Векторное исчисление
Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на
- векторную алгебру;
- векторный анализ;
- функциональный анализ.
Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.
Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[2].
Содержание
Разделы векторного исчисления
Векторная алгебра
В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[4]
Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[5].
Векторный анализ
Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:
- Градиент
- Теорема о дивергенции вектора;
- Теорема о циркуляции вектора;
- Уравнение Лапласа;
- Уравнение Пуассона;
- Теорема разложения Гельмгольца;
- Теорема Умова[7].
Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре <math>D\left( M \right)</math>. Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[8].
Функциональный анализ
Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций <math>y = f\left( x \right)</math>, где по крайней мере одна из переменных <math>x,\,y</math> меняется по бесконечному пространству[9].
Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[10], в теории обработки сигналов[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[12], алгебраической геометрии[13] и т. д.
Напишите отзыв о статье "Векторное исчисление"
Примечания
- ↑ Иванов А. Б. Векторное исчисление. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 640
- ↑ Онищук А. Л. Тензорное исчисление. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 330
- ↑ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
- ↑ Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
- ↑ Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
- ↑ Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
- ↑ [ru.wikisource.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%85_%28%D0%A3%D0%BC%D0%BE%D0%B2%29/I|Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I]
- ↑ Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
- ↑ Березанский Ю. М., Левитан Б. М. Функциональный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 705—712
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
- ↑ Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
- ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
- ↑ Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Векторное исчисление
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.
Вновь нахлынувшая толпа бегущих захватила его с собой и повлекла назад.
Войска бежали такой густой толпой, что, раз попавши в середину толпы, трудно было из нее выбраться. Кто кричал: «Пошел! что замешкался?» Кто тут же, оборачиваясь, стрелял в воздух; кто бил лошадь, на которой ехал сам Кутузов. С величайшим усилием выбравшись из потока толпы влево, Кутузов со свитой, уменьшенной более чем вдвое, поехал на звуки близких орудийных выстрелов. Выбравшись из толпы бегущих, князь Андрей, стараясь не отставать от Кутузова, увидал на спуске горы, в дыму, еще стрелявшую русскую батарею и подбегающих к ней французов. Повыше стояла русская пехота, не двигаясь ни вперед на помощь батарее, ни назад по одному направлению с бегущими. Генерал верхом отделился от этой пехоты и подъехал к Кутузову. Из свиты Кутузова осталось только четыре человека. Все были бледны и молча переглядывались.
– Остановите этих мерзавцев! – задыхаясь, проговорил Кутузов полковому командиру, указывая на бегущих; но в то же мгновение, как будто в наказание за эти слова, как рой птичек, со свистом пролетели пули по полку и свите Кутузова.
Французы атаковали батарею и, увидав Кутузова, выстрелили по нем. С этим залпом полковой командир схватился за ногу; упало несколько солдат, и подпрапорщик, стоявший с знаменем, выпустил его из рук; знамя зашаталось и упало, задержавшись на ружьях соседних солдат.
Солдаты без команды стали стрелять.
– Ооох! – с выражением отчаяния промычал Кутузов и оглянулся. – Болконский, – прошептал он дрожащим от сознания своего старческого бессилия голосом. – Болконский, – прошептал он, указывая на расстроенный батальон и на неприятеля, – что ж это?
Но прежде чем он договорил эти слова, князь Андрей, чувствуя слезы стыда и злобы, подступавшие ему к горлу, уже соскакивал с лошади и бежал к знамени.
– Ребята, вперед! – крикнул он детски пронзительно.
«Вот оно!» думал князь Андрей, схватив древко знамени и с наслаждением слыша свист пуль, очевидно, направленных именно против него. Несколько солдат упало.
– Ура! – закричал князь Андрей, едва удерживая в руках тяжелое знамя, и побежал вперед с несомненной уверенностью, что весь батальон побежит за ним.
Действительно, он пробежал один только несколько шагов. Тронулся один, другой солдат, и весь батальон с криком «ура!» побежал вперед и обогнал его. Унтер офицер батальона, подбежав, взял колебавшееся от тяжести в руках князя Андрея знамя, но тотчас же был убит. Князь Андрей опять схватил знамя и, волоча его за древко, бежал с батальоном. Впереди себя он видел наших артиллеристов, из которых одни дрались, другие бросали пушки и бежали к нему навстречу; он видел и французских пехотных солдат, которые хватали артиллерийских лошадей и поворачивали пушки. Князь Андрей с батальоном уже был в 20 ти шагах от орудий. Он слышал над собою неперестававший свист пуль, и беспрестанно справа и слева от него охали и падали солдаты. Но он не смотрел на них; он вглядывался только в то, что происходило впереди его – на батарее. Он ясно видел уже одну фигуру рыжего артиллериста с сбитым на бок кивером, тянущего с одной стороны банник, тогда как французский солдат тянул банник к себе за другую сторону. Князь Андрей видел уже ясно растерянное и вместе озлобленное выражение лиц этих двух людей, видимо, не понимавших того, что они делали.
