Вероятность

Вероя́тность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от <math>0</math> до <math>1</math>. Значение <math>1</math> соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна <math>p</math>, то вероятность его ненаступления равна <math>1-p</math>. В частности, вероятность <math>1/2</math> означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений — например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

История

Предыстория понятия вероятности

Необходимость понятия вероятности и исследований в этом направлении была исторически связана с азартными играми, особенно с играми в кости. До появления понятия вероятности формулировались в основном комбинаторные задачи подсчета числа возможных исходов при бросании нескольких костей, а также задача раздела ставки между игроками, когда игра закончена досрочно. Первую задачу при бросании трех костей «решил» в 960 году епископ Виболд из г. Камбрэ. Он насчитал 56 вариантов. Однако это количество по сути не отражает количество равновероятных возможностей, поскольку каждый из 56 вариантов может реализоваться разным количеством способов. В первой половине 13 века эти аспекты учел Ришар де Форниваль. Несмотря на то, что у него тоже фигурирует число 56, но он в рассуждениях учитывает, что, например, «одинаковое количество очков на трех костях можно получить шестью способами». Основываясь на его рассуждениях уже можно установить, что число равновозможных вариантов — 216. В дальнейшем многие не совсем верно решали эту задачу. Впервые четко количество равновозможных исходов при подбрасывании трех костей подсчитал Галилео Галилей, возводя шестерку (количество вариантов выпадения одной кости) в степень 3 (количество костей): 6³=216. Он же составил таблицы количества способов получения различных сумм очков.

Задачи второго типа в конце 15 века сформулировал и предложил первое (вообще говоря ошибочное) решение Лука Пачоли. Его решение заключалось в делении ставки пропорционально уже выигранным партиям. Существенное дальнейшее продвижение в начале 16 века связано с именами итальянских ученых Джероламо Кардано и Н. Тарталья. Кардано дал правильный подсчет количества случаев при бросании двух костей (36). Он также впервые соотнес количество случаев выпадения некоторого числа хотя бы на одной кости (11) к общему числу исходов (что соответствует классическому определению вероятности) — 11/36. Аналогично и для трех костей он рассматривал, например, что девять очков может получиться количеством способов, равным 1/9 «всей серии» (то есть общего количества равновозможных исходов — 216). Кардано формально не вводил понятие вероятности, но по существу рассматривал относительное количество исходов, что по сути эквивалентно рассмотрению вероятностей. Необходимо также отметить, что в зачаточном состоянии у Кардано можно найти также идеи, связанные с законом больших чисел. По поводу задачи деления ставки Кардано предлагал учитывать количество оставшихся партий, которые надо выиграть. Н. Тарталья также сделал замечания по поводу решения Луки и предложил своё решение (вообще говоря, тоже ошибочное).

Заслуга Галилея также заключается в расширении области исследований на область ошибок наблюдений. Он впервые указал на неизбежность ошибок и классифицировал их на систематические и случайные (такая классификация применяется и сейчас).

Возникновение понятия и теории вероятностей

Первые работы о вероятности относятся к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и нидерландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год).

В XVIII в. — начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов. Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышёва, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрии), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

Определения вероятности

Классическое определение

Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения «решки» перед «орлом» или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

<math>P(A)=\frac {n}{N}</math>

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно 36 (так как на каждый из 6 возможных исходов одной кости возможно по 6 вариантов исхода другой). Оценим вероятность выпадения семи очков. Получить 7 очков можно лишь при следующих сочетаниях исходов броска двух костей: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих получению 7 очков, из 36 возможных исходов броска костей. Следовательно, вероятность будет равна 6/36 или, если сократить, 1/6. Для сравнения: вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 — в 6 раз меньше.

Геометрическое определение

Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум, не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно «подброшенная» «точка» с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случае, обобщая классическое определение, можно прийти к геометрическому определению вероятности попадания в подобласть <math>g</math>:

<math>P(A)=\frac {s}{S}</math>

В виду равновозможности вероятность эта не зависит от формы области g, она зависит только от её площади. Данное определение естественно можно обобщить и на пространство любой размерности, где вместо площади использовать понятие «объёма». Более того, именно такое определение приводит к современному аксиоматическому определению вероятности. Понятие объёма обобщается до понятия меры некоторого абстрактного множества, к которой предъявляются требования, которыми обладает и «объём» в геометрической интерпретации — в первую очередь, это неотрицательность и аддитивность.

Частотное (статистическое) определение

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно, существует явно не равновероятная возможность выпадения «ребра», которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное «частотное» определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

<math>P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac {n}{N},</math>

где <math>N</math> — количество наблюдений, а <math>n</math> — количество наступлений события <math>A</math>.

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности — путём большого количества однородных и независимых наблюдений — тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к <math>p</math> (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Аксиоматическое определение

В современном математическом подходе вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Предполагается, что задано некоторое пространство элементарных событий <math>X</math>. Подмножества этого пространства интерпретируются как случайные события. Объединение (сумма) некоторых подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Пересечение (произведение) подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении всех этих событий. Непересекающиеся множества интерпретируются как несовместные события (их совместное наступление невозможно). Соответственно, пустое множество означает невозможное событие.

Вероятностью (вероятностной мерой) называется мера (числовая функция) <math>\mathbf P</math>, заданная на множестве событий, обладающая следующими свойствами:

• Неотрицательность: <math>\forall A \subset X \colon \mathbf P(A) \geqslant 0</math>,
• Аддитивность: вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, если <math>A_i A_j=\varnothing</math> при <math>i\ne j</math>, то <math>P(\sum_{i} A_i) = \sum_{i}\mathbf P(A_i)</math>.
• Конечность (ограниченность единицей): <math>\mathbf P(X) = 1</math>,

В случае если пространство элементарных событий X конечно, то достаточно указанного условия аддитивности для произвольных двух несовместных событий, из которого будет следовать аддитивность для любого конечного количества несовместных событий. Однако, в случае бесконечного (счётного или несчётного) пространства элементарных событий этого условия оказывается недостаточно. Требуется так называемая счётная или сигма-аддитивность, то есть выполнение свойства аддитивности для любого не более чем счётного семейства попарно несовместных событий. Это необходимо для обеспечения «непрерывности» вероятностной меры.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества <math>X</math>. Предполагается, что она определена на некоторой сигма-алгебре <math>\Omega</math> подмножеств. Эти подмножества называются измеримыми по данной вероятностной мере и именно они являются случайными событиями. Совокупность <math>(X,\Omega,P)</math> — то есть множество элементарных событий, сигма-алгебра его подмножеств и вероятностная мера — называется вероятностным пространством.

Свойства вероятности

Основные свойства вероятности проще всего определить, исходя из аксиоматического определения вероятности.

1) вероятность невозможного события (пустого множества <math>\varnothing</math>) равна нулю:

<math>\mathbf{P}\{\varnothing\}=0;</math>

Это следует из того, что каждое событие можно представить как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.

2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть <math>A \subset B</math>, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то:

<math>\mathbf{P}\{A\}\leqslant\mathbf{P}\{B\};</math>

Это следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие <math>B</math>, возможно, «содержит» кроме события <math>A</math> ещё какие-то другие события, несовместные с <math>A</math>.

3) вероятность каждого события <math>A</math> находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам:

<math>0\leqslant\mathbf{P}\{A\}\leqslant1;</math>

Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в <math>X</math>, а для <math>X</math> аксиоматически предполагается <math>\mathbf{P}\{X\}=1</math>.

4) вероятность наступления события <math>B\setminus A</math>, где <math>A \subset B</math>, заключающегося в наступлении события <math>B</math> при одновременном ненаступлении события <math>A</math>, равна:

<math>\mathbf{P}\{B\setminus A\}=\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{A\};</math>

Это следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события <math>A</math> и <math>B \setminus A</math> являются несовместными по условию, а их сумма равна событию <math>B</math>.

5) вероятность события <math>\bar{A}</math>, противоположного событию <math>A</math>, равна:

<math>\mathbf{P}\{\bar{A}\}=1-\mathbf{P}\{A\};</math>

Это следует из предыдущего свойства, если в качестве множества <math>B</math> использовать всё пространство <math>X</math> и учесть, что <math>\mathbf{P}\{X\}=1</math>.

6) (теорема сложения вероятностей) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий <math>A</math> и <math>B</math> равна:

<math>\mathbf{P}\{A+B\}=\mathbf{P}\{A\}+\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{AB\}.</math>

Это свойство можно получить, если представить объединение двух произвольных множеств как объединение двух непересекающихся — первого и разности между вторым и пересечением исходных множеств: <math>A+B=A+(B \setminus (AB))</math>. Отсюда учитывая аддитивность вероятности для непересекающихся множеств и формулу для вероятности разности (см. свойство 4) множеств, получаем требуемое свойство.

Условная вероятность

Формула Байеса

Вероятность наступления события <math>A</math>, при условии наступления события <math>B</math>, называется условной вероятностью <math>A</math> (при данном условии) и обозначается <math>P(A|B)</math>. Наиболее просто вывести формулу определения условной вероятности исходя из классического определения вероятности. Для данных двух событий <math>A</math> и <math>B</math> рассмотрим следующий набор несовместных событий: <math>A\overline{B}, AB, \overline{A}B, \overline{A}\cdot \overline{B}</math>, которые исчерпывают все возможные варианты исходов (такой набор событий называют полным — см. ниже). Общее количество равновозможных исходов равно <math>n</math>. Если событие <math>B</math> уже наступило, то равновозможные исходы ограничивается лишь двумя событиями <math>AB, \overline{A}B</math>, что эквивалентно событию <math>B</math>. Пусть количество этих исходов равно <math>n_B</math>. Из этих исходов событию <math>A</math> благоприятствуют лишь те, что связаны с событием <math>AB</math>. Количество соответствующих исходов обозначим <math>n_{AB}</math>. Тогда согласно классическому определению вероятности вероятность события <math>A</math> при условии наступления события <math>B</math> будет равна <math>P(A|B)=n_{AB}/n_B</math>, разделив числитель и знаменатель на общее количество равновозможных исходов <math>n</math> и повторно учитывая классическое определение, окончательно получим формулу условной вероятности:

<math>P(A|B)=\frac {P(AB)} {P(B)}</math>.

Отсюда следует так называемая теорема умножения вероятностей:

<math>P(AB)=P(B)P(A|B)</math>.

В силу симметрии, аналогично можно показать, что также <math>P(AB)=P(A)P(B|A)</math>, отсюда следует формула Байеса:

<math>P(A|B)=\frac {P(A)P(B|A)}{P(B)}</math>

Независимость событий

События A и B называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило ли другое событие. С учетом понятия условной вероятности это означает, что <math>P(A|B)=P(A)</math>, откуда следует, что для независимых событий выполняется равенство

<math>P(AB)=P(A)P(B).</math>

В рамках аксиоматического подхода данная формула принимается как определение понятия независимости двух событий. Для произвольной (конечной) совокупности событий <math>A_i</math> их независимость в совокупности означает, что вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

<math>P(A_1A_2\times\ldots\times A_n)=P(A_1)P(A_2)\times\ldots\times P(A_n).</math>

Выведенная (в рамках классического определения вероятности) выше формула условной вероятности при аксиоматическом определении вероятности является определением условной вероятности. Соответственно, как следствие определений независимых событий и условной вероятности, получается равенство условной и безусловной вероятностей события.

Полная вероятность и формула Байеса

Набор событий <math>A_j</math>, хотя бы одно из которых обязательно (с единичной вероятностью) наступит в результате испытания, называется полным. Это означает, что набор таких событий исчерпывает все возможные варианты исходов. Формально в рамках аксиоматического подхода это означает, что <math>\sum_i A_i=X</math>. Если эти события несовместны, то в рамках классического определения это означает, что сумма количеств элементарных событий, благоприятствующих тому или иному событию, равно общему количеству равновозможных исходов.

Пусть имеется полный набор попарно несовместных событий <math>A_i</math>. Тогда для любого события <math>B</math> верна следующая формула расчета его вероятности (формула полной вероятности):

<math>P(B)=\sum^n_{i=1} P(B|A_i)P(A_i)</math>

Тогда вышеописанную формулу Байеса с учетом полной вероятности можно записать в следующем виде:

<math>P(A_j|B)=\frac {P(A_j)P(B|A_j)}{\sum^n_{i=1} P(A_i)P(B|A_i)}</math>

Данная формула является основой альтернативного подхода к вероятности — байесовского или субъективного подхода (см. ниже).

Вероятность и случайные величины

Важнейший частный случай применения «вероятности» — вероятность получения в результате испытания или наблюдения того или иного числового значения некоторой измеряемой (наблюдаемой) величины. Предполагается, что до проведения испытания (наблюдения) точное значение этой величины неизвестно, то есть имеется явная неопределенность, связанная обычно (за исключением квантовой физики) с невозможностью учета всех факторов, влияющих на результат. Такие величины называют случайными. В современной теории вероятностей понятие случайной величины формализуется и она определяется как функция «случая» — функция на пространстве элементарных событий. При таком определении наблюдаются не сами элементарные события, а «реализации», конкретные значения случайной величины. Например, при подбрасывании монетки выпадает «решка» или «орел». Если ввести функцию, ставящую в соответствие «решке» — число 1, а «орлу» — 0, то получим случайную величину как функцию указанных исходов. При этом понятие случайной величины обобщается на функции, отображающие пространство элементарных событий в некоторое пространство произвольной природы, соответственно можно ввести понятия случайного вектора, случайного множества и т. д. Однако, обычно под случайной величиной подразумевают именно числовую функцию (величину).

Отвлекаясь от описанной формализации под пространством элементарных событий можно понимать множество возможных значений случайной величины. Сигма-алгеброй подмножеств являются произвольные интервалы на числовой оси, их всевозможные (счетные) объединения и пересечения. Вероятностную меру называют в данном случае распределением случайной величины. Достаточно задать вероятностную меру для интервалов вида <math>(-\infty;x)</math>, поскольку произвольный интервал можно представить как объединение или пересечение таких интервалов. Предполагается, что каждому интервалу вышеуказаного вида поставлена в соответствие некоторая вероятность <math>F(x)=P(X<x)</math>, то есть некоторая функция возможных значений <math>x</math>. Такую функцию называют интегральной, кумулятивной или просто функцией распределения случайной величины. В случае дифференцируемости этой функции (в этом случае соответствующие случайные величины называются непрерывными) вводится также аналитически часто более удобная функция — плотность распределения — производная функции распределения: <math>f(x)=F'(x)</math>. В случае дискретных случайных величин вместо плотности (она не существует в этом случае) можно использовать непосредственно ряд распределения <math>p_i</math> — вероятность <math>i</math>-го значения. Соответствующая функция распределения будет связана с рядом распределения как: <math>F(x)=\sum_{x_i<x} p_i</math>. Вероятность того, что случайная величина окажется в некотором интервале <math>(x_1,x_2)</math> определяется как разность значений функции распределения на концах этого интервала. Через плотность распределения — это соответствующий интеграл от плотности на данном интервале (для дискретной случайной величины — просто сумма вероятностей значений из этого интервала).

Распределение случайной величины дает её полную характеристику. Однако, часто используют отдельные характеристики этого распределения. В первую очередь это математическое ожидание случайной величины — среднее ожидаемое значение случайной величины с учетом взвешивания по вероятностям появления тех или иных значений, и дисперсия или вариация — средний квадрат отклонения случайной величины от её математического ожидания. В некоторых случаях используются и иные характеристики, среди которых важное значение имеют асимметрия и эксцесс. Описанные показатели являются частными случаями так называемых моментов распределения.

Существуют некоторые стандартные законы распределения, часто используемые на практике. В первую очередь — это нормальное распределение (распределение Гаусса). Оно полностью характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием и дисперсией. Его широкое использование связано, в частности, с так называемыми предельными теоремами (см. ниже). При проверке гипотез часто возникают распределения Хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера. При анализе дискретных случайных величин рассматриваются биномиальное распределение, распределение Пуассона и др. Также часто рассматривается гамма-распределение, частным случаем которого является экспоненциальное распределение, а также указанное выше распределение Хи-квадрат Естественно, используемые на практике распределения не ограничиваются только этими распределениями.

Часто на практике исходя из априорных соображений делается предположение, что распределение вероятностей данной случайной величины относится к некоторому известному с точностью до параметров распределению. Например, к тому же нормальному распределению, но с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией (эти два параметра однозначно определяют все нормальное распределение). Задачей статистических наук (математическая статистика, эконометрика и т. д.) в таком случае является оценка значений этих параметров наиболее эффективным (точным) способом. Существуют критерии, с помощью которых можно установить степень «истинности» соответствующих методов оценки. Обычно требуется как минимум состоятельность оценки, несмещенность и эффективность в некотором классе оценок.

На практике применяются также непараметрические методы оценки распределений.

Законы больших чисел

Важнейшее значение в теории вероятностей и в её приложениях имеет группа теорем, объединяемых обычно под названием «закон больших чисел» или предельных теорем. Не прибегая к строгим формулировкам, можно сказать, например, что при некоторых слабых условиях среднее значение независимых одинаково распределенных случайных величин стремится к их математическому ожиданию при достаточно большом количестве этих случайных величин. Если в качестве совокупности случайных величин рассматривать независимые наблюдения одной и той же случайной величины, то это означает, что среднее по выборочным наблюдениям должно стремиться к истинному (неизвестному) математическому ожиданию этой случайной величины. Это закон больших чисел в форме Чебышёва. Это даёт основу для получения соответствующих оценок.

Весьма частным, но очень важным случаем является схема Бернулли — независимые испытания, в результате которых некоторое событие либо происходит, либо нет. Предполагается, что в каждом испытании вероятность наступления события одинакова и равна <math>p</math> (но она неизвестна). Эту схему можно свести к средней величине, если ввести формальную случайную величину X, являющуюся индикатором наступления события: она равна 1 при наступлении события и 0 при ненаступлении события. Для такой случайной величины математическое ожидание также равно <math>p</math>. Тогда среднее значение такой случайной величины — это фактически частота наступления события <math>A</math>. Согласно вышеуказанной теореме это среднее (частота) должно стремиться к истинному математическому ожиданию этой случайной величины, то есть к неизвестной вероятности <math>p</math>. Таким образом, с увеличением количества наблюдений частоту наступления события можно использовать в качестве хорошей оценки неизвестной вероятности. Это так называемый закон больших чисел Бернулли. Это закон был исторически первым законом больших чисел. Более строго можно как минимум утверждать, что вероятность того, что частота будет отклоняться от <math>p</math> на некоторую величину <math>\varepsilon</math>, стремится к нулю для любых значений <math>\varepsilon</math>. Более общий результат (теорема Гливенко — Кантелли) заключается в том, что эмпирическое распределение в целом стремится к истинному распределению вероятностей с ростом количества наблюдений.

Наряду с указанными теоремами существует так называемая центральная предельная теорема, которая дает предельное распределение вероятностей для средней, а именно, при определенных слабых условиях среднее значение наблюдений случайной величины при достаточно большом количестве наблюдений имеют нормальное распределение (независимо от исходного распределения самой случайной величины). Например, такое имеет место для среднего значения независимых одинаково распределенных случайных величин. В частности эта теорема применима и к схеме Бернулли. Вообще количество появлений события A в n испытаниях имеет биномиальное распределение, однако при достаточно большом количестве наблюдений это распределение согласно указанной теореме стремится к нормальному распределению в данном случае с математическим ожиданием <math>np</math> и дисперсией <math>np(1-p)</math>, где <math>p</math> — вероятность появления события А в каждом испытании. Это утверждается в локальной и интегральной теоремах Муавра-Лапласа. Отсюда же следует и указанный выше вывод, а именно: среднее значение случайной величины-индикатора события — то есть частота появления события в испытаниях — будет иметь в пределе математическое ожидание <math>p</math> и дисперсию <math>p(1-p)/n</math>, которая стремится к нулю с ростом количества испытаний. Таким образом, частота стремится к истинной вероятности наступления события при увеличении количества независимых испытаний, причем мы знаем распределение частоты при достаточно большом количестве наблюдений.

Байесовский подход к вероятности

В основе вышеописанного объективного (частотного) подхода лежит предположение о наличии объективной неопределенности, присущей изучаемым явлениям. В альтернативном байесовском подходе неопределенность трактуется субъективно — как мера нашего незнания. В рамках байесовского подхода под вероятностью понимается степень уверенности в истинности суждения — субъективная вероятность.

Идея байесовского подхода заключается в переходе от априорных знаний к апостерирорным с учетом наблюдаемых явлений. Суть байесовского подхода следует из описанной выше формулы Байеса. Пусть имеются полный набор гипотез <math>A_i</math>, причем из априорных соображений оценены вероятности справедливости этих гипотез (степень уверенности в них). Полнота набора означает, что хотя бы одна из этих гипотез верна и сумма априорных вероятностей <math>p(A_i)</math> равна 1. Также для изучаемого события <math>B</math> из априорных соображений известны вероятности <math>P(B|A_i)</math> — вероятности наступления события <math>B</math>, при условии справедливости гипотезы <math>A_i</math>. Тогда с помощью формулы Байеса можно определить апостериорные вероятности <math>P(A_j|B)</math> — то есть степень уверенности в справедливости гипотезы <math>A_j</math> после того, как событие <math>B</math> произошло. Собственно, процедуру можно повторить принимая новые вероятности за априорные и снова делая испытание, тем самым итеративно уточняя апостериорные вероятности гипотез.

В частности в отличие от базового подхода к оценке распределений случайных величин, где предполагается, что на основе наблюдений оцениваются значения неизвестных параметров распределений, в байесовском подходе предполагается что параметры — тоже случайные величины (с точки зрения нашего незнания их значений). В качестве гипотез выступают те или иные возможные значения параметров и предполагаются данными некоторые априорные плотности неизвестных параметров <math>p(\theta)</math>. В качестве оценки неизвестных параметров выступает апостериорное распределение. Пусть в результате наблюдений получены некоторые значения <math>x</math> изучаемой случайной величины. Тогда для значений данной выборки предполагая известным правдоподобие — вероятность (плотность) получения данной выборки при данных значениях параметров <math>p(x|\theta)</math>, по формуле Байеса (в данном случае непрерывный аналог этой формулы, где вместо вероятностей участвуют плотности, а суммирование заменено интегрированием) получим апостериорную вероятность (плотность) <math>p(\theta|x)</math> параметров при данной выборке.

Вероятность, информация и энтропия

Пусть имеется <math>N</math> равновероятных исходов. Степень неопределенности опыта в этой ситуации можно характеризовать числом <math>H=\log_2 N</math>. Этот показатель, введенный инженером-связистом Хартли в 1928 году характеризует информацию, которую необходимо иметь, чтобы знать какой именно из <math>N</math> равновозможных вариантов имеет место, то есть свести неопределенность опыта к нулю. Простейший способ выяснить это — задать вопросы типа «номер исхода меньше половины N», если да, то аналогичный вопрос можно задать и для одной из половин (в зависимости от ответа на вопрос) и т. д. Ответ на каждый подобный вопрос сокращает неопределенность. Всего таких вопросов для полного снятия неопределенности понадобится как раз <math>H</math>. Более формально, номера исходов можно представить в двоичной системе счисления, тогда <math>H</math> — это количество необходимых разрядов для такого представления, то есть количество информации в битах, с помощью которого можно закодировать реализацию равновозможных исходов. В общем случае, единица информации может быть и иной, поэтому логарифм теоретически можно использовать с любым основанием.

В общем случае (исходы не обязательно равновероятны) количество информации, связанное с реализацией одного из <math>N</math> исходов, вероятности которых равны <math>p_i</math> (предполагается <math>\sum_ip_i=1</math>) определяется следующим образом (формула Шеннона):

<math>H=\sum_i p_i\log\frac {1}{p_i}=-\sum_i p_i\log p_i=-E(\log p)</math>

где <math>E</math> — знак математического ожидания.

Очевидно, при равновероятности всех исходов (<math>p_i=1/N</math>) получаем уже известное соотношение <math>H=\log N</math>. Для непрерывной случайной величины в этой формуле необходимо использовать вместо вероятностей — функцию плотности распределения и вместо суммы — соответствующий интеграл.

Указанную величину называют информацией, информационным количеством, информационной энтропией и т. д. Необходимо отметить, что такое определение информации абстрагируется от какого-либо содержания информации, содержания конкретных исходов. Информационное количество определяется только на основе вероятностей. Величину <math>H</math> Шеннон назвал энтропией в связи со схожестью с термодинамической энтропией. Последнее понятие впервые ввел Рудольф Клаузис в 1865 году, а вероятностное толкование энтропии дал Людвиг Больцман в 1877 году. Энтропия макроскопической системы — это мера числа возможных микросостояний для данного макросостояния (более конкретно она пропорциональна логарифму количества микросостояний — статистическому весу) или мера «внутреннего беспорядка» макросистемы.

Вероятность и квантовая физика

В квантовой механике состояние системы (частицы) характеризуется волновой функцией (вообще говоря вектором состояния) — комплекснозначной функцией «координат», квадрат модуля которого интерпретируется как плотность вероятности получения заданных значений «координат». Согласно современным представлениям вероятностное определение состояния является полным и причиной вероятностного характера квантовой физики не являются какие-либо «скрытые» факторы — это связано с природой самих процессов. В квантовой физике оказываются возможными любые взаимопревращения различных частиц, не запрещенные теми или иными законами сохранения. И эти взаимопревращения подчиняются закономерностям — вероятностным закономерностям. По современным представлениям принципиально невозможно предсказать ни момент взаимопревращения, ни конкретный результат. Можно лишь говорить о вероятностях тех или иных процессов превращения. Вместо точных классических величин в квантовой физике возможна только оценка средних значений (математических ожиданий) этих величин, например, среднее время жизни частицы.

Вероятность в других сферах

Кроме вопроса о вероятности факта, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда, вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм).

См. также

• Мера множества
• Риск
• Формула полной вероятности
• Формула Бернулли
• Условная вероятность
• Случайная величина
• Случайность
• Измерение (квантовая механика)
• Квантовая вероятность
• Принцип неопределённости
• Вероятность перехода
• Парадокс закономерности
• Метод Монте-Карло

Литература

• [istmat.info/node/30131 Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970]
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
• Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.
• [yunc.org/%D0%92%D0%95%D0%A0%D0%9E%D0%AF%D0%A2%D0%9D%D0%9E%D0%A1%D0%A2%D0%AC_%D0%92_%D0%A4%D0%98%D0%97%D0%98%D0%9A%D0%95 Вероятность в физике] // Энциклопедический словарь юного физика / В. А. Чуянов (сост.). — М.: Педагогика, 1984. — С. 39. — 352 с.

Отрывок, характеризующий Вероятность

Пьер оглядывался вокруг себя налившимися кровью глазами и не отвечал. Вероятно, лицо его показалось очень страшно, потому что офицер что то шепотом сказал, и еще четыре улана отделились от команды и стали по обеим сторонам Пьера.
– Parlez vous francais? – повторил ему вопрос офицер, держась вдали от него. – Faites venir l'interprete. [Позовите переводчика.] – Из за рядов выехал маленький человечек в штатском русском платье. Пьер по одеянию и говору его тотчас же узнал в нем француза одного из московских магазинов.
– Il n'a pas l'air d'un homme du peuple, [Он не похож на простолюдина,] – сказал переводчик, оглядев Пьера.
– Oh, oh! ca m'a bien l'air d'un des incendiaires, – смазал офицер. – Demandez lui ce qu'il est? [О, о! он очень похож на поджигателя. Спросите его, кто он?] – прибавил он.
– Ти кто? – спросил переводчик. – Ти должно отвечать начальство, – сказал он.
– Je ne vous dirai pas qui je suis. Je suis votre prisonnier. Emmenez moi, [Я не скажу вам, кто я. Я ваш пленный. Уводите меня,] – вдруг по французски сказал Пьер.
– Ah, Ah! – проговорил офицер, нахмурившись. – Marchons! [A! A! Ну, марш!]
Около улан собралась толпа. Ближе всех к Пьеру стояла рябая баба с девочкою; когда объезд тронулся, она подвинулась вперед.
– Куда же это ведут тебя, голубчик ты мой? – сказала она. – Девочку то, девочку то куда я дену, коли она не ихняя! – говорила баба.
– Qu'est ce qu'elle veut cette femme? [Чего ей нужно?] – спросил офицер.
Пьер был как пьяный. Восторженное состояние его еще усилилось при виде девочки, которую он спас.
– Ce qu'elle dit? – проговорил он. – Elle m'apporte ma fille que je viens de sauver des flammes, – проговорил он. – Adieu! [Чего ей нужно? Она несет дочь мою, которую я спас из огня. Прощай!] – и он, сам не зная, как вырвалась у него эта бесцельная ложь, решительным, торжественным шагом пошел между французами.
Разъезд французов был один из тех, которые были посланы по распоряжению Дюронеля по разным улицам Москвы для пресечения мародерства и в особенности для поимки поджигателей, которые, по общему, в тот день проявившемуся, мнению у французов высших чинов, были причиною пожаров. Объехав несколько улиц, разъезд забрал еще человек пять подозрительных русских, одного лавочника, двух семинаристов, мужика и дворового человека и нескольких мародеров. Но из всех подозрительных людей подозрительнее всех казался Пьер. Когда их всех привели на ночлег в большой дом на Зубовском валу, в котором была учреждена гауптвахта, то Пьера под строгим караулом поместили отдельно.


В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.
Все очень хорошо знали, что болезнь прелестной графини происходила от неудобства выходить замуж сразу за двух мужей и что лечение итальянца состояло в устранении этого неудобства; но в присутствии Анны Павловны не только никто не смел думать об этом, но как будто никто и не знал этого.
– On dit que la pauvre comtesse est tres mal. Le medecin dit que c'est l'angine pectorale. [Говорят, что бедная графиня очень плоха. Доктор сказал, что это грудная болезнь.]
– L'angine? Oh, c'est une maladie terrible! [Грудная болезнь? О, это ужасная болезнь!]
– On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l'angine… [Говорят, что соперники примирились благодаря этой болезни.]
Слово angine повторялось с большим удовольствием.
– Le vieux comte est touchant a ce qu'on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Старый граф очень трогателен, говорят. Он заплакал, как дитя, когда доктор сказал, что случай опасный.]
– Oh, ce serait une perte terrible. C'est une femme ravissante. [О, это была бы большая потеря. Такая прелестная женщина.]
– Vous parlez de la pauvre comtesse, – сказала, подходя, Анна Павловна. – J'ai envoye savoir de ses nouvelles. On m'a dit qu'elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c'est la plus charmante femme du monde, – сказала Анна Павловна с улыбкой над своей восторженностью. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m'empeche pas de l'estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Вы говорите про бедную графиню… Я посылала узнавать о ее здоровье. Мне сказали, что ей немного лучше. О, без сомнения, это прелестнейшая женщина в мире. Мы принадлежим к различным лагерям, но это не мешает мне уважать ее по ее заслугам. Она так несчастна.] – прибавила Анна Павловна.
Полагая, что этими словами Анна Павловна слегка приподнимала завесу тайны над болезнью графини, один неосторожный молодой человек позволил себе выразить удивление в том, что не призваны известные врачи, а лечит графиню шарлатан, который может дать опасные средства.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes, – вдруг ядовито напустилась Анна Павловна на неопытного молодого человека. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C'est le medecin intime de la Reine d'Espagne. [Ваши известия могут быть вернее моих… но я из хороших источников знаю, что этот доктор очень ученый и искусный человек. Это лейб медик королевы испанской.] – И таким образом уничтожив молодого человека, Анна Павловна обратилась к Билибину, который в другом кружке, подобрав кожу и, видимо, сбираясь распустить ее, чтобы сказать un mot, говорил об австрийцах.
– Je trouve que c'est charmant! [Я нахожу, что это прелестно!] – говорил он про дипломатическую бумагу, при которой отосланы были в Вену австрийские знамена, взятые Витгенштейном, le heros de Petropol [героем Петрополя] (как его называли в Петербурге).
– Как, как это? – обратилась к нему Анна Павловна, возбуждая молчание для услышания mot, которое она уже знала.
И Билибин повторил следующие подлинные слова дипломатической депеши, им составленной:
– L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, – сказал Билибин, – drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [Император отсылает австрийские знамена, дружеские и заблудшиеся знамена, которые он нашел вне настоящей дороги.] – докончил Билибин, распуская кожу.
– Charmant, charmant, [Прелестно, прелестно,] – сказал князь Василий.
– C'est la route de Varsovie peut etre, [Это варшавская дорога, может быть.] – громко и неожиданно сказал князь Ипполит. Все оглянулись на него, не понимая того, что он хотел сказать этим. Князь Ипполит тоже с веселым удивлением оглядывался вокруг себя. Он так же, как и другие, не понимал того, что значили сказанные им слова. Он во время своей дипломатической карьеры не раз замечал, что таким образом сказанные вдруг слова оказывались очень остроумны, и он на всякий случай сказал эти слова, первые пришедшие ему на язык. «Может, выйдет очень хорошо, – думал он, – а ежели не выйдет, они там сумеют это устроить». Действительно, в то время как воцарилось неловкое молчание, вошло то недостаточно патриотическое лицо, которого ждала для обращения Анна Павловна, и она, улыбаясь и погрозив пальцем Ипполиту, пригласила князя Василия к столу, и, поднося ему две свечи и рукопись, попросила его начать. Все замолкло.
– Всемилостивейший государь император! – строго провозгласил князь Василий и оглянул публику, как будто спрашивая, не имеет ли кто сказать что нибудь против этого. Но никто ничего не сказал. – «Первопрестольный град Москва, Новый Иерусалим, приемлет Христа своего, – вдруг ударил он на слове своего, – яко мать во объятия усердных сынов своих, и сквозь возникающую мглу, провидя блистательную славу твоея державы, поет в восторге: «Осанна, благословен грядый!» – Князь Василий плачущим голосом произнес эти последние слова.
Билибин рассматривал внимательно свои ногти, и многие, видимо, робели, как бы спрашивая, в чем же они виноваты? Анна Павловна шепотом повторяла уже вперед, как старушка молитву причастия: «Пусть дерзкий и наглый Голиаф…» – прошептала она.
Князь Василий продолжал:
– «Пусть дерзкий и наглый Голиаф от пределов Франции обносит на краях России смертоносные ужасы; кроткая вера, сия праща российского Давида, сразит внезапно главу кровожаждущей его гордыни. Се образ преподобного Сергия, древнего ревнителя о благе нашего отечества, приносится вашему императорскому величеству. Болезную, что слабеющие мои силы препятствуют мне насладиться любезнейшим вашим лицезрением. Теплые воссылаю к небесам молитвы, да всесильный возвеличит род правых и исполнит во благих желания вашего величества».
– Quelle force! Quel style! [Какая сила! Какой слог!] – послышались похвалы чтецу и сочинителю. Воодушевленные этой речью, гости Анны Павловны долго еще говорили о положении отечества и делали различные предположения об исходе сражения, которое на днях должно было быть дано.
– Vous verrez, [Вы увидите.] – сказала Анна Павловна, – что завтра, в день рождения государя, мы получим известие. У меня есть хорошее предчувствие.


Предчувствие Анны Павловны действительно оправдалось. На другой день, во время молебствия во дворце по случаю дня рождения государя, князь Волконский был вызван из церкви и получил конверт от князя Кутузова. Это было донесение Кутузова, писанное в день сражения из Татариновой. Кутузов писал, что русские не отступили ни на шаг, что французы потеряли гораздо более нашего, что он доносит второпях с поля сражения, не успев еще собрать последних сведений. Стало быть, это была победа. И тотчас же, не выходя из храма, была воздана творцу благодарность за его помощь и за победу.
Предчувствие Анны Павловны оправдалось, и в городе все утро царствовало радостно праздничное настроение духа. Все признавали победу совершенною, и некоторые уже говорили о пленении самого Наполеона, о низложении его и избрании новой главы для Франции.
Вдали от дела и среди условий придворной жизни весьма трудно, чтобы события отражались во всей их полноте и силе. Невольно события общие группируются около одного какого нибудь частного случая. Так теперь главная радость придворных заключалась столько же в том, что мы победили, сколько и в том, что известие об этой победе пришлось именно в день рождения государя. Это было как удавшийся сюрприз. В известии Кутузова сказано было тоже о потерях русских, и в числе их названы Тучков, Багратион, Кутайсов. Тоже и печальная сторона события невольно в здешнем, петербургском мире сгруппировалась около одного события – смерти Кутайсова. Его все знали, государь любил его, он был молод и интересен. В этот день все встречались с словами:
– Как удивительно случилось. В самый молебен. А какая потеря Кутайсов! Ах, как жаль!
– Что я вам говорил про Кутузова? – говорил теперь князь Василий с гордостью пророка. – Я говорил всегда, что он один способен победить Наполеона.
Но на другой день не получалось известия из армии, и общий голос стал тревожен. Придворные страдали за страдания неизвестности, в которой находился государь.
– Каково положение государя! – говорили придворные и уже не превозносили, как третьего дня, а теперь осуждали Кутузова, бывшего причиной беспокойства государя. Князь Василий в этот день уже не хвастался более своим protege Кутузовым, а хранил молчание, когда речь заходила о главнокомандующем. Кроме того, к вечеру этого дня как будто все соединилось для того, чтобы повергнуть в тревогу и беспокойство петербургских жителей: присоединилась еще одна страшная новость. Графиня Елена Безухова скоропостижно умерла от этой страшной болезни, которую так приятно было выговаривать. Официально в больших обществах все говорили, что графиня Безухова умерла от страшного припадка angine pectorale [грудной ангины], но в интимных кружках рассказывали подробности о том, как le medecin intime de la Reine d'Espagne [лейб медик королевы испанской] предписал Элен небольшие дозы какого то лекарства для произведения известного действия; но как Элен, мучимая тем, что старый граф подозревал ее, и тем, что муж, которому она писала (этот несчастный развратный Пьер), не отвечал ей, вдруг приняла огромную дозу выписанного ей лекарства и умерла в мучениях, прежде чем могли подать помощь. Рассказывали, что князь Василий и старый граф взялись было за итальянца; но итальянец показал такие записки от несчастной покойницы, что его тотчас же отпустили.
Общий разговор сосредоточился около трех печальных событий: неизвестности государя, погибели Кутайсова и смерти Элен.
На третий день после донесения Кутузова в Петербург приехал помещик из Москвы, и по всему городу распространилось известие о сдаче Москвы французам. Это было ужасно! Каково было положение государя! Кутузов был изменник, и князь Василий во время visites de condoleance [визитов соболезнования] по случаю смерти его дочери, которые ему делали, говорил о прежде восхваляемом им Кутузове (ему простительно было в печали забыть то, что он говорил прежде), он говорил, что нельзя было ожидать ничего другого от слепого и развратного старика.
– Я удивляюсь только, как можно было поручить такому человеку судьбу России.
Пока известие это было еще неофициально, в нем можно было еще сомневаться, но на другой день пришло от графа Растопчина следующее донесение:
«Адъютант князя Кутузова привез мне письмо, в коем он требует от меня полицейских офицеров для сопровождения армии на Рязанскую дорогу. Он говорит, что с сожалением оставляет Москву. Государь! поступок Кутузова решает жребий столицы и Вашей империи. Россия содрогнется, узнав об уступлении города, где сосредоточивается величие России, где прах Ваших предков. Я последую за армией. Я все вывез, мне остается плакать об участи моего отечества».
Получив это донесение, государь послал с князем Волконским следующий рескрипт Кутузову:
«Князь Михаил Иларионович! С 29 августа не имею я никаких донесений от вас. Между тем от 1 го сентября получил я через Ярославль, от московского главнокомандующего, печальное известие, что вы решились с армиею оставить Москву. Вы сами можете вообразить действие, какое произвело на меня это известие, а молчание ваше усугубляет мое удивление. Я отправляю с сим генерал адъютанта князя Волконского, дабы узнать от вас о положении армии и о побудивших вас причинах к столь печальной решимости».


Девять дней после оставления Москвы в Петербург приехал посланный от Кутузова с официальным известием об оставлении Москвы. Посланный этот был француз Мишо, не знавший по русски, но quoique etranger, Busse de c?ur et d'ame, [впрочем, хотя иностранец, но русский в глубине души,] как он сам говорил про себя.
Государь тотчас же принял посланного в своем кабинете, во дворце Каменного острова. Мишо, который никогда не видал Москвы до кампании и который не знал по русски, чувствовал себя все таки растроганным, когда он явился перед notre tres gracieux souverain [нашим всемилостивейшим повелителем] (как он писал) с известием о пожаре Москвы, dont les flammes eclairaient sa route [пламя которой освещало его путь].
Хотя источник chagrin [горя] г на Мишо и должен был быть другой, чем тот, из которого вытекало горе русских людей, Мишо имел такое печальное лицо, когда он был введен в кабинет государя, что государь тотчас же спросил у него:
– M'apportez vous de tristes nouvelles, colonel? [Какие известия привезли вы мне? Дурные, полковник?]
– Bien tristes, sire, – отвечал Мишо, со вздохом опуская глаза, – l'abandon de Moscou. [Очень дурные, ваше величество, оставление Москвы.]
– Aurait on livre mon ancienne capitale sans se battre? [Неужели предали мою древнюю столицу без битвы?] – вдруг вспыхнув, быстро проговорил государь.
Мишо почтительно передал то, что ему приказано было передать от Кутузова, – именно то, что под Москвою драться не было возможности и что, так как оставался один выбор – потерять армию и Москву или одну Москву, то фельдмаршал должен был выбрать последнее.
Государь выслушал молча, не глядя на Мишо.
– L'ennemi est il en ville? [Неприятель вошел в город?] – спросил он.
– Oui, sire, et elle est en cendres a l'heure qu'il est. Je l'ai laissee toute en flammes, [Да, ваше величество, и он обращен в пожарище в настоящее время. Я оставил его в пламени.] – решительно сказал Мишо; но, взглянув на государя, Мишо ужаснулся тому, что он сделал. Государь тяжело и часто стал дышать, нижняя губа его задрожала, и прекрасные голубые глаза мгновенно увлажились слезами.
Но это продолжалось только одну минуту. Государь вдруг нахмурился, как бы осуждая самого себя за свою слабость. И, приподняв голову, твердым голосом обратился к Мишо.
– Je vois, colonel, par tout ce qui nous arrive, – сказал он, – que la providence exige de grands sacrifices de nous… Je suis pret a me soumettre a toutes ses volontes; mais dites moi, Michaud, comment avez vous laisse l'armee, en voyant ainsi, sans coup ferir abandonner mon ancienne capitale? N'avez vous pas apercu du decouragement?.. [Я вижу, полковник, по всему, что происходит, что провидение требует от нас больших жертв… Я готов покориться его воле; но скажите мне, Мишо, как оставили вы армию, покидавшую без битвы мою древнюю столицу? Не заметили ли вы в ней упадка духа?]
Увидав успокоение своего tres gracieux souverain, Мишо тоже успокоился, но на прямой существенный вопрос государя, требовавший и прямого ответа, он не успел еще приготовить ответа.
– Sire, me permettrez vous de vous parler franchement en loyal militaire? [Государь, позволите ли вы мне говорить откровенно, как подобает настоящему воину?] – сказал он, чтобы выиграть время.
– Colonel, je l'exige toujours, – сказал государь. – Ne me cachez rien, je veux savoir absolument ce qu'il en est. [Полковник, я всегда этого требую… Не скрывайте ничего, я непременно хочу знать всю истину.]
– Sire! – сказал Мишо с тонкой, чуть заметной улыбкой на губах, успев приготовить свой ответ в форме легкого и почтительного jeu de mots [игры слов]. – Sire! j'ai laisse toute l'armee depuis les chefs jusqu'au dernier soldat, sans exception, dans une crainte epouvantable, effrayante… [Государь! Я оставил всю армию, начиная с начальников и до последнего солдата, без исключения, в великом, отчаянном страхе…]
– Comment ca? – строго нахмурившись, перебил государь. – Mes Russes se laisseront ils abattre par le malheur… Jamais!.. [Как так? Мои русские могут ли пасть духом перед неудачей… Никогда!..]
Этого только и ждал Мишо для вставления своей игры слов.
– Sire, – сказал он с почтительной игривостью выражения, – ils craignent seulement que Votre Majeste par bonte de c?ur ne se laisse persuader de faire la paix. Ils brulent de combattre, – говорил уполномоченный русского народа, – et de prouver a Votre Majeste par le sacrifice de leur vie, combien ils lui sont devoues… [Государь, они боятся только того, чтобы ваше величество по доброте души своей не решились заключить мир. Они горят нетерпением снова драться и доказать вашему величеству жертвой своей жизни, насколько они вам преданы…]
– Ah! – успокоенно и с ласковым блеском глаз сказал государь, ударяя по плечу Мишо. – Vous me tranquillisez, colonel. [А! Вы меня успокоиваете, полковник.]
Государь, опустив голову, молчал несколько времени.
– Eh bien, retournez a l'armee, [Ну, так возвращайтесь к армии.] – сказал он, выпрямляясь во весь рост и с ласковым и величественным жестом обращаясь к Мишо, – et dites a nos braves, dites a tous mes bons sujets partout ou vous passerez, que quand je n'aurais plus aucun soldat, je me mettrai moi meme, a la tete de ma chere noblesse, de mes bons paysans et j'userai ainsi jusqu'a la derniere ressource de mon empire. Il m'en offre encore plus que mes ennemis ne pensent, – говорил государь, все более и более воодушевляясь. – Mais si jamais il fut ecrit dans les decrets de la divine providence, – сказал он, подняв свои прекрасные, кроткие и блестящие чувством глаза к небу, – que ma dinastie dut cesser de rogner sur le trone de mes ancetres, alors, apres avoir epuise tous les moyens qui sont en mon pouvoir, je me laisserai croitre la barbe jusqu'ici (государь показал рукой на половину груди), et j'irai manger des pommes de terre avec le dernier de mes paysans plutot, que de signer la honte de ma patrie et de ma chere nation, dont je sais apprecier les sacrifices!.. [Скажите храбрецам нашим, скажите всем моим подданным, везде, где вы проедете, что, когда у меня не будет больше ни одного солдата, я сам стану во главе моих любезных дворян и добрых мужиков и истощу таким образом последние средства моего государства. Они больше, нежели думают мои враги… Но если бы предназначено было божественным провидением, чтобы династия наша перестала царствовать на престоле моих предков, тогда, истощив все средства, которые в моих руках, я отпущу бороду до сих пор и скорее пойду есть один картофель с последним из моих крестьян, нежели решусь подписать позор моей родины и моего дорогого народа, жертвы которого я умею ценить!..] Сказав эти слова взволнованным голосом, государь вдруг повернулся, как бы желая скрыть от Мишо выступившие ему на глаза слезы, и прошел в глубь своего кабинета. Постояв там несколько мгновений, он большими шагами вернулся к Мишо и сильным жестом сжал его руку пониже локтя. Прекрасное, кроткое лицо государя раскраснелось, и глаза горели блеском решимости и гнева.
– Colonel Michaud, n'oubliez pas ce que je vous dis ici; peut etre qu'un jour nous nous le rappellerons avec plaisir… Napoleon ou moi, – сказал государь, дотрогиваясь до груди. – Nous ne pouvons plus regner ensemble. J'ai appris a le connaitre, il ne me trompera plus… [Полковник Мишо, не забудьте, что я вам сказал здесь; может быть, мы когда нибудь вспомним об этом с удовольствием… Наполеон или я… Мы больше не можем царствовать вместе. Я узнал его теперь, и он меня больше не обманет…] – И государь, нахмурившись, замолчал. Услышав эти слова, увидав выражение твердой решимости в глазах государя, Мишо – quoique etranger, mais Russe de c?ur et d'ame – почувствовал себя в эту торжественную минуту – entousiasme par tout ce qu'il venait d'entendre [хотя иностранец, но русский в глубине души… восхищенным всем тем, что он услышал] (как он говорил впоследствии), и он в следующих выражениях изобразил как свои чувства, так и чувства русского народа, которого он считал себя уполномоченным.
– Sire! – сказал он. – Votre Majeste signe dans ce moment la gloire de la nation et le salut de l'Europe! [Государь! Ваше величество подписывает в эту минуту славу народа и спасение Европы!]
Государь наклонением головы отпустил Мишо.


В то время как Россия была до половины завоевана, и жители Москвы бежали в дальние губернии, и ополченье за ополченьем поднималось на защиту отечества, невольно представляется нам, не жившим в то время, что все русские люди от мала до велика были заняты только тем, чтобы жертвовать собою, спасать отечество или плакать над его погибелью. Рассказы, описания того времени все без исключения говорят только о самопожертвовании, любви к отечеству, отчаянье, горе и геройстве русских. В действительности же это так не было. Нам кажется это так только потому, что мы видим из прошедшего один общий исторический интерес того времени и не видим всех тех личных, человеческих интересов, которые были у людей того времени. А между тем в действительности те личные интересы настоящего до такой степени значительнее общих интересов, что из за них никогда не чувствуется (вовсе не заметен даже) интерес общий. Большая часть людей того времени не обращали никакого внимания на общий ход дел, а руководились только личными интересами настоящего. И эти то люди были самыми полезными деятелями того времени.
Те же, которые пытались понять общий ход дел и с самопожертвованием и геройством хотели участвовать в нем, были самые бесполезные члены общества; они видели все навыворот, и все, что они делали для пользы, оказывалось бесполезным вздором, как полки Пьера, Мамонова, грабившие русские деревни, как корпия, щипанная барынями и никогда не доходившая до раненых, и т. п. Даже те, которые, любя поумничать и выразить свои чувства, толковали о настоящем положении России, невольно носили в речах своих отпечаток или притворства и лжи, или бесполезного осуждения и злобы на людей, обвиняемых за то, в чем никто не мог быть виноват. В исторических событиях очевиднее всего запрещение вкушения плода древа познания. Только одна бессознательная деятельность приносит плоды, и человек, играющий роль в историческом событии, никогда не понимает его значения. Ежели он пытается понять его, он поражается бесплодностью.
Значение совершавшегося тогда в России события тем незаметнее было, чем ближе было в нем участие человека. В Петербурге и губернских городах, отдаленных от Москвы, дамы и мужчины в ополченских мундирах оплакивали Россию и столицу и говорили о самопожертвовании и т. п.; но в армии, которая отступала за Москву, почти не говорили и не думали о Москве, и, глядя на ее пожарище, никто не клялся отомстить французам, а думали о следующей трети жалованья, о следующей стоянке, о Матрешке маркитантше и тому подобное…
Николай Ростов без всякой цели самопожертвования, а случайно, так как война застала его на службе, принимал близкое и продолжительное участие в защите отечества и потому без отчаяния и мрачных умозаключений смотрел на то, что совершалось тогда в России. Ежели бы у него спросили, что он думает о теперешнем положении России, он бы сказал, что ему думать нечего, что на то есть Кутузов и другие, а что он слышал, что комплектуются полки, и что, должно быть, драться еще долго будут, и что при теперешних обстоятельствах ему не мудрено года через два получить полк.
По тому, что он так смотрел на дело, он не только без сокрушения о том, что лишается участия в последней борьбе, принял известие о назначении его в командировку за ремонтом для дивизии в Воронеж, но и с величайшим удовольствием, которое он не скрывал и которое весьма хорошо понимали его товарищи.
За несколько дней до Бородинского сражения Николай получил деньги, бумаги и, послав вперед гусар, на почтовых поехал в Воронеж.
Только тот, кто испытал это, то есть пробыл несколько месяцев не переставая в атмосфере военной, боевой жизни, может понять то наслаждение, которое испытывал Николай, когда он выбрался из того района, до которого достигали войска своими фуражировками, подвозами провианта, гошпиталями; когда он, без солдат, фур, грязных следов присутствия лагеря, увидал деревни с мужиками и бабами, помещичьи дома, поля с пасущимся скотом, станционные дома с заснувшими смотрителями. Он почувствовал такую радость, как будто в первый раз все это видел. В особенности то, что долго удивляло и радовало его, – это были женщины, молодые, здоровые, за каждой из которых не было десятка ухаживающих офицеров, и женщины, которые рады и польщены были тем, что проезжий офицер шутит с ними.
В самом веселом расположении духа Николай ночью приехал в Воронеж в гостиницу, заказал себе все то, чего он долго лишен был в армии, и на другой день, чисто начисто выбрившись и надев давно не надеванную парадную форму, поехал являться к начальству.
Начальник ополчения был статский генерал, старый человек, который, видимо, забавлялся своим военным званием и чином. Он сердито (думая, что в этом военное свойство) принял Николая и значительно, как бы имея на то право и как бы обсуживая общий ход дела, одобряя и не одобряя, расспрашивал его. Николай был так весел, что ему только забавно было это.
От начальника ополчения он поехал к губернатору. Губернатор был маленький живой человечек, весьма ласковый и простой. Он указал Николаю на те заводы, в которых он мог достать лошадей, рекомендовал ему барышника в городе и помещика за двадцать верст от города, у которых были лучшие лошади, и обещал всякое содействие.
– Вы графа Ильи Андреевича сын? Моя жена очень дружна была с вашей матушкой. По четвергам у меня собираются; нынче четверг, милости прошу ко мне запросто, – сказал губернатор, отпуская его.
Прямо от губернатора Николай взял перекладную и, посадив с собою вахмистра, поскакал за двадцать верст на завод к помещику. Все в это первое время пребывания его в Воронеже было для Николая весело и легко, и все, как это бывает, когда человек сам хорошо расположен, все ладилось и спорилось.
Помещик, к которому приехал Николай, был старый кавалерист холостяк, лошадиный знаток, охотник, владетель коверной, столетней запеканки, старого венгерского и чудных лошадей.
Николай в два слова купил за шесть тысяч семнадцать жеребцов на подбор (как он говорил) для казового конца своего ремонта. Пообедав и выпив немножко лишнего венгерского, Ростов, расцеловавшись с помещиком, с которым он уже сошелся на «ты», по отвратительной дороге, в самом веселом расположении духа, поскакал назад, беспрестанно погоняя ямщика, с тем чтобы поспеть на вечер к губернатору.
Переодевшись, надушившись и облив голову холодной подои, Николай хотя несколько поздно, но с готовой фразой: vaut mieux tard que jamais, [лучше поздно, чем никогда,] явился к губернатору.
Это был не бал, и не сказано было, что будут танцевать; но все знали, что Катерина Петровна будет играть на клавикордах вальсы и экосезы и что будут танцевать, и все, рассчитывая на это, съехались по бальному.
Губернская жизнь в 1812 году была точно такая же, как и всегда, только с тою разницею, что в городе было оживленнее по случаю прибытия многих богатых семей из Москвы и что, как и во всем, что происходило в то время в России, была заметна какая то особенная размашистость – море по колено, трын трава в жизни, да еще в том, что тот пошлый разговор, который необходим между людьми и который прежде велся о погоде и об общих знакомых, теперь велся о Москве, о войске и Наполеоне.
Общество, собранное у губернатора, было лучшее общество Воронежа.
Дам было очень много, было несколько московских знакомых Николая; но мужчин не было никого, кто бы сколько нибудь мог соперничать с георгиевским кавалером, ремонтером гусаром и вместе с тем добродушным и благовоспитанным графом Ростовым. В числе мужчин был один пленный итальянец – офицер французской армии, и Николай чувствовал, что присутствие этого пленного еще более возвышало значение его – русского героя. Это был как будто трофей. Николай чувствовал это, и ему казалось, что все так же смотрели на итальянца, и Николай обласкал этого офицера с достоинством и воздержностью.
Как только вошел Николай в своей гусарской форме, распространяя вокруг себя запах духов и вина, и сам сказал и слышал несколько раз сказанные ему слова: vaut mieux tard que jamais, его обступили; все взгляды обратились на него, и он сразу почувствовал, что вступил в подобающее ему в губернии и всегда приятное, но теперь, после долгого лишения, опьянившее его удовольствием положение всеобщего любимца. Не только на станциях, постоялых дворах и в коверной помещика были льстившиеся его вниманием служанки; но здесь, на вечере губернатора, было (как показалось Николаю) неисчерпаемое количество молоденьких дам и хорошеньких девиц, которые с нетерпением только ждали того, чтобы Николай обратил на них внимание. Дамы и девицы кокетничали с ним, и старушки с первого дня уже захлопотали о том, как бы женить и остепенить этого молодца повесу гусара. В числе этих последних была сама жена губернатора, которая приняла Ростова, как близкого родственника, и называла его «Nicolas» и «ты».
Катерина Петровна действительно стала играть вальсы и экосезы, и начались танцы, в которых Николай еще более пленил своей ловкостью все губернское общество. Он удивил даже всех своей особенной, развязной манерой в танцах. Николай сам был несколько удивлен своей манерой танцевать в этот вечер. Он никогда так не танцевал в Москве и счел бы даже неприличным и mauvais genre [дурным тоном] такую слишком развязную манеру танца; но здесь он чувствовал потребность удивить их всех чем нибудь необыкновенным, чем нибудь таким, что они должны были принять за обыкновенное в столицах, но неизвестное еще им в провинции.
Во весь вечер Николай обращал больше всего внимания на голубоглазую, полную и миловидную блондинку, жену одного из губернских чиновников. С тем наивным убеждением развеселившихся молодых людей, что чужие жены сотворены для них, Ростов не отходил от этой дамы и дружески, несколько заговорщически, обращался с ее мужем, как будто они хотя и не говорили этого, но знали, как славно они сойдутся – то есть Николай с женой этого мужа. Муж, однако, казалось, не разделял этого убеждения и старался мрачно обращаться с Ростовым. Но добродушная наивность Николая была так безгранична, что иногда муж невольно поддавался веселому настроению духа Николая. К концу вечера, однако, по мере того как лицо жены становилось все румянее и оживленнее, лицо ее мужа становилось все грустнее и бледнее, как будто доля оживления была одна на обоих, и по мере того как она увеличивалась в жене, она уменьшалась в муже.


Николай, с несходящей улыбкой на лице, несколько изогнувшись на кресле, сидел, близко наклоняясь над блондинкой и говоря ей мифологические комплименты.
Переменяя бойко положение ног в натянутых рейтузах, распространяя от себя запах духов и любуясь и своей дамой, и собою, и красивыми формами своих ног под натянутыми кичкирами, Николай говорил блондинке, что он хочет здесь, в Воронеже, похитить одну даму.
– Какую же?
– Прелестную, божественную. Глаза у ней (Николай посмотрел на собеседницу) голубые, рот – кораллы, белизна… – он глядел на плечи, – стан – Дианы…
Муж подошел к ним и мрачно спросил у жены, о чем она говорит.
– А! Никита Иваныч, – сказал Николай, учтиво вставая. И, как бы желая, чтобы Никита Иваныч принял участие в его шутках, он начал и ему сообщать свое намерение похитить одну блондинку.
Муж улыбался угрюмо, жена весело. Добрая губернаторша с неодобрительным видом подошла к ним.
– Анна Игнатьевна хочет тебя видеть, Nicolas, – сказала она, таким голосом выговаривая слова: Анна Игнатьевна, что Ростову сейчас стало понятно, что Анна Игнатьевна очень важная дама. – Пойдем, Nicolas. Ведь ты позволил мне так называть тебя?
– О да, ma tante. Кто же это?
– Анна Игнатьевна Мальвинцева. Она слышала о тебе от своей племянницы, как ты спас ее… Угадаешь?..
– Мало ли я их там спасал! – сказал Николай.
– Ее племянницу, княжну Болконскую. Она здесь, в Воронеже, с теткой. Ого! как покраснел! Что, или?..
– И не думал, полноте, ma tante.
– Ну хорошо, хорошо. О! какой ты!
Губернаторша подводила его к высокой и очень толстой старухе в голубом токе, только что кончившей свою карточную партию с самыми важными лицами в городе. Это была Мальвинцева, тетка княжны Марьи по матери, богатая бездетная вдова, жившая всегда в Воронеже. Она стояла, рассчитываясь за карты, когда Ростов подошел к ней. Она строго и важно прищурилась, взглянула на него и продолжала бранить генерала, выигравшего у нее.
– Очень рада, мой милый, – сказала она, протянув ему руку. – Милости прошу ко мне.
Поговорив о княжне Марье и покойнике ее отце, которого, видимо, не любила Мальвинцева, и расспросив о том, что Николай знал о князе Андрее, который тоже, видимо, не пользовался ее милостями, важная старуха отпустила его, повторив приглашение быть у нее.
Николай обещал и опять покраснел, когда откланивался Мальвинцевой. При упоминании о княжне Марье Ростов испытывал непонятное для него самого чувство застенчивости, даже страха.
Отходя от Мальвинцевой, Ростов хотел вернуться к танцам, но маленькая губернаторша положила свою пухленькую ручку на рукав Николая и, сказав, что ей нужно поговорить с ним, повела его в диванную, из которой бывшие в ней вышли тотчас же, чтобы не мешать губернаторше.
– Знаешь, mon cher, – сказала губернаторша с серьезным выражением маленького доброго лица, – вот это тебе точно партия; хочешь, я тебя сосватаю?
– Кого, ma tante? – спросил Николай.
– Княжну сосватаю. Катерина Петровна говорит, что Лили, а по моему, нет, – княжна. Хочешь? Я уверена, твоя maman благодарить будет. Право, какая девушка, прелесть! И она совсем не так дурна.
– Совсем нет, – как бы обидевшись, сказал Николай. – Я, ma tante, как следует солдату, никуда не напрашиваюсь и ни от чего не отказываюсь, – сказал Ростов прежде, чем он успел подумать о том, что он говорит.
– Так помни же: это не шутка.
– Какая шутка!
– Да, да, – как бы сама с собою говоря, сказала губернаторша. – А вот что еще, mon cher, entre autres. Vous etes trop assidu aupres de l'autre, la blonde. [мой друг. Ты слишком ухаживаешь за той, за белокурой.] Муж уж жалок, право…
– Ах нет, мы с ним друзья, – в простоте душевной сказал Николай: ему и в голову не приходило, чтобы такое веселое для него препровождение времени могло бы быть для кого нибудь не весело.
«Что я за глупость сказал, однако, губернаторше! – вдруг за ужином вспомнилось Николаю. – Она точно сватать начнет, а Соня?..» И, прощаясь с губернаторшей, когда она, улыбаясь, еще раз сказала ему: «Ну, так помни же», – он отвел ее в сторону: