Вековое равновесие

Вековое равновесие — состояние, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением:

<math>\frac{N_1}{N_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}</math>

Вековое равновесие заключается в том, что число распадов (активность) всех членов радиоактивного ряда равно друг другу, и если исходный изотоп имеет очень большое время жизни (постоянная активность), то никакого изменения активности и у дочерних радиоактивных элементов не наблюдается. С достаточной точностью можно считать, что вековое равновесие наступает за время, равное десятикратному периоду полураспада наиболее долгоживущего дочернего элемента:

• в урановом ряду — через 830000 лет,
• ториевом — через 67 лет,
• актино-урановом — через 343000 лет.

В естественном состоянии все нуклиды, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. Чем меньше <math>T_{1/2}</math> члена радиоактивного ряда, тем меньше его содержание в земной коре.

Постоянная распада <math>\lambda</math> — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени <math>t</math> имеется <math>N</math> радиоактивных ядер, то количество ядер <math>dN</math>, распавшихся за время <math>dt</math> равно <math>dN = -\lambda Ndt</math>.

Количество ядер 2 достигает максимального значения <math>N_2^{max}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}N_{10}exp(-\lambda_1t^{max})</math> при <math>t^{max}=\frac{\ln(\lambda_1/\lambda_2)}{\lambda_1-\lambda_2}</math>.

Если <math>\lambda_2<\lambda_1</math> , суммарная активность <math>N_1(t)\lambda_1+N_2(t)\lambda_2</math> будет монотонно уменьшаться. Если <math>\lambda_2>\lambda_1</math> , суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.

В общем случае, когда имеется цепочка распадов <math>1 \xrightarrow{} 2 \xrightarrow{}...n</math>., процесс описывается системой дифференциальных уравнений

<math>dN_i/dt=-\lambda_iN_i+\lambda_{i-1}N_{i-1}</math>.

Решением системы для активностей с начальными условиями <math>N_1(0)=N_{10}</math>; <math>N_i(0)=0</math> будет

<math>A_n(t) = N_{10}\sum^{n}_{i=1} {c_iexp(-\lambda_it)}</math>, где

<math>c_m=\frac{ \prod^n_{i=1}\lambda_i}{\prod^n_{i=1}(\lambda_i-\lambda_m)}</math>.

Ссылки

• [www.iupac.org/goldbook/S05532.pdf IUPAC definition]
• [www.epa.gov/radiation/understand/equilibrium.htm EPA definition]

Отрывок, характеризующий Вековое равновесие

– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.

Ростов, не желая навязывать свое знакомство княжне, не пошел к ней, а остался в деревне, ожидая ее выезда. Дождавшись выезда экипажей княжны Марьи из дома, Ростов сел верхом и до пути, занятого нашими войсками, в двенадцати верстах от Богучарова, верхом провожал ее. В Янкове, на постоялом дворе, он простился с нею почтительно, в первый раз позволив себе поцеловать ее руку.