Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, <math>|\mathbf{A}|=A</math>.

В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей.

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода, ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса <math>\mathbf{p}</math> всегда движется по кругу. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии <math>E</math> проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере <math>S_{3}</math> . По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве.

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется <math>\mathbf{A}</math>. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ <math>\mathcal{A}</math>.

Контекст

Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы, имеет, по крайней мере, четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия <math>E</math> и три компоненты углового момента (вектора <math>\mathbf{L}</math>). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, <math>\mathbf{p}</math> (или, что эквивалентно, скоростью <math>\mathbf{v}</math>) и координатами, т. е. радиус-вектором <math>\mathbf{r}</math> между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору <math>\mathbf{L}</math>, что может быть выражено математически с помощью скалярного произведения <math>\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0</math>.

Как определено ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> всегда находится в плоскости движения — то есть, <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math> — для любой центральной силы. Также <math>\mathbf{A}</math> является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор <math>\mathbf{A}</math> является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор <math>\mathbf{A}</math> не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathcal{A}</math> может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях.

История

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия. Якоб Герман был первым, кто показал, что <math>\mathbf{A}</math> сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение <math>\mathbf{A}</math> вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники.

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже, использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса <math>\mathbf{p}</math> двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3). В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера, на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода .

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца.

Математическое определение

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением <math>\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^2}\mathbf{\hat{r}}</math>, вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> определён математически по формуле

<math>\mathbf{A}=\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}},</math>

где

• <math>m</math> — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы,
• <math>\mathbf{p}</math> — вектор импульса,
• <math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math> — вектор углового момента,
• <math>k</math> — параметр, описывающий величину центральной силы,
• <math>\mathbf{\hat{r}}</math> — единичный вектор, то есть <math>\mathbf{\hat{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}</math>, где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор положения частицы, и <math>r</math> — его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия <math>E</math> сохраняется

<math>E=\frac{p^2}{2m}-\frac{k}{r}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{k}{r}.</math>

Из центральности силы следует, что вектор углового момента <math>\mathbf{L}</math> также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> перпендикулярен вектору углового момента <math>\mathbf{L}</math> и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math> верно, потому что вектора <math>\mathbf{p}\times\mathbf{L}</math> и <math>\mathbf{r}</math> перпендикулярны <math>\mathbf{L}</math>.

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> применимо для единственной точечной частицы с массой <math>m</math>, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить <math>m</math> на приведённую массу этих двух тел и <math>\mathbf{r}</math> на вектор между этими телами.

Круговой годограф импульса

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> и вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math> используется в доказательстве того, что вектор импульса <math>\mathbf{p}</math> движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{L}</math>, приходим к уравнению для <math>\mathbf{p}</math>

<math>L^2\mathbf{p}=\mathbf{L}\times\mathbf{A}-mk\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{L}.</math>

Направляя вектор <math>\mathbf{L}</math> вдоль оси <math>z</math>, а главную полуось — по оси <math>x</math>, приходим к уравнению

<math>p_x^2+(p_y-A/L)^2=(mk/L)^2.</math>

Другими словами, вектор импульса <math>\mathbf{p}</math> ограничен окружностью радиуса <math>mk/L</math>, центр которой расположен в точке с координатами <math>(0,\;A/L)</math>. Эксцентриситет <math>e</math> соответствует косинусу угла <math>\eta</math>, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную <math>p_0=\sqrt{2m|E|}</math>. Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин: энергия <math>E</math> и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> и момента импульса <math>\mathbf{L}</math> — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math>, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше <math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину <math>\mathbf{A}</math> (и эксцентриситет <math>e</math> орбиты) можно определить из полного углового момента <math>L</math> и энергии <math>E</math>, то утверждается, что только направление <math>\mathbf{A}</math> сохраняется независимо. Кроме того, вектор <math>\mathbf{A}</math> должен быть перпендикулярным <math>\mathbf{L}</math> — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с <math>d</math> степенями свободы может обладать максимум <math>2d-1</math> интегралами движения, поскольку <math>2d</math> начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем <math>d</math> интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с <math>2d-1</math> интегралами называется максимально суперинтегрируемой. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к <math>d</math> интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (<math>d=3</math>) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах, как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже.

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах <math>(\xi,\;\eta)</math>, которые определяются следующим образом

<math>\xi=r+x,</math>

<math>\eta=r-x,</math>

где <math>r</math> — радиус в плоскости орбиты

<math>r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

Обратное преобразование этих координат запишется в виде

<math>x=\frac{1}{2}(\xi-\eta),</math>

<math>y =\sqrt{\xi\eta}.</math>

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения

<math>2\xi p_\xi^2-mk-mE\xi=-\beta,</math>

<math>2\eta p_\eta^2-mk-mE\eta=\beta,</math>

где <math>\beta</math> — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса <math>p_x</math> и <math>p_y</math> можно показать, что <math>\beta</math> эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

<math>\beta=p_y(xp_y-yp_x)-mk\frac{x}{r}=A_x.</math>

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathcal{A}</math> в присутствии электрического поля <math>\mathbf{E}</math>

<math>\mathcal{A}=\mathbf{A}+\frac{mq}{2}\left[(\mathbf{r}\times\mathbf{E})\times\mathbf{r}\right],</math>

где <math>q</math> — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка

В отличие от импульса <math>\mathbf{p}</math> и углового момента <math>\mathbf{L}</math>, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную <math>mk</math>, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

<math>\mathbf{e}=\frac{1}{mk}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-\mathbf{\hat{r}}=\frac{m}{k}(\mathbf{v}\times\mathbf{r}\times\mathbf{v})-\mathbf{\hat{r}},</math>

где <math>\mathbf{v}</math> — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора <math>\mathbf{e}</math> совпадает с направлением <math>\mathbf{A}</math>, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить <math>\mathbf{A}</math> на <math>m</math>,

<math>\mathbf{M}=\mathbf{v}\times\mathbf{L}-k\mathbf{\hat{r}}</math>

или на <math>p_0</math>

<math>\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{p_0}=\frac{1}{\sqrt{2m|E|}}\{\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}}\},</math>

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор <math>\mathbf{L}</math>). В редких случаях, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают <math>\mathbf{a}</math>, <math>\mathbf{R}</math>, <math>\mathbf{F}</math>, <math>\mathbf{J}</math> и <math>\mathbf{V}</math>. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор <math>\mathbf{B}</math> изучен Уильямом Гамильтоном

<math>\mathbf{B}=\mathbf{p}-\left(\frac{mk}{L^2r}\right)(\mathbf{L}\times\mathbf{r}),</math>

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}=\mathbf{B}\times\mathbf{L}</math> является векторным произведением <math>\mathbf{B}</math> и <math>\mathbf{L}</math> (рис. 3). Вектор <math>\mathbf{B}</math> обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как <math>\mathbf{A}</math>, так и <math>\mathbf{L}</math>. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор <math>\mathbf{W}</math>

<math>\mathbf{W}=\alpha\mathbf{A}\otimes\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}\otimes\mathbf{B},</math>

где <math>\otimes</math> обозначает тензорное произведение, а <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — произвольные множители . Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

<math>W_{ij}=\alpha A_iA_j+\beta B_iB_j.</math>

Векторы <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора <math>\mathbf{W}</math>, т. е. как его собственные вектора. <math>\mathbf{W}</math> перпендикулярен <math>\mathbf{L}</math>

<math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{W}=\alpha(\mathbf{L}\cdot\mathbf{A})\mathbf{A}+\beta(\mathbf{L}\cdot\mathbf{B})\mathbf{B}=0,</math>

поскольку <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> перпендикулярны, то <math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{L}\cdot\mathbf{B}=0</math>.

Вывод орбит Кеплера

Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math>, можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{r}</math> (положения планеты):

<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-mkr,</math>

где <math>\theta</math> является углом между <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{A}</math> (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении <math>\mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=\mathbf{L}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p})=\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2</math>, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения:

<math>\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)</math>

с эксцентриситетом <math>e</math>, заданным по формуле:

<math>e=\frac{A}{mk}=\frac{|\mathbf{A}|}{mk}.</math>

Приходим к выражению квадрата модуля вектора <math>\mathbf{A}</math> в виде

<math>A^2=m^2k^2+2mEL^2,</math>

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

<math>e^2-1=\frac{2L^2}{mk^2}E.</math>

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях, вектор <math>\mathbf{A}</math> направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила <math>\mathbf{F}</math>, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

<math>\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}=f(r)\mathbf{\hat{r}}</math>

для некоторой функции <math>f(r)</math> радиуса <math>r</math>. Поскольку угловой момент <math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math> сохраняется под действием центральных сил, то <math>\frac{d}{dt}\mathbf{L}=0</math> и

<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\times\mathbf{L}=f(r)\mathbf{\hat{r}}\times\left(\mathbf{r}\times m\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=f(r)\frac{m}{r}\left[\mathbf{r}\left(\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)-r^2\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right],</math>

где импульс записан в виде <math>\mathbf{p}=m\frac{d\mathbf{r}}{dt}</math>, и тройное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

<math>\mathbf{r}\times\left(\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=\mathbf{r}\left(\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)-r^2\frac{d\mathbf{r}}{dt}.</math>

Тождество

<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})=2\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(r^2)=2r\frac{dr}{dt}</math>

приводит к уравнению

<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=-mf(r)r^2\left[\frac{1}{r}\frac{d\mathbf{r}}{dt}-\frac{\mathbf{r}}{r^2}\frac{dr}{dt}\right]=

-mf(r)r^2\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right).</math> Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния <math>f(r)=\frac{-k}{r^2}</math>, последнее выражение равно

<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=mk\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right)=\frac{d}{dt}(mk\mathbf{\hat{r}}).</math>

Тогда <math>\mathbf{A}</math> сохраняется в этом случае

<math>\frac{d}{dt}\mathbf{A}=\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-\frac{d}{dt}(mk\mathbf{\hat{r}})=0.</math>

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора <math>\mathcal{A}</math>, который может быть определён для любой центральной силы . Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор <math>\mathcal{A}</math> редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла <math>\theta</math> между <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathcal{A}</math>.

Изменение под действием возмущающих центральных сил

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал <math>h(r)</math> зависит только от расстояния, то полная энергия <math>E</math> и вектор углового момента <math>\mathbf{L}</math> сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к <math>\mathbf{L}</math> плоскости, и величина <math>A</math> сохраняется, согласно уравнению <math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>. Следовательно, направление <math>\mathbf{A}</math> медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать , что <math>\mathbf{A}</math> вращается со скоростью

<math>\frac{\partial}{\partial L}\langle h(r)\rangle=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{1}{T}\int\limits_0^T h(r)\,dt\right\}=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{m}{L^2}\int\limits_0^{2\pi}r^2h(r)\,d\theta\right\},</math>

где <math>T</math> — период орбитального движения и равенство <math>L\,dt=mr^2\,d\theta</math> использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния:

<math>h(r)=\frac{kL^2}{m^2c^2}\left(\frac{1}{r^3}\right).</math>

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

<math>\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right),</math>

чтобы выразить <math>r</math> в терминах <math>\theta</math>, скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде

<math>\frac{6\pi k^2}{TL^2c^2}.</math>

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности.

Теория групп

Преобразование Ли

Существует другой метод вывода вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей. Скалирование координат <math>\mathbf{r}</math> и времени <math>t</math> с разной степенью параметра <math>\lambda</math> (рис. 6)

<math>t\to\lambda^3t,\;\mathbf{r}\to\lambda^2\mathbf{r},\;\mathbf{p}\to\frac{1}{\lambda}\mathbf{p}.</math>

Это преобразование изменяет полный угловой момент <math>L</math> и энергию <math>E</math>

<math>L\to\lambda L,\;E\to\frac{1}{\lambda^2}E,</math>

но сохраняет произведение <math>EL^2</math>. Отсюда следует, что эксцентриситет <math>e</math> и величина <math>A</math> сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

<math>A^2=m^2k^2e^2=m^2k^2+2mEL^2.</math>

Направление <math>\mathbf{A}</math> также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось <math>a</math> и период <math>T</math> формируют константу <math>T^2/a^3</math>.

Скобки Пуассона

Для трёх компонент <math>L_i</math> вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math> можно определить скобки Пуассона

<math>[L_i,\;L_j]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s,</math>

где индекс <math>i</math> пробегает значения 1, 2, 3 и <math>\varepsilon_{ijs}</math> — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования <math>s</math>, чтобы не путать с силовым параметром <math>k</math>, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{D}</math> можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив <math>\mathbf{A}</math> на <math>p_0</math>. Скобка Пуассона <math>\mathbf{D}</math> с вектором углового момента <math>\mathbf{L}</math> запишется в похожем виде

<math>[D_i,\;L_{j}]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}D_s.</math>

Скобка Пуассона <math>\mathbf{D}</math> с <math>\mathbf{D}</math> зависит от знака <math>E</math>, то есть когда полная энергия <math>E</math> отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

<math>[D_i,\;D_j]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.</math>

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

<math>[D_i,\;D_j]=-\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.</math>

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

<math>C_1=\mathbf{D}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=\frac{mk^2}{2|E|},</math>

<math>C_2=\mathbf{D}\cdot\mathbf{L}=0</math>

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент <math>\mathbf{D}</math> и <math>\mathbf{L}</math>

<math>[C_1,\;L_i]=[C_1,\;D_i]=[C_2,\;L_i]=[C_2,\;D_i]=0.</math>

<math>C_2</math> равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант <math>C_1</math> нетривиален и зависит только от <math>m</math>, <math>k</math> и <math>E</math>. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

<math>\delta q_i=\varepsilon g_i(\mathbf{q},\;\mathbf{\dot{q}},\;t)</math>

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на полную производную по времени

<math>\delta L=\varepsilon\frac{d}{dt}G(\mathbf{q},\;t)</math>

соответствует сохранению величины

<math>J=-G+\sum_i g_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right).</math>

Сохранённая компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>A_s</math> соответствует вариации координат

<math>\delta x_i=\frac{\varepsilon}{2}[2p_ix_s-x_ip_s-\delta_{is}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})],</math>

где <math>i</math> равняется 1, 2 и 3, а <math>x_i</math> и <math>p_i</math> — <math>i</math>-е компоненты векторов положения <math>\mathbf{r}</math> и импульса <math>\mathbf{p}</math>, соответственно. Как обычно, <math>\delta_{is}</math> — символ Кронекера. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как

<math>\delta L=\frac{1}{2}\varepsilon mk\frac{d}{dt}\left(\frac{x_s}{r}+[p^2x_s-p_s(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})]\right).</math>

Это приводит к сохранению компоненты <math>A_s</math>

<math>A_s=[p^2x_s-p_s(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})]-mk\left(\frac{x_s}{r}\right)=[\mathbf{p}\times\mathbf{r}\times\mathbf{p}]_s-mk\left(\frac{x_s}{r}\right).</math>

Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента <math>\mathbf{L}</math>. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом <math>l</math> (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math>, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента <math>l</math> и <math>m</math>. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами <math>l</math> и <math>m</math>, атомные орбитали типа <math>s</math> (<math>l=0</math>) и <math>p</math> (<math>l=1</math>). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

<math>|\mathbf{e}|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2.</math>

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой . В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырехмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трехмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом <math>n</math>. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math> и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{D}</math> формируют алгебру Ли для <math>SO(4)</math>. Проще говоря, эти шесть величин <math>\mathbf{D}</math> и <math>\mathbf{L}</math> соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

<math>ds^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2-e_4^2.</math>

Фок и Баргман рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном.

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены <math>(w,\;x,\;y,\;z)</math>, где <math>(x,\;y,\;z)</math> представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора <math>\mathbf{r}</math>. Трёхмерный вектор импульса <math>\mathbf{p}</math> связан с четырёхмерным вектором <math>\boldsymbol{\eta}</math> на четырёхмерной единичной сфере посредством

<math>\boldsymbol\eta=\frac{p^2-p_0^2}{p^2+p_0^2}\mathbf{\hat{w}}+\frac{2p_0}{p^2+p_0^2}\mathbf{p}=\frac{mk-rpp_0}{mk}\mathbf{\hat{w}}+\frac{rp_0}{mk}\mathbf{p},</math>

где <math>\mathbf{\hat{w}}</math> — единичный вектор вдоль новой оси <math>w</math>. Поскольку <math>\boldsymbol{\eta}</math> имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для <math>\mathbf{p}</math>. Например, для компоненты <math>x</math>

<math>p_x=p_0\frac{\eta_x}{1-\eta_w}</math>

и аналогично для <math>p_y</math> и <math>p_z</math>. Другими словами, трёхмерный вектор <math>\mathbf{p}</math> является стереографической проекцией четырёхмерного вектора <math>\boldsymbol{\eta}</math>, умноженному на <math>p_0</math> (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось <math>z</math> направлена вдоль вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math>, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси <math>y</math>. Так как движение происходит в плоскости, а <math>\mathbf{p}</math> и <math>L</math> ортогональны, <math>p_z=\eta_z=0</math>, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе <math>\boldsymbol{\eta}=(\eta_w,\;\eta_x,\;\eta_y)</math>. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере <math>\boldsymbol{\eta}</math>, все из которых пересекают ось <math>\eta_x</math> в этих двух фокусах <math>\eta_x=\pm 1</math>, соответствующих фокусам годографа импульса при <math>p_x=\pm p_0</math>. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси <math>\eta_x</math> (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение <math>\eta_w</math>. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты <math>\boldsymbol{\eta}</math> и используя эллиптические цилиндрические координаты <math>(\alpha,\;\beta,\;\varphi)</math>

<math>\eta_w=\mathrm{cn}\,\alpha\,\mathrm{cn}\,\beta,</math>

<math>\eta_x=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\cos\varphi,</math>

<math>\eta_y=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\sin\varphi,</math>

<math>\eta_z=\mathrm{dn}\,\alpha\,\mathrm{sn}\,\beta,</math>

где используются эллиптические функции Якоби: <math>\mathrm{sn}</math>, <math>\mathrm{cn}</math> и <math>\mathrm{dn}</math>.

Применение и обобщения

Квантовая механика атома водорода

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на <math>i\hbar</math> . Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения <math>C_{1}</math> оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера.

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{L}</math> должно быть определено тщательно. Как правило, операторы в декартовой системе координат <math>A_s</math> определены с помощью симметризованного произведения

<math>A_s=-mk\hat{r}_s+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\varepsilon_{sij}(p_il_j+l_jp_i),</math>

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

<math>A_0=A_3,</math>

<math>A_{\pm 1}=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1\pm iA_2).</math>

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

<math>C_1=-\frac{mk^2}{2\hbar^2}H^{-1}-I,</math>

где <math>H^{-1}</math> — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и <math>I</math> — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям <math>|lmn\rangle</math> операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой <math>n^2-1</math>. Следовательно, уровни энергии даются выражением

<math>E_n=-\frac{mk^2}{2\hbar^2n^2},</math>

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде

<math>\mathcal{A}=\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)(\mathbf{p}\times\mathbf{L})+\left[\xi-u\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)\right]L^2\mathbf{\hat{r}},</math>

где <math>u=1/r</math> (см. теорема Бертрана) и <math>\xi=\cos\theta</math>, с углом <math>\theta</math>, определённым как

<math>\theta=L\int\limits^u\frac{du}{\sqrt{m^2c^2(\gamma^2-1)-L^2u^2}}.</math>

Здесь <math>\gamma</math> — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали <math>\mathbf{B}</math>, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

<math>\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A}.</math>

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор <math>W</math>

<math>\mathcal{W}=\alpha\mathcal{A}\otimes\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}.</math>

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. Рассмотрим центральную силу:

<math>\mathbf{F}(r)=-k\mathbf{r}</math>

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:

<math>\mathbf{W}=\frac{1}{2m}\mathbf{p}\otimes\mathbf{p}+\frac{k}{2}\mathbf{r}\otimes\mathbf{r},</math>

хотя нужно заметить, что <math>p</math> и <math>r</math> не перпендикулярны, как <math>A</math> и <math>B</math>. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись

<math>\mathbf{A}=\frac{1}{\sqrt{mr^2\omega_0A-mr^2E+L^2}}\{(\mathbf{p}\times\mathbf{L})+(mr\omega_0A-mrE)\mathbf{\hat{r}}\},</math>

где <math>\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> — частота осциллятора.

См. также

• Проблема двух тел
• Теорема Бертрана
• Квантовая механика
• Астрофизика

Дополнительное чтение

• Leach, P.G.L.; G.P. Flessas (2003). «Generalisations of the Laplace — Runge — Lenz vector». J. Nonlinear Math. Phys. 10: 340—423. Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. [arxiv.org/abs/math-ph/0403028 arxiv.org]

Отрывок, характеризующий Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

– Вишь татарка!
– Как же ты не перекувыркнулась то? – говорила самая смелая, прямо уж обращаясь к Наташе.
Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.
– Что же вы не служите, дядюшка?
– Служил, да бросил. Не гожусь, чистое дело марш, я ничего не разберу. Это ваше дело, а у меня ума не хватит. Вот насчет охоты другое дело, это чистое дело марш! Отворите ка дверь то, – крикнул он. – Что ж затворили! – Дверь в конце коридора (который дядюшка называл колидор) вела в холостую охотническую: так называлась людская для охотников. Босые ноги быстро зашлепали и невидимая рука отворила дверь в охотническую. Из коридора ясно стали слышны звуки балалайки, на которой играл очевидно какой нибудь мастер этого дела. Наташа уже давно прислушивалась к этим звукам и теперь вышла в коридор, чтобы слышать их яснее.
– Это у меня мой Митька кучер… Я ему купил хорошую балалайку, люблю, – сказал дядюшка. – У дядюшки было заведено, чтобы, когда он приезжает с охоты, в холостой охотнической Митька играл на балалайке. Дядюшка любил слушать эту музыку.
– Как хорошо, право отлично, – сказал Николай с некоторым невольным пренебрежением, как будто ему совестно было признаться в том, что ему очень были приятны эти звуки.
– Как отлично? – с упреком сказала Наташа, чувствуя тон, которым сказал это брат. – Не отлично, а это прелесть, что такое! – Ей так же как и грибки, мед и наливки дядюшки казались лучшими в мире, так и эта песня казалась ей в эту минуту верхом музыкальной прелести.
– Еще, пожалуйста, еще, – сказала Наташа в дверь, как только замолкла балалайка. Митька настроил и опять молодецки задребезжал Барыню с переборами и перехватами. Дядюшка сидел и слушал, склонив голову на бок с чуть заметной улыбкой. Мотив Барыни повторился раз сто. Несколько раз балалайку настраивали и опять дребезжали те же звуки, и слушателям не наскучивало, а только хотелось еще и еще слышать эту игру. Анисья Федоровна вошла и прислонилась своим тучным телом к притолке.
– Изволите слушать, – сказала она Наташе, с улыбкой чрезвычайно похожей на улыбку дядюшки. – Он у нас славно играет, – сказала она.
– Вот в этом колене не то делает, – вдруг с энергическим жестом сказал дядюшка. – Тут рассыпать надо – чистое дело марш – рассыпать…
– А вы разве умеете? – спросила Наташа. – Дядюшка не отвечая улыбнулся.
– Посмотри ка, Анисьюшка, что струны то целы что ль, на гитаре то? Давно уж в руки не брал, – чистое дело марш! забросил.
Анисья Федоровна охотно пошла своей легкой поступью исполнить поручение своего господина и принесла гитару.
Дядюшка ни на кого не глядя сдунул пыль, костлявыми пальцами стукнул по крышке гитары, настроил и поправился на кресле. Он взял (несколько театральным жестом, отставив локоть левой руки) гитару повыше шейки и подмигнув Анисье Федоровне, начал не Барыню, а взял один звучный, чистый аккорд, и мерно, спокойно, но твердо начал весьма тихим темпом отделывать известную песню: По у ли и ице мостовой. В раз, в такт с тем степенным весельем (тем самым, которым дышало всё существо Анисьи Федоровны), запел в душе у Николая и Наташи мотив песни. Анисья Федоровна закраснелась и закрывшись платочком, смеясь вышла из комнаты. Дядюшка продолжал чисто, старательно и энергически твердо отделывать песню, изменившимся вдохновенным взглядом глядя на то место, с которого ушла Анисья Федоровна. Чуть чуть что то смеялось в его лице с одной стороны под седым усом, особенно смеялось тогда, когда дальше расходилась песня, ускорялся такт и в местах переборов отрывалось что то.
– Прелесть, прелесть, дядюшка; еще, еще, – закричала Наташа, как только он кончил. Она, вскочивши с места, обняла дядюшку и поцеловала его. – Николенька, Николенька! – говорила она, оглядываясь на брата и как бы спрашивая его: что же это такое?
Николаю тоже очень нравилась игра дядюшки. Дядюшка второй раз заиграл песню. Улыбающееся лицо Анисьи Федоровны явилось опять в дверях и из за ней еще другие лица… «За холодной ключевой, кричит: девица постой!» играл дядюшка, сделал опять ловкий перебор, оторвал и шевельнул плечами.
– Ну, ну, голубчик, дядюшка, – таким умоляющим голосом застонала Наташа, как будто жизнь ее зависела от этого. Дядюшка встал и как будто в нем было два человека, – один из них серьезно улыбнулся над весельчаком, а весельчак сделал наивную и аккуратную выходку перед пляской.
– Ну, племянница! – крикнул дядюшка взмахнув к Наташе рукой, оторвавшей аккорд.
Наташа сбросила с себя платок, который был накинут на ней, забежала вперед дядюшки и, подперши руки в боки, сделала движение плечами и стала.
Где, как, когда всосала в себя из того русского воздуха, которым она дышала – эта графинечка, воспитанная эмигранткой француженкой, этот дух, откуда взяла она эти приемы, которые pas de chale давно бы должны были вытеснить? Но дух и приемы эти были те самые, неподражаемые, не изучаемые, русские, которых и ждал от нее дядюшка. Как только она стала, улыбнулась торжественно, гордо и хитро весело, первый страх, который охватил было Николая и всех присутствующих, страх, что она не то сделает, прошел и они уже любовались ею.
Она сделала то самое и так точно, так вполне точно это сделала, что Анисья Федоровна, которая тотчас подала ей необходимый для ее дела платок, сквозь смех прослезилась, глядя на эту тоненькую, грациозную, такую чужую ей, в шелку и в бархате воспитанную графиню, которая умела понять всё то, что было и в Анисье, и в отце Анисьи, и в тетке, и в матери, и во всяком русском человеке.
– Ну, графинечка – чистое дело марш, – радостно смеясь, сказал дядюшка, окончив пляску. – Ай да племянница! Вот только бы муженька тебе молодца выбрать, – чистое дело марш!
– Уж выбран, – сказал улыбаясь Николай.
– О? – сказал удивленно дядюшка, глядя вопросительно на Наташу. Наташа с счастливой улыбкой утвердительно кивнула головой.
– Еще какой! – сказала она. Но как только она сказала это, другой, новый строй мыслей и чувств поднялся в ней. Что значила улыбка Николая, когда он сказал: «уж выбран»? Рад он этому или не рад? Он как будто думает, что мой Болконский не одобрил бы, не понял бы этой нашей радости. Нет, он бы всё понял. Где он теперь? подумала Наташа и лицо ее вдруг стало серьезно. Но это продолжалось только одну секунду. – Не думать, не сметь думать об этом, сказала она себе и улыбаясь, подсела опять к дядюшке, прося его сыграть еще что нибудь.
Дядюшка сыграл еще песню и вальс; потом, помолчав, прокашлялся и запел свою любимую охотническую песню.
Как со вечера пороша
Выпадала хороша…
Дядюшка пел так, как поет народ, с тем полным и наивным убеждением, что в песне все значение заключается только в словах, что напев сам собой приходит и что отдельного напева не бывает, а что напев – так только, для складу. От этого то этот бессознательный напев, как бывает напев птицы, и у дядюшки был необыкновенно хорош. Наташа была в восторге от пения дядюшки. Она решила, что не будет больше учиться на арфе, а будет играть только на гитаре. Она попросила у дядюшки гитару и тотчас же подобрала аккорды к песне.
В десятом часу за Наташей и Петей приехали линейка, дрожки и трое верховых, посланных отыскивать их. Граф и графиня не знали где они и крепко беспокоились, как сказал посланный.
Петю снесли и положили как мертвое тело в линейку; Наташа с Николаем сели в дрожки. Дядюшка укутывал Наташу и прощался с ней с совершенно новой нежностью. Он пешком проводил их до моста, который надо было объехать в брод, и велел с фонарями ехать вперед охотникам.
– Прощай, племянница дорогая, – крикнул из темноты его голос, не тот, который знала прежде Наташа, а тот, который пел: «Как со вечера пороша».
В деревне, которую проезжали, были красные огоньки и весело пахло дымом.
– Что за прелесть этот дядюшка! – сказала Наташа, когда они выехали на большую дорогу.
– Да, – сказал Николай. – Тебе не холодно?
– Нет, мне отлично, отлично. Мне так хорошо, – с недоумением даже cказала Наташа. Они долго молчали.
Ночь была темная и сырая. Лошади не видны были; только слышно было, как они шлепали по невидной грязи.
Что делалось в этой детской, восприимчивой душе, так жадно ловившей и усвоивавшей все разнообразнейшие впечатления жизни? Как это всё укладывалось в ней? Но она была очень счастлива. Уже подъезжая к дому, она вдруг запела мотив песни: «Как со вечера пороша», мотив, который она ловила всю дорогу и наконец поймала.
– Поймала? – сказал Николай.
– Ты об чем думал теперь, Николенька? – спросила Наташа. – Они любили это спрашивать друг у друга.
– Я? – сказал Николай вспоминая; – вот видишь ли, сначала я думал, что Ругай, красный кобель, похож на дядюшку и что ежели бы он был человек, то он дядюшку всё бы еще держал у себя, ежели не за скачку, так за лады, всё бы держал. Как он ладен, дядюшка! Не правда ли? – Ну а ты?
– Я? Постой, постой. Да, я думала сначала, что вот мы едем и думаем, что мы едем домой, а мы Бог знает куда едем в этой темноте и вдруг приедем и увидим, что мы не в Отрадном, а в волшебном царстве. А потом еще я думала… Нет, ничего больше.
– Знаю, верно про него думала, – сказал Николай улыбаясь, как узнала Наташа по звуку его голоса.
– Нет, – отвечала Наташа, хотя действительно она вместе с тем думала и про князя Андрея, и про то, как бы ему понравился дядюшка. – А еще я всё повторяю, всю дорогу повторяю: как Анисьюшка хорошо выступала, хорошо… – сказала Наташа. И Николай услыхал ее звонкий, беспричинный, счастливый смех.
– А знаешь, – вдруг сказала она, – я знаю, что никогда уже я не буду так счастлива, спокойна, как теперь.
– Вот вздор, глупости, вранье – сказал Николай и подумал: «Что за прелесть эта моя Наташа! Такого другого друга у меня нет и не будет. Зачем ей выходить замуж, всё бы с ней ездили!»
«Экая прелесть этот Николай!» думала Наташа. – А! еще огонь в гостиной, – сказала она, указывая на окна дома, красиво блестевшие в мокрой, бархатной темноте ночи.


Граф Илья Андреич вышел из предводителей, потому что эта должность была сопряжена с слишком большими расходами. Но дела его всё не поправлялись. Часто Наташа и Николай видели тайные, беспокойные переговоры родителей и слышали толки о продаже богатого, родового Ростовского дома и подмосковной. Без предводительства не нужно было иметь такого большого приема, и отрадненская жизнь велась тише, чем в прежние годы; но огромный дом и флигеля всё таки были полны народом, за стол всё так же садилось больше человек. Всё это были свои, обжившиеся в доме люди, почти члены семейства или такие, которые, казалось, необходимо должны были жить в доме графа. Таковы были Диммлер – музыкант с женой, Иогель – танцовальный учитель с семейством, старушка барышня Белова, жившая в доме, и еще многие другие: учителя Пети, бывшая гувернантка барышень и просто люди, которым лучше или выгоднее было жить у графа, чем дома. Не было такого большого приезда как прежде, но ход жизни велся тот же, без которого не могли граф с графиней представить себе жизни. Та же была, еще увеличенная Николаем, охота, те же 50 лошадей и 15 кучеров на конюшне, те же дорогие подарки в именины, и торжественные на весь уезд обеды; те же графские висты и бостоны, за которыми он, распуская всем на вид карты, давал себя каждый день на сотни обыгрывать соседям, смотревшим на право составлять партию графа Ильи Андреича, как на самую выгодную аренду.
Граф, как в огромных тенетах, ходил в своих делах, стараясь не верить тому, что он запутался и с каждым шагом всё более и более запутываясь и чувствуя себя не в силах ни разорвать сети, опутавшие его, ни осторожно, терпеливо приняться распутывать их. Графиня любящим сердцем чувствовала, что дети ее разоряются, что граф не виноват, что он не может быть не таким, каким он есть, что он сам страдает (хотя и скрывает это) от сознания своего и детского разорения, и искала средств помочь делу. С ее женской точки зрения представлялось только одно средство – женитьба Николая на богатой невесте. Она чувствовала, что это была последняя надежда, и что если Николай откажется от партии, которую она нашла ему, надо будет навсегда проститься с возможностью поправить дела. Партия эта была Жюли Карагина, дочь прекрасных, добродетельных матери и отца, с детства известная Ростовым, и теперь богатая невеста по случаю смерти последнего из ее братьев.
Графиня писала прямо к Карагиной в Москву, предлагая ей брак ее дочери с своим сыном и получила от нее благоприятный ответ. Карагина отвечала, что она с своей стороны согласна, что всё будет зависеть от склонности ее дочери. Карагина приглашала Николая приехать в Москву.
Несколько раз, со слезами на глазах, графиня говорила сыну, что теперь, когда обе дочери ее пристроены – ее единственное желание состоит в том, чтобы видеть его женатым. Она говорила, что легла бы в гроб спокойной, ежели бы это было. Потом говорила, что у нее есть прекрасная девушка на примете и выпытывала его мнение о женитьбе.
В других разговорах она хвалила Жюли и советовала Николаю съездить в Москву на праздники повеселиться. Николай догадывался к чему клонились разговоры его матери, и в один из таких разговоров вызвал ее на полную откровенность. Она высказала ему, что вся надежда поправления дел основана теперь на его женитьбе на Карагиной.
– Что ж, если бы я любил девушку без состояния, неужели вы потребовали бы, maman, чтобы я пожертвовал чувством и честью для состояния? – спросил он у матери, не понимая жестокости своего вопроса и желая только выказать свое благородство.
– Нет, ты меня не понял, – сказала мать, не зная, как оправдаться. – Ты меня не понял, Николинька. Я желаю твоего счастья, – прибавила она и почувствовала, что она говорит неправду, что она запуталась. – Она заплакала.
– Маменька, не плачьте, а только скажите мне, что вы этого хотите, и вы знаете, что я всю жизнь свою, всё отдам для того, чтобы вы были спокойны, – сказал Николай. Я всем пожертвую для вас, даже своим чувством.
Но графиня не так хотела поставить вопрос: она не хотела жертвы от своего сына, она сама бы хотела жертвовать ему.
– Нет, ты меня не понял, не будем говорить, – сказала она, утирая слезы.
«Да, может быть, я и люблю бедную девушку, говорил сам себе Николай, что ж, мне пожертвовать чувством и честью для состояния? Удивляюсь, как маменька могла мне сказать это. Оттого что Соня бедна, то я и не могу любить ее, думал он, – не могу отвечать на ее верную, преданную любовь. А уж наверное с ней я буду счастливее, чем с какой нибудь куклой Жюли. Пожертвовать своим чувством я всегда могу для блага своих родных, говорил он сам себе, но приказывать своему чувству я не могу. Ежели я люблю Соню, то чувство мое сильнее и выше всего для меня».
Николай не поехал в Москву, графиня не возобновляла с ним разговора о женитьбе и с грустью, а иногда и озлоблением видела признаки всё большего и большего сближения между своим сыном и бесприданной Соней. Она упрекала себя за то, но не могла не ворчать, не придираться к Соне, часто без причины останавливая ее, называя ее «вы», и «моя милая». Более всего добрая графиня за то и сердилась на Соню, что эта бедная, черноглазая племянница была так кротка, так добра, так преданно благодарна своим благодетелям, и так верно, неизменно, с самоотвержением влюблена в Николая, что нельзя было ни в чем упрекнуть ее.
Николай доживал у родных свой срок отпуска. От жениха князя Андрея получено было 4 е письмо, из Рима, в котором он писал, что он уже давно бы был на пути в Россию, ежели бы неожиданно в теплом климате не открылась его рана, что заставляет его отложить свой отъезд до начала будущего года. Наташа была так же влюблена в своего жениха, так же успокоена этой любовью и так же восприимчива ко всем радостям жизни; но в конце четвертого месяца разлуки с ним, на нее начинали находить минуты грусти, против которой она не могла бороться. Ей жалко было самое себя, жалко было, что она так даром, ни для кого, пропадала всё это время, в продолжение которого она чувствовала себя столь способной любить и быть любимой.
В доме Ростовых было невесело.


Пришли святки, и кроме парадной обедни, кроме торжественных и скучных поздравлений соседей и дворовых, кроме на всех надетых новых платьев, не было ничего особенного, ознаменовывающего святки, а в безветренном 20 ти градусном морозе, в ярком ослепляющем солнце днем и в звездном зимнем свете ночью, чувствовалась потребность какого нибудь ознаменования этого времени.
На третий день праздника после обеда все домашние разошлись по своим комнатам. Было самое скучное время дня. Николай, ездивший утром к соседям, заснул в диванной. Старый граф отдыхал в своем кабинете. В гостиной за круглым столом сидела Соня, срисовывая узор. Графиня раскладывала карты. Настасья Ивановна шут с печальным лицом сидел у окна с двумя старушками. Наташа вошла в комнату, подошла к Соне, посмотрела, что она делает, потом подошла к матери и молча остановилась.
– Что ты ходишь, как бесприютная? – сказала ей мать. – Что тебе надо?
– Его мне надо… сейчас, сию минуту мне его надо, – сказала Наташа, блестя глазами и не улыбаясь. – Графиня подняла голову и пристально посмотрела на дочь.
– Не смотрите на меня. Мама, не смотрите, я сейчас заплачу.
– Садись, посиди со мной, – сказала графиня.
– Мама, мне его надо. За что я так пропадаю, мама?… – Голос ее оборвался, слезы брызнули из глаз, и она, чтобы скрыть их, быстро повернулась и вышла из комнаты. Она вышла в диванную, постояла, подумала и пошла в девичью. Там старая горничная ворчала на молодую девушку, запыхавшуюся, с холода прибежавшую с дворни.
– Будет играть то, – говорила старуха. – На всё время есть.
– Пусти ее, Кондратьевна, – сказала Наташа. – Иди, Мавруша, иди.
И отпустив Маврушу, Наташа через залу пошла в переднюю. Старик и два молодые лакея играли в карты. Они прервали игру и встали при входе барышни. «Что бы мне с ними сделать?» подумала Наташа. – Да, Никита, сходи пожалуста… куда бы мне его послать? – Да, сходи на дворню и принеси пожалуста петуха; да, а ты, Миша, принеси овса.
– Немного овса прикажете? – весело и охотно сказал Миша.
– Иди, иди скорее, – подтвердил старик.
– Федор, а ты мелу мне достань.
Проходя мимо буфета, она велела подавать самовар, хотя это было вовсе не время.
Буфетчик Фока был самый сердитый человек из всего дома. Наташа над ним любила пробовать свою власть. Он не поверил ей и пошел спросить, правда ли?
– Уж эта барышня! – сказал Фока, притворно хмурясь на Наташу.
Никто в доме не рассылал столько людей и не давал им столько работы, как Наташа. Она не могла равнодушно видеть людей, чтобы не послать их куда нибудь. Она как будто пробовала, не рассердится ли, не надуется ли на нее кто из них, но ничьих приказаний люди не любили так исполнять, как Наташиных. «Что бы мне сделать? Куда бы мне пойти?» думала Наташа, медленно идя по коридору.
– Настасья Ивановна, что от меня родится? – спросила она шута, который в своей куцавейке шел навстречу ей.
– От тебя блохи, стрекозы, кузнецы, – отвечал шут.
– Боже мой, Боже мой, всё одно и то же. Ах, куда бы мне деваться? Что бы мне с собой сделать? – И она быстро, застучав ногами, побежала по лестнице к Фогелю, который с женой жил в верхнем этаже. У Фогеля сидели две гувернантки, на столе стояли тарелки с изюмом, грецкими и миндальными орехами. Гувернантки разговаривали о том, где дешевле жить, в Москве или в Одессе. Наташа присела, послушала их разговор с серьезным задумчивым лицом и встала. – Остров Мадагаскар, – проговорила она. – Ма да гас кар, – повторила она отчетливо каждый слог и не отвечая на вопросы m me Schoss о том, что она говорит, вышла из комнаты. Петя, брат ее, был тоже наверху: он с своим дядькой устраивал фейерверк, который намеревался пустить ночью. – Петя! Петька! – закричала она ему, – вези меня вниз. с – Петя подбежал к ней и подставил спину. Она вскочила на него, обхватив его шею руками и он подпрыгивая побежал с ней. – Нет не надо – остров Мадагаскар, – проговорила она и, соскочив с него, пошла вниз.
Как будто обойдя свое царство, испытав свою власть и убедившись, что все покорны, но что всё таки скучно, Наташа пошла в залу, взяла гитару, села в темный угол за шкапчик и стала в басу перебирать струны, выделывая фразу, которую она запомнила из одной оперы, слышанной в Петербурге вместе с князем Андреем. Для посторонних слушателей у ней на гитаре выходило что то, не имевшее никакого смысла, но в ее воображении из за этих звуков воскресал целый ряд воспоминаний. Она сидела за шкапчиком, устремив глаза на полосу света, падавшую из буфетной двери, слушала себя и вспоминала. Она находилась в состоянии воспоминания.
Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.
– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его , дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.


– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
Через полчаса в зале между другими ряжеными появилась еще старая барыня в фижмах – это был Николай. Турчанка был Петя. Паяс – это был Диммлер, гусар – Наташа и черкес – Соня, с нарисованными пробочными усами и бровями.
После снисходительного удивления, неузнавания и похвал со стороны не наряженных, молодые люди нашли, что костюмы так хороши, что надо было их показать еще кому нибудь.
Николай, которому хотелось по отличной дороге прокатить всех на своей тройке, предложил, взяв с собой из дворовых человек десять наряженных, ехать к дядюшке.
– Нет, ну что вы его, старика, расстроите! – сказала графиня, – да и негде повернуться у него. Уж ехать, так к Мелюковым.
Мелюкова была вдова с детьми разнообразного возраста, также с гувернантками и гувернерами, жившая в четырех верстах от Ростовых.
– Вот, ma chere, умно, – подхватил расшевелившийся старый граф. – Давай сейчас наряжусь и поеду с вами. Уж я Пашету расшевелю.
Но графиня не согласилась отпустить графа: у него все эти дни болела нога. Решили, что Илье Андреевичу ехать нельзя, а что ежели Луиза Ивановна (m me Schoss) поедет, то барышням можно ехать к Мелюковой. Соня, всегда робкая и застенчивая, настоятельнее всех стала упрашивать Луизу Ивановну не отказать им.
Наряд Сони был лучше всех. Ее усы и брови необыкновенно шли к ней. Все говорили ей, что она очень хороша, и она находилась в несвойственном ей оживленно энергическом настроении. Какой то внутренний голос говорил ей, что нынче или никогда решится ее судьба, и она в своем мужском платье казалась совсем другим человеком. Луиза Ивановна согласилась, и через полчаса четыре тройки с колокольчиками и бубенчиками, визжа и свистя подрезами по морозному снегу, подъехали к крыльцу.
Наташа первая дала тон святочного веселья, и это веселье, отражаясь от одного к другому, всё более и более усиливалось и дошло до высшей степени в то время, когда все вышли на мороз, и переговариваясь, перекликаясь, смеясь и крича, расселись в сани.
Две тройки были разгонные, третья тройка старого графа с орловским рысаком в корню; четвертая собственная Николая с его низеньким, вороным, косматым коренником. Николай в своем старушечьем наряде, на который он надел гусарский, подпоясанный плащ, стоял в середине своих саней, подобрав вожжи.
Было так светло, что он видел отблескивающие на месячном свете бляхи и глаза лошадей, испуганно оглядывавшихся на седоков, шумевших под темным навесом подъезда.
В сани Николая сели Наташа, Соня, m me Schoss и две девушки. В сани старого графа сели Диммлер с женой и Петя; в остальные расселись наряженные дворовые.
– Пошел вперед, Захар! – крикнул Николай кучеру отца, чтобы иметь случай перегнать его на дороге.
Тройка старого графа, в которую сел Диммлер и другие ряженые, визжа полозьями, как будто примерзая к снегу, и побрякивая густым колокольцом, тронулась вперед. Пристяжные жались на оглобли и увязали, выворачивая как сахар крепкий и блестящий снег.
Николай тронулся за первой тройкой; сзади зашумели и завизжали остальные. Сначала ехали маленькой рысью по узкой дороге. Пока ехали мимо сада, тени от оголенных деревьев ложились часто поперек дороги и скрывали яркий свет луны, но как только выехали за ограду, алмазно блестящая, с сизым отблеском, снежная равнина, вся облитая месячным сиянием и неподвижная, открылась со всех сторон. Раз, раз, толконул ухаб в передних санях; точно так же толконуло следующие сани и следующие и, дерзко нарушая закованную тишину, одни за другими стали растягиваться сани.
– След заячий, много следов! – прозвучал в морозном скованном воздухе голос Наташи.
– Как видно, Nicolas! – сказал голос Сони. – Николай оглянулся на Соню и пригнулся, чтоб ближе рассмотреть ее лицо. Какое то совсем новое, милое, лицо, с черными бровями и усами, в лунном свете, близко и далеко, выглядывало из соболей.
«Это прежде была Соня», подумал Николай. Он ближе вгляделся в нее и улыбнулся.
– Вы что, Nicolas?
– Ничего, – сказал он и повернулся опять к лошадям.
Выехав на торную, большую дорогу, примасленную полозьями и всю иссеченную следами шипов, видными в свете месяца, лошади сами собой стали натягивать вожжи и прибавлять ходу. Левая пристяжная, загнув голову, прыжками подергивала свои постромки. Коренной раскачивался, поводя ушами, как будто спрашивая: «начинать или рано еще?» – Впереди, уже далеко отделившись и звеня удаляющимся густым колокольцом, ясно виднелась на белом снегу черная тройка Захара. Слышны были из его саней покрикиванье и хохот и голоса наряженных.
– Ну ли вы, разлюбезные, – крикнул Николай, с одной стороны подергивая вожжу и отводя с кнутом pуку. И только по усилившемуся как будто на встречу ветру, и по подергиванью натягивающих и всё прибавляющих скоку пристяжных, заметно было, как шибко полетела тройка. Николай оглянулся назад. С криком и визгом, махая кнутами и заставляя скакать коренных, поспевали другие тройки. Коренной стойко поколыхивался под дугой, не думая сбивать и обещая еще и еще наддать, когда понадобится.
Николай догнал первую тройку. Они съехали с какой то горы, выехали на широко разъезженную дорогу по лугу около реки.
«Где это мы едем?» подумал Николай. – «По косому лугу должно быть. Но нет, это что то новое, чего я никогда не видал. Это не косой луг и не Дёмкина гора, а это Бог знает что такое! Это что то новое и волшебное. Ну, что бы там ни было!» И он, крикнув на лошадей, стал объезжать первую тройку.
Захар сдержал лошадей и обернул свое уже объиндевевшее до бровей лицо.
Николай пустил своих лошадей; Захар, вытянув вперед руки, чмокнул и пустил своих.
– Ну держись, барин, – проговорил он. – Еще быстрее рядом полетели тройки, и быстро переменялись ноги скачущих лошадей. Николай стал забирать вперед. Захар, не переменяя положения вытянутых рук, приподнял одну руку с вожжами.
– Врешь, барин, – прокричал он Николаю. Николай в скок пустил всех лошадей и перегнал Захара. Лошади засыпали мелким, сухим снегом лица седоков, рядом с ними звучали частые переборы и путались быстро движущиеся ноги, и тени перегоняемой тройки. Свист полозьев по снегу и женские взвизги слышались с разных сторон.
Опять остановив лошадей, Николай оглянулся кругом себя. Кругом была всё та же пропитанная насквозь лунным светом волшебная равнина с рассыпанными по ней звездами.
«Захар кричит, чтобы я взял налево; а зачем налево? думал Николай. Разве мы к Мелюковым едем, разве это Мелюковка? Мы Бог знает где едем, и Бог знает, что с нами делается – и очень странно и хорошо то, что с нами делается». Он оглянулся в сани.
– Посмотри, у него и усы и ресницы, всё белое, – сказал один из сидевших странных, хорошеньких и чужих людей с тонкими усами и бровями.
«Этот, кажется, была Наташа, подумал Николай, а эта m me Schoss; а может быть и нет, а это черкес с усами не знаю кто, но я люблю ее».
– Не холодно ли вам? – спросил он. Они не отвечали и засмеялись. Диммлер из задних саней что то кричал, вероятно смешное, но нельзя было расслышать, что он кричал.
– Да, да, – смеясь отвечали голоса.
– Однако вот какой то волшебный лес с переливающимися черными тенями и блестками алмазов и с какой то анфиладой мраморных ступеней, и какие то серебряные крыши волшебных зданий, и пронзительный визг каких то зверей. «А ежели и в самом деле это Мелюковка, то еще страннее то, что мы ехали Бог знает где, и приехали в Мелюковку», думал Николай.
Действительно это была Мелюковка, и на подъезд выбежали девки и лакеи со свечами и радостными лицами.
– Кто такой? – спрашивали с подъезда.
– Графские наряженные, по лошадям вижу, – отвечали голоса.


Пелагея Даниловна Мелюкова, широкая, энергическая женщина, в очках и распашном капоте, сидела в гостиной, окруженная дочерьми, которым она старалась не дать скучать. Они тихо лили воск и смотрели на тени выходивших фигур, когда зашумели в передней шаги и голоса приезжих.
Гусары, барыни, ведьмы, паясы, медведи, прокашливаясь и обтирая заиндевевшие от мороза лица в передней, вошли в залу, где поспешно зажигали свечи. Паяц – Диммлер с барыней – Николаем открыли пляску. Окруженные кричавшими детьми, ряженые, закрывая лица и меняя голоса, раскланивались перед хозяйкой и расстанавливались по комнате.