Векторный потенциал электромагнитного поля
Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля (вектор-потенциал, магнитный потенциал) — в электродинамике, векторный потенциал, ротор которого равен магнитной индукции:
- <math> \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A = \nabla \times \mathbf A</math>.
Вектор-потенциал является пространственной компонентой 4-вектора электромагнитного потенциала.
Содержание
Уравнения Максвелла
Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов.
При этом уравнение <math>\operatorname{div} \mathbf B = 0</math> удовлетворяется автоматически.
Подстановка выражения для <math>\mathbf A</math> в
- <math>\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}</math>
приводит к уравнению
- <math>\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0</math>,
согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в <math>\mathbf E</math> вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:
- <math>\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math>
Из уравнения <math>\operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}</math> следует
- <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right)</math>
Используя равенство <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A</math>, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде
- <math>\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j </math>
- <math>\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
Вектор-потенциал и магнитный поток
В соответствии с теоремой Стокса, магнитный поток <math>\Phi</math> через контур <math>L</math> легко выразить через циркуляцию векторного потенциала <math>\mathbf{A}</math> по этому контуру:
- <math>\Phi = \oint\limits_L \mathbf{A} \cdot \mathbf{dl}</math>
Калибровка векторного потенциала
Легко убедиться, что преобразования
- <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi</math>
- <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t}</math>
где <math>\psi</math> — произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла (калибровочная инвариантность, по теореме Нётер ей соответствует закон сохранения электрического заряда). Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровкой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две — калибровка Кулона и калибровка Лоренца.
Калибровка Кулона
Калибровкой Кулона называют выражение:
- <math>\operatorname{div}\mathbf A = 0</math>.
Эта калибровка удобна для рассмотрения магнитостатических задач (с постоянными во времени токами).
Калибровка Лоренца
Калибровкой Лоренца называют условие равенства нулю 4-дивергенции потенциала (в СИ):
- <math>\nabla_{\mu} A_{\mu} = \operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>.
В этом случае уравнения переписываются в виде даламбертианов:
- <math>\square \mathbf A \equiv \Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j</math>
- <math>\square \varphi \equiv \Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
Уравнения, записанные в таком виде, удобнее использовать для решения нестационарных задач.
Физический смысл векторного потенциала
Обычно считается, что векторный потенциал — величина, не имеющая непосредственного физического смысла, вводимая лишь для удобства выкладок. Однако удалось поставить эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен непосредственному измерению. Подобно тому, как электростатический потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса.
Смещение квантовомеханической фазы
Влияние магнитного поля на движение квантовой частицы приводит к смещению фазы[1][2]:
- <math>\Delta \varphi_H = \frac{e}{\hbar c}\int_{S}^{} (\mathbf{A},\;d\mathbf{l}),</math>
где <math>e</math> — заряд электрона, <math>c </math> — скорость света в вакууме, <math>\hbar</math> — приведенная постоянная Планка, <math>\mathbf{A}</math> — векторный потенциал магнитного поля и <math>d\mathbf{l} </math> — элемент траектории движения частицы.
При этом смещение фазы возникает и тогда, когда частица проходит по областям, в которых <math>\mathbf B = 0</math>, не равен нулю только <math>\mathbf A</math>. Например, это происходит при наблюдении эффекта Ааронова — Бома[3].
Обобщённый импульс
При движении частицы в электромагнитном поле полный импульс <math>\mathbf{P}</math> равен не просто <math>\mathbf{p} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>, а <math>\mathbf{p} + q\mathbf{A}</math>. Следовательно, при движении частицы в чисто магнитном поле сохраняется именно эта величина. Налицо аналогия с полной энергией частицы <math>E = T + U = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + q\varphi</math>, которую можно считать суммой кинетической и потенциальной энергии.
Импульс частицы при быстром отключении магнитного поля
Если заряженная частица находится вблизи источника магнитного поля, которое в определённый момент времени быстро отключают, то она приобретает дополнительный импульс <math>\Delta \mathbf{p} = q\mathbf{A}</math> даже в том случае, если <math>\mathbf{B}</math> в точке нахождения частицы было равно нулю (например, с внешней стороны соленоида). В частности, если частица до отключения поля покоилась, то она начинает движение с импульсом, равным <math>q\mathbf{A}</math>. Таким образом мы получаем возможность непосредственно измерить векторный потенциал в макроскопической системе.
{{{1}}}
Единицы измерения
В системе СИ единицей векторного потенциала является вебер на метр (Вб/м, размерность — В·с/м = кг·м·с−2·А−1).
См. также
Напишите отзыв о статье "Векторный потенциал электромагнитного поля"
Примечания
- ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1966. — Т. 6. — 344 с.
- ↑ Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
- ↑ Aharonov, Y. and D. Bohm Significance of electromagnetic potentials in quantum theory // Phys. Rev.. — 1959. — Т. 115.
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
- Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика, 1982, 496 с
Ссылки
Отрывок, характеризующий Векторный потенциал электромагнитного поля
В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
Но это была она в новом, незнакомом еще ему, сшитом без него платье. Все оставили его, и он побежал к ней. Когда они сошлись, она упала на его грудь рыдая. Она не могла поднять лица и только прижимала его к холодным снуркам его венгерки. Денисов, никем не замеченный, войдя в комнату, стоял тут же и, глядя на них, тер себе глаза.
– Василий Денисов, друг вашего сына, – сказал он, рекомендуясь графу, вопросительно смотревшему на него.
– Милости прошу. Знаю, знаю, – сказал граф, целуя и обнимая Денисова. – Николушка писал… Наташа, Вера, вот он Денисов.
Те же счастливые, восторженные лица обратились на мохнатую фигуру Денисова и окружили его.
– Голубчик, Денисов! – визгнула Наташа, не помнившая себя от восторга, подскочила к нему, обняла и поцеловала его. Все смутились поступком Наташи. Денисов тоже покраснел, но улыбнулся и взяв руку Наташи, поцеловал ее.
Денисова отвели в приготовленную для него комнату, а Ростовы все собрались в диванную около Николушки.
Старая графиня, не выпуская его руки, которую она всякую минуту целовала, сидела с ним рядом; остальные, столпившись вокруг них, ловили каждое его движенье, слово, взгляд, и не спускали с него восторженно влюбленных глаз. Брат и сестры спорили и перехватывали места друг у друга поближе к нему, и дрались за то, кому принести ему чай, платок, трубку.
Ростов был очень счастлив любовью, которую ему выказывали; но первая минута его встречи была так блаженна, что теперешнего его счастия ему казалось мало, и он всё ждал чего то еще, и еще, и еще.
На другое утро приезжие спали с дороги до 10 го часа.
В предшествующей комнате валялись сабли, сумки, ташки, раскрытые чемоданы, грязные сапоги. Вычищенные две пары со шпорами были только что поставлены у стенки. Слуги приносили умывальники, горячую воду для бритья и вычищенные платья. Пахло табаком и мужчинами.
– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
