Вириал

Вириал <math>G</math> для множества <math>N</math> точечных частиц в механике определяется как:

<math>G = \sum_{k=1}^N\mathbf{p}_k\cdot\mathbf{r}_k,</math>

где <math>\mathbf{r}_k</math> и <math>\mathbf{p}_k</math> — пространственные векторы координат и импульсов для <math>k</math>-й частицы.

Выражение «вириал» происходит от латинских слов «vis», «viris» — «сила» или «энергия». Оно было введено Клаузиусом в 1870 году.

Теорема о вириале

Для стабильной системы, связанной потенциальными силами, справедлива теорема о вириале:

<math>2\langle T\rangle=-\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle,</math>

где <math>\langle T\rangle</math> представляет среднюю полную кинетическую энергию и <math>\mathbf{F}_k</math> — сила, действующая на <math>k</math>-ю частицу.

В частном случае, когда соответствующая силе потенциальная энергия взаимодействия <math>V(r)</math> пропорциональна <math>n</math>-й степени расстояния между частицами <math>r</math>, вириальная теорема принимает простую форму

<math>2\langle T\rangle=n\langle U\rangle.</math>

Другими словами, удвоенная средняя полная кинетическая энергия <math>T</math> равна <math>n</math>-кратной средней полной потенциальной энергии <math>U</math>.

Значение теоремы о вириале состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, недоступных для точного решения, которые рассматривает, например, статистическая механика. Например, теорему о вириале можно использовать, чтобы вывести эквипарциальную теорему (теорема о равномерности распределении энергии по степеням свободы) или вычислить предел Чандрасекара для устойчивости белого карлика.

Производная по времени и усреднение

Производную по времени от вириала можно записать

<math>\frac{dG}{dt}=\sum_{k=1}^N\frac{d\mathbf{p}_k}{dt}\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N\mathbf{p}_k\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}=</math>

<math>=\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N m_k\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}</math>

или в более простой форме

<math>\frac{dG}{dt}=2T+\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k.</math>

Здесь <math>m_k</math> масса <math>k</math>-й частицы, <math>\mathbf{F}_k=\frac{d\mathbf{p}_k}{dt}</math> — полная сила, действующая на частицу, а <math>T</math> — полная кинетическая энергия системы

<math>T=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N m_k v_k^2=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N m_k\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}.</math>

Усреднение этой производной за время <math>\tau</math> определяется следующим образом:

<math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=\frac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau\frac{dG}{dt}\,dt=\frac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau dG=\frac{G(\tau)-G(0)}{\tau},</math>

откуда мы получим точное решение

<math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=2\langle T\rangle_\tau+\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau.</math>

Вириальная теорема

Вириальная теорема утверждает:

Если <math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0</math>, то

<math>2\langle T\rangle_\tau=-\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau.</math>

Имеется несколько причин того, почему усреднение производной по времени исчезает, то есть <math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0</math>. Одна часто цитируемая причина апеллирует к связанным системам, то есть системам, которые остаются ограниченными в пространстве. В этом случае вириал <math>G^{\mathrm{bound}}</math> обычно ограничен двумя пределами, <math>G_\min</math> и <math>G_\max</math>, и среднее стремится к нулю в пределе очень долгих времен <math>\tau</math>:

<math>\lim_{\tau\to\infty}\left|\left\langle\frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt}\right\rangle_\tau\right|=\lim_{\tau\to\infty}\left|\frac{G(\tau)-G(0)}{\tau}\right|\leqslant\lim_{\tau\to\infty}\frac{G_\max-G_\min}{\tau}=0.</math>

Если среднее значение производной по времени <math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau\approx 0</math>, вириальная теорема имеет ту же степень приближения.

Соотношение с потенциальной энергией

Полная сила <math>\mathbf{F}_k</math>, действующая на частицу <math>k</math>, есть сумма всех сил действующих со стороны других частиц <math>j</math> в системе

<math>\mathbf{F}_k=\sum_{j=1}^N\mathbf{F}_{jk},</math>

где <math>\mathbf{F}_{jk}</math> — сила, действующая на частицу <math>j</math> со стороны частицы <math>k</math>. Отсюда, слагаемое в производной по времени от вириала, содержащее силу, можно переписать в виде:

<math>\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j=1}^N\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k.</math>

Поскольку отсутствует самодействие (то есть <math>\mathbf{F}_{jk}=0</math>, где <math>j=k</math>), мы получим:

<math>\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N\sum_{j>k}\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j),</math>

где мы предположим, что выполняется третий закон Ньютона, то есть <math>\mathbf{F}_{jk}=-\mathbf{F}_{kj}</math> (равны по модулю и противоположны по направлению).

Часто случается, что силы могут быть получены из потенциальной энергии <math>V</math>, которая является функцией только расстояния <math>r_{jk}</math> между точечными частицами <math>j</math> и <math>k</math>. Поскольку сила — это градиент потенциальной энергии с обратным знаком, мы имеем в этом случае

<math>\mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_k}V=-\frac{dV}{dr}\frac{\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j}{r_{jk}},</math>

который равен по модулю и противоположен по направлению вектору <math>\mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_j}V</math> — силе, которая действует со стороны частицы <math>k</math> на частицу <math>j</math>, как можно показать простыми вычислениями. Отсюда силовое слагаемое в производной от вириала по времени равно

<math>\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j)=-\sum_{k=1}^N\sum_{j<k} \frac{dV}{dr}\frac{(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j)^2}{r_{jk}}=-\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\frac{dV}{dr}r_{jk}.</math>

Применение к силам, зависящим от расстояния степенным образом

Часто оказывается, что потенциальная энергия <math>V</math> имеет вид степенной функции

<math>V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^n,</math>

где коэффициент <math>\alpha</math> и показатель <math>n</math> — константы. В таком случае, силовое слагаемое в производной от вириала по времени задаётся следующими уравнениями

<math>-\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\frac{dV}{dr}r_{jk}=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}nV(r_{jk})=nU,</math>

где <math>U</math> — полная потенциальная энергия системы:

<math>U=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}V(r_{jk}).</math>

В таких случаях, когда среднее от производной по времени от вириала <math>\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0</math>, выполняется уравнение

<math>\langle T\rangle_\tau=-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau=\frac{n}{2}\langle U\rangle_\tau.</math>

Обычно приводимый пример — гравитационное притяжение, для которого <math>n=-1</math>. В том случае, средняя кинетическая энергия — половина средней отрицательной потенциальной энергии

<math>\langle T\rangle_\tau=-\frac{1}{2}\langle U\rangle_\tau.</math>

Этот результат является замечательно полезным для сложных гравитационных систем, типа солнечная система или галактика, и также выполняется для электростатической системы, для которой <math>n=-1</math> также.

Хотя это выражение получено для классической механики, вириальная теорема также верна для квантовой механики.

Учёт электромагнитных полей

Вириальную теорему можно обобщить на случай электрических и магнитных полей. Результат:

<math>\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}I+\int\limits_V x_k\frac{\partial G_k}{\partial t}\,d^3r=2(T+U)+W^E+W^M-\int x_k(p_{ik}+T_{ik})\,dS_i,</math>

где <math>I</math> — момент инерции, <math>G</math> — вектор Пойнтинга, <math>T</math> — кинетическая энергия «жидкости», <math>U</math> — случайная тепловая энергия частиц, <math>W^E</math> и <math>W^M</math> — энергия электрического и магнитного поля в рассматриваемом объёме системы, <math>p_{ik}</math> — тензор давления жидкости выраженный в локальной движущейся системе координат, сопутствующей жидкости:

<math>p_{ik}=\Sigma n^\sigma m^\sigma\langle v_iv_k\rangle^\sigma-V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma</math>

и <math>T_{ik}</math> — тензор энергии-импульса электромагнитного поля:

<math>T_{ik}=\left(\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right)\delta_{ik}-\left(\varepsilon_0E_iE_k+\frac{B_iB_k}{\mu_0}\right).</math>

Плазмоид — ограниченная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью вириальной теоремы легко показать, что любая такая конфигурация расширяется, если не сдерживается внешними силами. В конечной конфигурации поверхностный интеграл исчезнет без оказывающих давление стен или магнитных катушек. Так как все другие слагаемые справа положительные, ускорение момента инерции также будет положительно. Легко оценить время расширения <math>\tau</math>. Если полная масса <math>M</math> ограничена в пределах радиуса <math>R</math>, то момент инерции — примерно <math>MR^2</math>, и левая сторона в вириальной теореме — <math>MR^2/\tau^2</math>. Слагаемые справа составляют в целом величину порядка <math>pR^3</math>, где <math>p</math> — большее из плазменного давления или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и учитывая, что <math>M= m_i n V \sim m_i n R^3</math>, <math>p \sim n kT</math>, <math>c^2_s \sim \frac {kT} {m_i}</math>, где <math> m_i</math> есть масса иона, <math> n </math> – концентрация ионов, <math>V \sim R^3</math> – объём плазмоида, <math> k </math> – постоянная Больцмана, <math> T </math> – температура, для <math>\tau</math> находим:

<math>\tau\sim R/c_s,</math>

где <math>c_s </math> является скоростью ионной акустической волны (или волны Альфена, если магнитное давление выше, чем плазменное давление). Таким образом, время жизни плазмоида, как ожидают, будет равняться по порядку величины акустическому (альфеновскому) времени прохождения.

См. также

• Вириальное разложение

Литература

• Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd. ed. — Addison-Wesley, 1980. — ISBN 0-201-02918-9.

Отрывок, характеризующий Вириал

– Ну, ладно, – сказал Денисов. И, обратившись к своим подчиненным, он сделал распоряжения о том, чтоб партия шла к назначенному у караулки в лесу месту отдыха и чтобы офицер на киргизской лошади (офицер этот исполнял должность адъютанта) ехал отыскивать Долохова, узнать, где он и придет ли он вечером. Сам же Денисов с эсаулом и Петей намеревался подъехать к опушке леса, выходившей к Шамшеву, с тем, чтобы взглянуть на то место расположения французов, на которое должно было быть направлено завтрашнее нападение.
– Ну, бог'ода, – обратился он к мужику проводнику, – веди к Шамшеву.
Денисов, Петя и эсаул, сопутствуемые несколькими казаками и гусаром, который вез пленного, поехали влево через овраг, к опушке леса.


Дождик прошел, только падал туман и капли воды с веток деревьев. Денисов, эсаул и Петя молча ехали за мужиком в колпаке, который, легко и беззвучно ступая своими вывернутыми в лаптях ногами по кореньям и мокрым листьям, вел их к опушке леса.
Выйдя на изволок, мужик приостановился, огляделся и направился к редевшей стене деревьев. У большого дуба, еще не скинувшего листа, он остановился и таинственно поманил к себе рукою.
Денисов и Петя подъехали к нему. С того места, на котором остановился мужик, были видны французы. Сейчас за лесом шло вниз полубугром яровое поле. Вправо, через крутой овраг, виднелась небольшая деревушка и барский домик с разваленными крышами. В этой деревушке и в барском доме, и по всему бугру, в саду, у колодцев и пруда, и по всей дороге в гору от моста к деревне, не более как в двухстах саженях расстояния, виднелись в колеблющемся тумане толпы народа. Слышны были явственно их нерусские крики на выдиравшихся в гору лошадей в повозках и призывы друг другу.
– Пленного дайте сюда, – негромко сказал Денисоп, не спуская глаз с французов.
Казак слез с лошади, снял мальчика и вместе с ним подошел к Денисову. Денисов, указывая на французов, спрашивал, какие и какие это были войска. Мальчик, засунув свои озябшие руки в карманы и подняв брови, испуганно смотрел на Денисова и, несмотря на видимое желание сказать все, что он знал, путался в своих ответах и только подтверждал то, что спрашивал Денисов. Денисов, нахмурившись, отвернулся от него и обратился к эсаулу, сообщая ему свои соображения.
Петя, быстрыми движениями поворачивая голову, оглядывался то на барабанщика, то на Денисова, то на эсаула, то на французов в деревне и на дороге, стараясь не пропустить чего нибудь важного.
– Пг'идет, не пг'идет Долохов, надо бг'ать!.. А? – сказал Денисов, весело блеснув глазами.
– Место удобное, – сказал эсаул.
– Пехоту низом пошлем – болотами, – продолжал Денисов, – они подлезут к саду; вы заедете с казаками оттуда, – Денисов указал на лес за деревней, – а я отсюда, с своими гусаг'ами. И по выстг'елу…
– Лощиной нельзя будет – трясина, – сказал эсаул. – Коней увязишь, надо объезжать полевее…
В то время как они вполголоса говорили таким образом, внизу, в лощине от пруда, щелкнул один выстрел, забелелся дымок, другой и послышался дружный, как будто веселый крик сотен голосов французов, бывших на полугоре. В первую минуту и Денисов и эсаул подались назад. Они были так близко, что им показалось, что они были причиной этих выстрелов и криков. Но выстрелы и крики не относились к ним. Низом, по болотам, бежал человек в чем то красном. Очевидно, по нем стреляли и на него кричали французы.
– Ведь это Тихон наш, – сказал эсаул.
– Он! он и есть!
– Эка шельма, – сказал Денисов.
– Уйдет! – щуря глаза, сказал эсаул.
Человек, которого они называли Тихоном, подбежав к речке, бултыхнулся в нее так, что брызги полетели, и, скрывшись на мгновенье, весь черный от воды, выбрался на четвереньках и побежал дальше. Французы, бежавшие за ним, остановились.
– Ну ловок, – сказал эсаул.
– Экая бестия! – с тем же выражением досады проговорил Денисов. – И что он делал до сих пор?
– Это кто? – спросил Петя.
– Это наш пластун. Я его посылал языка взять.
– Ах, да, – сказал Петя с первого слова Денисова, кивая головой, как будто он все понял, хотя он решительно не понял ни одного слова.
Тихон Щербатый был один из самых нужных людей в партии. Он был мужик из Покровского под Гжатью. Когда, при начале своих действий, Денисов пришел в Покровское и, как всегда, призвав старосту, спросил о том, что им известно про французов, староста отвечал, как отвечали и все старосты, как бы защищаясь, что они ничего знать не знают, ведать не ведают. Но когда Денисов объяснил им, что его цель бить французов, и когда он спросил, не забредали ли к ним французы, то староста сказал, что мародеры бывали точно, но что у них в деревне только один Тишка Щербатый занимался этими делами. Денисов велел позвать к себе Тихона и, похвалив его за его деятельность, сказал при старосте несколько слов о той верности царю и отечеству и ненависти к французам, которую должны блюсти сыны отечества.
– Мы французам худого не делаем, – сказал Тихон, видимо оробев при этих словах Денисова. – Мы только так, значит, по охоте баловались с ребятами. Миродеров точно десятка два побили, а то мы худого не делали… – На другой день, когда Денисов, совершенно забыв про этого мужика, вышел из Покровского, ему доложили, что Тихон пристал к партии и просился, чтобы его при ней оставили. Денисов велел оставить его.
Тихон, сначала исправлявший черную работу раскладки костров, доставления воды, обдирания лошадей и т. п., скоро оказал большую охоту и способность к партизанской войне. Он по ночам уходил на добычу и всякий раз приносил с собой платье и оружие французское, а когда ему приказывали, то приводил и пленных. Денисов отставил Тихона от работ, стал брать его с собою в разъезды и зачислил в казаки.
Тихон не любил ездить верхом и всегда ходил пешком, никогда не отставая от кавалерии. Оружие его составляли мушкетон, который он носил больше для смеха, пика и топор, которым он владел, как волк владеет зубами, одинаково легко выбирая ими блох из шерсти и перекусывая толстые кости. Тихон одинаково верно, со всего размаха, раскалывал топором бревна и, взяв топор за обух, выстрагивал им тонкие колышки и вырезывал ложки. В партии Денисова Тихон занимал свое особенное, исключительное место. Когда надо было сделать что нибудь особенно трудное и гадкое – выворотить плечом в грязи повозку, за хвост вытащить из болота лошадь, ободрать ее, залезть в самую середину французов, пройти в день по пятьдесят верст, – все указывали, посмеиваясь, на Тихона.
– Что ему, черту, делается, меренина здоровенный, – говорили про него.
Один раз француз, которого брал Тихон, выстрелил в него из пистолета и попал ему в мякоть спины. Рана эта, от которой Тихон лечился только водкой, внутренне и наружно, была предметом самых веселых шуток во всем отряде и шуток, которым охотно поддавался Тихон.
– Что, брат, не будешь? Али скрючило? – смеялись ему казаки, и Тихон, нарочно скорчившись и делая рожи, притворяясь, что он сердится, самыми смешными ругательствами бранил французов. Случай этот имел на Тихона только то влияние, что после своей раны он редко приводил пленных.
Тихон был самый полезный и храбрый человек в партии. Никто больше его не открыл случаев нападения, никто больше его не побрал и не побил французов; и вследствие этого он был шут всех казаков, гусаров и сам охотно поддавался этому чину. Теперь Тихон был послан Денисовым, в ночь еще, в Шамшево для того, чтобы взять языка. Но, или потому, что он не удовлетворился одним французом, или потому, что он проспал ночь, он днем залез в кусты, в самую середину французов и, как видел с горы Денисов, был открыт ими.


Поговорив еще несколько времени с эсаулом о завтрашнем нападении, которое теперь, глядя на близость французов, Денисов, казалось, окончательно решил, он повернул лошадь и поехал назад.
– Ну, бг'ат, тепег'ь поедем обсушимся, – сказал он Пете.
Подъезжая к лесной караулке, Денисов остановился, вглядываясь в лес. По лесу, между деревьев, большими легкими шагами шел на длинных ногах, с длинными мотающимися руками, человек в куртке, лаптях и казанской шляпе, с ружьем через плечо и топором за поясом. Увидав Денисова, человек этот поспешно швырнул что то в куст и, сняв с отвисшими полями мокрую шляпу, подошел к начальнику. Это был Тихон. Изрытое оспой и морщинами лицо его с маленькими узкими глазами сияло самодовольным весельем. Он, высоко подняв голову и как будто удерживаясь от смеха, уставился на Денисова.