Волна

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Волна́ — изменение некоторой совокупности физических величин (характеристик некоторого физического поля или материальной среды), которое способно перемещаться, удаляясь от места их возникновения, или колебаться внутри ограниченных областей пространства[1].

Волновой процесс может иметь самую разную физическую природу: механическую, химическую (реакция Белоусова — Жаботинского, протекающая в автоколебательном режиме каталитического окисления различных восстановителей бромисто-водородной кислотой HBrO3 ), электромагнитную (электромагнитное излучение), гравитационную (гравитационные волны), спиновую (магнон), плотности вероятности (ток вероятности) и т. д. Как правило, распространение волны сопровождается переносом энергии, но не переносом массы.

Многообразие волновых процессов приводит к тому, что никаких абсолютных общих свойств волн выделить не удаётся[1]. Одним из часто встречающихся признаков волн считается близкодействие, проявляющееся во взаимосвязи возмущений в соседних точках среды или поля, однако в общем случае[уточнить] может отсутствовать и оно[1]. Среди всего многообразия волн выделяют некоторые их простейшие типы, которые возникают во многих физических ситуациях из-за математического сходства описывающих их физических законов[1]. Об этих законах говорят в таком случае как о волновых уравнениях. Для непрерывных систем это обычно дифференциальные уравнения в частных производных в фазовом пространстве системы, для сред часто сводимые к уравнениям, связывающим возмущения в соседних точках через пространственные и временные производные этих возмущений[1]. Важным частным случаем волн являются линейные волны, для которых справедлив принцип суперпозиции.

В основном физические волны не переносят материю, но возможен вариант, где происходит волновой перенос именно материи, а не только энергии. Такие волны способны распространяться сквозь абсолютную пустоту. Примером таких волн может служить нестационарное излучение газа в вакуум, волны вероятности электрона и других частиц, волны горения, волны химической реакции, волны плотности реагентов / транспортных потоков.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3729 дней]





Происхождение волн

Волны могут генерироваться различными способами.

  • Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).
  • Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например, волны на воде при достаточно большой скорости ветра, дующего над водной гладью.
  • Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волн в кристаллическом твёрдом теле могут генерироваться звуковые волны.

Характеристики волн

Базовым представителем волн являются линейные распространяющиеся волны, возникающие в системах, динамика которых может быть описана линейными гиперболическими уравнениями второго порядка (волновыми уравнениями) относительно характеристик системы <math>\Psi_i</math>

<math>\frac{\partial^2\Psi_i}{\partial t^2}-\sum_{j,k}A^j_{i,k}\frac{\partial^2\Psi_j}{\partial x_k^2}=0,</math>

где матрицы <math>A^j_{i,k}</math> положительно определены для всех <math>i</math>.

Геометрические элементы

Геометрически у волны выделяют следующие элементы:

  • гребень волны — множество точек волны с максимальным положительным отклонением от состояния равновесия;
  • долина (ложбина) волны — множество точек волны с наибольшим отрицательным отклонением от состояния равновесия;
  • волновая поверхность — множество точек, имеющих в некий фиксированный момент времени одинаковую фазу колебаний. В зависимости от формы фронта волны выделяют плоские, сферические, эллиптические и другие волны.

Терминология гребня и ложбины волны, как правило, применима к поверхностным волнам на границе двух сред – например, для поверхностных волн на воде. Иногда эту терминологию используют для описания графиков волнового процесса. Для продольных волн используются понятия экстремальных точек волны: точек максимального сжатия и максимального разрежения [2]. При этом в случае механических волн соответствующие элементарные объёмы смещаются из своих положений равновесия к области максимального сжатия или от области максимального разрежения с обеих сторон от волновых поверхностей, проходящих через экстремальные точки волны. Максимума же или минимума достигают только параметры субстанции – например, давление в элементарном объёме, концентрация определённого химического вещества, напряжённость поля, плотность элементов дискретной динамической системы и т. д.

Для стоячих волн используют понятие пучность и узел.

Временна́я и пространственная периодичности

Поскольку волновые процессы обусловлены совместным колебанием элементов динамической системы (осцилляторов, элементарных объёмов), они обладают как свойствами колебаний своих элементов, так и свойствами совокупности этих колебаний.

К первым относится временная периодичность — период T повторения колебаний волнового процесса в некоторой точке пространства, T=1/f, где fчастота повторения колебаний, f= ω/2π, ω — круговая частота, равная скорости изменения фазы колебаний [радиан/с] волнового процесса во времени.

Ко вторым относится пространственная периодичностьдлина волны λ, равная пространственному периоду волнового процесса в окрестности некоторой точки пространства в некоторый момент времени, связанная с волновым числом k= 2π/λ [радиан/м] — скоростью изменения фазы волнового процесса с изменением координаты, "пространственной круговой частотой".

Временная и пространственная периодичности взаимосвязаны. В упрощённом виде для линейных волн эта зависимость имеет следующий вид[3]:

<math>f = c/\lambda</math>       

где c — скорость распространения волны в данной среде.

Для сложных процессов с дисперсией и нелинейностью, данная зависимость применима для каждой частоты спектра, в который может быть разложен любой волновой процесс.

Интенсивность волны

Для характеристики интенсивности волнового процесса используют три параметра: амплитуда волнового процесса, плотность энергии волнового процесса и плотность потока энергии (плотность потока мощности).

Классификации волн

Имеется множество классификаций волн, различающихся по своей физической природе, по конкретному механизму распространения, по среде распространения и т. п.

По своему характеру волны подразделяются наК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 4557 дней]:

Бегущие волны, как правило, способны удаляться на значительные расстояния от места своего возникновения (по этой причине волны иногда называют «колебанием, оторвавшимся от излучателя»К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 4557 дней]).

Влияние субстанции

Особенности физической среды, в которой распространяются волны, накладывают особенности на характер их распространения, оставляя неизменными базовые волновые свойства. В связи с этим различают следующие основные виды волн:

  • Механические упругие волны в твёрдых, жидких, газообразных материалах:
    • Волны на границе двух сред (поверхностные волны);
    • Продольные волны в субстанции;
    • Поперечные волны;
      • Волны сдвиговой деформации;
      • Компаундные волны, возникающие в результате суперпозиции продольных противофазных волн в средах без сдвиговой деформации (жидких, газообразных);
  • Электромагнитные волны;
  • Волновые процессы в проводящих средах, в т. ч. и волны в плазме;
  • Гравитационные волны.

По отношению к направлению колебаний частиц среды

  • Продольные волны (волны сжатия, P-волны) — частицы среды колеблются параллельно (по) направлению распространения волны (как, например, в случае распространения звука);
  • Поперечные волны (волны сдвига, S-волны) — частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (волны на границах разделения сред, электромагнитные волны);
  • Волны смешанного типа.

По геометрии фронта волны (поверхности равных фаз)

Продольные волны: Поперечные волны:

По математическому описанию

  • Линейные волны — волны с небольшой амплитудой, свойства которых описываются стандартным волновым уравнением для идеальной субстанции;
  • Нелинейные волны — волны с большими амплитудами, что приводит к возникновению совершенно новых эффектов и существенно изменяет характер уже известных явлений. К ним, в частности, относят:

Часто к нелинейным волнам относят поверхностные волны, сопутствующие продольным волнам в ограниченном объёме сплошной среды. В действительности эффект возникает в связи со смещённым на <math>\pi</math>/2 наложением линейных продольных и обусловленных ими поперечных колебаний при сжатии элементарных объёмов среды. Возникающая при этом негармоничность результирующих колебаний способна привести к поверхностному разрушению материала при значительно меньших внешних нагрузках, чем при нелинейных статических явлениях в материале. Также часто к нелинейным относят некоторые типы наклонных волн. Тем не менее, в ряде случаев, как например при возбуждении поверхностных волн источником продольных волн, расположенным на дне объёма, или при возбуждении колебаний в стержнях под действием наклонной силы, — наклонные волны возникают при синфазном наложении. Описываются эти типы волн линейным волновым уравнением.

Также как в случае распространения волн в средах с изломом при анизотропности параметров среды для продольных и поперечных волн, наклонные волны тоже описываются линейными уравнениями, хотя их решения показывают даже срыв колебательного процесса на изломе. Их обычно относят к нелинейным колебательным процессам, хотя по сути они таковыми не являются.

Следует отметить, что в ряде случаев волновые процессы в линиях с сопротивлением могут быть сведены к решению линейного волнового уравнения (системы линейных волновых уравнений для дискретных динамических систем).

По времени возбуждения субстанции

  • Монохроматическая волна – линейная волна с гармонической временной зависимостью от колебаний(то есть фурье-спектр которой отличен от нуля на единственной частоте), распространяющаяся в субстанции неопределённое (в математическом описании бесконечное или полубесконечное) время [4][5].
  • Одиночная волна — короткое одиночное возмущение (солитоны). Фурье-спектр такой волны является сплошным, то есть содержит бесконечное число гармонических волн.
  • Волновой пакет — последовательность возмущений, ограниченных во времени, с перерывами между ними. Одно беспрерывное возмущение такого ряда называется цугом волн. В теории волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн при периодичности последовательности образующих линейчатый спектр, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета может эволюционировать во времени и в пространстве, в котором распространяется волна. Для описания этих изменений используется автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой копией. Для дискретных динамических систем в ряде случаев амплитуды спектра могут быть найдены путём решения линейной системы уравнений для каждого члена ряда Фурье.

Общие свойства волн

Резонансные явления

В ограниченных в пространстве субстанциях волновым процессам свойственно проявление резонансных эффектов, обусловленных множественным наложением прямых и отражённых от границ волн, что приводит к резкому возрастанию амплитуды волнового процесса. При множественном наложении в области резонанса происходит аддитивное накопление энергии динамической системой вследствие синфазности прямых и обратных волн. Обычно принято считать, что в идеальных динамических системах без диссипации энергии при частоте резонанса амплитуда колебаний становится бесконечной, но это не всегда происходит, поскольку энергия свободных колебаний во многих случаях остаётся конечной. Здесь следует различать особенности возникновения резонансов в динамических системах:

  • Резонансные явления различаются в зависимости от того, являются ли волновые процессы вынужденными или свободными.

Вынужденные процессы возникают в системе при постоянном динамическом воздействии внешней силы. В этом случае спектр колебаний, возникающих в системе, является непрерывным с возрастанием амплитуды на резонансных частотах.

Расчетная амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики входного сопротивления <math>R _{in}</math> при различных значениях активной нагрузки <math>R_{load}</math> и постоянной величине амплитуды входного тока <math>I (t)</math> от частоты.

На графиках мы видим, что при определенной нагрузке графики амплитуды и фазы становятся монотонными (красная линия), что свидетельствует об отсутствии отражения от конца линии, и линия ведёт себя как бесконечная. Вынужденные волновые процессы описываются волновым уравнением (системой уравнений для динамических систем с сосредоточенными параметрами) с правой частью, в которую подставляется значение воздействующей внешней силы. В математике такого типа уравнения называются неоднородными, а их решения называют частными решениями [6]

Свободные колебания являются результатом последействия после окончания воздействия внешнего возмущения. Для этих волновых процессов характерен дискретный спектр, соответствующий частотам внутренних резонансов динамической системы. Данные колебания описываются волновым уравнением (системой уравнений) с нулевой правой частью. В математике такого типа дифференциальные уравнения называют однородными, а их решения – общими. Для нахождения постоянных интегрирования в данном случае требуется знание ненулевых параметров колебания хотя бы в одной точке динамической системы. При нулевом отклонении параметров всей системы (отсутствии предварительного возмущения) общее решение уравнения будет обращаться в ноль. При этом частное решение может быть и ненулевым. Таким образом, общее и частное решение волнового уравнения описывают различные процессы, возникающие в динамической системе. Частное решение описывает реакцию на непосредственное воздействие на систему, а общее решение – последействие системы при окончании воздействия на неё.

  • Резонансные явления различаются в зависимости от дискретности или непрерывности самой динамической системы. В динамической системе с сосредоточенными параметрами резонансные явления даже в случае идеальности самой системы не приводят к бесконечному возрастанию амплитуды колебаний.

При предельном переходе к динамической системе с распределёнными параметрами в идеальном случае амплитуды возрастают до бесконечности. В линиях с сопротивлением, амплитуды резонансов в любом случае конечны. Величина сопротивления/вязкости влияет как на амплитуды резонансов, уменьшая их, так и смещает частоты резонансов.

  • На резонансные явления оказывают влияние условия отражения волны на границах. Ранее мы видели, что при определённых условиях отражения от границы, конечная динамическая система ведёт себя как бесконечная. При неполном отражении от границы возникают совместные стоячие и прогрессивные волны, описываемые коэффициентом стоячей волны.

Если волновое сопротивление границы (в динамических системах с сосредоточенными параметрами) носит комплексный характер, то при определённых значениях такого сопротивления в динамической системе происходит резкое смещение резонансных частот.

Расчётная амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (b) характеристики входного сопротивления <math>R _{in}</math> от частоты при различной ёмкости нагрузки <math>C_{load}</math> и постоянной величине амплитуды входного тока <math>I (t)</math>.

  • На резонансные процессы влияют и свойства самой динамической системы. В частности, в дискретных динамических системах с резонансными подсистемами возникает четвёртый, резонансный тип колебаний, названный экспериментально открывшим его проф. Скучиком «колебания с отрицательной мерой инерции», поскольку при этих колебаниях входное сопротивление системы становится отрицательным. Это означает, что элемент, на который воздействует внешняя сила, движется встречно направлению воздействия последней. В этом режиме амплитуды колебаний даже в дискретных динамических системах обращаются в бесконечность, и резонансы возникают как выше, так и ниже частотного диапазона резонансов основной динамической системы.

Динамические системы с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как динамические системы с распределёнными параметрами при условии:

<math>\frac{a}{\lambda } \ll \frac{1}Шаблон:\pi</math>

где <math> a </math> – расстояние между элементами динамической системы с сосредоточенными параметрами.

  • Наконец, на резонансные вынужденные колебания в динамической системе влияет точка приложения внешней силы. При определённом положении резонансы могут возникать только в части динамической системы.

Диаграммы вынужденных колебаний в конечной однородной упругой линии с незакрепленными концами при воздействии внешней силы на внутренние элементы линии.

Причём указанная особенность проявляется и в апериодическом режиме колебаний.

Распространение в однородных средах

При распространении волн изменения их амплитуды и скорости в пространстве и появление дополнительных гармоник зависят от свойств анизотропности среды, сквозь которую проходят волны, границ, а также характера излучения источников волн.

Чаще волны в некоторой среде затухают, что связано с диссипативными процессами внутри среды. Но в случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны может, наоборот, усиливаться (пример: генерация лазерного излучения). Наличие в среде резонансных подструктур обусловливает и появление кратковременного и длительного послесвечения.

На практике монохроматические волны встречаются очень редко. Максимально приближаются к монохроматическому излучение лазера, мазера, радиоантенны. Условием монохроматичности является удалённость области рассмотрения от переднего фронта волны, а также характер излучения источника. Если источник некогерентный, излучение состоит из наложения большого числа отрезков волн. Для описания когерентности сигнала вводится понятие время когерентности и длина когерентности [7].

Учитывая свойства субстанции, в которой распространяется излучение, а также сложный в общем случае спектр сигнала, вводится понятие фазовой и групповой скорости волны, то есть скорость «центра тяжести» волнового пакета.

Групповая и фазовая скорости совпадают только для линейных волн в средах без дисперсии. Для нелинейных волн групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. Однако иногда принято считать, что когда речь идёт о скоростях, близких к скорости света, проявляется заведомое неравноправие между групповой и фазовой скоростями. Фазовая скорость не является ни скоростью движения материального объекта, ни скоростью передачи данных, поэтому она может превышать скорость света, не приводя при этом ни к каким нарушениям теории относительности. Вместе с тем, это немного не точно. Базовые постулаты теории относительности, как и теоретические построения на них, основываются на распространении света в пустоте, т.е. в среде без дисперсии, в которой фазовая и групповая скорости одинаковы. В вакууме фазовая и групповая скорость распространения света одинаковы, в воздухе, воде и некоторых других средах разница между ними пренебрежимо мала и ею в большинстве случаев можно пренебрегать[8]. Поэтому если фазовая скорость в среде без дисперсии оказывается большей или меньшей скорости света, то такое же значение будет принимать и групповая скорость.

Групповая скорость характеризует скорость движения сгустка энергии, переносимой волновым пакетом, и потому в большинстве случаев не превышает скорость света. Также при распространении волны в метастабильной среде удаётся в определённых случаях добиться групповой скорости, превышающей скорость света в среде, как например при распространении света в сероуглероде.

Поскольку волна переносит энергию и импульс, то её можно использовать для передачи информации. При этом возникает вопрос о максимально возможной скорости передачи информации с помощью волн данного типа (чаще всего речь идёт об электромагнитных волнах). При этом скорость передачи информации никогда не может превышать скорости света в вакууме, что было подтверждено экспериментально даже для волн, в которых групповая скорость превышает скорость света в среде распространения.

Дисперсия

Дисперсия возникает при наличии зависимости скорости распространения волны в среде от частоты этой волны, т. е. если волновое число <math>k = f\left( \omega \right)</math>. В этом случае групповая скорость <math>V</math> света в среде связана с фазовой скоростью <math>v</math> света в среде формулой Рэлея

<math>V = v - \lambda \fracШаблон:\partial vШаблон:\partial \lambda</math>
  • При <math>\partial v/\partial \lambda = 0</math> дисперсия отсутствует.
  • При <math>\partial v/\partial \lambda > 0</math> <math>V < v</math> и показатель преломления среды с ростом частоты уменьшается, поскольку частная производная от фазовой скорости и частная производная от показателя преломления по длине волны связаны соотношением
<math>\fracШаблон:\partial vШаблон:\partial \lambda = - \frac{c}Шаблон:N^2\fracШаблон:\partial nШаблон:\partial \lambda</math>

Эту зависимость называют нормальной дисперсией. Она проявляется при прохождении света через стёкла и другие прозрачные среды. В этом случае максимумы волн волнового пакета движутся быстрее огибающей. В результате в хвостовой части пакета за счёт сложения волн возникают новые максимумы, которые передвигаются вперёд и пропадают в его головной части.

  • При <math>\partial v/\partial \lambda < 0</math> <math>V > v</math>. Показатель преломления возрастает. Эта зависимость характеризует аномальную дисперсию, проявляющуюся в областях спектра, где наблюдается интенсивное поглощение. В этом случае максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте. При аномальной дисперсии «если показатель преломления сильно изменяется с частотой ( <math>\partial n/\partial \lambda</math> достаточно велико), то может оказаться, что групповая скорость <math>V</math>, формально вычисленная по существующей формуле Рэлея, будет больше скорости света в вакууме, что противоречит специальной теории относительности» [9]. Данная особенность проявляется при прохождении ультракоротких радиоволн через ионосферу [10].

Во всех случаях ненулевой дисперсии волновой пакет со временем расплывается[8]. Ещё одной особенностью волнового пакета является то, что он, как и волны, его образующие, обладает принципом суперпозиции при прохождении через другие волновые пакеты, а также в однородной среде движется прямолинейно. Он не может ускоряться, замедляться или отклоняться от прямолинейности своего распространения другими волновыми пакетами, электрическими и магнитными полями, – что не отвечает требованиям представления частицы в виде волны.

При описании процессов распространения волн различают физическую и геометрическую дисперсию. Физическая дисперсия обусловлена свойствами среды, в которой распространяется волна. В этом случае фазовая скорость волны определяется приведенной выше формулой. Однако, изменение фазовой скорости с частотой возникает и при распространении в среде, которая является не дисперсионной, но область существования волны ограничена. С многочисленными примерами такой ситуации встречаемся при изучении волновых полей в волноводах. В волноводе, содержащем идеальную сжимаемую жидкость (газ) фазовая скорость нормальной волны с ростом частоты меняется от бесконечности до скорости волны в соответствующей неограниченной среде (нормальная дисперсия). Более сложные дисперсионные соотношения характеризуют свойства волн в упругих волноводах, т.е. волноводах образованных идеальными упругими телами. В них возможно формирование волн, которые имеют противоположные знаки групповой и фазовой скорости [11]

Поляризация

  1. Поперечная волна характеризуется нарушением симметрии распределения возмущений относительно направления её распространения (например, напряжённость электрического и магнитного полей в электромагнитных волнах).

На этом свойстве основана экспериментальная проверка поперечности световых и ЭМ волн как оптическими[12], так и радиофизическими способами [8]. В оптике это осуществляется путём последовательного пропускания луча через два поляризатора. При их скрещенном положении на выходе свет исчезает. Впервые получил обычный и необычный поляризованный свет Эразм Бартолинус в 1669 году. В радиофизике опыт проводится в УКВ-диапазоне с помощью волноводов. При скрещенных волноводах сигнал в приёмнике исчезает. Впервые этот опыт провёл П. Н. Лебедев в начале ХХ века.

  1. В продольной волне данное нарушение симметрии не возникает, т.к. распространение возмущения всегда совпадает с направлением распространения волны.

Взаимодействие с телами и границами раздела сред

Если на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело или граница раздела двух сред, то это приводит к искажению нормального распространения волны. В результате этого наблюдаются следующие явления:

Конкретные эффекты, возникающие при этих процессах, зависят от свойств волны и характера препятствия.

Наложение волн

Излучения с разной длиной волны, но одинаковые по физической природе, могут интерферировать. При этом могут возникнуть следующие частные эффекты:

  • стоячие волны;
  • бегущие волны;
  • биения – периодическое уменьшение и увеличение амплитуды суммарного излучения;
  • волновой пакет – образующиеся максимумы амплитуды имеют прерывистое распределение (волновой пакет Гаусса);
  • эффект Доплера – изменение частоты, воспринимаемой приёмником при движении приёмника или источника излучения.

Контролируемые биения используют для передачи информации. Существует передача информации с помощью амплитудной, частотной, фазовой и поляризационной [13] модуляции.

Конечный результат проявления от встречи волн зависит от их свойств: физической природы, когерентности, поляризации и т.д.

Математические выражения, описывающие волновые процессы

В связи с многообразием, нелинейностью свойств субстанции, особенностями границ и способов возбуждения, пользуются свойством разложения любых, самых сложных колебаний в спектр по частотам отклика субстанции на возбуждение. Для дискретных спектров наиболее общим решением моделирующих уравнений является выражение, которое удобно представлять в комплексной форме:

<math>u = \sum\limits_{j = 0}^n {A_j \left( {r,t} \right)\exp i\left( {\omega _j t - k_j r + \varphi _j } \right)} + B_j \left( {r,t} \right)\exp i\left( {\omega _j t + k_j r + \psi _j } \right)</math>

где <math>j</math> – номер моды, гармоники спектра; <math>\psi _j</math> <math>\varphi _j</math> – постоянные фазы запаздывания колебаний данной моды, определяемые, как правило, различием реакции динамической системы в точке её возбуждения, а также особенностями границ; они могут в общем случае иметь как действительный, так и комплексных вид; <math>n</math> – количество мод в спектре, которое может быть и бесконечным. Мода с <math>j = 0</math> называется основной модой, гармоникой. С нею переносится самая большая часть энергии волнового процесса. Для интегральных спектров вместо сумм записываются интегралы по частотам спектра. В дискретных структурах имеют место три режима колебательного процесса: периодический, критический, и апериодический.

В идеальной дискретной системе переход от одного режима к другому определяется разностью фаз колебания соседних элементов. При достижении противофазности колебаний система переходит от периодического режима к критическому. В апериодическом режиме противофазность колебаний соседних элементов сохраняется, но от точки возбуждения идёт интенсивное затухание колебательного процесса последующих элементов системы. Данный режим проявляется и в конечных упругих линиях.

В линиях с сопротивлением колебания соседних элементов никогда не достигают противофазности. Тем не менее, особенности колебаний, характерные для апериодического режима, сохраняются и при наличии сопротивления.

Гармоническая волна

Гармонической волной называется линейная монохроматическая волна, распространяющаяся в бесконечной динамической системе. В распределённых системах общий вид волны описывается выражением, являющимся аналитическим решением линейного волнового уравнения

<math>u = A\sin \left( {\omega t - kr + \varphi _0 } \right)</math>

где <math>A</math> — некоторая постоянная амплитуда волнового процесса, определяемая параметрами системы, частотой колебаний и амплитудой возмущающей силы; <math> \omega = 2\pi /T = 2\pi f</math> — круговая частота волнового процесса, <math>T</math> — период гармонической волны, <math>f</math> — частота; <math>k = 2\pi /\lambda = \omega /c</math> — волновое число, <math>\lambda </math> — длина волны, <math>c</math> — скорость распространения волны; <math>\varphi _0</math> – начальная фаза волнового процесса, определяемая в гармонической волне закономерностью воздействия внешнего возмущения.

Лучи волны

Лучом волны (геометрическим лучом) называется нормаль к волновому фронту. Например, плоской волне (см. раздел «Классификация волн») соответствует пучок параллельных прямых лучей; сферической волне — радиально расходящийся пучок лучей.

Расчёт формы лучей при небольшой длине волны — по сравнению с препятствиями, поперечными размерами фронта волны, расстояниями до схождения волн и т. п. — позволяет упростить сложный расчёт распространения волны. Это применяется в геометрической акустике и геометрической оптике.

Наряду с понятием «геометрический луч», зачастую удобно использовать понятие «физический луч», который является линией (геометрическим лучом) только в определённом приближении, когда поперечными размерами самого луча можно пренебречь. Учёт физичности понятия луча позволяет рассматривать волновые процессы в самом луче, наряду с рассмотрением процессов распространения луча как геометрического. Особенно это важно при рассмотрении физических процессов излучения движущимся источником.

Направления исследований волн

См. также

Напишите отзыв о статье "Волна"

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 Волны // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 315. — ISBN 5-85270-034-7.
  2. Г. Пейн, Физика колебаний и волн, стр. 161
  3. Строго говоря, это равенство справедливо только для гармоничных волн.
  4. Н.И. Калитеевский, Волновая оптика, с. 33
  5. К.А. Самойло, Радиотехнические цепи и сигналы, с. 19
  6. Л. Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, с. 113.
  7. Н. И. Калитеевский, Волновая оптика, с. 136.
  8. 1 2 3 Н. И. Калитеевский, Волновая оптика, с. 47.
  9. Н. И. Калитеевский, волновая оптика, с. 49.
  10. Н. И. Калитеевский, волновая оптика, с. 314.
  11. Гринченко В.Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телахю—Киев, Наукова думка, 1981.—284 с.|www.nehudlit.ru/books/garmonicheskie-kolebaniya-i-volny-v-uprugikh-telakh.html
  12. Р. В. Поль, Оптика и атомная физика, с. 204.
  13. К.Г. Гусев, Атлас поляризационных параметров эллиптически поляризованных волн, отражённых от сред земной поверхности, Харьков, 1966 г., тип. ХВКИУ, Г-884029

Литература

  • Крауфорд Ф. Берклеевский курс физики, том 3, Волны.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики, том 6, Гидродинамика.издание?
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977.
  • Физика. Большой энциклопедический словарь/Гл. ред. А. М. Прохоров. — 4-е изд. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — С. 85—88. ISBN 5-85270-306-0 (БРЭ)

Ссылки

Отрывок, характеризующий Волна

– Я одно хотел вам сказать, княжна, – сказал Ростов, – это то, что ежели бы князь Андрей Николаевич не был бы жив, то, как полковой командир, в газетах это сейчас было бы объявлено.
Княжна смотрела на него, не понимая его слов, но радуясь выражению сочувствующего страдания, которое было в его лице.
– И я столько примеров знаю, что рана осколком (в газетах сказано гранатой) бывает или смертельна сейчас же, или, напротив, очень легкая, – говорил Николай. – Надо надеяться на лучшее, и я уверен…
Княжна Марья перебила его.
– О, это было бы так ужа… – начала она и, не договорив от волнения, грациозным движением (как и все, что она делала при нем) наклонив голову и благодарно взглянув на него, пошла за теткой.
Вечером этого дня Николай никуда не поехал в гости и остался дома, с тем чтобы покончить некоторые счеты с продавцами лошадей. Когда он покончил дела, было уже поздно, чтобы ехать куда нибудь, но было еще рано, чтобы ложиться спать, и Николай долго один ходил взад и вперед по комнате, обдумывая свою жизнь, что с ним редко случалось.
Княжна Марья произвела на него приятное впечатление под Смоленском. То, что он встретил ее тогда в таких особенных условиях, и то, что именно на нее одно время его мать указывала ему как на богатую партию, сделали то, что он обратил на нее особенное внимание. В Воронеже, во время его посещения, впечатление это было не только приятное, но сильное. Николай был поражен той особенной, нравственной красотой, которую он в этот раз заметил в ней. Однако он собирался уезжать, и ему в голову не приходило пожалеть о том, что уезжая из Воронежа, он лишается случая видеть княжну. Но нынешняя встреча с княжной Марьей в церкви (Николай чувствовал это) засела ему глубже в сердце, чем он это предвидел, и глубже, чем он желал для своего спокойствия. Это бледное, тонкое, печальное лицо, этот лучистый взгляд, эти тихие, грациозные движения и главное – эта глубокая и нежная печаль, выражавшаяся во всех чертах ее, тревожили его и требовали его участия. В мужчинах Ростов терпеть не мог видеть выражение высшей, духовной жизни (оттого он не любил князя Андрея), он презрительно называл это философией, мечтательностью; но в княжне Марье, именно в этой печали, выказывавшей всю глубину этого чуждого для Николая духовного мира, он чувствовал неотразимую привлекательность.
«Чудная должна быть девушка! Вот именно ангел! – говорил он сам с собою. – Отчего я не свободен, отчего я поторопился с Соней?» И невольно ему представилось сравнение между двумя: бедность в одной и богатство в другой тех духовных даров, которых не имел Николай и которые потому он так высоко ценил. Он попробовал себе представить, что бы было, если б он был свободен. Каким образом он сделал бы ей предложение и она стала бы его женою? Нет, он не мог себе представить этого. Ему делалось жутко, и никакие ясные образы не представлялись ему. С Соней он давно уже составил себе будущую картину, и все это было просто и ясно, именно потому, что все это было выдумано, и он знал все, что было в Соне; но с княжной Марьей нельзя было себе представить будущей жизни, потому что он не понимал ее, а только любил.
Мечтания о Соне имели в себе что то веселое, игрушечное. Но думать о княжне Марье всегда было трудно и немного страшно.
«Как она молилась! – вспомнил он. – Видно было, что вся душа ее была в молитве. Да, это та молитва, которая сдвигает горы, и я уверен, что молитва ее будет исполнена. Отчего я не молюсь о том, что мне нужно? – вспомнил он. – Что мне нужно? Свободы, развязки с Соней. Она правду говорила, – вспомнил он слова губернаторши, – кроме несчастья, ничего не будет из того, что я женюсь на ней. Путаница, горе maman… дела… путаница, страшная путаница! Да я и не люблю ее. Да, не так люблю, как надо. Боже мой! выведи меня из этого ужасного, безвыходного положения! – начал он вдруг молиться. – Да, молитва сдвинет гору, но надо верить и не так молиться, как мы детьми молились с Наташей о том, чтобы снег сделался сахаром, и выбегали на двор пробовать, делается ли из снегу сахар. Нет, но я не о пустяках молюсь теперь», – сказал он, ставя в угол трубку и, сложив руки, становясь перед образом. И, умиленный воспоминанием о княжне Марье, он начал молиться так, как он давно не молился. Слезы у него были на глазах и в горле, когда в дверь вошел Лаврушка с какими то бумагами.
– Дурак! что лезешь, когда тебя не спрашивают! – сказал Николай, быстро переменяя положение.
– От губернатора, – заспанным голосом сказал Лаврушка, – кульер приехал, письмо вам.
– Ну, хорошо, спасибо, ступай!
Николай взял два письма. Одно было от матери, другое от Сони. Он узнал их по почеркам и распечатал первое письмо Сони. Не успел он прочесть нескольких строк, как лицо его побледнело и глаза его испуганно и радостно раскрылись.
– Нет, это не может быть! – проговорил он вслух. Не в силах сидеть на месте, он с письмом в руках, читая его. стал ходить по комнате. Он пробежал письмо, потом прочел его раз, другой, и, подняв плечи и разведя руками, он остановился посреди комнаты с открытым ртом и остановившимися глазами. То, о чем он только что молился, с уверенностью, что бог исполнит его молитву, было исполнено; но Николай был удивлен этим так, как будто это было что то необыкновенное, и как будто он никогда не ожидал этого, и как будто именно то, что это так быстро совершилось, доказывало то, что это происходило не от бога, которого он просил, а от обыкновенной случайности.
Тот, казавшийся неразрешимым, узел, который связывал свободу Ростова, был разрешен этим неожиданным (как казалось Николаю), ничем не вызванным письмом Сони. Она писала, что последние несчастные обстоятельства, потеря почти всего имущества Ростовых в Москве, и не раз высказываемые желания графини о том, чтобы Николай женился на княжне Болконской, и его молчание и холодность за последнее время – все это вместе заставило ее решиться отречься от его обещаний и дать ему полную свободу.
«Мне слишком тяжело было думать, что я могу быть причиной горя или раздора в семействе, которое меня облагодетельствовало, – писала она, – и любовь моя имеет одною целью счастье тех, кого я люблю; и потому я умоляю вас, Nicolas, считать себя свободным и знать, что несмотря ни на что, никто сильнее не может вас любить, как ваша Соня».
Оба письма были из Троицы. Другое письмо было от графини. В письме этом описывались последние дни в Москве, выезд, пожар и погибель всего состояния. В письме этом, между прочим, графиня писала о том, что князь Андрей в числе раненых ехал вместе с ними. Положение его было очень опасно, но теперь доктор говорит, что есть больше надежды. Соня и Наташа, как сиделки, ухаживают за ним.
С этим письмом на другой день Николай поехал к княжне Марье. Ни Николай, ни княжна Марья ни слова не сказали о том, что могли означать слова: «Наташа ухаживает за ним»; но благодаря этому письму Николай вдруг сблизился с княжной в почти родственные отношения.
На другой день Ростов проводил княжну Марью в Ярославль и через несколько дней сам уехал в полк.


Письмо Сони к Николаю, бывшее осуществлением его молитвы, было написано из Троицы. Вот чем оно было вызвано. Мысль о женитьбе Николая на богатой невесте все больше и больше занимала старую графиню. Она знала, что Соня была главным препятствием для этого. И жизнь Сони последнее время, в особенности после письма Николая, описывавшего свою встречу в Богучарове с княжной Марьей, становилась тяжелее и тяжелее в доме графини. Графиня не пропускала ни одного случая для оскорбительного или жестокого намека Соне.
Но несколько дней перед выездом из Москвы, растроганная и взволнованная всем тем, что происходило, графиня, призвав к себе Соню, вместо упреков и требований, со слезами обратилась к ней с мольбой о том, чтобы она, пожертвовав собою, отплатила бы за все, что было для нее сделано, тем, чтобы разорвала свои связи с Николаем.
– Я не буду покойна до тех пор, пока ты мне не дашь этого обещания.
Соня разрыдалась истерически, отвечала сквозь рыдания, что она сделает все, что она на все готова, но не дала прямого обещания и в душе своей не могла решиться на то, чего от нее требовали. Надо было жертвовать собой для счастья семьи, которая вскормила и воспитала ее. Жертвовать собой для счастья других было привычкой Сони. Ее положение в доме было таково, что только на пути жертвованья она могла выказывать свои достоинства, и она привыкла и любила жертвовать собой. Но прежде во всех действиях самопожертвованья она с радостью сознавала, что она, жертвуя собой, этим самым возвышает себе цену в глазах себя и других и становится более достойною Nicolas, которого она любила больше всего в жизни; но теперь жертва ее должна была состоять в том, чтобы отказаться от того, что для нее составляло всю награду жертвы, весь смысл жизни. И в первый раз в жизни она почувствовала горечь к тем людям, которые облагодетельствовали ее для того, чтобы больнее замучить; почувствовала зависть к Наташе, никогда не испытывавшей ничего подобного, никогда не нуждавшейся в жертвах и заставлявшей других жертвовать себе и все таки всеми любимой. И в первый раз Соня почувствовала, как из ее тихой, чистой любви к Nicolas вдруг начинало вырастать страстное чувство, которое стояло выше и правил, и добродетели, и религии; и под влиянием этого чувства Соня невольно, выученная своею зависимою жизнью скрытности, в общих неопределенных словах ответив графине, избегала с ней разговоров и решилась ждать свидания с Николаем с тем, чтобы в этом свидании не освободить, но, напротив, навсегда связать себя с ним.
Хлопоты и ужас последних дней пребывания Ростовых в Москве заглушили в Соне тяготившие ее мрачные мысли. Она рада была находить спасение от них в практической деятельности. Но когда она узнала о присутствии в их доме князя Андрея, несмотря на всю искреннюю жалость, которую она испытала к нему и к Наташе, радостное и суеверное чувство того, что бог не хочет того, чтобы она была разлучена с Nicolas, охватило ее. Она знала, что Наташа любила одного князя Андрея и не переставала любить его. Она знала, что теперь, сведенные вместе в таких страшных условиях, они снова полюбят друг друга и что тогда Николаю вследствие родства, которое будет между ними, нельзя будет жениться на княжне Марье. Несмотря на весь ужас всего происходившего в последние дни и во время первых дней путешествия, это чувство, это сознание вмешательства провидения в ее личные дела радовало Соню.
В Троицкой лавре Ростовы сделали первую дневку в своем путешествии.
В гостинице лавры Ростовым были отведены три большие комнаты, из которых одну занимал князь Андрей. Раненому было в этот день гораздо лучше. Наташа сидела с ним. В соседней комнате сидели граф и графиня, почтительно беседуя с настоятелем, посетившим своих давнишних знакомых и вкладчиков. Соня сидела тут же, и ее мучило любопытство о том, о чем говорили князь Андрей с Наташей. Она из за двери слушала звуки их голосов. Дверь комнаты князя Андрея отворилась. Наташа с взволнованным лицом вышла оттуда и, не замечая приподнявшегося ей навстречу и взявшегося за широкий рукав правой руки монаха, подошла к Соне и взяла ее за руку.
– Наташа, что ты? Поди сюда, – сказала графиня.
Наташа подошла под благословенье, и настоятель посоветовал обратиться за помощью к богу и его угоднику.
Тотчас после ухода настоятеля Нашата взяла за руку свою подругу и пошла с ней в пустую комнату.
– Соня, да? он будет жив? – сказала она. – Соня, как я счастлива и как я несчастна! Соня, голубчик, – все по старому. Только бы он был жив. Он не может… потому что, потому… что… – И Наташа расплакалась.
– Так! Я знала это! Слава богу, – проговорила Соня. – Он будет жив!
Соня была взволнована не меньше своей подруги – и ее страхом и горем, и своими личными, никому не высказанными мыслями. Она, рыдая, целовала, утешала Наташу. «Только бы он был жив!» – думала она. Поплакав, поговорив и отерев слезы, обе подруги подошли к двери князя Андрея. Наташа, осторожно отворив двери, заглянула в комнату. Соня рядом с ней стояла у полуотворенной двери.
Князь Андрей лежал высоко на трех подушках. Бледное лицо его было покойно, глаза закрыты, и видно было, как он ровно дышал.
– Ах, Наташа! – вдруг почти вскрикнула Соня, хватаясь за руку своей кузины и отступая от двери.
– Что? что? – спросила Наташа.
– Это то, то, вот… – сказала Соня с бледным лицом и дрожащими губами.
Наташа тихо затворила дверь и отошла с Соней к окну, не понимая еще того, что ей говорили.
– Помнишь ты, – с испуганным и торжественным лицом говорила Соня, – помнишь, когда я за тебя в зеркало смотрела… В Отрадном, на святках… Помнишь, что я видела?..
– Да, да! – широко раскрывая глаза, сказала Наташа, смутно вспоминая, что тогда Соня сказала что то о князе Андрее, которого она видела лежащим.
– Помнишь? – продолжала Соня. – Я видела тогда и сказала всем, и тебе, и Дуняше. Я видела, что он лежит на постели, – говорила она, при каждой подробности делая жест рукою с поднятым пальцем, – и что он закрыл глаза, и что он покрыт именно розовым одеялом, и что он сложил руки, – говорила Соня, убеждаясь, по мере того как она описывала виденные ею сейчас подробности, что эти самые подробности она видела тогда. Тогда она ничего не видела, но рассказала, что видела то, что ей пришло в голову; но то, что она придумала тогда, представлялось ей столь же действительным, как и всякое другое воспоминание. То, что она тогда сказала, что он оглянулся на нее и улыбнулся и был покрыт чем то красным, она не только помнила, но твердо была убеждена, что еще тогда она сказала и видела, что он был покрыт розовым, именно розовым одеялом, и что глаза его были закрыты.
– Да, да, именно розовым, – сказала Наташа, которая тоже теперь, казалось, помнила, что было сказано розовым, и в этом самом видела главную необычайность и таинственность предсказания.
– Но что же это значит? – задумчиво сказала Наташа.
– Ах, я не знаю, как все это необычайно! – сказала Соня, хватаясь за голову.
Через несколько минут князь Андрей позвонил, и Наташа вошла к нему; а Соня, испытывая редко испытанное ею волнение и умиление, осталась у окна, обдумывая всю необычайность случившегося.
В этот день был случай отправить письма в армию, и графиня писала письмо сыну.
– Соня, – сказала графиня, поднимая голову от письма, когда племянница проходила мимо нее. – Соня, ты не напишешь Николеньке? – сказала графиня тихим, дрогнувшим голосом, и во взгляде ее усталых, смотревших через очки глаз Соня прочла все, что разумела графиня этими словами. В этом взгляде выражались и мольба, и страх отказа, и стыд за то, что надо было просить, и готовность на непримиримую ненависть в случае отказа.
Соня подошла к графине и, став на колени, поцеловала ее руку.
– Я напишу, maman, – сказала она.
Соня была размягчена, взволнована и умилена всем тем, что происходило в этот день, в особенности тем таинственным совершением гаданья, которое она сейчас видела. Теперь, когда она знала, что по случаю возобновления отношений Наташи с князем Андреем Николай не мог жениться на княжне Марье, она с радостью почувствовала возвращение того настроения самопожертвования, в котором она любила и привыкла жить. И со слезами на глазах и с радостью сознания совершения великодушного поступка она, несколько раз прерываясь от слез, которые отуманивали ее бархатные черные глаза, написала то трогательное письмо, получение которого так поразило Николая.


На гауптвахте, куда был отведен Пьер, офицер и солдаты, взявшие его, обращались с ним враждебно, но вместе с тем и уважительно. Еще чувствовалось в их отношении к нему и сомнение о том, кто он такой (не очень ли важный человек), и враждебность вследствие еще свежей их личной борьбы с ним.
Но когда, в утро другого дня, пришла смена, то Пьер почувствовал, что для нового караула – для офицеров и солдат – он уже не имел того смысла, который имел для тех, которые его взяли. И действительно, в этом большом, толстом человеке в мужицком кафтане караульные другого дня уже не видели того живого человека, который так отчаянно дрался с мародером и с конвойными солдатами и сказал торжественную фразу о спасении ребенка, а видели только семнадцатого из содержащихся зачем то, по приказанию высшего начальства, взятых русских. Ежели и было что нибудь особенное в Пьере, то только его неробкий, сосредоточенно задумчивый вид и французский язык, на котором он, удивительно для французов, хорошо изъяснялся. Несмотря на то, в тот же день Пьера соединили с другими взятыми подозрительными, так как отдельная комната, которую он занимал, понадобилась офицеру.
Все русские, содержавшиеся с Пьером, были люди самого низкого звания. И все они, узнав в Пьере барина, чуждались его, тем более что он говорил по французски. Пьер с грустью слышал над собою насмешки.
На другой день вечером Пьер узнал, что все эти содержащиеся (и, вероятно, он в том же числе) должны были быть судимы за поджигательство. На третий день Пьера водили с другими в какой то дом, где сидели французский генерал с белыми усами, два полковника и другие французы с шарфами на руках. Пьеру, наравне с другими, делали с той, мнимо превышающею человеческие слабости, точностью и определительностью, с которой обыкновенно обращаются с подсудимыми, вопросы о том, кто он? где он был? с какою целью? и т. п.
Вопросы эти, оставляя в стороне сущность жизненного дела и исключая возможность раскрытия этой сущности, как и все вопросы, делаемые на судах, имели целью только подставление того желобка, по которому судящие желали, чтобы потекли ответы подсудимого и привели его к желаемой цели, то есть к обвинению. Как только он начинал говорить что нибудь такое, что не удовлетворяло цели обвинения, так принимали желобок, и вода могла течь куда ей угодно. Кроме того, Пьер испытал то же, что во всех судах испытывает подсудимый: недоумение, для чего делали ему все эти вопросы. Ему чувствовалось, что только из снисходительности или как бы из учтивости употреблялась эта уловка подставляемого желобка. Он знал, что находился во власти этих людей, что только власть привела его сюда, что только власть давала им право требовать ответы на вопросы, что единственная цель этого собрания состояла в том, чтоб обвинить его. И поэтому, так как была власть и было желание обвинить, то не нужно было и уловки вопросов и суда. Очевидно было, что все ответы должны были привести к виновности. На вопрос, что он делал, когда его взяли, Пьер отвечал с некоторою трагичностью, что он нес к родителям ребенка, qu'il avait sauve des flammes [которого он спас из пламени]. – Для чего он дрался с мародером? Пьер отвечал, что он защищал женщину, что защита оскорбляемой женщины есть обязанность каждого человека, что… Его остановили: это не шло к делу. Для чего он был на дворе загоревшегося дома, на котором его видели свидетели? Он отвечал, что шел посмотреть, что делалось в Москве. Его опять остановили: у него не спрашивали, куда он шел, а для чего он находился подле пожара? Кто он? повторили ему первый вопрос, на который он сказал, что не хочет отвечать. Опять он отвечал, что не может сказать этого.
– Запишите, это нехорошо. Очень нехорошо, – строго сказал ему генерал с белыми усами и красным, румяным лицом.
На четвертый день пожары начались на Зубовском валу.
Пьера с тринадцатью другими отвели на Крымский Брод, в каретный сарай купеческого дома. Проходя по улицам, Пьер задыхался от дыма, который, казалось, стоял над всем городом. С разных сторон виднелись пожары. Пьер тогда еще не понимал значения сожженной Москвы и с ужасом смотрел на эти пожары.
В каретном сарае одного дома у Крымского Брода Пьер пробыл еще четыре дня и во время этих дней из разговора французских солдат узнал, что все содержащиеся здесь ожидали с каждым днем решения маршала. Какого маршала, Пьер не мог узнать от солдат. Для солдата, очевидно, маршал представлялся высшим и несколько таинственным звеном власти.
Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n'avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.
Очевидно, русское гнездо было разорено и уничтожено; но за уничтожением этого русского порядка жизни Пьер бессознательно чувствовал, что над этим разоренным гнездом установился свой, совсем другой, но твердый французский порядок. Он чувствовал это по виду тех, бодро и весело, правильными рядами шедших солдат, которые конвоировали его с другими преступниками; он чувствовал это по виду какого то важного французского чиновника в парной коляске, управляемой солдатом, проехавшего ему навстречу. Он это чувствовал по веселым звукам полковой музыки, доносившимся с левой стороны поля, и в особенности он чувствовал и понимал это по тому списку, который, перекликая пленных, прочел нынче утром приезжавший французский офицер. Пьер был взят одними солдатами, отведен в одно, в другое место с десятками других людей; казалось, они могли бы забыть про него, смешать его с другими. Но нет: ответы его, данные на допросе, вернулись к нему в форме наименования его: celui qui n'avoue pas son nom. И под этим названием, которое страшно было Пьеру, его теперь вели куда то, с несомненной уверенностью, написанною на их лицах, что все остальные пленные и он были те самые, которых нужно, и что их ведут туда, куда нужно. Пьер чувствовал себя ничтожной щепкой, попавшей в колеса неизвестной ему, но правильно действующей машины.
Пьера с другими преступниками привели на правую сторону Девичьего поля, недалеко от монастыря, к большому белому дому с огромным садом. Это был дом князя Щербатова, в котором Пьер часто прежде бывал у хозяина и в котором теперь, как он узнал из разговора солдат, стоял маршал, герцог Экмюльский.
Их подвели к крыльцу и по одному стали вводить в дом. Пьера ввели шестым. Через стеклянную галерею, сени, переднюю, знакомые Пьеру, его ввели в длинный низкий кабинет, у дверей которого стоял адъютант.
Даву сидел на конце комнаты над столом, с очками на носу. Пьер близко подошел к нему. Даву, не поднимая глаз, видимо справлялся с какой то бумагой, лежавшей перед ним. Не поднимая же глаз, он тихо спросил:
– Qui etes vous? [Кто вы такой?]
Пьер молчал оттого, что не в силах был выговорить слова. Даву для Пьера не был просто французский генерал; для Пьера Даву был известный своей жестокостью человек. Глядя на холодное лицо Даву, который, как строгий учитель, соглашался до времени иметь терпение и ждать ответа, Пьер чувствовал, что всякая секунда промедления могла стоить ему жизни; но он не знал, что сказать. Сказать то же, что он говорил на первом допросе, он не решался; открыть свое звание и положение было и опасно и стыдно. Пьер молчал. Но прежде чем Пьер успел на что нибудь решиться, Даву приподнял голову, приподнял очки на лоб, прищурил глаза и пристально посмотрел на Пьера.
– Я знаю этого человека, – мерным, холодным голосом, очевидно рассчитанным для того, чтобы испугать Пьера, сказал он. Холод, пробежавший прежде по спине Пьера, охватил его голову, как тисками.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [Вы не могли меня знать, генерал, я никогда не видал вас.]
– C'est un espion russe, [Это русский шпион,] – перебил его Даву, обращаясь к другому генералу, бывшему в комнате и которого не заметил Пьер. И Даву отвернулся. С неожиданным раскатом в голосе Пьер вдруг быстро заговорил.
– Non, Monseigneur, – сказал он, неожиданно вспомнив, что Даву был герцог. – Non, Monseigneur, vous n'avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n'ai pas quitte Moscou. [Нет, ваше высочество… Нет, ваше высочество, вы не могли меня знать. Я офицер милиции, и я не выезжал из Москвы.]
– Votre nom? [Ваше имя?] – повторил Даву.
– Besouhof. [Безухов.]
– Qu'est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Кто мне докажет, что вы не лжете?]
– Monseigneur! [Ваше высочество!] – вскрикнул Пьер не обиженным, но умоляющим голосом.
Даву поднял глаза и пристально посмотрел на Пьера. Несколько секунд они смотрели друг на друга, и этот взгляд спас Пьера. В этом взгляде, помимо всех условий войны и суда, между этими двумя людьми установились человеческие отношения. Оба они в эту одну минуту смутно перечувствовали бесчисленное количество вещей и поняли, что они оба дети человечества, что они братья.
В первом взгляде для Даву, приподнявшего только голову от своего списка, где людские дела и жизнь назывались нумерами, Пьер был только обстоятельство; и, не взяв на совесть дурного поступка, Даву застрелил бы его; но теперь уже он видел в нем человека. Он задумался на мгновение.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Чем вы докажете мне справедливость ваших слов?] – сказал Даву холодно.
Пьер вспомнил Рамбаля и назвал его полк, и фамилию, и улицу, на которой был дом.
– Vous n'etes pas ce que vous dites, [Вы не то, что вы говорите.] – опять сказал Даву.
Пьер дрожащим, прерывающимся голосом стал приводить доказательства справедливости своего показания.
Но в это время вошел адъютант и что то доложил Даву.
Даву вдруг просиял при известии, сообщенном адъютантом, и стал застегиваться. Он, видимо, совсем забыл о Пьере.
Когда адъютант напомнил ему о пленном, он, нахмурившись, кивнул в сторону Пьера и сказал, чтобы его вели. Но куда должны были его вести – Пьер не знал: назад в балаган или на приготовленное место казни, которое, проходя по Девичьему полю, ему показывали товарищи.
Он обернул голову и видел, что адъютант переспрашивал что то.
– Oui, sans doute! [Да, разумеется!] – сказал Даву, но что «да», Пьер не знал.
Пьер не помнил, как, долго ли он шел и куда. Он, в состоянии совершенного бессмыслия и отупления, ничего не видя вокруг себя, передвигал ногами вместе с другими до тех пор, пока все остановились, и он остановился. Одна мысль за все это время была в голове Пьера. Это была мысль о том: кто, кто же, наконец, приговорил его к казни. Это были не те люди, которые допрашивали его в комиссии: из них ни один не хотел и, очевидно, не мог этого сделать. Это был не Даву, который так человечески посмотрел на него. Еще бы одна минута, и Даву понял бы, что они делают дурно, но этой минуте помешал адъютант, который вошел. И адъютант этот, очевидно, не хотел ничего худого, но он мог бы не войти. Кто же это, наконец, казнил, убивал, лишал жизни его – Пьера со всеми его воспоминаниями, стремлениями, надеждами, мыслями? Кто делал это? И Пьер чувствовал, что это был никто.
Это был порядок, склад обстоятельств.
Порядок какой то убивал его – Пьера, лишал его жизни, всего, уничтожал его.


От дома князя Щербатова пленных повели прямо вниз по Девичьему полю, левее Девичьего монастыря и подвели к огороду, на котором стоял столб. За столбом была вырыта большая яма с свежевыкопанной землей, и около ямы и столба полукругом стояла большая толпа народа. Толпа состояла из малого числа русских и большого числа наполеоновских войск вне строя: немцев, итальянцев и французов в разнородных мундирах. Справа и слева столба стояли фронты французских войск в синих мундирах с красными эполетами, в штиблетах и киверах.
Преступников расставили по известному порядку, который был в списке (Пьер стоял шестым), и подвели к столбу. Несколько барабанов вдруг ударили с двух сторон, и Пьер почувствовал, что с этим звуком как будто оторвалась часть его души. Он потерял способность думать и соображать. Он только мог видеть и слышать. И только одно желание было у него – желание, чтобы поскорее сделалось что то страшное, что должно было быть сделано. Пьер оглядывался на своих товарищей и рассматривал их.
Два человека с края были бритые острожные. Один высокий, худой; другой черный, мохнатый, мускулистый, с приплюснутым носом. Третий был дворовый, лет сорока пяти, с седеющими волосами и полным, хорошо откормленным телом. Четвертый был мужик, очень красивый, с окладистой русой бородой и черными глазами. Пятый был фабричный, желтый, худой малый, лет восемнадцати, в халате.
Пьер слышал, что французы совещались, как стрелять – по одному или по два? «По два», – холодно спокойно отвечал старший офицер. Сделалось передвижение в рядах солдат, и заметно было, что все торопились, – и торопились не так, как торопятся, чтобы сделать понятное для всех дело, но так, как торопятся, чтобы окончить необходимое, но неприятное и непостижимое дело.
Чиновник француз в шарфе подошел к правой стороне шеренги преступников в прочел по русски и по французски приговор.
Потом две пары французов подошли к преступникам и взяли, по указанию офицера, двух острожных, стоявших с края. Острожные, подойдя к столбу, остановились и, пока принесли мешки, молча смотрели вокруг себя, как смотрит подбитый зверь на подходящего охотника. Один все крестился, другой чесал спину и делал губами движение, подобное улыбке. Солдаты, торопясь руками, стали завязывать им глаза, надевать мешки и привязывать к столбу.
Двенадцать человек стрелков с ружьями мерным, твердым шагом вышли из за рядов и остановились в восьми шагах от столба. Пьер отвернулся, чтобы не видать того, что будет. Вдруг послышался треск и грохот, показавшиеся Пьеру громче самых страшных ударов грома, и он оглянулся. Был дым, и французы с бледными лицами и дрожащими руками что то делали у ямы. Повели других двух. Так же, такими же глазами и эти двое смотрели на всех, тщетно, одними глазами, молча, прося защиты и, видимо, не понимая и не веря тому, что будет. Они не могли верить, потому что они одни знали, что такое была для них их жизнь, и потому не понимали и не верили, чтобы можно было отнять ее.
Пьер хотел не смотреть и опять отвернулся; но опять как будто ужасный взрыв поразил его слух, и вместе с этими звуками он увидал дым, чью то кровь и бледные испуганные лица французов, опять что то делавших у столба, дрожащими руками толкая друг друга. Пьер, тяжело дыша, оглядывался вокруг себя, как будто спрашивая: что это такое? Тот же вопрос был и во всех взглядах, которые встречались со взглядом Пьера.
На всех лицах русских, на лицах французских солдат, офицеров, всех без исключения, он читал такой же испуг, ужас и борьбу, какие были в его сердце. «Да кто жо это делает наконец? Они все страдают так же, как и я. Кто же? Кто же?» – на секунду блеснуло в душе Пьера.
– Tirailleurs du 86 me, en avant! [Стрелки 86 го, вперед!] – прокричал кто то. Повели пятого, стоявшего рядом с Пьером, – одного. Пьер не понял того, что он спасен, что он и все остальные были приведены сюда только для присутствия при казни. Он со все возраставшим ужасом, не ощущая ни радости, ни успокоения, смотрел на то, что делалось. Пятый был фабричный в халате. Только что до него дотронулись, как он в ужасе отпрыгнул и схватился за Пьера (Пьер вздрогнул и оторвался от него). Фабричный не мог идти. Его тащили под мышки, и он что то кричал. Когда его подвели к столбу, он вдруг замолк. Он как будто вдруг что то понял. То ли он понял, что напрасно кричать, или то, что невозможно, чтобы его убили люди, но он стал у столба, ожидая повязки вместе с другими и, как подстреленный зверь, оглядываясь вокруг себя блестящими глазами.
Пьер уже не мог взять на себя отвернуться и закрыть глаза. Любопытство и волнение его и всей толпы при этом пятом убийстве дошло до высшей степени. Так же как и другие, этот пятый казался спокоен: он запахивал халат и почесывал одной босой ногой о другую.
Когда ему стали завязывать глаза, он поправил сам узел на затылке, который резал ему; потом, когда прислонили его к окровавленному столбу, он завалился назад, и, так как ему в этом положении было неловко, он поправился и, ровно поставив ноги, покойно прислонился. Пьер не сводил с него глаз, не упуская ни малейшего движения.
Должно быть, послышалась команда, должно быть, после команды раздались выстрелы восьми ружей. Но Пьер, сколько он ни старался вспомнить потом, не слыхал ни малейшего звука от выстрелов. Он видел только, как почему то вдруг опустился на веревках фабричный, как показалась кровь в двух местах и как самые веревки, от тяжести повисшего тела, распустились и фабричный, неестественно опустив голову и подвернув ногу, сел. Пьер подбежал к столбу. Никто не удерживал его. Вокруг фабричного что то делали испуганные, бледные люди. У одного старого усатого француза тряслась нижняя челюсть, когда он отвязывал веревки. Тело спустилось. Солдаты неловко и торопливо потащили его за столб и стали сталкивать в яму.
Все, очевидно, несомненно знали, что они были преступники, которым надо было скорее скрыть следы своего преступления.
Пьер заглянул в яму и увидел, что фабричный лежал там коленами кверху, близко к голове, одно плечо выше другого. И это плечо судорожно, равномерно опускалось и поднималось. Но уже лопатины земли сыпались на все тело. Один из солдат сердито, злобно и болезненно крикнул на Пьера, чтобы он вернулся. Но Пьер не понял его и стоял у столба, и никто не отгонял его.
Когда уже яма была вся засыпана, послышалась команда. Пьера отвели на его место, и французские войска, стоявшие фронтами по обеим сторонам столба, сделали полуоборот и стали проходить мерным шагом мимо столба. Двадцать четыре человека стрелков с разряженными ружьями, стоявшие в середине круга, примыкали бегом к своим местам, в то время как роты проходили мимо них.
Пьер смотрел теперь бессмысленными глазами на этих стрелков, которые попарно выбегали из круга. Все, кроме одного, присоединились к ротам. Молодой солдат с мертво бледным лицом, в кивере, свалившемся назад, спустив ружье, все еще стоял против ямы на том месте, с которого он стрелял. Он, как пьяный, шатался, делая то вперед, то назад несколько шагов, чтобы поддержать свое падающее тело. Старый солдат, унтер офицер, выбежал из рядов и, схватив за плечо молодого солдата, втащил его в роту. Толпа русских и французов стала расходиться. Все шли молча, с опущенными головами.