Вариационные принципы

Принципами механики называются исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из них как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия её равновесия). В ходе развития механики был установлен ряд таких принципов, каждый из которых может быть положен в основу механики, что объясняется многообразием свойств и закономерностей механических явлений. Эти принципы подразделяют на невариационные и вариационные.

Невариационные принципы

Невариационные принципы механики непосредственно устанавливают закономерности движения, совершаемого системой под действием приложенных к ней сил. К этим принципам относятся, например, 2-й закон Ньютона, согласно которому при движении любой точки системы произведение её массы на ускорение равно сумме всех приложенных к точке сил, а также принцип Д’Аламбера.

Невариационные принципы справедливы для любой механической системы и имеют сравнительно простое математическое выражение. Однако их применение ограничено только рамками механики, поскольку в выражения принципов непосредственно входит такое чисто механическое понятие, как сила. Существенно также следующее. В большинстве задач механики рассматривается движение несвободных систем, то есть систем, перемещения которых ограничены связями. Примерами таких систем являются всевозможные машины и механизмы, где связями являются подшипники, шарниры, тросы и т. п., а для наземного транспорта — ещё и полотно дороги или рельсы. Чтобы изучить движение несвободной системы, исходя из невариационных принципов, надо эффект действия связей заменить некоторыми силами, называемыми реакциями связей. Но величины этих реакций заранее неизвестны, поскольку они зависят от того, чему равны и где приложены действующие на систему заданные (активные) силы, такие, например, как силы тяжести, упругости пружин, тяги и т. п., а также от того, как при этом движется сама система. Поэтому в составленные уравнения движения войдут дополнительные неизвестные величины в виде реакций связей, что обычно существенно усложняет весь процесс решения.

Преимущество вариационных принципов состоит в том, что из них сразу получаются уравнения движения соответствующей механической системы, не содержащие неизвестных реакций связей. Достигается это тем, что эффект действия связей учитывается не заменой их неизвестными силами (реакциями), а рассмотрением тех перемещений или движений (или же приращений скоростей и ускорений), которые точки этой системы могут иметь при наличии данных связей. Например, если точка М движется по данной гладкой (идеальной) поверхности, являющейся для неё связью, то действие этой связи можно учесть

• заменив связь заранее неизвестной по величине реакцией N, направленной в любой момент времени по нормали n к поверхности (поскольку по этому направлению связь не даёт перемещаться точке).
• установив, что для точки в данном случае при любом её положении возможны лишь такие элементарные перемещения, которые перпендикулярны к нормали n. Такие перемещения называются возможными (виртуальными) перемещениями.
• заметив, что при этом движение точки из некоторого положения А в положение В возможно только по любой кривой АВ, лежащей на поверхности, которая является связью. Такие движения называются кинематически возможными.

Вариационные принципы

Содержание вариационных принципов состоит в том, что они устанавливают свойства (признаки), позволяющие отличить истинное, то есть фактически происходящее под действием заданных сил, движение механической системы от тех или иных кинематически возможных её движений (или же состояние равновесия системы от других возможных её состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят в том, что для истинного движения некоторая физическая величина, зависящая от характеристик системы, имеет наименьшее значение по сравнению с её значениями во всех рассматриваемых кинематически возможных движениях. При этом вариационные принципы могут отличаться друг от друга видом указанной физической величины и особенностями рассматриваемых кинематически возможных движений, а также особенностями самих механических систем, для которых эти принципы справедливы. Использование вариационных принципов требует применения методов вариационного исчисления.

По форме вариационные принципы разделяют на так называемые дифференциальные, в которых устанавливается, чем истинное движение системы отличается от движений кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, в которых это различие устанавливается для перемещений, совершаемых системой за какой-нибудь конечный промежуток времени.

Дифференциальные вариационные принципы в рамках механики являются более общими и практически справедливы для любых механических систем. Интегральные вариационные принципы в их наиболее употребительном виде справедливы только для так называемых консервативных систем, то есть систем, в которых имеет место закон сохранения механической энергии. Однако в них, в отличие от дифференциальных вариационных принципов и невариационных принципов, вместо сил входит такая физическая величина, как энергия, что позволяет распространить эти принципы на немеханические явления, делая их важными для всей теоретической физики.

Дифференциальные принципы

К основным дифференциальным вариационным принципам относятся:

1. принцип возможных перемещений, устанавливающий условие равновесия механической системы с идеальными связями; согласно этому принципу, положения равновесия механической системы отличаются от всех других возможных для неё положений тем, что только для положений равновесия сумма элементарных работ всех приложенных к системе (активных и реактивных) сил на любом возможном перемещении системы равна нулю.
2. принцип Д’Аламбера — Лагранжа, согласно которому истинное движение механической системы с идеальными связями отличается от всех кинематически возможных движений тем, что только для истинного движения в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных, реактивных и инерционных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю. В этих вариационных принципах рассматриваемой физической величиной является работа сил.

К дифференциальным вариационным принципам относится также принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения), в котором рассматриваемой физической величиной является так называемое «принуждение», выражаемое через заданные силы и ускорения точек системы, а также тесно к нему примыкающий принцип Герца (принцип наименьшей кривизны).

Интегральные принципы

К интегральным вариационным принципам относятся принципы наименьшего (стационарного) действия, согласно которым истинным среди рассматриваемых кинематически возможных движений системы между двумя её положениями является то, для которого физическая величина, называемая действием, имеет минимальное значение. Разные формы этих принципов отличаются друг от друга выбором величины действия и особенностями сравниваемых между собой кинематически возможных движений системы.

Как невариационные, так и вариационные принципы были установлены в процессе изучения свойств механических систем и закономерностей их движения. Поскольку механические явления, как и другие физические, подчинены многим закономерностям, то для соответствующих механических систем оказывается справедливым целый ряд принципов, в том числе и вариационный. Если любой из них принять за исходный, то из него как следствия получаются не только уравнения движения данной системы, но и все другие, справедливые для этой системы, принципы.

Применение

Применяются вариационные принципы как для составления в наиболее простой форме уравнений движения механических систем, так и для изучения общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий они используются также в механике сплошных сред, термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др. С точки зрения реализации вариационных принципов, в частности принципа Лагранжа, различают разные методы. В общем случае требование стационарности лагранжиана дает систему дифференциальных уравнений в частных производных и соответствующий спектр начально-краевых задач (уравнения Эйлера). Если общая постановка является трехмерной, метод Власова дает возможность снизить размерность задачи, сводя её к двумерной (пример - теория оболочек), к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (пример - теория стержней) или к конечной/бесконечной алгебраической системе уравнений (метод Рэлея-Ритца, метод конечных элементов).

История

Ещё античные натурфилософы (например, Аристотель) предполагали, что «природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь». Однако конкретный смысл терминов «кратчайший» или «легчайший» при этом не уточнялся. Клавдий Птолемей показал , что при отражении луча света его общий путь является кратчайшим в том случае, когда угол падения равен углу отражения, что и наблюдается на практике. Однако он предостерёг, что в случае преломления света путь (ломаная линия) уже не будет кратчайшим.

Первым в истории науки вариационный принцип сформулировал Пьер Ферма в 1662 году, и он относился именно к преломлению света. Ферма показал, что критерием в данном случае является не путь, а время — луч преломляется под таким углом, чтобы суммарное время в пути было минимально. В современных обозначениях принцип Ферма можно записать так:

<math>T=\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} \frac{ds}{v} = \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} \mu ds = min </math>

Здесь <math>\mu</math> — показатель преломления среды.

Математическое исследование и развитие принципа Ферма провёл Христиан Гюйгенс, после чего тему активно обсуждали крупнейшие учёные XVII века. Лейбниц в 1669 году ввёл в физику фундаментальное понятие действия: «Формальные действия движения пропорциональны… произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скорости».

Параллельно с анализом основ механики развивались методы решения вариационных задач. Исаак Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии» (1687 год) поставил и решил первую вариационную задачу: найти такую форму тела вращения, движущегося в сопротивляющейся среде вдоль своей оси, для которой испытываемое сопротивление было бы наименьшим. Почти одновременно появились и другие вариационные проблемы: задача о брахистохроне (1696), форма цепной линии и др.

Решающие события произошли в 1744 году. Леонард Эйлер опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»), а Пьер Луи де Мопертюи в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума. Далее Эйлер сформулировал этот закон: траектория тела осуществляет минимум <math>\int mv\ ds</math>. Затем он применил его, выведя законы движения в однородном поле тяжести и в нескольких других случаях.

В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».

Новый этап начался в 1760—1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году — он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.

В 1834—1835 годах Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал ещё более общий вариационный принцип, из которого следовали все более ранние как частные случаи:

<math> \delta \mathcal{S} = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t), t)\ dt = 0 </math>

Здесь <math>L</math> — лагранжиан динамической системы, <math>q</math> — обобщённые координаты. Гамильтон положил этот принцип в основу своей «гамильтоновой механики» и дал решение вариационной задачи в виде «канонических уравнений».

Подход Гамильтона оказался универсальным и высокоэффективным в математических моделях физики, особенно для квантовой механики. Его эвристическая сила была подтверждена при создании Общей теории относительности, когда Давид Гильберт применил гамильтонов принцип для вывода окончательных уравнений гравитационного поля (1915 год).

См. также

• Вариационный ряд

Литература

• Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959.
• Румянцев В. В. Леонард Эйлер и вариационные принципы механики // Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти.. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1935. — С. 180-207..

Отрывок, характеризующий Вариационные принципы

– Урра! Урра! Урра! – гремело со всех сторон, и один полк за другим принимал государя звуками генерал марша; потом Урра!… генерал марш и опять Урра! и Урра!! которые, всё усиливаясь и прибывая, сливались в оглушительный гул.
Пока не подъезжал еще государь, каждый полк в своей безмолвности и неподвижности казался безжизненным телом; только сравнивался с ним государь, полк оживлялся и гремел, присоединяясь к реву всей той линии, которую уже проехал государь. При страшном, оглушительном звуке этих голосов, посреди масс войска, неподвижных, как бы окаменевших в своих четвероугольниках, небрежно, но симметрично и, главное, свободно двигались сотни всадников свиты и впереди их два человека – императоры. На них то безраздельно было сосредоточено сдержанно страстное внимание всей этой массы людей.
Красивый, молодой император Александр, в конно гвардейском мундире, в треугольной шляпе, надетой с поля, своим приятным лицом и звучным, негромким голосом привлекал всю силу внимания.
Ростов стоял недалеко от трубачей и издалека своими зоркими глазами узнал государя и следил за его приближением. Когда государь приблизился на расстояние 20 ти шагов и Николай ясно, до всех подробностей, рассмотрел прекрасное, молодое и счастливое лицо императора, он испытал чувство нежности и восторга, подобного которому он еще не испытывал. Всё – всякая черта, всякое движение – казалось ему прелестно в государе.
Остановившись против Павлоградского полка, государь сказал что то по французски австрийскому императору и улыбнулся.
Увидав эту улыбку, Ростов сам невольно начал улыбаться и почувствовал еще сильнейший прилив любви к своему государю. Ему хотелось выказать чем нибудь свою любовь к государю. Он знал, что это невозможно, и ему хотелось плакать.
Государь вызвал полкового командира и сказал ему несколько слов.
«Боже мой! что бы со мной было, ежели бы ко мне обратился государь! – думал Ростов: – я бы умер от счастия».
Государь обратился и к офицерам:
– Всех, господа (каждое слово слышалось Ростову, как звук с неба), благодарю от всей души.
Как бы счастлив был Ростов, ежели бы мог теперь умереть за своего царя!
– Вы заслужили георгиевские знамена и будете их достойны.
«Только умереть, умереть за него!» думал Ростов.
Государь еще сказал что то, чего не расслышал Ростов, и солдаты, надсаживая свои груди, закричали: Урра! Ростов закричал тоже, пригнувшись к седлу, что было его сил, желая повредить себе этим криком, только чтобы выразить вполне свой восторг к государю.
Государь постоял несколько секунд против гусар, как будто он был в нерешимости.
«Как мог быть в нерешимости государь?» подумал Ростов, а потом даже и эта нерешительность показалась Ростову величественной и обворожительной, как и всё, что делал государь.
Нерешительность государя продолжалась одно мгновение. Нога государя, с узким, острым носком сапога, как носили в то время, дотронулась до паха энглизированной гнедой кобылы, на которой он ехал; рука государя в белой перчатке подобрала поводья, он тронулся, сопутствуемый беспорядочно заколыхавшимся морем адъютантов. Дальше и дальше отъезжал он, останавливаясь у других полков, и, наконец, только белый плюмаж его виднелся Ростову из за свиты, окружавшей императоров.
В числе господ свиты Ростов заметил и Болконского, лениво и распущенно сидящего на лошади. Ростову вспомнилась его вчерашняя ссора с ним и представился вопрос, следует – или не следует вызывать его. «Разумеется, не следует, – подумал теперь Ростов… – И стоит ли думать и говорить про это в такую минуту, как теперь? В минуту такого чувства любви, восторга и самоотвержения, что значат все наши ссоры и обиды!? Я всех люблю, всем прощаю теперь», думал Ростов.
Когда государь объехал почти все полки, войска стали проходить мимо его церемониальным маршем, и Ростов на вновь купленном у Денисова Бедуине проехал в замке своего эскадрона, т. е. один и совершенно на виду перед государем.
Не доезжая государя, Ростов, отличный ездок, два раза всадил шпоры своему Бедуину и довел его счастливо до того бешеного аллюра рыси, которою хаживал разгоряченный Бедуин. Подогнув пенящуюся морду к груди, отделив хвост и как будто летя на воздухе и не касаясь до земли, грациозно и высоко вскидывая и переменяя ноги, Бедуин, тоже чувствовавший на себе взгляд государя, прошел превосходно.
Сам Ростов, завалив назад ноги и подобрав живот и чувствуя себя одним куском с лошадью, с нахмуренным, но блаженным лицом, чортом , как говорил Денисов, проехал мимо государя.
– Молодцы павлоградцы! – проговорил государь.
«Боже мой! Как бы я счастлив был, если бы он велел мне сейчас броситься в огонь», подумал Ростов.
Когда смотр кончился, офицеры, вновь пришедшие и Кутузовские, стали сходиться группами и начали разговоры о наградах, об австрийцах и их мундирах, об их фронте, о Бонапарте и о том, как ему плохо придется теперь, особенно когда подойдет еще корпус Эссена, и Пруссия примет нашу сторону.
Но более всего во всех кружках говорили о государе Александре, передавали каждое его слово, движение и восторгались им.
Все только одного желали: под предводительством государя скорее итти против неприятеля. Под командою самого государя нельзя было не победить кого бы то ни было, так думали после смотра Ростов и большинство офицеров.
Все после смотра были уверены в победе больше, чем бы могли быть после двух выигранных сражений.


На другой день после смотра Борис, одевшись в лучший мундир и напутствуемый пожеланиями успеха от своего товарища Берга, поехал в Ольмюц к Болконскому, желая воспользоваться его лаской и устроить себе наилучшее положение, в особенности положение адъютанта при важном лице, казавшееся ему особенно заманчивым в армии. «Хорошо Ростову, которому отец присылает по 10 ти тысяч, рассуждать о том, как он никому не хочет кланяться и ни к кому не пойдет в лакеи; но мне, ничего не имеющему, кроме своей головы, надо сделать свою карьеру и не упускать случаев, а пользоваться ими».
В Ольмюце он не застал в этот день князя Андрея. Но вид Ольмюца, где стояла главная квартира, дипломатический корпус и жили оба императора с своими свитами – придворных, приближенных, только больше усилил его желание принадлежать к этому верховному миру.
Он никого не знал, и, несмотря на его щегольской гвардейский мундир, все эти высшие люди, сновавшие по улицам, в щегольских экипажах, плюмажах, лентах и орденах, придворные и военные, казалось, стояли так неизмеримо выше его, гвардейского офицерика, что не только не хотели, но и не могли признать его существование. В помещении главнокомандующего Кутузова, где он спросил Болконского, все эти адъютанты и даже денщики смотрели на него так, как будто желали внушить ему, что таких, как он, офицеров очень много сюда шляется и что они все уже очень надоели. Несмотря на это, или скорее вследствие этого, на другой день, 15 числа, он после обеда опять поехал в Ольмюц и, войдя в дом, занимаемый Кутузовым, спросил Болконского. Князь Андрей был дома, и Бориса провели в большую залу, в которой, вероятно, прежде танцовали, а теперь стояли пять кроватей, разнородная мебель: стол, стулья и клавикорды. Один адъютант, ближе к двери, в персидском халате, сидел за столом и писал. Другой, красный, толстый Несвицкий, лежал на постели, подложив руки под голову, и смеялся с присевшим к нему офицером. Третий играл на клавикордах венский вальс, четвертый лежал на этих клавикордах и подпевал ему. Болконского не было. Никто из этих господ, заметив Бориса, не изменил своего положения. Тот, который писал, и к которому обратился Борис, досадливо обернулся и сказал ему, что Болконский дежурный, и чтобы он шел налево в дверь, в приемную, коли ему нужно видеть его. Борис поблагодарил и пошел в приемную. В приемной было человек десять офицеров и генералов.
В то время, как взошел Борис, князь Андрей, презрительно прищурившись (с тем особенным видом учтивой усталости, которая ясно говорит, что, коли бы не моя обязанность, я бы минуты с вами не стал разговаривать), выслушивал старого русского генерала в орденах, который почти на цыпочках, на вытяжке, с солдатским подобострастным выражением багрового лица что то докладывал князю Андрею.
– Очень хорошо, извольте подождать, – сказал он генералу тем французским выговором по русски, которым он говорил, когда хотел говорить презрительно, и, заметив Бориса, не обращаясь более к генералу (который с мольбою бегал за ним, прося еще что то выслушать), князь Андрей с веселой улыбкой, кивая ему, обратился к Борису.
Борис в эту минуту уже ясно понял то, что он предвидел прежде, именно то, что в армии, кроме той субординации и дисциплины, которая была написана в уставе, и которую знали в полку, и он знал, была другая, более существенная субординация, та, которая заставляла этого затянутого с багровым лицом генерала почтительно дожидаться, в то время как капитан князь Андрей для своего удовольствия находил более удобным разговаривать с прапорщиком Друбецким. Больше чем когда нибудь Борис решился служить впредь не по той писанной в уставе, а по этой неписанной субординации. Он теперь чувствовал, что только вследствие того, что он был рекомендован князю Андрею, он уже стал сразу выше генерала, который в других случаях, во фронте, мог уничтожить его, гвардейского прапорщика. Князь Андрей подошел к нему и взял за руку.
– Очень жаль, что вчера вы не застали меня. Я целый день провозился с немцами. Ездили с Вейротером поверять диспозицию. Как немцы возьмутся за аккуратность – конца нет!
Борис улыбнулся, как будто он понимал то, о чем, как об общеизвестном, намекал князь Андрей. Но он в первый раз слышал и фамилию Вейротера и даже слово диспозиция.
– Ну что, мой милый, всё в адъютанты хотите? Я об вас подумал за это время.
– Да, я думал, – невольно отчего то краснея, сказал Борис, – просить главнокомандующего; к нему было письмо обо мне от князя Курагина; я хотел просить только потому, – прибавил он, как бы извиняясь, что, боюсь, гвардия не будет в деле.
– Хорошо! хорошо! мы обо всем переговорим, – сказал князь Андрей, – только дайте доложить про этого господина, и я принадлежу вам.
В то время как князь Андрей ходил докладывать про багрового генерала, генерал этот, видимо, не разделявший понятий Бориса о выгодах неписанной субординации, так уперся глазами в дерзкого прапорщика, помешавшего ему договорить с адъютантом, что Борису стало неловко. Он отвернулся и с нетерпением ожидал, когда возвратится князь Андрей из кабинета главнокомандующего.
– Вот что, мой милый, я думал о вас, – сказал князь Андрей, когда они прошли в большую залу с клавикордами. – К главнокомандующему вам ходить нечего, – говорил князь Андрей, – он наговорит вам кучу любезностей, скажет, чтобы приходили к нему обедать («это было бы еще не так плохо для службы по той субординации», подумал Борис), но из этого дальше ничего не выйдет; нас, адъютантов и ординарцев, скоро будет батальон. Но вот что мы сделаем: у меня есть хороший приятель, генерал адъютант и прекрасный человек, князь Долгоруков; и хотя вы этого можете не знать, но дело в том, что теперь Кутузов с его штабом и мы все ровно ничего не значим: всё теперь сосредоточивается у государя; так вот мы пойдемте ка к Долгорукову, мне и надо сходить к нему, я уж ему говорил про вас; так мы и посмотрим; не найдет ли он возможным пристроить вас при себе, или где нибудь там, поближе .к солнцу.
Князь Андрей всегда особенно оживлялся, когда ему приходилось руководить молодого человека и помогать ему в светском успехе. Под предлогом этой помощи другому, которую он по гордости никогда не принял бы для себя, он находился вблизи той среды, которая давала успех и которая притягивала его к себе. Он весьма охотно взялся за Бориса и пошел с ним к князю Долгорукову.
Было уже поздно вечером, когда они взошли в Ольмюцкий дворец, занимаемый императорами и их приближенными.
В этот самый день был военный совет, на котором участвовали все члены гофкригсрата и оба императора. На совете, в противность мнения стариков – Кутузова и князя Шварцернберга, было решено немедленно наступать и дать генеральное сражение Бонапарту. Военный совет только что кончился, когда князь Андрей, сопутствуемый Борисом, пришел во дворец отыскивать князя Долгорукова. Еще все лица главной квартиры находились под обаянием сегодняшнего, победоносного для партии молодых, военного совета. Голоса медлителей, советовавших ожидать еще чего то не наступая, так единодушно были заглушены и доводы их опровергнуты несомненными доказательствами выгод наступления, что то, о чем толковалось в совете, будущее сражение и, без сомнения, победа, казались уже не будущим, а прошедшим. Все выгоды были на нашей стороне. Огромные силы, без сомнения, превосходившие силы Наполеона, были стянуты в одно место; войска были одушевлены присутствием императоров и рвались в дело; стратегический пункт, на котором приходилось действовать, был до малейших подробностей известен австрийскому генералу Вейротеру, руководившему войска (как бы счастливая случайность сделала то, что австрийские войска в прошлом году были на маневрах именно на тех полях, на которых теперь предстояло сразиться с французом); до малейших подробностей была известна и передана на картах предлежащая местность, и Бонапарте, видимо, ослабленный, ничего не предпринимал.
Долгоруков, один из самых горячих сторонников наступления, только что вернулся из совета, усталый, измученный, но оживленный и гордый одержанной победой. Князь Андрей представил покровительствуемого им офицера, но князь Долгоруков, учтиво и крепко пожав ему руку, ничего не сказал Борису и, очевидно не в силах удержаться от высказывания тех мыслей, которые сильнее всего занимали его в эту минуту, по французски обратился к князю Андрею.
– Ну, мой милый, какое мы выдержали сражение! Дай Бог только, чтобы то, которое будет следствием его, было бы столь же победоносно. Однако, мой милый, – говорил он отрывочно и оживленно, – я должен признать свою вину перед австрийцами и в особенности перед Вейротером. Что за точность, что за подробность, что за знание местности, что за предвидение всех возможностей, всех условий, всех малейших подробностей! Нет, мой милый, выгодней тех условий, в которых мы находимся, нельзя ничего нарочно выдумать. Соединение австрийской отчетливости с русской храбростию – чего ж вы хотите еще?
– Так наступление окончательно решено? – сказал Болконский.
– И знаете ли, мой милый, мне кажется, что решительно Буонапарте потерял свою латынь. Вы знаете, что нынче получено от него письмо к императору. – Долгоруков улыбнулся значительно.