Векторное поле

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Определение и вариации

Евклидово пространство

Векторное поле на евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве <math>\mathcal E</math> определяется как вектор-функция точки пространства, отображающая это пространство в (на) себя:

<math>\mathcal F: \mathcal E \longrightarrow \mathcal E.</math>

То есть, каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор (значение векторного поля в данной точке пространства). В общем случае этот вектор различается для разных точек пространства, то есть в общем случае векторное поле принимает разные значения в разных точках пространства. В каждой точке пространства вектор поля имеет определенную величину и определенное (за исключением тех случаев, когда поле обращается в ноль) направление в этом пространстве.

• В литературе (особенно в более старой, а также в физической) применительно к векторному полю на некотором пространстве употребляется также предлог в (то есть говорят и поле на пространстве, и поле в пространстве).

Многообразие

В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием, векторное поле определяется как сечение касательного расслоения к данному многообразию, то есть отображение, которое каждой точке <math>p</math> ставит в соответствие вектор <math>X_p</math> из касательного пространства в <math>p</math>.

В физике

В физике термин векторное поле, кроме общего значения, описанного выше, имеет специальное значение, в основном в отношении фундаментальных полей (см. ниже). Смысл этого употребления сводится к тому, что фундаментальные физические поля классифицируются по природе их потенциала, и один из таких типов — векторные поля (как электромагнитное или глюонное поля).

Обозначения

Обозначается векторное поле обычно просто в соответствии с соглашениями, принятыми для векторов

• в физике для этого обычно используется жирный шрифт или стрелка над буквой, например,
  • <math>\mathbf E</math> или <math>\vec v</math>;
  • для 4-векторов — традиционна индексная запись, например <math>A_i</math>;
• в математической литературе в целом для векторов вообще и векторных полей в частности нет каких-то общепринятых специальных обозначений.

Нередко явно указывается зависимость от точки пространства, например:

<math>\mathbf B(p),</math> где <math>p</math> — символическое обозначение точки пространства,

или

<math>\mathbf B(\mathbf r),</math> где <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор, характеризующий точку пространства.

Достаточно обычно задание векторного поля как функции координат в пространстве, на котором поле задано, например:

<math>\vec F(x,y,z)</math>

или (для поля, зависящего от времени):

<math>\vec F(x,y,z,t).</math>

История термина

Термин поле (вместе с понятием силовых линий поля) (англ. field, lines of force) ввёл в физику Майкл Фарадей около 1830 г. при исследовании электромагнитных явлений.

Основы аналитической теории силовых полей разработали Максвелл, Гиббс и Хевисайд во второй половине XIX века.

Частные случаи векторных полей

Векторные поля на прямой

Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.

Векторные поля на плоскости

Если <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид <math>\mathbf{r}=(x,\ y)</math>, то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = (F_x(x,\ y),\ F_y(x,\ y))</math>

Векторные поля в трёхмерном пространстве

Если <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид <math>\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)</math>, то векторное поле описывается вектор-функцией вида:

<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \{F_x(x,\ y,\ z),\ F_y(x,\ y,\ z),\ F_z(x,\ y,\ z)\}</math>

В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля

Криволинейный интеграл

<math>\int\limits_{C} \mathbf F \cdot \mathbf{dl} = \int\limits_{C} F_\tau dl,</math>

где точка означает скалярное произведение, <math>\mathbf {dl}</math> — векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование, <math>F_\tau</math> — проекция <math>\mathbf F</math> на (положительную) касательную к криволинейному пути, <math>dl</math> — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы <math>\mathbf F</math>, действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.

Циркуляция

— интеграл по замкнутому контуру:

<math>\Gamma = \oint\limits_{C} \mathbf F \cdot \mathbf{dl} = \oint\limits_{C} F_\tau dl,</math>

где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C, который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.

Поток векторного поля

<math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> через поверхность S определяется как интеграл по S:

<math>\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{\mathbf F\cdot \mathbf{dS}}=\iint\limits_{S}{F_n\ dS}</math>,

где <math>F_n</math> — проекция вектора поля на нормаль к поверхности, <math>\mathbf{dS}</math> — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на <math>dS</math>. Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

Производная

Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных (якобиан), который в декартовых координатах имеет вид:

<math>

J = \begin{bmatrix} \dfrac {\partial F_x} {\partial x}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_x} {\partial y}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_x} {\partial z}(x,\ y,\ z) \\ \dfrac {\partial F_y} {\partial x}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_y} {\partial y}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_y} {\partial z}(x,\ y,\ z) \\ \dfrac {\partial F_z} {\partial x}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_z} {\partial y}(x,\ y,\ z) & \dfrac {\partial F_z} {\partial z}(x,\ y,\ z) \end{bmatrix} </math>

Дивергенция

— след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла

<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot \mathbf{F}</math>

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.

Ротор

— векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

<math>\operatorname{rot}\;\mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k</math>,

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

<math>\operatorname{rot}\; \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}</math>

Градиент

— важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:

<math>\mathbf{grad} f =

\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \equiv \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf i + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf j + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf k ,</math> или, записывая с помощью наблы:

<math>\mathbf{grad} f \equiv \nabla f.</math>

Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).

Имеет место теорема Гельмгольца: если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.

Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.

Векторные линии

Интегральной кривой (также — векторной линией, для силовых полей — силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа — линией тока; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> называется кривая <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math>, касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))</math>

Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.

Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

Векторные поля в n-мерном пространстве

Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n.

При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора, для корректного построения которого в произвольном n-мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоваться внешним, а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. При n=2 соответствующая операция принимает вид псевдоскалярного произведения.

Кроме того, в случае произвольного n нужна определенная аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока через гиперповерхность размерности (n — 1).

Физические примеры

В физике типичными примерами векторного поля являются силовые поля (силовое поле — поле некоторой силы (зависящей от положения в пространстве тела, на которое эта сила действует) или тесно связанной с силой напряжённости поля).

Другие типичные примеры — поле скорости (например, скорости течения жидкости или газа), поле смещений (например, в деформированной упругой среде) и многие другие, например, вектор плотности тока, вектор потока энергии или плотности потока каких-то материальных частиц (например, при диффузии), вектор градиента температуры, концентрации или давления итд итд.

Несколько подробнее:

• Электромагнитное поле. Это физическое поле дает несколько примеров векторных полей (вообще говоря — зависящих от времени) в старом трёхмерном смысле: поле вектора напряженности E, поле вектора магнитной индукции, векторный потенциал (трёхмерный); также векторными полями в математическом смысле являются такие их функции, как, например, вектор Пойнтинга.
  • Электромагнитное поле является примером векторного поля и в более современном (четырёхмерном) смысле, как это несколько подробнее описано ниже (см. также Электромагнитный потенциал).
  • Частный случай электромагнитного поля — электростатическое поле — дает один из простейших и важнейших примеров векторного поля (трёхмерным векторным полем, не зависящим от времени, в электростатике является напряжённость электрического поля).
  • Другой интересный частный случай дает магнитостатика, которая исследует векторное поле с несколько другими свойствами, чем электростатика — вихревое поле напряжённости магнитного поля или магнитной индукции, к тому же связанное с другим векторным полем — полем векторного потенциала.

• Гравитационное поле: в классической ньютоновской теории гравитации напряжённость гравитационного поля представляет собой векторное поле, формально полностью аналогичное полю напряженности электрического поля в электростатике, за исключением разницы в численных коэффициентах (константах), в том числе в их знаках. Отметим, что в общей теории относительности и обобщающих её теориях гравитационное поле является не векторным, а тензорным, так как гравитация определяется метрическим тензором.

• Поле скоростей жидкости в гидрогазодинамике или газа в аэродинамике. Гидродинамическая аналогия является наиболее наглядной для физического понимания основных конструкций векторного анализа. При гидродинамической (гидравлической) интерпретации поле — это поле скоростей в жидкости. Векторное поле, в таком случае, соответствует установившемуся потоку (то есть поле подразумевается зависящим лишь от пространственных координат). Если поток меняется со временем, то его следует описывать переменным векторным полем, зависящим от времени.

Исторически гидродинамика оказала огромное влияние на формирование основных конструкций векторного анализа и самой его терминологии. Так, гидродинамическое происхождение имеют такие понятия, как

• поток векторного поля,
• вихрь (ротор) и циркуляция векторного поля,
• линия тока

а также, в той или иной мере, и многие другие (практически каждое из них имеет если не гидродинамическое происхождение, то гидродинамическую интерпретацию).

Особенности употребления термина в физике

В целом в физике термин векторное поле имеет то же значение, что и в математике, описанное выше. В этом смысле, векторным полем можно назвать любую векторнозначную физическую величину, являющуюся функцией точки пространства, зачастую зависящую также и от времени.

Однако существует и специфический случай применения этого термина, встречающийся главным образом в классификации фундаментальных физических полей. В этом случае слова «векторное поле» подразумевают, что векторным полем (4-векторное или более высокой размерности, если мы имеем дело с абстрактными многомерными теоретическими моделями) является наиболее фундаментальная величина — потенциал, а не её производные (напряженность поля и т. п.). Так, например, к векторным полям относят электромагнитное поле, потенциал которого является 4-векторным полем, в то время как его напряженность с современной точки зрения есть тензор. Гравитационное поле называют в этом смысле тензорным, поскольку его потенциал есть тензорное поле.

Практическим синонимом слова «векторное поле» в этом смысле является в современной физике термин векторная частица (также, разводя эти близкие понятия, о векторной частице говорят как о возбуждении векторного поля, или, выражаясь несколько более традиционно — векторная частица есть квант векторного поля). Ещё один практический синоним — частица спина 1 или поле спина 1.

Из фундаментальных полей к векторным (в указанном смысле) относятся электромагнитное (фотонное), глюонное (поле сильных взаимодействий), а также поле массивных векторных бозонов — переносчиков слабого взаимодействия. Гравитационное же поле, в отличие от перечисленных, является полем тензорным.

С рассмотренной классификацией (классификацией по спину фундаментального бозонного поля) непосредственно связаны некоторые свойства соответствующего поля, например, притягиваются или отталкиваются при взаимодействии посредством этого поля частицы одинакового заряда (относящегося к данному типу взаимодействия), одинаков или противоположен такой заряд у частиц и античастиц. Частицы, взаимодействующие посредством векторного поля отталкиваются при одинаковом заряде, а притягиваются при противоположном, а пара частица — античастица имеет противоположный друг другу заряд (как, в частности, в случае электромагнитного поля) — в противоположность свойствам гравитационного поля и гравитационных зарядов.

Литература

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/6d499c4f2fa63fe11d84e9b23ea24fb3.djvu Векторный анализ и начала тензорного исчисления.] — М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Кумпяк Д. Е. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kumpyak2007ru.djvu Векторный и тензорный анализ.] Учебное пособие, — Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] — М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/0ac608dcb97ac3bc713dfe6f314a1688.djvu Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III.] — М.: Наука, 1966.

См. также

• Вектор-функция
• Векторный анализ
• Дифференциальная геометрия кривых
• Оператор набла
• Поверхность
• Потенциальное векторное поле
• Соленоидальное векторное поле
• Формулы векторного анализа

Отрывок, характеризующий Векторное поле

– Lanciers du sixieme, [Уланы шестого полка.] – проговорил Долохов, не укорачивая и не прибавляя хода лошади. Черная фигура часового стояла на мосту.
– Mot d'ordre? [Отзыв?] – Долохов придержал лошадь и поехал шагом.
– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал:
– La vilaine affaire de trainer ces cadavres apres soi. Vaudrait mieux fusiller cette canaille, [Скверное дело таскать за собой эти трупы. Лучше бы расстрелять эту сволочь.] – и громко засмеялся таким странным смехом, что Пете показалось, французы сейчас узнают обман, и он невольно отступил на шаг от костра. Никто не ответил на слова и смех Долохова, и французский офицер, которого не видно было (он лежал, укутавшись шинелью), приподнялся и прошептал что то товарищу. Долохов встал и кликнул солдата с лошадьми.
«Подадут или нет лошадей?» – думал Петя, невольно приближаясь к Долохову.
Лошадей подали.
– Bonjour, messieurs, [Здесь: прощайте, господа.] – сказал Долохов.
Петя хотел сказать bonsoir [добрый вечер] и не мог договорить слова. Офицеры что то шепотом говорили между собою. Долохов долго садился на лошадь, которая не стояла; потом шагом поехал из ворот. Петя ехал подле него, желая и не смея оглянуться, чтоб увидать, бегут или не бегут за ними французы.
Выехав на дорогу, Долохов поехал не назад в поле, а вдоль по деревне. В одном месте он остановился, прислушиваясь.
– Слышишь? – сказал он.
Петя узнал звуки русских голосов, увидал у костров темные фигуры русских пленных. Спустившись вниз к мосту, Петя с Долоховым проехали часового, который, ни слова не сказав, мрачно ходил по мосту, и выехали в лощину, где дожидались казаки.
– Ну, теперь прощай. Скажи Денисову, что на заре, по первому выстрелу, – сказал Долохов и хотел ехать, но Петя схватился за него рукою.
– Нет! – вскрикнул он, – вы такой герой. Ах, как хорошо! Как отлично! Как я вас люблю.
– Хорошо, хорошо, – сказал Долохов, но Петя не отпускал его, и в темноте Долохов рассмотрел, что Петя нагибался к нему. Он хотел поцеловаться. Долохов поцеловал его, засмеялся и, повернув лошадь, скрылся в темноте.

Х
Вернувшись к караулке, Петя застал Денисова в сенях. Денисов в волнении, беспокойстве и досаде на себя, что отпустил Петю, ожидал его.
– Слава богу! – крикнул он. – Ну, слава богу! – повторял он, слушая восторженный рассказ Пети. – И чег'т тебя возьми, из за тебя не спал! – проговорил Денисов. – Ну, слава богу, тепег'ь ложись спать. Еще вздг'емнем до утг'а.
– Да… Нет, – сказал Петя. – Мне еще не хочется спать. Да я и себя знаю, ежели засну, так уж кончено. И потом я привык не спать перед сражением.
Петя посидел несколько времени в избе, радостно вспоминая подробности своей поездки и живо представляя себе то, что будет завтра. Потом, заметив, что Денисов заснул, он встал и пошел на двор.
На дворе еще было совсем темно. Дождик прошел, но капли еще падали с деревьев. Вблизи от караулки виднелись черные фигуры казачьих шалашей и связанных вместе лошадей. За избушкой чернелись две фуры, у которых стояли лошади, и в овраге краснелся догоравший огонь. Казаки и гусары не все спали: кое где слышались, вместе с звуком падающих капель и близкого звука жевания лошадей, негромкие, как бы шепчущиеся голоса.
Петя вышел из сеней, огляделся в темноте и подошел к фурам. Под фурами храпел кто то, и вокруг них стояли, жуя овес, оседланные лошади. В темноте Петя узнал свою лошадь, которую он называл Карабахом, хотя она была малороссийская лошадь, и подошел к ней.
– Ну, Карабах, завтра послужим, – сказал он, нюхая ее ноздри и целуя ее.
– Что, барин, не спите? – сказал казак, сидевший под фурой.
– Нет; а… Лихачев, кажется, тебя звать? Ведь я сейчас только приехал. Мы ездили к французам. – И Петя подробно рассказал казаку не только свою поездку, но и то, почему он ездил и почему он считает, что лучше рисковать своей жизнью, чем делать наобум Лазаря.
– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.
«Ну, тише, тише, замирайте теперь. – И звуки слушались его. – Ну, теперь полнее, веселее. Еще, еще радостнее. – И из неизвестной глубины поднимались усиливающиеся, торжественные звуки. – Ну, голоса, приставайте!» – приказал Петя. И сначала издалека послышались голоса мужские, потом женские. Голоса росли, росли в равномерном торжественном усилии. Пете страшно и радостно было внимать их необычайной красоте.
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.


Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг'ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Денисов не отвечал; он подъехал к Пете, слез с лошади и дрожащими руками повернул к себе запачканное кровью и грязью, уже побледневшее лицо Пети.
«Я привык что нибудь сладкое. Отличный изюм, берите весь», – вспомнилось ему. И казаки с удивлением оглянулись на звуки, похожие на собачий лай, с которыми Денисов быстро отвернулся, подошел к плетню и схватился за него.
В числе отбитых Денисовым и Долоховым русских пленных был Пьер Безухов.


О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.