Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, норма которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется ориентацией пространства.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

История

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

Определение

Векторным произведением вектора <math>\vec{a}</math> на вектор <math>\vec{b}</math> в пространстве <math>\R^3</math> называется вектор <math>\vec{c}</math>, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора <math>\vec{c}</math> равна произведению длин векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> на синус угла <math>\varphi</math> между ними.
• вектор <math>\vec{c}</math> ортогонален каждому из векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>;
• вектор <math>\vec{c}</math> направлен так, что тройка векторов <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> является правой;

Обозначение:

<math> \vec{c}

= [ \vec{a} \vec{b} ] = [ \vec{a},\; \vec{b} ] = \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a}\wedge\vec{b}</math>

Замечания

В качестве определения можно взять описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке <math>A</math> (то есть выберем произвольно в пространстве точку <math>A</math> и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой <math>A</math>). Концы векторов, совмещённых началами в точке <math>A</math>, не лежат на одной плоскости, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора <math>\vec{c}</math> кратчайший поворот от вектора <math>\vec{a}</math> к вектору <math>\vec{b}</math> виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора (<math>\vec{a}</math>), второй строкой координаты второго вектора (<math>\vec{b}</math>) и третьей строкой координаты третьего вектора (<math>\vec{c}</math>). Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:

• Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
• Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
• Модуль векторного произведения <math>[\vec{a},\;\vec{b}]</math> равняется площади <math>S</math> параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> (см. Рисунок 1)
• Если <math>\vec{e}</math> — единичный вектор, ортогональный векторам <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> и выбранный так, что тройка <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}</math> — правая, а <math>S</math> — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

<math>

 [ \vec{a},\; \vec{b}] = S\cdot \vec{e}
 </math>

• Если <math>\vec{c}</math> — какой-нибудь вектор, <math>\pi</math> — любая плоскость, содержащая этот вектор, <math>\vec{e}</math> — единичный вектор, лежащий в плоскости <math>\pi</math> и ортогональный к <math>\vec{c}</math>, <math>\vec{g}</math> — единичный вектор, ортогональный к плоскости <math>\pi</math> и направленный так, что тройка векторов <math>\vec{e},\vec{c},\vec{g}</math> является правой, то для любого лежащего в плоскости <math>\pi</math> вектора <math>\vec{a}</math> справедлива формула

<math>

 [\vec{a},\; \vec{c}] = \mathrm{Pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot |\vec{c}|\cdot \vec{g}.
 </math>

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

<math>V = |\langle \vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle|.</math>

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

<math>V =\langle[\vec{a},\; \vec{b}],\; \vec{c}\rangle = \langle\vec{a},\; [\vec{b},\; \vec{c}]\rangle.</math>

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Далее <math> [\vec{a},\;\vec{b}] </math> и <math> \langle\vec{a},\;\vec{b}\rangle </math> обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>.

Представление	Описание
<math> [\vec{a},\;\vec{b}] =-[\vec{b},\vec{a}] </math>	Антикоммутативность.
<math> [\alpha\cdot \vec{a},\;\vec{b}] = [\vec{a},\; \alpha\cdot \vec {b} ] = \alpha\cdot [ \vec{a},\; \vec{b}] </math>	Ассоциативность умножения на скаляр.
<math> [ \vec{a} + \vec{b} ,\; \vec c] = [ \vec a,\; \vec c ]+[ \vec b,\; \vec c] </math>	свойство дистрибутивности по сложению.
<math> [ [ \vec a,\; \vec b ],\; \vec c ] + [ [ \vec b,\; \vec c ],\; \vec a ] + [[\vec c, \vec a ],\; \vec b ]= 0 </math>	тождество Якоби.
<math> [ \vec a,\; \vec a ] =\vec 0 </math>
<math> [ \vec a,\; [\vec b,\; \vec c ] ] = \vec b \cdot\langle\vec a,\; \vec c\rangle - \vec c \cdot\langle\vec a,\; \vec b\rangle</math>	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа.
[\vec a, \, \vec b]|^2 + \langle\vec a, \, \vec b\rangle^2 = |\vec a|^2 \cdot|\vec b|^2</math>	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов.
<math>\langle[\vec a, \, \vec b], \, \vec c\rangle = \langle\vec a, \, [\vec b, \, \vec c]\rangle</math>	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.

Выражение в координатах

Если два вектора <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

<math> \vec a = (a_x,\; a_y,\; a_z) </math>

<math>\vec b = (b_x,\; b_y,\; b_z) </math>

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

<math>

[ \vec a,\; \vec b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x). </math>

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

<math>

[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} </math>

или

<math>

[ \vec a,\; \vec b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k}\cdot a_j\cdot b_k, </math> где <math>\varepsilon_{i j k}</math> — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

<math>

[ \vec a,\; \vec b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y). </math>

Для запоминания, аналогично:

<math>

[ \vec a,\; \vec b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} </math>

или

<math>

[ \vec a,\; \vec b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k}\cdot a_j\cdot b_k. </math>

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> во вспомогательной правой системе координат (<math>\mathbf i' = \mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = - \mathbf k</math>):

<math>

[ \vec a,\; \vec b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i' & \mathbf j' & \mathbf k' \\ a'_x & a'_y & a'_z \\ b'_x & b'_y & b'_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & -\mathbf k \\ a_x & a_y & -a_z \\ b_x & b_y & -b_z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}. </math>

Вариации и обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math>, <math>\mathbf k</math> — стандартные обозначения для ортов в <math>\R^3</math>: они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между <math>\mathbf i</math>, <math>\mathbf j</math> и <math>\mathbf k</math> соответствуют правилам умножения для кватернионов <math>i</math>, <math>j</math> и <math>k</math>. Если представить вектор <math>(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> как кватернион <math>a_1 i+a_2 j+a_3 k</math>, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

<math>[\vec{a},\; \vec{b}] = [\vec{a}]_{\times} \vec{b} = \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}</math>

<math>[\vec{b},\; \vec{a}] = \vec{b}^T [\vec{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}b_1&b_2&b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&\,0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}</math>

где

<math>[\vec{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}</math>

Пусть <math>\vec{a}</math> равен векторному произведению:

<math>\vec{a} = [\vec{c},\; \vec{d}]</math>

тогда

<math>[\vec{a}]_{\times} = (\vec{c}\vec{d}^T)^T - \vec{c}\vec{d}^T.</math>

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь <math>n(n-1)/2</math> независимых компонент в <math>n</math>-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

<math> [\vec{a}]_{\times} \, \vec{a} = \vec{0} </math> и <math> \vec{a}^{T} \, [\vec{a}]_{\times} = \vec{0} </math>

а так как <math> [\vec{a}]_{\times} </math> кососимметрична, то

<math> \vec{b}^{T} \, [\vec{a}]_{\times} \, \vec{b} = 0. </math>

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу <math>A</math> как столбец векторов, тогда

<math>\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \times \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \times \vec b \\\vec a_2 \times \vec b \\\vec a_3 \times \vec b \end{bmatrix}</math>

<math>\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \cdot \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \cdot \vec b \\\vec a_2 \cdot \vec b \\\vec a_3 \cdot \vec b \end{bmatrix}</math>

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить <math>A</math> как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (<math>A</math> — матрица, <math>\vec x</math>, <math>\vec y</math> — векторы):

<math>A \cdot \vec x \times \vec y) = (A \times \vec x) \cdot \vec y</math>

<math>A \times (\vec x \times \vec y) = \vec x (A \cdot \vec y)- \vec y (A \cdot \vec x)</math>

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

<math>\vec x \times \vec y = E \cdot (\vec x \times \vec y) = (E \times \vec x)\cdot \vec y</math>

<math>E</math> — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в <math>\R^3</math> примет вид:

<math> \int\limits_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{A^T} \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{A}\cdot\, d \mathbf{r}, </math>

где ротор матрицы <math>A</math> вычисляется как векторное произведение матрицы <math>A</math> на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

<math> \int\limits_{\Sigma}\operatorname{grad}\, u \times \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} u\, d \mathbf{r}, </math>

<math> \int\limits_{\Sigma} \left[ \mathbf{d\Sigma}; \left[ \nabla; \mathbf a \right] \right] = \int\limits_{\partial\Sigma} \mathbf a \times d \mathbf{r}. </math>

Размерности, не равные трём

Пусть <math>n</math> — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>, можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора <math>(n-1)</math> векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в <math>n</math>-мерном пространстве на операцию с <math>n</math> сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты <math>\varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \ldots i_n}</math> с <math>n</math> индексами, можно явно записать такое <math>(n-1)</math>-валентное векторное произведение как

<math>

P_i(\mathbf{a,\;b,\;c,\;\ldots}) = \sum_{j,\;k,\;m,\;\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a_j b_k c_m \ldots =\det(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix}\mathbf{,a,b,c,\ldots}) \cdot \mathbf{e_i}

</math>

<math> \mathbf P(\mathbf{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}}) = \det(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix}\mathbf{,a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}}) = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1}&\mathbf{e_2}&\cdots & \mathbf{e_n} \\ a_{1_1} &a_{1_2} &\cdots & a_{1_n}\\ a_{2_1} &a_{2_2} &\cdots & a_{2_n}\\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n-1_1} &a_{n-1_2} &\cdots & a_{n-1_n} \end{vmatrix} </math>

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности <math>(n-1)</math>.

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при <math>n \neq 3</math> не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

<math>\ P_{ij}(\mathbf{a,b}) = a_i b_j - a_j b_i</math>.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая операция

<math>\ P(\mathbf{a,b}) = a_1 b_2 - a_2 b_1</math>.

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на <math>\mathbb{R}^{3}</math> структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению <math>\R^3</math> с касательной алгеброй Ли <math>so(3)</math> к группе Ли <math>SO(3)</math> ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

• Псевдоскалярное произведение (только на плоскости!)
• Скалярное произведение векторов
• Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
• Двойное (векторно-векторное) произведение векторов (только в <math>\mathbb{R}^{3}</math>)
• Векторное произведение в семимерном пространстве

Другое

• Ротор
• Дивергенция

Литература

• Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Ссылки

• [uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 Многомерное векторное произведение]
• [mathhelpplanet.com/static.php?p=vektornoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач]
• В. И. Гервидс. [www.youtube.com/watch?v=37bZluYOgY8 Правое и левое вращение] (flash). НИЯУ МИФИ (10.03.2011). — Физические демонстрации. Проверено 3 мая 2011.

Отрывок, характеризующий Векторное произведение

– Идите же, – повторил он, сам себе не веря и радуясь выражению смущенности и страха, показавшемуся на лице князя Василия.
– Что с тобой? Ты болен?
– Идите! – еще раз проговорил дрожащий голос. И князь Василий должен был уехать, не получив никакого объяснения.
Через неделю Пьер, простившись с новыми друзьями масонами и оставив им большие суммы на милостыни, уехал в свои именья. Его новые братья дали ему письма в Киев и Одессу, к тамошним масонам, и обещали писать ему и руководить его в его новой деятельности.


Дело Пьера с Долоховым было замято, и, несмотря на тогдашнюю строгость государя в отношении дуэлей, ни оба противника, ни их секунданты не пострадали. Но история дуэли, подтвержденная разрывом Пьера с женой, разгласилась в обществе. Пьер, на которого смотрели снисходительно, покровительственно, когда он был незаконным сыном, которого ласкали и прославляли, когда он был лучшим женихом Российской империи, после своей женитьбы, когда невестам и матерям нечего было ожидать от него, сильно потерял во мнении общества, тем более, что он не умел и не желал заискивать общественного благоволения. Теперь его одного обвиняли в происшедшем, говорили, что он бестолковый ревнивец, подверженный таким же припадкам кровожадного бешенства, как и его отец. И когда, после отъезда Пьера, Элен вернулась в Петербург, она была не только радушно, но с оттенком почтительности, относившейся к ее несчастию, принята всеми своими знакомыми. Когда разговор заходил о ее муже, Элен принимала достойное выражение, которое она – хотя и не понимая его значения – по свойственному ей такту, усвоила себе. Выражение это говорило, что она решилась, не жалуясь, переносить свое несчастие, и что ее муж есть крест, посланный ей от Бога. Князь Василий откровеннее высказывал свое мнение. Он пожимал плечами, когда разговор заходил о Пьере, и, указывая на лоб, говорил:
– Un cerveau fele – je le disais toujours. [Полусумасшедший – я всегда это говорил.]
– Я вперед сказала, – говорила Анна Павловна о Пьере, – я тогда же сейчас сказала, и прежде всех (она настаивала на своем первенстве), что это безумный молодой человек, испорченный развратными идеями века. Я тогда еще сказала это, когда все восхищались им и он только приехал из за границы, и помните, у меня как то вечером представлял из себя какого то Марата. Чем же кончилось? Я тогда еще не желала этой свадьбы и предсказала всё, что случится.
Анна Павловна по прежнему давала у себя в свободные дни такие вечера, как и прежде, и такие, какие она одна имела дар устроивать, вечера, на которых собиралась, во первых, la creme de la veritable bonne societe, la fine fleur de l'essence intellectuelle de la societe de Petersbourg, [сливки настоящего хорошего общества, цвет интеллектуальной эссенции петербургского общества,] как говорила сама Анна Павловна. Кроме этого утонченного выбора общества, вечера Анны Павловны отличались еще тем, что всякий раз на своем вечере Анна Павловна подавала своему обществу какое нибудь новое, интересное лицо, и что нигде, как на этих вечерах, не высказывался так очевидно и твердо градус политического термометра, на котором стояло настроение придворного легитимистского петербургского общества.
В конце 1806 года, когда получены были уже все печальные подробности об уничтожении Наполеоном прусской армии под Иеной и Ауерштетом и о сдаче большей части прусских крепостей, когда войска наши уж вступили в Пруссию, и началась наша вторая война с Наполеоном, Анна Павловна собрала у себя вечер. La creme de la veritable bonne societe [Сливки настоящего хорошего общества] состояла из обворожительной и несчастной, покинутой мужем, Элен, из MorteMariet'a, обворожительного князя Ипполита, только что приехавшего из Вены, двух дипломатов, тетушки, одного молодого человека, пользовавшегося в гостиной наименованием просто d'un homme de beaucoup de merite, [весьма достойный человек,] одной вновь пожалованной фрейлины с матерью и некоторых других менее заметных особ.
Лицо, которым как новинкой угащивала в этот вечер Анна Павловна своих гостей, был Борис Друбецкой, только что приехавший курьером из прусской армии и находившийся адъютантом у очень важного лица.
Градус политического термометра, указанный на этом вечере обществу, был следующий: сколько бы все европейские государи и полководцы ни старались потворствовать Бонапартию, для того чтобы сделать мне и вообще нам эти неприятности и огорчения, мнение наше на счет Бонапартия не может измениться. Мы не перестанем высказывать свой непритворный на этот счет образ мыслей, и можем сказать только прусскому королю и другим: тем хуже для вас. Tu l'as voulu, George Dandin, [Ты этого хотел, Жорж Дандэн,] вот всё, что мы можем сказать. Вот что указывал политический термометр на вечере Анны Павловны. Когда Борис, который должен был быть поднесен гостям, вошел в гостиную, уже почти всё общество было в сборе, и разговор, руководимый Анной Павловной, шел о наших дипломатических сношениях с Австрией и о надежде на союз с нею.
Борис в щегольском, адъютантском мундире, возмужавший, свежий и румяный, свободно вошел в гостиную и был отведен, как следовало, для приветствия к тетушке и снова присоединен к общему кружку.
Анна Павловна дала поцеловать ему свою сухую руку, познакомила его с некоторыми незнакомыми ему лицами и каждого шопотом определила ему.
– Le Prince Hyppolite Kouraguine – charmant jeune homme. M r Kroug charge d'affaires de Kopenhague – un esprit profond, и просто: М r Shittoff un homme de beaucoup de merite [Князь Ипполит Курагин, милый молодой человек. Г. Круг, Копенгагенский поверенный в делах, глубокий ум. Г. Шитов, весьма достойный человек] про того, который носил это наименование.
Борис за это время своей службы, благодаря заботам Анны Михайловны, собственным вкусам и свойствам своего сдержанного характера, успел поставить себя в самое выгодное положение по службе. Он находился адъютантом при весьма важном лице, имел весьма важное поручение в Пруссию и только что возвратился оттуда курьером. Он вполне усвоил себе ту понравившуюся ему в Ольмюце неписанную субординацию, по которой прапорщик мог стоять без сравнения выше генерала, и по которой, для успеха на службе, были нужны не усилия на службе, не труды, не храбрость, не постоянство, а нужно было только уменье обращаться с теми, которые вознаграждают за службу, – и он часто сам удивлялся своим быстрым успехам и тому, как другие могли не понимать этого. Вследствие этого открытия его, весь образ жизни его, все отношения с прежними знакомыми, все его планы на будущее – совершенно изменились. Он был не богат, но последние свои деньги он употреблял на то, чтобы быть одетым лучше других; он скорее лишил бы себя многих удовольствий, чем позволил бы себе ехать в дурном экипаже или показаться в старом мундире на улицах Петербурга. Сближался он и искал знакомств только с людьми, которые были выше его, и потому могли быть ему полезны. Он любил Петербург и презирал Москву. Воспоминание о доме Ростовых и о его детской любви к Наташе – было ему неприятно, и он с самого отъезда в армию ни разу не был у Ростовых. В гостиной Анны Павловны, в которой присутствовать он считал за важное повышение по службе, он теперь тотчас же понял свою роль и предоставил Анне Павловне воспользоваться тем интересом, который в нем заключался, внимательно наблюдая каждое лицо и оценивая выгоды и возможности сближения с каждым из них. Он сел на указанное ему место возле красивой Элен, и вслушивался в общий разговор.
– Vienne trouve les bases du traite propose tellement hors d'atteinte, qu'on ne saurait y parvenir meme par une continuite de succes les plus brillants, et elle met en doute les moyens qui pourraient nous les procurer. C'est la phrase authentique du cabinet de Vienne, – говорил датский charge d'affaires. [Вена находит основания предлагаемого договора до того невозможными, что достигнуть их нельзя даже рядом самых блестящих успехов: и она сомневается в средствах, которые могут их нам доставить. Это подлинная фраза венского кабинета, – сказал датский поверенный в делах.]
– C'est le doute qui est flatteur! – сказал l'homme a l'esprit profond, с тонкой улыбкой. [Сомнение лестно! – сказал глубокий ум,]
– Il faut distinguer entre le cabinet de Vienne et l'Empereur d'Autriche, – сказал МorteMariet. – L'Empereur d'Autriche n'a jamais pu penser a une chose pareille, ce n'est que le cabinet qui le dit. [Необходимо различать венский кабинет и австрийского императора. Австрийский император никогда не мог этого думать, это говорит только кабинет.]
– Eh, mon cher vicomte, – вмешалась Анна Павловна, – l'Urope (она почему то выговаривала l'Urope, как особенную тонкость французского языка, которую она могла себе позволить, говоря с французом) l'Urope ne sera jamais notre alliee sincere. [Ах, мой милый виконт, Европа никогда не будет нашей искренней союзницей.]
Вслед за этим Анна Павловна навела разговор на мужество и твердость прусского короля с тем, чтобы ввести в дело Бориса.
Борис внимательно слушал того, кто говорит, ожидая своего череда, но вместе с тем успевал несколько раз оглядываться на свою соседку, красавицу Элен, которая с улыбкой несколько раз встретилась глазами с красивым молодым адъютантом.
Весьма естественно, говоря о положении Пруссии, Анна Павловна попросила Бориса рассказать свое путешествие в Глогау и положение, в котором он нашел прусское войско. Борис, не торопясь, чистым и правильным французским языком, рассказал весьма много интересных подробностей о войсках, о дворе, во всё время своего рассказа старательно избегая заявления своего мнения насчет тех фактов, которые он передавал. На несколько времени Борис завладел общим вниманием, и Анна Павловна чувствовала, что ее угощенье новинкой было принято с удовольствием всеми гостями. Более всех внимания к рассказу Бориса выказала Элен. Она несколько раз спрашивала его о некоторых подробностях его поездки и, казалось, весьма была заинтересована положением прусской армии. Как только он кончил, она с своей обычной улыбкой обратилась к нему:
– Il faut absolument que vous veniez me voir, [Необходимо нужно, чтоб вы приехали повидаться со мною,] – сказала она ему таким тоном, как будто по некоторым соображениям, которые он не мог знать, это было совершенно необходимо.
– Mariedi entre les 8 et 9 heures. Vous me ferez grand plaisir. [Во вторник, между 8 и 9 часами. Вы мне сделаете большое удовольствие.] – Борис обещал исполнить ее желание и хотел вступить с ней в разговор, когда Анна Павловна отозвала его под предлогом тетушки, которая желала его cлышать.
– Вы ведь знаете ее мужа? – сказала Анна Павловна, закрыв глаза и грустным жестом указывая на Элен. – Ах, это такая несчастная и прелестная женщина! Не говорите при ней о нем, пожалуйста не говорите. Ей слишком тяжело!


Когда Борис и Анна Павловна вернулись к общему кружку, разговором в нем завладел князь Ипполит.
Он, выдвинувшись вперед на кресле, сказал: Le Roi de Prusse! [Прусский король!] и сказав это, засмеялся. Все обратились к нему: Le Roi de Prusse? – спросил Ипполит, опять засмеялся и опять спокойно и серьезно уселся в глубине своего кресла. Анна Павловна подождала его немного, но так как Ипполит решительно, казалось, не хотел больше говорить, она начала речь о том, как безбожный Бонапарт похитил в Потсдаме шпагу Фридриха Великого.
– C'est l'epee de Frederic le Grand, que je… [Это шпага Фридриха Великого, которую я…] – начала было она, но Ипполит перебил ее словами:
– Le Roi de Prusse… – и опять, как только к нему обратились, извинился и замолчал. Анна Павловна поморщилась. MorteMariet, приятель Ипполита, решительно обратился к нему:
– Voyons a qui en avez vous avec votre Roi de Prusse? [Ну так что ж о прусском короле?]
Ипполит засмеялся, как будто ему стыдно было своего смеха.
– Non, ce n'est rien, je voulais dire seulement… [Нет, ничего, я только хотел сказать…] (Он намерен был повторить шутку, которую он слышал в Вене, и которую он целый вечер собирался поместить.) Je voulais dire seulement, que nous avons tort de faire la guerre рour le roi de Prusse. [Я только хотел сказать, что мы напрасно воюем pour le roi de Prusse . (Непереводимая игра слов, имеющая значение: «по пустякам».)]
Борис осторожно улыбнулся так, что его улыбка могла быть отнесена к насмешке или к одобрению шутки, смотря по тому, как она будет принята. Все засмеялись.
– Il est tres mauvais, votre jeu de mot, tres spirituel, mais injuste, – грозя сморщенным пальчиком, сказала Анна Павловна. – Nous ne faisons pas la guerre pour le Roi de Prusse, mais pour les bons principes. Ah, le mechant, ce prince Hippolytel [Ваша игра слов не хороша, очень умна, но несправедлива; мы не воюем pour le roi de Prusse (т. e. по пустякам), а за добрые начала. Ах, какой он злой, этот князь Ипполит!] – сказала она.
Разговор не утихал целый вечер, обращаясь преимущественно около политических новостей. В конце вечера он особенно оживился, когда дело зашло о наградах, пожалованных государем.
– Ведь получил же в прошлом году NN табакерку с портретом, – говорил l'homme a l'esprit profond, [человек глубокого ума,] – почему же SS не может получить той же награды?
– Je vous demande pardon, une tabatiere avec le portrait de l'Empereur est une recompense, mais point une distinction, – сказал дипломат, un cadeau plutot. [Извините, табакерка с портретом Императора есть награда, а не отличие; скорее подарок.]
– Il y eu plutot des antecedents, je vous citerai Schwarzenberg. [Были примеры – Шварценберг.]
– C'est impossible, [Это невозможно,] – возразил другой.
– Пари. Le grand cordon, c'est different… [Лента – это другое дело…]
Когда все поднялись, чтоб уезжать, Элен, очень мало говорившая весь вечер, опять обратилась к Борису с просьбой и ласковым, значительным приказанием, чтобы он был у нее во вторник.
– Мне это очень нужно, – сказала она с улыбкой, оглядываясь на Анну Павловну, и Анна Павловна той грустной улыбкой, которая сопровождала ее слова при речи о своей высокой покровительнице, подтвердила желание Элен. Казалось, что в этот вечер из каких то слов, сказанных Борисом о прусском войске, Элен вдруг открыла необходимость видеть его. Она как будто обещала ему, что, когда он приедет во вторник, она объяснит ему эту необходимость.
Приехав во вторник вечером в великолепный салон Элен, Борис не получил ясного объяснения, для чего было ему необходимо приехать. Были другие гости, графиня мало говорила с ним, и только прощаясь, когда он целовал ее руку, она с странным отсутствием улыбки, неожиданно, шопотом, сказала ему: Venez demain diner… le soir. Il faut que vous veniez… Venez. [Приезжайте завтра обедать… вечером. Надо, чтоб вы приехали… Приезжайте.]
В этот свой приезд в Петербург Борис сделался близким человеком в доме графини Безуховой.


Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.