Винеровское оценивание
Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, которая минимизирует среднюю квадратическую ошибку между реальным y(t) и желаемым d(t) выходными сигналами при бесконечном времени наблюдения. На вход системы подается сигнал f(t), выходной сигнал определяется выражением <math>y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}w(\tau)f(t-\tau)d\tau</math>.
Содержание
Условия
Предполагается, что условия применения, характер сигналов и помех остаются достаточно стабильными, их статистические характеристики меняются мало. Если же условия переменны и помехи в процессе работы систем изменяются существенно, то возникает необходимость автоматической оптимизации параметров систем. Это осуществляется в различного рода экстремальных, адаптивных, обучаемых системах.
Решение задачи
Ошибка системы равна разности между желаемым и реальным выходными сигналами <math>e(t)=d(t)-y(t)</math>. Минимальная среднеквадратическая ошибка по определению равна:
<math>\eta=\overline{e^{2}}=\overline{d^{2}}-2\,\overline{d\,y}+\overline{y^{2}}</math> =
<math>\overline{d^{2}}-2\int_{-\infty}^{+\infty} w(\tau)\overline{f(t-\tau)d(t)} \, \mathrm{d}\tau + \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}w(\xi)w(\mu)\overline{f(t-\xi)f(t-\mu)}\, \mathrm{d}\xi\, \mathrm{d}\mu</math> =
<math>\overline{d^{2}}-2\int_{-\infty}^{+\infty} w(\tau)\rho_{fd}(\tau) \mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}w(\xi)w(\mu)\rho_{ff}(\xi-\mu) \,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d} \mu</math>.
Здесь используются обозначения для корреляционных функций:
<math>\rho_{fd}(\tau)=\overline{f(t)\,d(t+\tau)}</math>
<math>\rho_{ff}(\tau)=\overline{f(t)\,f(t+\tau)}</math>.
Черта над формулой означает осреднение по времени. Будем считать, что оптимальная импульсная характеристика системы существует и равна <math>w_\text{opt}</math>.
Тогда любая отличающаяся от неё импульсная характеристика системы может быть представлена в виде
<math>w(t) = w_\text{opt}(t)+\alpha\,\theta(t)</math>,
где <math>\theta(t)</math> — произвольная функция времени, <math>\alpha</math> — варьируемый коэффициент.
Минимум среднеквадратической ошибки отклонения достигается при <math>\alpha=0</math>. Для поиска <math>w_\text{opt}(t)</math> нужно найти производную показателя качества <math>\eta</math> по коэффициенту вариации <math>\alpha</math> и приравнять её нулю при <math>\alpha=0</math>:
<math>\frac{\partial\eta}{\partial\alpha}|_{\alpha=0}</math> =
<math>-2\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau)\,\rho_{fd}(\tau)\, \mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \left[w_\text{opt}(\xi)\,\theta(\mu) + w_\text{opt}(\mu)\,\theta(\xi)\right] \,\rho_{ff}(\xi-\mu) \,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d}\mu</math> =
<math> -2\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\xi)\rho_{fd}(\xi)\,\mathrm{d}\xi + 2 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(\xi)\, w_\text{opt}(\mu)\,\rho_{ff}(\xi-\mu)\,\mathrm{d}\xi\, \mathrm{d} \mu</math> =
<math>2\int_{-\infty}^{+\infty} \theta(\xi)\, \left[\int_{-\infty}^{+\infty}w_\text{opt}(\mu)\rho_{ff}(\xi-\mu)\mathrm{d}\mu- \rho_{fd}(\xi) \right]\, \mathrm{d}\xi = 0</math>
Поскольку <math>\theta(\xi)</math> — произвольная функция, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда:
<math>\int_{-\infty}^{+\infty} w_\text{opt}(\mu)\, \rho_{ff}(\xi-\mu)\, \mathrm{d}\mu-\rho_{fd}(\xi)=0</math>.
Это и есть уравнение Винера-Хопфа, определяющее оптимальную импульсную характеристику системы по критерию минимальной среднеквадратической ошибки. Для решения применим преобразование Лапласа к полученному уравнению. Известно, что преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа, тогда:
<math>w_\text{opt}(p)S_{ff}(p)-S_{fd}(p)=0</math>,
где <math>w_\text{opt}(p)=L{w_\text{opt}(t)}</math>; <math>S_{ff}(p)=L{\rho_{ff}(t)}</math>; <math>S_{fd}(p)=L{\rho_{fd}(t)}</math>.
Таким образом определяем оптимальный винеровский фильтр 1-го рода:
<math>W_\text{opt I}= \frac{S_{fd}(p)}{S_{ff}(p)}</math>.
Когда порядок полинома в числителе оказывается выше порядка полинома в знаменателе, винеровский фильтр 1-го рода физически нереализуем. Для решения задачи, после определения импульсной характеристики её принудительно приравнивают нулю при отрицательных значениях <math>t </math> (именно отличие <math>w(t) </math> от нуля при <math>t<0 </math> характеризует физическую нереализуемость системы) и таким образом получают физически реализуемый винеровский фильтр 2-го рода.
История
Во время второй мировой войны перед американским математиком Н. Винером встала задача отделения полезного сигнала от шума при решении задач автоматизации систем противовоздушной обороны, использующих радиолокационную технику. В 1942 г. Н. Винер решил эту задачу, допустив что искомая система должна быть линейной с постоянными параметрами, время наблюдения бесконечно, входной и желаемый выходной сигналы системы являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами, система минимизирует среднюю квадратическую ошибку между желаемым и реальным выходными сигналами.
См. также
Напишите отзыв о статье "Винеровское оценивание"
Литература
- Норберт Винер «Я-математик», М., «Наука», 1964, гл 12 «Годы войны. 1940—1945», с. 213—265;
- Хургин Я. И. «Да, нет или может быть…», 2-е изд., М., «Наука», 1983, 208 с., илл., 32.81 Х98 УДК 62-50 ББК 32.81 6Ф0.1, тир. 100000 экз., гл. «Искусство надежды», с. 138—148;
- Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков «Выделение сигналов на фоне случайных помех», М., «Советское радио», 1960, 447 с., гл. 1 «Основные понятия теории фильтрации случайных процессов», с. 7-54;
- Дж. Бендат «Основы теории случайных шумов и её применения», М., «Наука», 1965, 464 стр. с илл., гл. 4 «Оптимальное линейное упреждение и фильтрация», с. 165—215;
Отрывок, характеризующий Винеровское оценивание
И княжна Марья старалась и не умела быть любезной с новым гостем. «La pauvre fille! Elle est diablement laide», [Бедная девушка, она дьявольски дурна собою,] думал про нее Анатоль.M lle Bourienne, взведенная тоже приездом Анатоля на высокую степень возбуждения, думала в другом роде. Конечно, красивая молодая девушка без определенного положения в свете, без родных и друзей и даже родины не думала посвятить свою жизнь услугам князю Николаю Андреевичу, чтению ему книг и дружбе к княжне Марье. M lle Bourienne давно ждала того русского князя, который сразу сумеет оценить ее превосходство над русскими, дурными, дурно одетыми, неловкими княжнами, влюбится в нее и увезет ее; и вот этот русский князь, наконец, приехал. У m lle Bourienne была история, слышанная ею от тетки, доконченная ею самой, которую она любила повторять в своем воображении. Это была история о том, как соблазненной девушке представлялась ее бедная мать, sa pauvre mere, и упрекала ее за то, что она без брака отдалась мужчине. M lle Bourienne часто трогалась до слез, в воображении своем рассказывая ему , соблазнителю, эту историю. Теперь этот он , настоящий русский князь, явился. Он увезет ее, потом явится ma pauvre mere, и он женится на ней. Так складывалась в голове m lle Bourienne вся ее будущая история, в самое то время как она разговаривала с ним о Париже. Не расчеты руководили m lle Bourienne (она даже ни минуты не обдумывала того, что ей делать), но всё это уже давно было готово в ней и теперь только сгруппировалось около появившегося Анатоля, которому она желала и старалась, как можно больше, нравиться.
Маленькая княгиня, как старая полковая лошадь, услыхав звук трубы, бессознательно и забывая свое положение, готовилась к привычному галопу кокетства, без всякой задней мысли или борьбы, а с наивным, легкомысленным весельем.
Несмотря на то, что Анатоль в женском обществе ставил себя обыкновенно в положение человека, которому надоедала беготня за ним женщин, он чувствовал тщеславное удовольствие, видя свое влияние на этих трех женщин. Кроме того он начинал испытывать к хорошенькой и вызывающей Bourienne то страстное, зверское чувство, которое на него находило с чрезвычайной быстротой и побуждало его к самым грубым и смелым поступкам.
Общество после чаю перешло в диванную, и княжну попросили поиграть на клавикордах. Анатоль облокотился перед ней подле m lle Bourienne, и глаза его, смеясь и радуясь, смотрели на княжну Марью. Княжна Марья с мучительным и радостным волнением чувствовала на себе его взгляд. Любимая соната переносила ее в самый задушевно поэтический мир, а чувствуемый на себе взгляд придавал этому миру еще большую поэтичность. Взгляд же Анатоля, хотя и был устремлен на нее, относился не к ней, а к движениям ножки m lle Bourienne, которую он в это время трогал своею ногою под фортепиано. M lle Bourienne смотрела тоже на княжну, и в ее прекрасных глазах было тоже новое для княжны Марьи выражение испуганной радости и надежды.
«Как она меня любит! – думала княжна Марья. – Как я счастлива теперь и как могу быть счастлива с таким другом и таким мужем! Неужели мужем?» думала она, не смея взглянуть на его лицо, чувствуя всё тот же взгляд, устремленный на себя.
Ввечеру, когда после ужина стали расходиться, Анатоль поцеловал руку княжны. Она сама не знала, как у ней достало смелости, но она прямо взглянула на приблизившееся к ее близоруким глазам прекрасное лицо. После княжны он подошел к руке m lle Bourienne (это было неприлично, но он делал всё так уверенно и просто), и m lle Bourienne вспыхнула и испуганно взглянула на княжну.
«Quelle delicatesse» [Какая деликатность,] – подумала княжна. – Неужели Ame (так звали m lle Bourienne) думает, что я могу ревновать ее и не ценить ее чистую нежность и преданность ко мне. – Она подошла к m lle Bourienne и крепко ее поцеловала. Анатоль подошел к руке маленькой княгини.
– Non, non, non! Quand votre pere m'ecrira, que vous vous conduisez bien, je vous donnerai ma main a baiser. Pas avant. [Нет, нет, нет! Когда отец ваш напишет мне, что вы себя ведете хорошо, тогда я дам вам поцеловать руку. Не прежде.] – И, подняв пальчик и улыбаясь, она вышла из комнаты.
Все разошлись, и, кроме Анатоля, который заснул тотчас же, как лег на постель, никто долго не спал эту ночь.
«Неужели он мой муж, именно этот чужой, красивый, добрый мужчина; главное – добрый», думала княжна Марья, и страх, который почти никогда не приходил к ней, нашел на нее. Она боялась оглянуться; ей чудилось, что кто то стоит тут за ширмами, в темном углу. И этот кто то был он – дьявол, и он – этот мужчина с белым лбом, черными бровями и румяным ртом.
