Внешняя мера

Внешняя мера — одно из обобщений понятий длина, площадь и объем; является вещественнозначной функцией, определенной на всех подмножествах пространства, которая удовлетворяет нескольким дополнительным техническим условиям.

История

Общая теория внешней меры была разработана Константином Каратеодори с целью обеспечить основу для теории измеримых множеств и счётно-аддитивных мер. Работы Каратеодори по внешней мере нашли немало применений в теории измеримых множеств (внешняя мера, например, используется в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о продолжении), и была использована Хаусдорфом для определения метрического инварианта, обобщающего размерность, сейчас он называется размерностью Хаусдорфа.

Случай числовой прямой

Для произвольного подмножества <math>E</math> числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем, состоящих из конечного или счётного количества интервалов, объединение которых содержит множество <math>E</math>. Назовем такие системы покрытиями. Поскольку сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, является величиной неотрицательной, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю границу. Эта грань, зависящая только от множества <math>E</math>, и называется внешней мерой:

<math>m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}</math>

Варианты обозначения внешней меры:

<math>m^*E=\varphi(E)=|E|^*</math>

Формальное определение

Пусть <math>X</math> — фиксированное множество. Внешней мерой называется функция <math>\mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty]</math>, такая, что

1. <math>\mu^{*}(\varnothing) = 0</math>;
2. <math>\forall A \subseteq X,\, \forall A_{n} \sub X, n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})</math>.

Пусть <math>\mu</math> — мера, определенная на кольце <math>K</math>. Внешней мерой, порожденной мерой <math>\mu</math>, называется функция <math>\mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty]</math>, такая, что

1. <math>\mu^{*}(A) = \inf\bigl\{\sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n})\bigr\},\; A_{n} \subset K, n\geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}</math>, если хоть одно такое покрытие множества <math>A</math> существует;
2. <math>\mu^{*}(A) = +\infty</math> в противном случае.

Теорема. Внешняя мера <math>\mu^{*}</math>, порожденная мерой <math>\mu</math>, является внешней мерой.

<math>\vartriangleright</math> Проверим пункт первый из определения внешней меры. <math>\mu \geqslant 0 \Rightarrow \mu^{*} \geqslant 0</math>. <math>\mu^{*}</math> определена на <math>2^{X}</math>.

<math>\varnothing \in K\colon \mu^{*}(\varnothing) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(\varnothing) = 0 \Rightarrow \mu^{*}(\varnothing) = 0</math>.

Проверим второй пункт определения. Пусть <math>A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n</math>. Если существует такое множество <math>A_{n}</math> из покрытия, что <math>\mu^{*}(A_{n}) = +\infty</math>, то неравенство выполняется. Пусть дальше все множества из покрытия такие, что <math>\mu^{*}(A_{n}) < +\infty,\, \forall n \geqslant 1</math>. Возьмем произвольное <math>\varepsilon > 0</math>, по определению точной нижней границы

<math>\forall n \geqslant 1\, \exists B_{n_{k}} \in K, k \geqslant 1,\, A_{n} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}\colon \mu^{*}(A_{n}) > \sum_{k = 1}^{\infty}\mu(B_{n_{k}}) - \frac{\varepsilon}{2^{n}}</math>.

Тогда

<math>\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} \supseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} \supseteq A</math>.

Поскольку <math>\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}</math> является счётным объединением элементов кольца <math>K</math>, то

<math>\mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{k = 1}^{\infty}\mu(B_{n_{k}}) < \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\mu^{*}(A_{n}) + \frac{\varepsilon}{2^{n}}\bigr) = \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}) + \varepsilon, \varepsilon \longrightarrow 0+</math>. <math>\vartriangleleft</math>

Свойства внешней меры

Свойства внешней меры <math>\mu^{*}</math>:

• <math>\forall n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k}\colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k})</math>.

<math>\vartriangleright</math> Действительно,

<math>A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k} \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}) + \mu^{*}(\varnothing) + \mu^{*}(\varnothing) + \cdots = \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k})</math>. <math>\vartriangleleft</math>

• <math>A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B)</math> (монотонность).

<math>\vartriangleright</math> Вытекает из предыдущего свойства при <math>n = 1</math>. <math>\vartriangleleft</math>

<math>\mu^{*}</math> — измеримые множества

Пусть <math>\mu^{*}</math> — некоторая внешняя мера, определенная на подмножестве множества <math>X</math>. Тогда множества <math>E \subset X</math>, такие, что для всех <math>A \subset X</math> выполняется равенство:

<math> \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^'). </math>

называются <math>\mu^{*}</math> — измеримыми. <math>\mu^{*}</math> — измеримые множества образуют σ-кольцо, а функция <math>\mu^{*}</math>, определенная на элементах этого σ-кольца, является мерой, порожденной <math>\mu^{*}</math>. Если внешняя мера <math>\mu^{*}</math> порождена некоторой мерой <math>\mu</math>, определенной на кольце <math>K</math>, то <math>\overline \mu</math> будет продолжением меры <math>\mu</math> (где <math>\overline \mu</math> - определенная выше мера, порожденная <math>\mu^{*}</math>).

Если определить <math>\overline \mu^*</math> некоторой внешней мерой, порожденой мерой <math>\overline \mu</math>, то <math>\mu^{*} = \overline \mu^*</math> тогда и только тогда, когда сама внешняя мера <math>\mu^{*}</math> порождена некоторой мерой <math>\mu</math>.

См. также

• Мера Лебега
• Теорема Каратеодори о продолжении меры

Литература

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953

Отрывок, характеризующий Внешняя мера

«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…


Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.
– Папа, а я к вам за делом пришел. Я было и забыл. Мне денег нужно.
– Вот как, – сказал отец, находившийся в особенно веселом духе. – Я тебе говорил, что не достанет. Много ли?
– Очень много, – краснея и с глупой, небрежной улыбкой, которую он долго потом не мог себе простить, сказал Николай. – Я немного проиграл, т. е. много даже, очень много, 43 тысячи.