Векторная величина

Ве́кторная величина́ — физическая величина, являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырехмерном пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

Употребление терминов вектор и векторная величина в физике

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколь угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идет не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определенной их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удается достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трехмерным пространством классической физики или четырехмерным пространством-временем физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определенно охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное еще в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае еще жестче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего, а векторными величинами — практически всегда — называют векторы двух сходных между собою классов:

1. в классической физике (классической механике, электродинамике в классической трехмерной формулировке и в других областях физики, преимущественно сформировавшихся до начала ХХ века) векторными величинами или просто векторами называют, как правило, векторы обычного трехмерного пространства — то есть обычные «геометрические» векторы или, быть может, отличающиеся от таковых на скалярный множитель (в том числе и на множитель размерный). Хотя в этих областях физики фактически и применялись разнообразные объекты, осознаваемые нынешней математикой как векторы — в физической терминологии это почти не получило отражения (так например, преобразование Фурье в классической электродинамике и классической теории сплошных сред весьма интенсивно применяется, но традиционно почти не рассматривается в контексте классической с использованием слова «вектор» применительно к функциям, хотя с математической точки зрения это было бы вполне законно). Пожалуй, единственным явным исключением из правила является достаточно свободное векторами элементов фазового или конфигурационного пространств.
2. в релятивистской физике (начиная с Пуанкаре, Планка и Минковского) и, в значительной степени, в современной теоретической физике под векторами и векторными величинами понимаются прежде всего векторы четырехмерного пространства-времени и непосредственно с ним связанные (отличающиеся на скалярный множитель от векторов 4-перемещения) — 4-векторы.
3. в квантовой механике, квантовой теории поля итд слово «вектор» стало стандартно применяться и для обозначения такого объекта, как вектор состояния. Этот вектор может иметь в принципе любую размерность, а как правило — бесконечномерен. Однако путаницы практически не возникает, поскольку слово вектор тут используется исключительно в устойчивом сочетании вектор состояния, и никогда отдельно, за исключением разве что случаев, когда контекст уже настолько очевиден, что путаница просто невозможна (например, при повторном употреблении отдельного слова вектор в отношении объекта, который только что перед этим был назван, как вектор состояния или при использовании однозначных специфических обозначений — таких например, как скобки Дирака, — или соответствующих им терминов. Для ряда векторов специфических пространств используются специальные слова (такие, как например спиноры) или явные названия (вектор цветового пространства, изотопический спин итд). Притом что словосочетание «векторная величина» практически никогда не применяется к таким абстрактным векторам. Всё это позволило термину «векторный» сохранить в качестве, пожалуй, основного смысла — смысл 4-вектора. Именно этот смысл вкладывается в термины векторное поле, векторная частица (векторный бозон, векторный мезон); сопряженный смысл в подобных терминах имеет и слово скалярный.

Примеры векторных физических величин: скорость, сила, поток тепла.

Генезис векторных величин

Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснен выше) совпадает с размерностью одного и того же «физического» (и «геометрического») пространства, например, пространство трехмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяженностью, тем не менее имеет вполне определенное направление именно в этом обычном пространстве.

Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо «сведя» весь набор векторных величин физики к простейшим «геометрическим» векторам, вернее даже — к одному вектору — вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать — произведя их всех от него.

Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трехмерного случая классической физики и для четырехмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.

Классический трехмерный случай

Будем исходить из обычного трехмерного «геометрического» пространства, в котором мы живем и можем перемещаться.

В качестве исходного и образцового вектора возьмем вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).

Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда дает новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами, поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов дает новый вектор.

Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объему).

Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr, мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время — скаляр) такие кинематические величины, как

• скорость <math>\mathbf v = d\mathbf r/ dt,</math>
• ускорение <math>\mathbf a = d\mathbf v/ dt.</math>

Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются

• импульс,
• сила.

Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что

• угловая скорость,
• момент импульса — появляются совершенно понятным образом.

• с помощью формулы силы Лоренца напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.

Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, так как выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).

Современный четырехмерный случай

Ту же процедуру можно проделать исходя из четырехмерного перемещения. Оказывается, что все 4-векторные величины «происходят» от 4-перемещения, являясь поэтому в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само 4-перемещение.

Виды векторов применительно к физике

• Полярный или истинный вектор — обычный вектор.
• Аксиальный вектор (псевдовектор) — на самом деле не является настоящим вектором, однако формально почти не отличается от последнего, за исключением того, что меняет направление на противоположное при изменении ориентации системы координат (например, при зеркальном отражении системы координат). Примеры псевдовекторов: все величины, определяемые через векторное произведение двух полярных векторов.
• Для сил выделяется несколько различных классов эквивалентности.

Отрывок, характеризующий Векторная величина

– Да, да, пожалуйста, а то поздно, – проговорил он и, кивнув головой, опустил ее и опять закрыл глаза.
Ежели первое время члены совета думали, что Кутузов притворялся спящим, то звуки, которые он издавал носом во время последующего чтения, доказывали, что в эту минуту для главнокомандующего дело шло о гораздо важнейшем, чем о желании выказать свое презрение к диспозиции или к чему бы то ни было: дело шло для него о неудержимом удовлетворении человеческой потребности – .сна. Он действительно спал. Вейротер с движением человека, слишком занятого для того, чтобы терять хоть одну минуту времени, взглянул на Кутузова и, убедившись, что он спит, взял бумагу и громким однообразным тоном начал читать диспозицию будущего сражения под заглавием, которое он тоже прочел:
«Диспозиция к атаке неприятельской позиции позади Кобельница и Сокольница, 20 ноября 1805 года».
Диспозиция была очень сложная и трудная. В оригинальной диспозиции значилось:
Da der Feind mit seinerien linken Fluegel an die mit Wald bedeckten Berge lehnt und sich mit seinerien rechten Fluegel laengs Kobeinitz und Sokolienitz hinter die dort befindIichen Teiche zieht, wir im Gegentheil mit unserem linken Fluegel seinen rechten sehr debordiren, so ist es vortheilhaft letzteren Fluegel des Feindes zu attakiren, besondere wenn wir die Doerfer Sokolienitz und Kobelienitz im Besitze haben, wodurch wir dem Feind zugleich in die Flanke fallen und ihn auf der Flaeche zwischen Schlapanitz und dem Thuerassa Walde verfolgen koennen, indem wir dem Defileen von Schlapanitz und Bellowitz ausweichen, welche die feindliche Front decken. Zu dieserien Endzwecke ist es noethig… Die erste Kolonne Marieschirt… die zweite Kolonne Marieschirt… die dritte Kolonne Marieschirt… [Так как неприятель опирается левым крылом своим на покрытые лесом горы, а правым крылом тянется вдоль Кобельница и Сокольница позади находящихся там прудов, а мы, напротив, превосходим нашим левым крылом его правое, то выгодно нам атаковать сие последнее неприятельское крыло, особливо если мы займем деревни Сокольниц и Кобельниц, будучи поставлены в возможность нападать на фланг неприятеля и преследовать его в равнине между Шлапаницем и лесом Тюрасским, избегая вместе с тем дефилеи между Шлапаницем и Беловицем, которою прикрыт неприятельский фронт. Для этой цели необходимо… Первая колонна марширует… вторая колонна марширует… третья колонна марширует…] и т. д., читал Вейротер. Генералы, казалось, неохотно слушали трудную диспозицию. Белокурый высокий генерал Буксгевден стоял, прислонившись спиною к стене, и, остановив свои глаза на горевшей свече, казалось, не слушал и даже не хотел, чтобы думали, что он слушает. Прямо против Вейротера, устремив на него свои блестящие открытые глаза, в воинственной позе, оперев руки с вытянутыми наружу локтями на колени, сидел румяный Милорадович с приподнятыми усами и плечами. Он упорно молчал, глядя в лицо Вейротера, и спускал с него глаза только в то время, когда австрийский начальник штаба замолкал. В это время Милорадович значительно оглядывался на других генералов. Но по значению этого значительного взгляда нельзя было понять, был ли он согласен или несогласен, доволен или недоволен диспозицией. Ближе всех к Вейротеру сидел граф Ланжерон и с тонкой улыбкой южного французского лица, не покидавшей его во всё время чтения, глядел на свои тонкие пальцы, быстро перевертывавшие за углы золотую табакерку с портретом. В середине одного из длиннейших периодов он остановил вращательное движение табакерки, поднял голову и с неприятною учтивостью на самых концах тонких губ перебил Вейротера и хотел сказать что то; но австрийский генерал, не прерывая чтения, сердито нахмурился и замахал локтями, как бы говоря: потом, потом вы мне скажете свои мысли, теперь извольте смотреть на карту и слушать. Ланжерон поднял глаза кверху с выражением недоумения, оглянулся на Милорадовича, как бы ища объяснения, но, встретив значительный, ничего не значущий взгляд Милорадовича, грустно опустил глаза и опять принялся вертеть табакерку.
– Une lecon de geographie, [Урок из географии,] – проговорил он как бы про себя, но довольно громко, чтобы его слышали.
Пржебышевский с почтительной, но достойной учтивостью пригнул рукой ухо к Вейротеру, имея вид человека, поглощенного вниманием. Маленький ростом Дохтуров сидел прямо против Вейротера с старательным и скромным видом и, нагнувшись над разложенною картой, добросовестно изучал диспозиции и неизвестную ему местность. Он несколько раз просил Вейротера повторять нехорошо расслышанные им слова и трудные наименования деревень. Вейротер исполнял его желание, и Дохтуров записывал.
Когда чтение, продолжавшееся более часу, было кончено, Ланжерон, опять остановив табакерку и не глядя на Вейротера и ни на кого особенно, начал говорить о том, как трудно было исполнить такую диспозицию, где положение неприятеля предполагается известным, тогда как положение это может быть нам неизвестно, так как неприятель находится в движении. Возражения Ланжерона были основательны, но было очевидно, что цель этих возражений состояла преимущественно в желании дать почувствовать генералу Вейротеру, столь самоуверенно, как школьникам ученикам, читавшему свою диспозицию, что он имел дело не с одними дураками, а с людьми, которые могли и его поучить в военном деле. Когда замолк однообразный звук голоса Вейротера, Кутузов открыл глава, как мельник, который просыпается при перерыве усыпительного звука мельничных колес, прислушался к тому, что говорил Ланжерон, и, как будто говоря: «а вы всё еще про эти глупости!» поспешно закрыл глаза и еще ниже опустил голову.
Стараясь как можно язвительнее оскорбить Вейротера в его авторском военном самолюбии, Ланжерон доказывал, что Бонапарте легко может атаковать, вместо того, чтобы быть атакованным, и вследствие того сделать всю эту диспозицию совершенно бесполезною. Вейротер на все возражения отвечал твердой презрительной улыбкой, очевидно вперед приготовленной для всякого возражения, независимо от того, что бы ему ни говорили.
– Ежели бы он мог атаковать нас, то он нынче бы это сделал, – сказал он.
– Вы, стало быть, думаете, что он бессилен, – сказал Ланжерон.
– Много, если у него 40 тысяч войска, – отвечал Вейротер с улыбкой доктора, которому лекарка хочет указать средство лечения.
– В таком случае он идет на свою погибель, ожидая нашей атаки, – с тонкой иронической улыбкой сказал Ланжерон, за подтверждением оглядываясь опять на ближайшего Милорадовича.
Но Милорадович, очевидно, в эту минуту думал менее всего о том, о чем спорили генералы.
– Ma foi, [Ей Богу,] – сказал он, – завтра всё увидим на поле сражения.
Вейротер усмехнулся опять тою улыбкой, которая говорила, что ему смешно и странно встречать возражения от русских генералов и доказывать то, в чем не только он сам слишком хорошо был уверен, но в чем уверены были им государи императоры.
– Неприятель потушил огни, и слышен непрерывный шум в его лагере, – сказал он. – Что это значит? – Или он удаляется, чего одного мы должны бояться, или он переменяет позицию (он усмехнулся). Но даже ежели бы он и занял позицию в Тюрасе, он только избавляет нас от больших хлопот, и распоряжения все, до малейших подробностей, остаются те же.
– Каким же образом?.. – сказал князь Андрей, уже давно выжидавший случая выразить свои сомнения.
Кутузов проснулся, тяжело откашлялся и оглянул генералов.
– Господа, диспозиция на завтра, даже на нынче (потому что уже первый час), не может быть изменена, – сказал он. – Вы ее слышали, и все мы исполним наш долг. А перед сражением нет ничего важнее… (он помолчал) как выспаться хорошенько.
Он сделал вид, что привстает. Генералы откланялись и удалились. Было уже за полночь. Князь Андрей вышел.

Военный совет, на котором князю Андрею не удалось высказать свое мнение, как он надеялся, оставил в нем неясное и тревожное впечатление. Кто был прав: Долгоруков с Вейротером или Кутузов с Ланжероном и др., не одобрявшими план атаки, он не знал. «Но неужели нельзя было Кутузову прямо высказать государю свои мысли? Неужели это не может иначе делаться? Неужели из за придворных и личных соображений должно рисковать десятками тысяч и моей, моей жизнью?» думал он.
«Да, очень может быть, завтра убьют», подумал он. И вдруг, при этой мысли о смерти, целый ряд воспоминаний, самых далеких и самых задушевных, восстал в его воображении; он вспоминал последнее прощание с отцом и женою; он вспоминал первые времена своей любви к ней! Вспомнил о ее беременности, и ему стало жалко и ее и себя, и он в нервично размягченном и взволнованном состоянии вышел из избы, в которой он стоял с Несвицким, и стал ходить перед домом.
Ночь была туманная, и сквозь туман таинственно пробивался лунный свет. «Да, завтра, завтра! – думал он. – Завтра, может быть, всё будет кончено для меня, всех этих воспоминаний не будет более, все эти воспоминания не будут иметь для меня более никакого смысла. Завтра же, может быть, даже наверное, завтра, я это предчувствую, в первый раз мне придется, наконец, показать всё то, что я могу сделать». И ему представилось сражение, потеря его, сосредоточение боя на одном пункте и замешательство всех начальствующих лиц. И вот та счастливая минута, тот Тулон, которого так долго ждал он, наконец, представляется ему. Он твердо и ясно говорит свое мнение и Кутузову, и Вейротеру, и императорам. Все поражены верностью его соображения, но никто не берется исполнить его, и вот он берет полк, дивизию, выговаривает условие, чтобы уже никто не вмешивался в его распоряжения, и ведет свою дивизию к решительному пункту и один одерживает победу. А смерть и страдания? говорит другой голос. Но князь Андрей не отвечает этому голосу и продолжает свои успехи. Диспозиция следующего сражения делается им одним. Он носит звание дежурного по армии при Кутузове, но делает всё он один. Следующее сражение выиграно им одним. Кутузов сменяется, назначается он… Ну, а потом? говорит опять другой голос, а потом, ежели ты десять раз прежде этого не будешь ранен, убит или обманут; ну, а потом что ж? – «Ну, а потом, – отвечает сам себе князь Андрей, – я не знаю, что будет потом, не хочу и не могу знать: но ежели хочу этого, хочу славы, хочу быть известным людям, хочу быть любимым ими, то ведь я не виноват, что я хочу этого, что одного этого я хочу, для одного этого я живу. Да, для одного этого! Я никогда никому не скажу этого, но, Боже мой! что же мне делать, ежели я ничего не люблю, как только славу, любовь людскую. Смерть, раны, потеря семьи, ничто мне не страшно. И как ни дороги, ни милы мне многие люди – отец, сестра, жена, – самые дорогие мне люди, – но, как ни страшно и неестественно это кажется, я всех их отдам сейчас за минуту славы, торжества над людьми, за любовь к себе людей, которых я не знаю и не буду знать, за любовь вот этих людей», подумал он, прислушиваясь к говору на дворе Кутузова. На дворе Кутузова слышались голоса укладывавшихся денщиков; один голос, вероятно, кучера, дразнившего старого Кутузовского повара, которого знал князь Андрей, и которого звали Титом, говорил: «Тит, а Тит?»
– Ну, – отвечал старик.
– Тит, ступай молотить, – говорил шутник.
– Тьфу, ну те к чорту, – раздавался голос, покрываемый хохотом денщиков и слуг.
«И все таки я люблю и дорожу только торжеством над всеми ими, дорожу этой таинственной силой и славой, которая вот тут надо мной носится в этом тумане!»


Ростов в эту ночь был со взводом во фланкёрской цепи, впереди отряда Багратиона. Гусары его попарно были рассыпаны в цепи; сам он ездил верхом по этой линии цепи, стараясь преодолеть сон, непреодолимо клонивший его. Назади его видно было огромное пространство неясно горевших в тумане костров нашей армии; впереди его была туманная темнота. Сколько ни вглядывался Ростов в эту туманную даль, он ничего не видел: то серелось, то как будто чернелось что то; то мелькали как будто огоньки, там, где должен быть неприятель; то ему думалось, что это только в глазах блестит у него. Глаза его закрывались, и в воображении представлялся то государь, то Денисов, то московские воспоминания, и он опять поспешно открывал глаза и близко перед собой он видел голову и уши лошади, на которой он сидел, иногда черные фигуры гусар, когда он в шести шагах наезжал на них, а вдали всё ту же туманную темноту. «Отчего же? очень может быть, – думал Ростов, – что государь, встретив меня, даст поручение, как и всякому офицеру: скажет: „Поезжай, узнай, что там“. Много рассказывали же, как совершенно случайно он узнал так какого то офицера и приблизил к себе. Что, ежели бы он приблизил меня к себе! О, как бы я охранял его, как бы я говорил ему всю правду, как бы я изобличал его обманщиков», и Ростов, для того чтобы живо представить себе свою любовь и преданность государю, представлял себе врага или обманщика немца, которого он с наслаждением не только убивал, но по щекам бил в глазах государя. Вдруг дальний крик разбудил Ростова. Он вздрогнул и открыл глаза.