Взаимодействие многих тел

Комплекс задач о взаимодействии многих тел достаточно обширный и является одним из базовых, далеко не полностью разрешённых, разделов механики. В рамках ньютоновской концепции проблема ветвится на:

1. комплекс задач столкновения двух и более материальных тел, когда влияние тел друг на друга ограничено временем их непосредственного соприкосновения;
2. связные колебания материальных тел при ограниченном влиянии тел друг на друга соседними телами;
3. комплекс задач о взаимном движении тел под влиянием гравитационных, электрических полей всех тел друг на друга.

Иными словами, комплекс задач разделяется по условию взаимодействия тел между собой, когда теми или иными нюансами взаимодействий можно пренебречь. В первом случае пренебрегают взаимодействием вне прямого контакта между телами. Во втором случае пренебрегают взаимодействиями с несоседними элементами системы. В третьем случае, как правило, не рассматривают задачи непосредственного контакта между телами. Указанные ограничения обусловлены сложностью общего решения задачи, которое по идее должно в себя включать все три комплекса задач.

Рассеяние двух и более материальных тел

Данный комплекс задач, решаемый в рамках теории удара в свою очередь подразделяется на

• абсолютно упругие столкновения;
• абсолютно неупругие столкновения;
• частично упругие столкновения.

Также этот комплекс задач подразделяется на задачи центрального и нецентрального столкновения.

Для двух тел прямым или центральным называется соударение, при котором общая нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по общей нормали. Для многих тел центральным можно считать соударение, при котором для каждого из двух тел системы нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда геометрическими размерами самих масс можно пренебречь.

Абсолютно упругие столкновения

Для центрального соударения двух тел решение задачи имеет вид,

<math>u_1 = \frac{{v_1 \left( {m_1 - m_2 } \right) + 2m_2 v_2 }}Шаблон:M 1 + m 2\,\,;</math> <math>u_2 = \frac{{v_2 \left( {m_2 - m_1 } \right) + 2m_1 v_1 }}Шаблон:M 1 + m 2\,\,\,.</math>

где <math>v_1 ,\,v_2</math> — скорости тел до соударения; <math>m_1 ,\,m_2</math> — массы двух тел, <math>u_1 ,\,u_2</math> — скорости тел после соударения.

Для 'n' тел решение имеет вид

<math>\vec u_i = \frac{{\left( {m_i - M_i } \right)\vec v_i + 2\vec v_{mi} M_i }}{{\sum\limits_j {m_j } }}</math>

где <math>i</math> — номер исследуемого тела системы;

<math>\vec v_{mi} = \frac{1}Шаблон:M i\sum\limits_{j \ne i}^n {m_j \vec v_j = } \frac{1}Шаблон:M i\left( {m_1 v_1 + m_2 v_2 + ... + m_{i - 1} v_{i - 1} + m_{i + 1} v_{i + 1} + ... + m_{n - 1} v_{n - 1} + m_n v_n } \right)</math>;

<math>M_i = \sum\limits_{j \ne i}^n {m_j = } \,\,m_1 + m_2 + ... + m_{i - 1} + m_{i + 1} + ... + m_{n - 1} + m_n</math>.

selftrans.narod.ru/v5_1/many_body/many_body65/agfig9.gif

При нецентральном ударе следует учитывать вращающий момент, возникающий за счёт нецентральности удара, на который распределяется часть энергии и количества движения соударяющихся тел.

Абсолютно неупругие столкновения

Для центрального абсолютно неупругого удара двух тел решение имеет вид,

<math>u = \fracШаблон:M 1 v 1 + m 2 v 2Шаблон:M 1 + m 2</math>

Потеря энергии при ударе определяется теоремой Карно: Кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы двигалась с потерянными скоростями.

Энергия, которая переходит в нагревание соударяющихся тел вследствие абсолютно неупругого удара, определяется выражением

<math>\Delta W = - \fracШаблон:M 1 m 2{{2\left( {m_1 + m_2 } \right)}}\left( {v_1 - v_2 } \right)^2 < 0</math>

При нецентральном ударе, как и в случае абсолютно упругого удара, необходимо учитывать вращающий момент, образующийся вследствие нецентральности удара. Он приводит к совместному вращению слипшихся тел после удара.

Неабсолютно упругий удар

При неабсолютно упругом (или просто неупругом) ударе для нахождения решения используют понятие коэффициента восстановления при ударе.

Коэффициент восстановления в теории удара — величина, зависящая от упругих свойств соударяющихся тел и определяющая, какая доля начальной относительной скорости этих тел восстанавливается к концу удара. Коэффициент восстановления. характеризует потери механической энергии соударяющихся тел вследствие появления в них остаточных деформаций и их нагревания. Обычно коэффициент восстановления определяется по отскоку тела от массивной плиты. При этом коэффициент, в частности, равен

• дерево о дерево ½;
• сталь о сталь 5/9;
• слоновая кость о слоновую кость 8/9;
• стекло о стекло 15/16.

При неупругом центральном ударе двух тел, учитывая, что удар зависит от разности скоростей, коэффициент восстановления определяется соотношением

<math>k = - \fracШаблон:U 1 - u 2Шаблон:V 1 - v 2</math>

Потеря энергии при неупругом ударе определяется выражением:

<math>\Delta W = \fracШаблон:1 - k{{2\left( {1 + k} \right)}}\left[ {M_1 \left( {v_1 - u_1 } \right)^2 + M_2 \left( {v_2 - u_2 } \right)^2 } \right]</math>

При нецентральном ударе в пренебрежении трением коэффициент восстановления определяется только для проекций скоростей, перпендикулярных поверхности касания тел.

Связные колебания материальных тел

Связные колебания материальных тел описываются системой уравнений второго порядка. Например, для конечной, однородной упругой лини, на средний элемент которой воздействует внешняя гармоническая сила <math>F(t)</math>, данная система уравнений имеет вид

<math>m\fracШаблон:D^2 \Delta 1Шаблон:Dt^2 = s(\Delta _2 - \Delta _1 )\,\,;</math>

<math>m\fracШаблон:D^2 \Delta 2Шаблон:Dt^2 = s(\Delta _3 + \Delta _1 - 2\Delta _2 )\,\,;</math>

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

<math>m\fracШаблон:D^2 \Delta kШаблон:Dt^2 = F(t) + s(\Delta _{k + 1} + \Delta _{k - 1} - 2\Delta _k )\,\,;</math>

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

<math>{m\fracШаблон:D^2 \Delta nШаблон:Dt^2 = s(\Delta _{n - 1} - \Delta _n )\,}</math>.

В данной системе уравнений первое, последнее и <math>k</math>-е уравнение отличается от остальных, определяя соответственно граничные и начальные условия колебаний, возникающих в данной динамической системе. Таким образом, для динамической системы с сосредоточенными параметрами дополнительные условия кроме самой системы дифференциальных уравнений не нужны. При нахождении точных аналитических решений указанные особенности в моделирующей системе уравнений приводят к различию решений задачи. В частности, они описывают условия возникновения колебаний в одной из ветвей, как и одновременное существование прогрессивной и стоячей волны в динамической системе:

selftrans.narod.ru/v2_1/middle/middle82/fig4a.gif

selftrans.narod.ru/v2_1/middle/middle82/fig4b.gif

Системы уравнений, описывающих дискретные динамические системы, имеют, как правило, три решения: периодическое, критическое и апериодическое. Исключением являются динамические системы с резонансными подсистемами. В данных системах возникает режим «отрицательной меры инерции».

Важно отметить, что при предельном переходе к динамическим системам с распределёнными параметрами на уровне моделирующих дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия исчезают и система сводится к волновому уравнению. При этом введение дополнительных начальных и граничных условий становится насущной необходимостью. Одновременно с этим возникает проблема записи данных условий, особенно в нетривиальных случаях переходов между отрезками линий с различными параметрами, при нестационарных границах и т. д. С другой стороны, если использовать предельный переход не для моделирующих уравнений, а для их решений, то особенности, заложенные в моделирующей системе уравнений, сохраняются в решениях и при предельном переходе отображаются в решениях для распределённой динамической системы. Это снимает проблему границ при нахождении решений для динамических систем со сложными границами и начальными условиями.

Многомерные динамические системы рассматривают в основном численными методами и методами дискретной математики. В частности, разрабатываются направления расширения метода Крылова-Боголюбова на <math>n</math>-мерные системы; численное моделирование методами дискретной математики; методы на основе качественной теории дифференциальных уравнений и графоаналитические методы абстрактной алгебры и т. д.

Ряд исследователей занимается проблемами состыковки задач удара с задачами для гладких систем.

Отсутствие точных решений для базовых многомерных моделей принуждает искать некоторые частные приближения, а зачастую ограничиваться только отдалёнными внешними оценками поведения динамических дискретных систем. На сегодняшний день «в более широком плане проблема состоит в том, чтобы найти такой набор условий, который выполнялся бы для типичной динамической системы и в то же время в значительной степени определял бы её возможные свойства, делая ситуацию более или менее обозримой. Такая общая постановка не является столь четкой. Однако несомненно, что эта проблема решена в случае малой размерности фазового пространства и не решена в общем случае».

Проблема N тел

Проблема <math>N</math>тел подразделяется на:

• проблему рассеяния тел (нестационарного движения) вследствие взаимодействия во взаимных полях друг друга;
• проблему взаимного стационарного движения тел в полях друг друга.

В свою очередь, проблема стационарного движения традиционно подразделяется на задачу двух тел, задачу трёх тел и задачу <math>N</math>тел. Кроме того, также традиционно, задачи о нестационарном движении тел используются для исследования движения в физике элементарных частиц, то есть в электрических полях, а задачи о стационарном движении — в астрофизике, то есть в гравитационных полях.

Задача двух тел

В настоящее время считается, что задача двух тел решена точно, «потому что она может быть сведена к задаче Кеплера, то есть к системе частных дифференциальных уравнений, описывающих движение частицы, движущейся под действием гравитационного притяжения второй частицы, зафиксированной в начале координат. Решением задачи Кеплера являются конические сечения — окружности, эллипсы, параболы и гиперболы». Если точнее, то «задача двух тел сводится к эквивалентной задаче о движении <math>\mu</math> точки — воображаемой точки с массой <math>\mu</math> и радиус-вектором r — в центрально симметричном поле с неподвижным центром». Моделирующее построение имеет вид, представленный на рисунке [selftrans.narod.ru/images/Wiki/F1.GIF]

Уравнение сводится к виду:

<math>\mu {\mathbf{\ddot r}} = {\mathbf{F}}_{12} \left( {\left| {\mathbf{r}} \right|} \right)</math>,

где <math>\mu = m_1 m_2 /\left( {m_1 + m_2 } \right)</math> — приведенная масса; <math>{\mathbf{r}} = \fracШаблон:M 2Шаблон:M 1 + m 2{\mathbf{r'}}_2 = - \fracШаблон:M 1Шаблон:M 1 + m 2{\mathbf{r'}}_1</math> — вектор, характеризующий относительное расположение точек.

Решение этого уравнения имеет вид: <math>{\mathbf{M'}}_0 {\mathbf{r}} = \mu \left[ {{\mathbf{rv}}} \right]{\mathbf{r}} = 0</math> ;

<math>t = \pm \int {\fracШаблон:Dr{{\sqrt {\frac{2}{\mu }\left( {E'_0 - U_{eff} } \right)} }}} + const</math> ;

<math>\varphi = \pm \int {\frac{{\fracШаблон:M' 0Шаблон:\mu r^2dr}}{{\sqrt {\frac{2}{\mu }\left( {E'_0 - U_{eff} } \right)} }}} + const</math> ;

<math>U_{eff} = U\left( r \right) + \frac{{\left( {M'_0 } \right)^2 }}Шаблон:2\mu r^2</math>; <math>U\left( r \right) = - \frac{\alpha }{r}</math>; <math>E'_0 = \fracШаблон:\mu v^2{2} - U\left( r \right)</math>,

где <math>\alpha</math> равно <math>\gamma m_1 m_2</math> при гравитационном взаимодействии и <math>- q_1 q_2</math> при электростатическом взаимодействии.

В зависимости от знака <math>E'_0</math> траектория будет гиперболической (<math>E'_0 > 0</math>), параболической (<math>E'_0 = 0</math>), эллиптической (<math>0 > E'_0 > U_{eff}</math>) или окружностью (<math>E'_0 = U_{eff}</math>).

Задача трёх тел

Считается, что все решения задачи трех тел описать невозможно. Поэтому практически все исследования в проблематике трёх тел касаются решения частных задач либрации малых тел в предположении малости исследуемого тела в поле двух других тел и в исследовании устойчивости периодических решений. В этом случае задача зачастую сводится к задаче двух тел. Ньютон был одним из первых, кто попытался решать такого типа частные задачи при исследовании Луны в поле Земли и Солнца, используя найденный им закон всемирного тяготения. Он показал, что годовое уравнение среднего движения Луны происходит от различного растяжения орбиты Луны силою Солнца. Также он нашёл, что в перигелии Земли, вследствие большей силы Солнца, апогей и узлы Луны движутся быстрее, нежели в её афелии, и притом в обратном отношении кубов расстояний Земли до Солнца; от этого происходят годовые уравнения этих движений, пропорциональные уравнению центра Солнца. При этом он вычислил отклонения орбиты Луны в апогее и перигелии Земли относительно Солнца и т. д..

Простейшие периодические решения для задачи трёх тел были открыты Эйлером [1765] и Лагранжем [1772]. Построенные из кеплеровых эллипсов, они являются единственными неявными решениями.

Пуанкаре нашёл инварианты периодических решений, построил решение в виде некоторого ряда и рассмотрел условия устойчивости.

В результате сегодня существует шесть основных подходов к решению задачи:

1. Метод Лапласа—Ньюкома;
2. Планетный метод Хилла;
3. Метод вариации произвольных постоянных;
4. Лунный метод Хилла;
5. Метод периодических орбит;
6. Метод Коуэлла.

Найденное К. Зундманом в 1912 году решение представляется в виде медленно сходящихся рядов. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса <math>\left| \tau \right| < 1</math>, то есть решение задачи трёх тел представимо в виде функций параметра ½, голоморфных в круге <math>\left| \tau \right| < 1</math>. Такие функции представимы в виде сходящихся во всём круге рядов по положительным степеням <math>\tau</math>. Таким образом, и решение задачи трёх тел представимо в виде

<math>q_j = {\rm B}_j \left( \tau \right),\,\,\,t = {\rm B}_0 \left( \tau \right),\,\,\,\left| \tau \right| < 1</math> Путём весьма непростых оценок Зундман (1912 г.) доказал, что в качестве <math>G</math> можно взять полосу <math>\left| {\operatorname{Im} v} \right| < \delta </math> и указал выражение для <math>\delta</math>. Как показал Белорицкий, для нужд вычислительной астрономии в «сходящихся» рядах Зундмана нужно брать как минимум <math>10^{8 \cdot 10^6 }</math> членов и поэтому они непригодны для вычисления координат.

Периодические решения, как малые возмущения при установившемся движении малого тела в поле двух больших тел находятся через интеграл Якоби.

Класс периодических решений можно расширить при использовании точных аналитических решений для связанных колебаний материальных тел. При этом задача сводится в общем случае к системе трёх алгебраических уравнений.

Общая задача N тел

Сейчас широко распространено убеждение, что задача <math>N</math> тел для <math>N \geqslant 3</math> не может быть решена в том же смысле, что и задача двух тел. Фактически есть очень хорошее свидетельство, что общая задача N тел нерешаема. Однако со времени Ньютона по задаче N тел были написаны тысячи статей. Эти статьи содержат частные решения, асимптотические оценки, информацию о столкновении, существовании и несуществовании интегралов, рядов решений, бесстолкновительных сингулярностей и т. д..

Соответственно, используя методику построения решения для связанных колебаний трёх тел, ряд задач <math>N</math> тел может быть сведён к системе <math>N</math> алгебраических уравнений с последующим решением матричными методами. Данный подход в перспективе позволит аналитическими методами решать и класс задач непериодического финитного движения тел.

Отрывок, характеризующий Взаимодействие многих тел

– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.

Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
Князь Василий замолчал, и щеки его начинали нервически подергиваться то на одну, то на другую сторону, придавая его лицу неприятное выражение, какое никогда не показывалось на лице князя Василия, когда он бывал в гостиных. Глаза его тоже были не такие, как всегда: то они смотрели нагло шутливо, то испуганно оглядывались.
Княжна, своими сухими, худыми руками придерживая на коленях собачку, внимательно смотрела в глаза князю Василию; но видно было, что она не прервет молчания вопросом, хотя бы ей пришлось молчать до утра.
– Вот видите ли, моя милая княжна и кузина, Катерина Семеновна, – продолжал князь Василий, видимо, не без внутренней борьбы приступая к продолжению своей речи, – в такие минуты, как теперь, обо всём надо подумать. Надо подумать о будущем, о вас… Я вас всех люблю, как своих детей, ты это знаешь.
Княжна так же тускло и неподвижно смотрела на него.
– Наконец, надо подумать и о моем семействе, – сердито отталкивая от себя столик и не глядя на нее, продолжал князь Василий, – ты знаешь, Катишь, что вы, три сестры Мамонтовы, да еще моя жена, мы одни прямые наследники графа. Знаю, знаю, как тебе тяжело говорить и думать о таких вещах. И мне не легче; но, друг мой, мне шестой десяток, надо быть ко всему готовым. Ты знаешь ли, что я послал за Пьером, и что граф, прямо указывая на его портрет, требовал его к себе?
Князь Василий вопросительно посмотрел на княжну, но не мог понять, соображала ли она то, что он ей сказал, или просто смотрела на него…
– Я об одном не перестаю молить Бога, mon cousin, – отвечала она, – чтоб он помиловал его и дал бы его прекрасной душе спокойно покинуть эту…
– Да, это так, – нетерпеливо продолжал князь Василий, потирая лысину и опять с злобой придвигая к себе отодвинутый столик, – но, наконец…наконец дело в том, ты сама знаешь, что прошлою зимой граф написал завещание, по которому он всё имение, помимо прямых наследников и нас, отдавал Пьеру.
– Мало ли он писал завещаний! – спокойно сказала княжна. – Но Пьеру он не мог завещать. Пьер незаконный.
– Ma chere, – сказал вдруг князь Василий, прижав к себе столик, оживившись и начав говорить скорей, – но что, ежели письмо написано государю, и граф просит усыновить Пьера? Понимаешь, по заслугам графа его просьба будет уважена…
Княжна улыбнулась, как улыбаются люди, которые думают что знают дело больше, чем те, с кем разговаривают.
– Я тебе скажу больше, – продолжал князь Василий, хватая ее за руку, – письмо было написано, хотя и не отослано, и государь знал о нем. Вопрос только в том, уничтожено ли оно, или нет. Ежели нет, то как скоро всё кончится , – князь Василий вздохнул, давая этим понять, что он разумел под словами всё кончится , – и вскроют бумаги графа, завещание с письмом будет передано государю, и просьба его, наверно, будет уважена. Пьер, как законный сын, получит всё.
– А наша часть? – спросила княжна, иронически улыбаясь так, как будто всё, но только не это, могло случиться.
– Mais, ma pauvre Catiche, c'est clair, comme le jour. [Но, моя дорогая Катишь, это ясно, как день.] Он один тогда законный наследник всего, а вы не получите ни вот этого. Ты должна знать, моя милая, были ли написаны завещание и письмо, и уничтожены ли они. И ежели почему нибудь они забыты, то ты должна знать, где они, и найти их, потому что…
– Этого только недоставало! – перебила его княжна, сардонически улыбаясь и не изменяя выражения глаз. – Я женщина; по вашему мы все глупы; но я настолько знаю, что незаконный сын не может наследовать… Un batard, [Незаконный,] – прибавила она, полагая этим переводом окончательно показать князю его неосновательность.
– Как ты не понимаешь, наконец, Катишь! Ты так умна: как ты не понимаешь, – ежели граф написал письмо государю, в котором просит его признать сына законным, стало быть, Пьер уж будет не Пьер, а граф Безухой, и тогда он по завещанию получит всё? И ежели завещание с письмом не уничтожены, то тебе, кроме утешения, что ты была добродетельна et tout ce qui s'en suit, [и всего, что отсюда вытекает,] ничего не останется. Это верно.
– Я знаю, что завещание написано; но знаю тоже, что оно недействительно, и вы меня, кажется, считаете за совершенную дуру, mon cousin, – сказала княжна с тем выражением, с которым говорят женщины, полагающие, что они сказали нечто остроумное и оскорбительное.
– Милая ты моя княжна Катерина Семеновна, – нетерпеливо заговорил князь Василий. – Я пришел к тебе не за тем, чтобы пикироваться с тобой, а за тем, чтобы как с родной, хорошею, доброю, истинною родной, поговорить о твоих же интересах. Я тебе говорю десятый раз, что ежели письмо к государю и завещание в пользу Пьера есть в бумагах графа, то ты, моя голубушка, и с сестрами, не наследница. Ежели ты мне не веришь, то поверь людям знающим: я сейчас говорил с Дмитрием Онуфриичем (это был адвокат дома), он то же сказал.
Видимо, что то вдруг изменилось в мыслях княжны; тонкие губы побледнели (глаза остались те же), и голос, в то время как она заговорила, прорывался такими раскатами, каких она, видимо, сама не ожидала.
– Это было бы хорошо, – сказала она. – Я ничего не хотела и не хочу.
Она сбросила свою собачку с колен и оправила складки платья.
– Вот благодарность, вот признательность людям, которые всем пожертвовали для него, – сказала она. – Прекрасно! Очень хорошо! Мне ничего не нужно, князь.
– Да, но ты не одна, у тебя сестры, – ответил князь Василий.
Но княжна не слушала его.
– Да, я это давно знала, но забыла, что, кроме низости, обмана, зависти, интриг, кроме неблагодарности, самой черной неблагодарности, я ничего не могла ожидать в этом доме…
– Знаешь ли ты или не знаешь, где это завещание? – спрашивал князь Василий еще с большим, чем прежде, подергиванием щек.
– Да, я была глупа, я еще верила в людей и любила их и жертвовала собой. А успевают только те, которые подлы и гадки. Я знаю, чьи это интриги.
Княжна хотела встать, но князь удержал ее за руку. Княжна имела вид человека, вдруг разочаровавшегося во всем человеческом роде; она злобно смотрела на своего собеседника.
– Еще есть время, мой друг. Ты помни, Катишь, что всё это сделалось нечаянно, в минуту гнева, болезни, и потом забыто. Наша обязанность, моя милая, исправить его ошибку, облегчить его последние минуты тем, чтобы не допустить его сделать этой несправедливости, не дать ему умереть в мыслях, что он сделал несчастными тех людей…
– Тех людей, которые всем пожертвовали для него, – подхватила княжна, порываясь опять встать, но князь не пустил ее, – чего он никогда не умел ценить. Нет, mon cousin, – прибавила она со вздохом, – я буду помнить, что на этом свете нельзя ждать награды, что на этом свете нет ни чести, ни справедливости. На этом свете надо быть хитрою и злою.
– Ну, voyons, [послушай,] успокойся; я знаю твое прекрасное сердце.
– Нет, у меня злое сердце.
– Я знаю твое сердце, – повторил князь, – ценю твою дружбу и желал бы, чтобы ты была обо мне того же мнения. Успокойся и parlons raison, [поговорим толком,] пока есть время – может, сутки, может, час; расскажи мне всё, что ты знаешь о завещании, и, главное, где оно: ты должна знать. Мы теперь же возьмем его и покажем графу. Он, верно, забыл уже про него и захочет его уничтожить. Ты понимаешь, что мое одно желание – свято исполнить его волю; я затем только и приехал сюда. Я здесь только затем, чтобы помогать ему и вам.
– Теперь я всё поняла. Я знаю, чьи это интриги. Я знаю, – говорила княжна.
– Hе в том дело, моя душа.
– Это ваша protegee, [любимица,] ваша милая княгиня Друбецкая, Анна Михайловна, которую я не желала бы иметь горничной, эту мерзкую, гадкую женщину.
– Ne perdons point de temps. [Не будем терять время.]
– Ax, не говорите! Прошлую зиму она втерлась сюда и такие гадости, такие скверности наговорила графу на всех нас, особенно Sophie, – я повторить не могу, – что граф сделался болен и две недели не хотел нас видеть. В это время, я знаю, что он написал эту гадкую, мерзкую бумагу; но я думала, что эта бумага ничего не значит.
– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!


В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.
– Ah, mon ami, oubliez les torts qu'on a pu avoir envers vous, pensez que c'est votre pere… peut etre a l'agonie. – Она вздохнула. – Je vous ai tout de suite aime comme mon fils. Fiez vous a moi, Pierre. Je n'oublirai pas vos interets. [Забудьте, друг мой, в чем были против вас неправы. Вспомните, что это ваш отец… Может быть, в агонии. Я тотчас полюбила вас, как сына. Доверьтесь мне, Пьер. Я не забуду ваших интересов.]
Пьер ничего не понимал; опять ему еще сильнее показалось, что всё это так должно быть, и он покорно последовал за Анною Михайловной, уже отворявшею дверь.
Дверь выходила в переднюю заднего хода. В углу сидел старик слуга княжен и вязал чулок. Пьер никогда не был на этой половине, даже не предполагал существования таких покоев. Анна Михайловна спросила у обгонявшей их, с графином на подносе, девушки (назвав ее милой и голубушкой) о здоровье княжен и повлекла Пьера дальше по каменному коридору. Из коридора первая дверь налево вела в жилые комнаты княжен. Горничная, с графином, второпях (как и всё делалось второпях в эту минуту в этом доме) не затворила двери, и Пьер с Анною Михайловной, проходя мимо, невольно заглянули в ту комнату, где, разговаривая, сидели близко друг от друга старшая княжна с князем Васильем. Увидав проходящих, князь Василий сделал нетерпеливое движение и откинулся назад; княжна вскочила и отчаянным жестом изо всей силы хлопнула дверью, затворяя ее.
Жест этот был так не похож на всегдашнее спокойствие княжны, страх, выразившийся на лице князя Василья, был так несвойствен его важности, что Пьер, остановившись, вопросительно, через очки, посмотрел на свою руководительницу.
Анна Михайловна не выразила удивления, она только слегка улыбнулась и вздохнула, как будто показывая, что всего этого она ожидала.
– Soyez homme, mon ami, c'est moi qui veillerai a vos interets, [Будьте мужчиною, друг мой, я же стану блюсти за вашими интересами.] – сказала она в ответ на его взгляд и еще скорее пошла по коридору.
Пьер не понимал, в чем дело, и еще меньше, что значило veiller a vos interets, [блюсти ваши интересы,] но он понимал, что всё это так должно быть. Коридором они вышли в полуосвещенную залу, примыкавшую к приемной графа. Это была одна из тех холодных и роскошных комнат, которые знал Пьер с парадного крыльца. Но и в этой комнате, посередине, стояла пустая ванна и была пролита вода по ковру. Навстречу им вышли на цыпочках, не обращая на них внимания, слуга и причетник с кадилом. Они вошли в знакомую Пьеру приемную с двумя итальянскими окнами, выходом в зимний сад, с большим бюстом и во весь рост портретом Екатерины. Все те же люди, почти в тех же положениях, сидели, перешептываясь, в приемной. Все, смолкнув, оглянулись на вошедшую Анну Михайловну, с ее исплаканным, бледным лицом, и на толстого, большого Пьера, который, опустив голову, покорно следовал за нею.
На лице Анны Михайловны выразилось сознание того, что решительная минута наступила; она, с приемами деловой петербургской дамы, вошла в комнату, не отпуская от себя Пьера, еще смелее, чем утром. Она чувствовала, что так как она ведет за собою того, кого желал видеть умирающий, то прием ее был обеспечен. Быстрым взглядом оглядев всех, бывших в комнате, и заметив графова духовника, она, не то что согнувшись, но сделавшись вдруг меньше ростом, мелкою иноходью подплыла к духовнику и почтительно приняла благословение одного, потом другого духовного лица.