Вероятностное пространство

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.





Определение

Вероятностное пространство — это тройка <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> (иногда обрамляемая угловыми скобками: <math>\langle,\rangle</math>), где

Замечания

  • Элементарные события (элементы <math>\Omega</math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент <math>\mathfrak{A}</math>) — это подмножество <math>\Omega</math>. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие <math>A\subseteq\Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.
    Требование, что <math>\mathfrak{A}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega</math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть <math>\Omega</math> — конечное множество, содержащее <math>\vert\Omega\vert = n</math> элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств <math>\Omega</math>. Его часто символически обозначают <math>2^{\Omega}</math>. Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно <math>2^{\vert \Omega \vert}</math>, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

<math>\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}</math>,

где <math>A\subset\Omega</math>, и <math>\vert A \vert = n_A</math> — число элементарных исходов, принадлежащих <math>A</math>. В частности, вероятность любого элементарного события:

<math> \mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.</math>

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба (<math>\Gamma</math>) и выпадение решки (<math>\mathrm{P}</math>), то есть <math>\Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}.</math> Тогда <math>\mathfrak{A} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\},</math> и вероятность можно посчитать следующим образом:

<math> \mathbb{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathbb{P}(\varnothing) = 0. </math>

Таким образом определена тройка <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

Напишите отзыв о статье "Вероятностное пространство"

Отрывок, характеризующий Вероятностное пространство

Выражение: «началось! вот оно!» было даже и на крепком карем лице князя Багратиона с полузакрытыми, мутными, как будто невыспавшимися глазами. Князь Андрей с беспокойным любопытством вглядывался в это неподвижное лицо, и ему хотелось знать, думает ли и чувствует, и что думает, что чувствует этот человек в эту минуту? «Есть ли вообще что нибудь там, за этим неподвижным лицом?» спрашивал себя князь Андрей, глядя на него. Князь Багратион наклонил голову, в знак согласия на слова князя Андрея, и сказал: «Хорошо», с таким выражением, как будто всё то, что происходило и что ему сообщали, было именно то, что он уже предвидел. Князь Андрей, запихавшись от быстроты езды, говорил быстро. Князь Багратион произносил слова с своим восточным акцентом особенно медленно, как бы внушая, что торопиться некуда. Он тронул, однако, рысью свою лошадь по направлению к батарее Тушина. Князь Андрей вместе с свитой поехал за ним. За князем Багратионом ехали: свитский офицер, личный адъютант князя, Жерков, ординарец, дежурный штаб офицер на энглизированной красивой лошади и статский чиновник, аудитор, который из любопытства попросился ехать в сражение. Аудитор, полный мужчина с полным лицом, с наивною улыбкой радости оглядывался вокруг, трясясь на своей лошади, представляя странный вид в своей камлотовой шинели на фурштатском седле среди гусар, казаков и адъютантов.
– Вот хочет сраженье посмотреть, – сказал Жерков Болконскому, указывая на аудитора, – да под ложечкой уж заболело.
– Ну, полно вам, – проговорил аудитор с сияющею, наивною и вместе хитрою улыбкой, как будто ему лестно было, что он составлял предмет шуток Жеркова, и как будто он нарочно старался казаться глупее, чем он был в самом деле.
– Tres drole, mon monsieur prince, [Очень забавно, мой господин князь,] – сказал дежурный штаб офицер. (Он помнил, что по французски как то особенно говорится титул князь, и никак не мог наладить.)
В это время они все уже подъезжали к батарее Тушина, и впереди их ударилось ядро.
– Что ж это упало? – наивно улыбаясь, спросил аудитор.
– Лепешки французские, – сказал Жерков.
– Этим то бьют, значит? – спросил аудитор. – Страсть то какая!
И он, казалось, распускался весь от удовольствия. Едва он договорил, как опять раздался неожиданно страшный свист, вдруг прекратившийся ударом во что то жидкое, и ш ш ш шлеп – казак, ехавший несколько правее и сзади аудитора, с лошадью рухнулся на землю. Жерков и дежурный штаб офицер пригнулись к седлам и прочь поворотили лошадей. Аудитор остановился против казака, со внимательным любопытством рассматривая его. Казак был мертв, лошадь еще билась.
Князь Багратион, прищурившись, оглянулся и, увидав причину происшедшего замешательства, равнодушно отвернулся, как будто говоря: стоит ли глупостями заниматься! Он остановил лошадь, с приемом хорошего ездока, несколько перегнулся и выправил зацепившуюся за бурку шпагу. Шпага была старинная, не такая, какие носились теперь. Князь Андрей вспомнил рассказ о том, как Суворов в Италии подарил свою шпагу Багратиону, и ему в эту минуту особенно приятно было это воспоминание. Они подъехали к той самой батарее, у которой стоял Болконский, когда рассматривал поле сражения.