Вписанный угол
Поделись знанием:
Унтер офицер с решительным видом не отвечал на эти слова, сел верхом и поехал с быстро собравшимся Грековым. Они скрылись в лесу. Граф Орлов, пожимаясь от свежести начинавшего брезжить утра, взволнованный тем, что им затеяно на свою ответственность, проводив Грекова, вышел из леса и стал оглядывать неприятельский лагерь, видневшийся теперь обманчиво в свете начинавшегося утра и догоравших костров. Справа от графа Орлова Денисова, по открытому склону, должны были показаться наши колонны. Граф Орлов глядел туда; но несмотря на то, что издалека они были бы заметны, колонн этих не было видно. Во французском лагере, как показалось графу Орлову Денисову, и в особенности по словам его очень зоркого адъютанта, начинали шевелиться.
– Ах, право, поздно, – сказал граф Орлов, поглядев на лагерь. Ему вдруг, как это часто бывает, после того как человека, которому мы поверим, нет больше перед глазами, ему вдруг совершенно ясно и очевидно стало, что унтер офицер этот обманщик, что он наврал и только испортит все дело атаки отсутствием этих двух полков, которых он заведет бог знает куда. Можно ли из такой массы войск выхватить главнокомандующего?
– Право, он врет, этот шельма, – сказал граф.
– Можно воротить, – сказал один из свиты, который почувствовал так же, как и граф Орлов Денисов, недоверие к предприятию, когда посмотрел на лагерь.
– А? Право?.. как вы думаете, или оставить? Или нет?
– Прикажете воротить?
– Воротить, воротить! – вдруг решительно сказал граф Орлов, глядя на часы, – поздно будет, совсем светло.
И адъютант поскакал лесом за Грековым. Когда Греков вернулся, граф Орлов Денисов, взволнованный и этой отмененной попыткой, и тщетным ожиданием пехотных колонн, которые все не показывались, и близостью неприятеля (все люди его отряда испытывали то же), решил наступать.
Шепотом прокомандовал он: «Садись!» Распределились, перекрестились…
– С богом!
«Урааааа!» – зашумело по лесу, и, одна сотня за другой, как из мешка высыпаясь, полетели весело казаки с своими дротиками наперевес, через ручей к лагерю.
Один отчаянный, испуганный крик первого увидавшего казаков француза – и все, что было в лагере, неодетое, спросонков бросило пушки, ружья, лошадей и побежало куда попало.
Вписанный угол — термин планиметрии; обозначает угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Свойства
- Теорема о вписанном угле:
|
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо дополняет половину центрального угла до 180°. |
Доказательство
Пусть <math>\angle ABC</math> — вписанный угол окружности с центром <math>O</math>, опирающийся на дугу <math>AC</math>. Докажем, что <math>\angle ABC = \angle AOC/2</math>. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
- 1. Луч <math>BO</math> совпадает с одной из сторон <math>\angle ABC</math>, например со стороной <math>BC</math>. В этом случае дуга <math>AC</math> меньше полуокружности, поэтому <math>\angle AOC = AC</math>. Так как <math>\angle AOC</math> — внешний угол равнобедренного <math>\triangle ABO</math>, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это <math>\angle ABC</math>, значит их сумма равна <math>2\angle ABC</math>, a <math>\angle AOC = 2\angle ABC</math>. Отсюда следует, что <math>\angle ABC = 0{,}5\angle AOC</math>.
- 2. Луч <math>BO</math> делит <math>\angle ABC</math> на два угла. В этом случае луч <math>BO</math> пересекает дугу <math>AC</math> в некоторой точке <math>D</math>. Точка <math>D</math> разделяет дугу <math>AC</math> на две дуги: <math>AD</math> и <math>DC</math>. По доказанному в п.1 <math>\angle ABD = 0{,}5AD</math> и <math>\angle DBC = 0{,}5DC</math>. Складывая эти равенства почленно, получаем: <math>\angle ABD + \angle DBC = 0{,}5AD+0{,}5DC</math>, или <math>\angle ABC = 0{,}5AC</math>.
- 3. Луч <math>BO</math> лежит вне <math>\angle ABC</math>. В этом случае дуга <math>AC</math> составляет часть дуги <math>AD</math>. По доказанному в п.1 <math>\angle ABD = 0{,}5AD</math> и <math>\angle DBC = 0{,}5DC</math>. <math>\angle ABC = \angle ABD - \angle DBC = 0{,}5AD-0{,}5DC = 0{,}5(AD-DC)</math>. Т.к. дуга <math>AC=AD-DC</math>, то <math>\angle ABC = 0{,}5AC</math>.
- Следствия:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
- Угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла и также равен половине дуги, на которую опирается.
- Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между хордами.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Напишите отзыв о статье "Вписанный угол"
Отрывок, характеризующий Вписанный угол
– Ну помни же, – сказал граф Орлов Денисов унтер офицеру, отпуская его, – в случае ты соврал, я тебя велю повесить, как собаку, а правда – сто червонцев.Унтер офицер с решительным видом не отвечал на эти слова, сел верхом и поехал с быстро собравшимся Грековым. Они скрылись в лесу. Граф Орлов, пожимаясь от свежести начинавшего брезжить утра, взволнованный тем, что им затеяно на свою ответственность, проводив Грекова, вышел из леса и стал оглядывать неприятельский лагерь, видневшийся теперь обманчиво в свете начинавшегося утра и догоравших костров. Справа от графа Орлова Денисова, по открытому склону, должны были показаться наши колонны. Граф Орлов глядел туда; но несмотря на то, что издалека они были бы заметны, колонн этих не было видно. Во французском лагере, как показалось графу Орлову Денисову, и в особенности по словам его очень зоркого адъютанта, начинали шевелиться.
– Ах, право, поздно, – сказал граф Орлов, поглядев на лагерь. Ему вдруг, как это часто бывает, после того как человека, которому мы поверим, нет больше перед глазами, ему вдруг совершенно ясно и очевидно стало, что унтер офицер этот обманщик, что он наврал и только испортит все дело атаки отсутствием этих двух полков, которых он заведет бог знает куда. Можно ли из такой массы войск выхватить главнокомандующего?
– Право, он врет, этот шельма, – сказал граф.
– Можно воротить, – сказал один из свиты, который почувствовал так же, как и граф Орлов Денисов, недоверие к предприятию, когда посмотрел на лагерь.
– А? Право?.. как вы думаете, или оставить? Или нет?
– Прикажете воротить?
– Воротить, воротить! – вдруг решительно сказал граф Орлов, глядя на часы, – поздно будет, совсем светло.
И адъютант поскакал лесом за Грековым. Когда Греков вернулся, граф Орлов Денисов, взволнованный и этой отмененной попыткой, и тщетным ожиданием пехотных колонн, которые все не показывались, и близостью неприятеля (все люди его отряда испытывали то же), решил наступать.
Шепотом прокомандовал он: «Садись!» Распределились, перекрестились…
– С богом!
«Урааааа!» – зашумело по лесу, и, одна сотня за другой, как из мешка высыпаясь, полетели весело казаки с своими дротиками наперевес, через ручей к лагерю.
Один отчаянный, испуганный крик первого увидавшего казаков француза – и все, что было в лагере, неодетое, спросонков бросило пушки, ружья, лошадей и побежало куда попало.
