончил. Она, вскочивши с места, обняла дядюшку и поцеловала его. – Николенька, Николенька! – говорила она, оглядываясь на брата и как бы спрашивая его: что же это такое?
Николаю тоже очень нравилась игра дядюшки. Дядюшка второй раз заиграл песню. Улыбающееся лицо Анисьи Федоровны явилось опять в дверях и из за ней еще другие лица… «За холодной ключевой, кричит: девица постой!» играл дядюшка, сделал опять ловкий перебор, оторвал и шевельнул плечами.
– Ну, ну, голубчик, дядюшка, – таким умоляющим голосом застонала Наташа, как будто жизнь ее зависела от этого. Дядюшка встал и как будто в нем было два человека, – один из них серьезно улыбнулся над весельчаком, а весельчак сделал наивную и аккуратную выходку перед пляской.
– Ну, племянница! – крикнул дядюшка взмахнув к Наташе рукой, оторвавшей аккорд.
Наташа сбросила с себя платок, который был накинут на ней, забежала вперед дядюшки и, подперши руки в боки, сделала движение плечами и стала.
Где, как, когда всосала в себя из того русского воздуха, которым она дышала – эта графинечка, воспитанная эмигранткой француженкой, этот дух, откуда взяла она эти приемы, которые pas de chale давно бы должны были вытеснить? Но дух и приемы эти были те самые, неподражаемые, не изучаемые, русские, которых и ждал от нее дядюшка. Как только она стала, улыбнулась торжественно, гордо и хитро весело, первый страх, который охватил было Николая и всех присутствующих, страх, что она не то сделает, прошел и они уже любовались ею.
Она сделала то самое и так точно, так вполне точно это сделала, что Анисья Федоровна, которая тотчас подала ей необходимый для ее дела платок, сквозь смех прослезилась, глядя на эту тоненькую, грациозную, такую чужую ей, в шелку и в бархате воспитанную графиню, которая умела понять всё то, что было и в Анисье, и в отце Анисьи, и в тетке, и в матери, и во всяком русском человеке.
– Ну, графинечка – чистое дело марш, – радостно смеясь, сказал дядюшка, окончив пляску. – Ай да племянница! Вот только бы муженька тебе молодца выбрать, – чистое дело марш!
– Уж выбран, – сказал улыбаясь Николай.
– О? – сказал удивленно дядюшка, глядя вопросительно на Наташу. Наташа с счастливой улыбкой утвердительно кивнула головой.
– Еще какой! – сказала она. Но как только она сказала это, другой, новый строй мыслей и чувств поднялся в ней. Что значила улыбка Николая, когда он сказал: «уж выбран»? Рад он этому или не рад? Он как будто думает, что мой Болконский не одобрил бы, не понял бы этой нашей радости. Нет, он бы всё понял. Где он теперь? подумала Наташа и лицо ее вдруг стало серьезно. Но это продолжалось только одну секунду. – Не думать, не сметь думать об этом, сказала она себе и улыбаясь, подсела опять к дядюшке, прося его сыграть еще что нибудь.
Дядюшка сыграл еще песню и вальс; потом, помолчав, прокашлялся и запел свою любимую охотническую песню.
Как со вечера пороша
Выпадала хороша…
Дядюшка пел так, как поет народ, с тем полным и наивным убеждением, что в песне все значение заключается только в словах, что напев сам собой приходит и что отдельного напева не бывает, а что напев – так только, для складу. От этого то этот бессознательный напев, как бывает напев птицы, и у дядюшки был необыкновенно хорош. Наташа была в восторге от пения дядюшки. Она решила, что не будет больше учиться на арфе, а будет играть только на гитаре. Она попросила у дядюшки гитару и тотчас же подобрала аккорды к песне.
В десятом часу за Наташей и Петей приехали линейка, дрожки и трое верховых, посланных отыскивать их. Граф и графиня не знали где они и крепко беспокоились, как сказал посланный.
Петю снесли и положили как мертвое тело в линейку; Наташа с Николаем сели в дрожки. Дядюшка укутывал Наташу и прощался с ней с совершенно новой нежностью. Он пешком проводил их до моста, который надо было объехать в брод, и велел с фонарями ехать вперед охотникам.
– Прощай, племянница дорогая, – крикнул из темноты его голос, не тот, который знала прежде Наташа, а тот, который пел: «Как со вечера пороша».
В деревне, которую проезжали, были красные огоньки и весело пахло дымом.
– Что за прелесть этот дядюшка! – сказала Наташа, когда они выехали на большую дорогу.
– Да, – сказал Николай. – Тебе не холодно?
– Нет, мне отлично, отлично. Мне так хорошо, – с недоумением даже cказала Наташа. Они долго молчали.
Ночь была темная и сырая. Лошади не видны были; только слышно было, как они шлепали по невидной грязи.
Что делалось в этой детской, восприимчивой душе, так жадно ловившей и усвоивавшей все разнообразнейшие впечатления жизни? Как это всё укладывалось в ней? Но она была очень счастлива. Уже подъезжая к дому, она вдруг запела мотив песни: «Как со вечера пороша», мотив, который она ловила всю дорогу и наконец поймала.
– Поймала? – сказал Николай.
– Ты об чем думал теперь, Николенька? – спросила Наташа. – Они любили это спрашивать друг у друга.
– Я? – сказал Николай вспоминая; – вот видишь ли, сначала я думал, что Ругай, красный кобель, похож на дядюшку и что ежели бы он был человек, то он дядюшку всё бы еще держал у себя, ежели не за скачку, так за лады, всё бы держал. Как он ладен, дядюшка! Не правда ли? – Ну а ты?
– Я? Постой, постой. Да, я думала сначала, что вот мы едем и думаем, что мы едем домой, а мы Бог знает куда едем в этой темноте и вдруг приедем и увидим, что мы не в Отрадном, а в волшебном царстве. А потом еще я думала… Нет, ничего больше.
– Знаю, верно про него думала, – сказал Николай улыбаясь, как узнала Наташа по звуку его голоса.
– Нет, – отвечала Наташа, хотя действительно она вместе с тем думала и про князя Андрея, и про то, как бы ему понравился дядюшка. – А еще я всё повторяю, всю дорогу повторяю: как Анисьюшка хорошо выступала, хорошо… – сказала Наташа. И Николай услыхал ее звонкий, беспричинный, счастливый смех.
– А знаешь, – вдруг сказала она, – я знаю, что никогда уже я не буду так счастлива, спокойна, как теперь.
– Вот вздор, глупости, вранье – сказал Николай и подумал: «Что за прелесть эта моя Наташа! Такого другого друга у меня нет и не будет. Зачем ей выходить замуж, всё бы с ней ездили!»
«Экая прелесть этот Николай!» думала Наташа. – А! еще огонь в гостиной, – сказала она, указывая на окна дома, красиво блестевшие в мокрой, бархатной темноте ночи.


Граф Илья Андреич вышел из предводителей, потому что эта должность была сопряжена с слишком большими расходами. Но дела его всё не поправлялись. Часто Наташа и Николай видели тайные, беспокойные переговоры родителей и слышали толки о продаже богатого, родового Ростовского дома и подмосковной. Без предводительства не нужно было иметь такого большого приема, и отрадненская жизнь велась тише, чем в прежние годы; но огромный дом и флигеля всё таки были полны народом, за стол всё так же садилось больше человек. Всё это были свои, обжившиеся в доме люди, почти члены семейства или такие, которые, казалось, необходимо должны были жить в доме графа. Таковы были Диммлер – музыкант с женой, Иогель – танцовальный учитель с семейством, старушка барышня Белова, жившая в доме, и еще многие другие: учителя Пети, бывшая гувернантка барышень и просто люди, которым лучше или выгоднее было жить у графа, чем дома. Не было такого большого приезда как прежде, но ход жизни велся тот же, без которого не могли граф с графиней представить себе жизни. Та же была, еще увеличенная Николаем, охота, те же 50 лошадей и 15 кучеров на конюшне, те же дорогие подарки в именины, и торжественные на весь уезд обеды; те же графские висты и бостоны, за которыми он, распуская всем на вид карты, давал себя каждый день на сотни обыгрывать соседям, смотревшим на право составлять партию графа Ильи Андреича, как на самую выгодную аренду.
Граф, как в огромных тенетах, ходил в своих делах, стараясь не верить тому, что он запутался и с каждым шагом всё более и более запутываясь и чувствуя себя не в силах ни разорвать сети, опутавшие его, ни осторожно, терпеливо приняться распутывать их. Графиня любящим сердцем чувствовала, что дети ее разоряются, что граф не виноват, что он не может быть не таким, каким он есть, что он сам страдает (хотя и скрывает это) от сознания своего и детского разорения, и искала средств помочь делу. С ее женской точки зрения представлялось только одно средство – женитьба Николая на богатой невесте. Она чувствовала, что это была последняя надежда, и что если Николай откажется от партии, которую она нашла ему, надо будет навсегда проститься с возможностью поправить дела. Партия эта была Жюли Карагина, дочь прекрасных, добродетельных матери и отца, с детства известная Ростовым, и теперь богатая невеста по случаю смерти последнего из ее братьев.
Графиня писала прямо к Карагиной в Москву, предлагая ей брак ее дочери с своим сыном и получила от нее благоприятный ответ. Карагина отвечала, что она с своей стороны согласна, что всё будет зависеть от склонности ее дочери. Карагина приглашала Николая приехать в Москву.
Несколько раз, со слезами на глазах, графиня говорила сыну, что теперь, когда обе дочери ее пристроены – ее единственное желание состоит в том, чтобы видеть его женатым. Она говорила, что легла бы в гроб спокойной, ежели бы это было. Потом говорила, что у нее есть прекрасная девушка на примете и выпытывала его мнение о женитьбе.
В других разговорах она хвалила Жюли и советовала Николаю съездить в Москву на праздники повеселиться. Николай догадывался к чему клонились разговоры его матери, и в один из таких разговоров вызвал ее на полную откровенность. Она высказала ему, что вся надежда поправления дел основана теперь на его женитьбе на Карагиной.
– Что ж, если бы я любил девушку без состояния, неужели вы потребовали бы, maman, чтобы я пожертвовал чувством и честью для состояния? – спросил он у матери, не понимая жестокости своего вопроса и желая только выказать свое благородство.
– Нет, ты меня не понял, – сказала мать, не зная, как оправдаться. – Ты меня не понял, Николинька. Я желаю твоего счастья, – прибавила она и почувствовала, что она говорит неправду, что она запуталась. – Она заплакала.
– Маменька, не плачьте, а только скажите мне, что вы этого хотите, и вы знаете, что я всю жизнь свою, всё отдам для того, чтобы вы были спокойны, – сказал Николай. Я всем пожертвую для вас, даже своим чувством.
Но графиня не так хотела поставить вопрос: она не хотела жертвы от своего сына, она сама бы хотела жертвовать ему.
– Нет, ты меня не понял, не будем говорить, – сказала она, утирая слезы.
«Да, может быть, я и люблю бедную девушку, говорил сам себе Николай, что ж, мне пожертвовать чувством и честью для состояния? Удивляюсь, как маменька могла мне сказать это. Оттого что Соня бедна, то я и не могу любить ее, думал он, – не могу отвечать на ее верную, преданную любовь. А уж наверное с ней я буду счастливее, чем с какой нибудь куклой Жюли. Пожертвовать своим чувством я всегда могу для блага своих родных, говорил он сам себе, но приказывать своему чувству я не могу. Ежели я люблю Соню, то чувство мое сильнее и выше всего для меня».
Николай не поехал в Москву, графиня не возобновляла с ним разговора о женитьбе и с грустью, а иногда и озлоблением видела признаки всё большего и большего сближения между своим сыном и бесприданной Соней. Она упрекала себя за то, но не могла не ворчать, не придираться к Соне, часто без причины останавливая ее, называя ее «вы», и «моя милая». Более всего добрая графиня за то и сердилась на Соню, что эта бедная, черноглазая племянница была так кротка, так добра, так преданно благодарна своим благодетелям, и так верно, неизменно, с самоотвержением влюблена в Николая, что нельзя было ни в чем упрекнуть ее.
Николай доживал у родных свой срок отпуска. От жениха князя Андрея получено было 4 е письмо, из Рима, в котором он писал, что он уже давно бы был на пути в Россию, ежели бы неожиданно в теплом климате не открылась его рана, что заставляет его отложить свой отъезд до начала будущего года. Наташа была так же влюблена в своего жениха, так же успокоена этой любовью и так же восприимчива ко всем радостям жизни; но в конце четвертого месяца разлуки с ним, на нее начинали находить минуты грусти, против которой она не могла бороться. Ей жалко было самое себя, жалко было, что она так даром, ни для кого, пропадала всё это время, в продолжение которого она чувствовала себя столь способной любить и быть любимой.
В доме Ростовых было невесело.


Пришли святки, и кроме парадной обедни, кроме торжественных и скучных поздравлений соседей и дворовых, кроме на всех надетых новых платьев, не было ничего особенного, ознаменовывающего святки, а в безветренном 20 ти градусном морозе, в ярком ослепляющем солнце днем и в звездном зимнем свете ночью, чувствовалась потребность какого нибудь ознаменования этого времени.
На третий день праздника после обеда все домашние разошлись по своим комнатам. Было самое скучное время дня. Николай, ездивший утром к соседям, заснул в диванной. Старый граф отдыхал в своем кабинете. В гостиной за круглым столом сидела Соня, срисовывая узор. Графиня раскладывала карты. Настасья Ивановна шут с печальным лицом сидел у окна с двумя старушками. Наташа вошла в комнату, подошла к Соне, посмотрела, что она делает, потом подошла к матери и молча остановилась.
– Что ты ходишь, как бесприютная? – сказала ей мать. – Что тебе надо?
– Его мне надо… сейчас, сию минуту мне его надо, – сказала Наташа, блестя глазами и не улыбаясь. – Графиня подняла голову и пристально посмотрела на дочь.
– Не смотрите на меня. Мама, не смотрите, я сейчас заплачу.
– Садись, посиди со мной, – сказала графиня.
– Мама, мне его надо. За что я так пропадаю, мама?… – Голос ее оборвался, слезы брызнули из глаз, и она, чтобы скрыть их, быстро повернулась и вышла из комнаты. Она вышла в диванную, постояла, подумала и пошла в девичью. Там старая горничная ворчала на молодую девушку, запыхавшуюся, с холода прибежавшую с дворни.
– Будет играть то, – говорила старуха. – На всё время есть.
– Пусти ее, Кондратьевна, – сказала Наташа. – Иди, Мавруша, иди.
И отпустив Маврушу, Наташа через залу пошла в переднюю. Старик и два молодые лакея играли в карты. Они прервали игру и встали при входе барышни. «Что бы мне с ними сделать?» подумала Наташа. – Да, Никита, сходи пожалуста… куда бы мне его послать? – Да, сходи на дворню и принеси пожалуста петуха; да, а ты, Миша, принеси овса.
– Немного овса прикажете? – весело и охотно сказал Миша.
– Иди, иди скорее, – подтвердил старик.
– Федор, а ты мелу мне достань.
Проходя мимо буфета, она велела подавать самовар, хотя это было вовсе не время.
Буфетчик Фока был самый сердитый человек из всего дома. Наташа над ним любила пробовать свою власть. Он не поверил ей и пошел спросить, правда ли?
– Уж эта барышня! – сказал Фока, притворно хмурясь на Наташу.
Никто в доме не рассылал столько людей и не давал им столько работы, как Наташа. Она не могла равнодушно видеть людей, чтобы не послать их куда нибудь. Она как будто пробовала, не рассердится ли, не надуется ли на нее кто из них, но ничьих приказаний люди не любили так исполнять, как Наташиных. «Что бы мне сделать? Куда бы мне пойти?» думала Наташа, медленно идя по коридору.
– Настасья Ивановна, что от меня родится? – спросила она шута, который в своей куцавейке шел навстречу ей.
– От тебя блохи, стрекозы, кузнецы, – отвечал шут.
– Боже мой, Боже мой, всё одно и то же. Ах, куда бы мне деваться? Что бы мне с собой сделать? – И она быстро, застучав ногами, побежала по лестнице к Фогелю, который с женой жил в верхнем этаже. У Фогеля сидели две гувернантки, на столе стояли тарелки с изюмом, грецкими и миндальными орехами. Гувернантки разговаривали о том, где дешевле жить, в Москве или в Одессе. Наташа присела, послушала их разговор с серьезным задумчивым лицом и встала. – Остров Мадагаскар, – проговорила она. – Ма да гас кар, – повторила она отчетливо каждый слог и не отвечая на вопросы m me Schoss о том, что она говорит, вышла из комнаты. Петя, брат ее, был тоже наверху: он с своим дядькой устраивал фейерверк, который намеревался пустить ночью. – Петя! Петька! – закричала она ему, – вези меня вниз. с – Петя подбежал к ней и подставил спину. Она вскочила на него, обхватив его шею руками и он подпрыгивая побежал с ней. – Нет не надо – остров Мадагаскар, – проговорила она и, соскочив с него, пошла вниз.
Как будто обойдя свое царство, испытав свою власть и убедившись, что все покорны, но что всё таки скучно, Наташа пошла в залу, взяла гитару, села в темный угол за шкапчик и стала в басу перебирать струны, выделывая фразу, которую она запомнила из одной оперы, слышанной в Петербурге вместе с князем Андреем. Для посторонних слушателей у ней на гитаре выходило что то, не имевшее никакого смысла, но в ее воображении из за этих звуков воскресал целый ряд воспоминаний. Она сидела за шкапчиком, устремив глаза на полосу света, падавшую из буфетной двери, слушала себя и вспоминала. Она находилась в состоянии воспоминания.
Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.
– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его , дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.