Модуль над кольцом

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Вполне разложимый модуль»)
Перейти к: навигация, поиск

Мо́дуль над кольцо́м — одно из основных понятий в общей алгебре, являющееся обобщением двух алгебраических понятий — векторного пространства (фактически, векторное пространство — это модуль над полем), и абелевой группы (которая является модулем над кольцом целых чисел <math>\Z</math>).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как





Мотивировка

В векторном пространстве множество скаляров образует поле и умножение на скаляр удовлетворяет нескольким аксиомам, таким как дистрибутивность умножения. В модуле же требуется только, чтобы скаляры образовывали кольцо (ассоциативное с единицей), аксиомы же остаются теми же самыми.

Значительная часть теории модулей состоит из попыток обобщить на них известные свойства векторных пространств, иногда для этого приходится ограничиваться модулями над «хорошо ведущими себя» кольцами, такими как области главных идеалов. Однако в целом модули устроены более сложно, чем векторные пространства. Например, не в каждом модуле можно выбрать базис, и даже те, в которых это возможно, могут иметь несколько базисов с различным числом элементов (в случае некоммутативного кольца).

Определения

Пусть <math> R\ </math> — кольцо (как правило, считающееся коммутативным c единичным элементом <math>1\in R</math>). <math>R</math>-модулем называется абелева группа <math> M\ </math> с операцией умножения на элементы кольца <math> R\ </math> :

<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,</math>

которая удовлетворяет следующим условиям:

1) <math>\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_1(r_2m),</math>
2) <math>\forall m\in M\quad 1m=m.</math>
3) <math>\forall m_1,m_2\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2,</math>
4) <math>\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1+r_2)m=r_1m + r_2m.</math>

Примечание: В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются левыми. Правыми модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие 1) заменено следующим:

<math>\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_2(r_1m),</math>

что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца справа от элемента модуля <math>m</math>:

<math>\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad m(r_1r_2)=(mr_1)r_2,</math> отсюда и терминология.

В случае коммутативного кольца <math> R\ </math> определения левого и правого модуля совпадают и их называют просто модулями.

Любое кольцо <math> R\ </math> можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

Связанные определения и свойства

  • Подмодулем модуля <math> M_R\ </math> называется подгруппа <math> B\ </math> группы <math> M\ </math>, замкнутая относительно умножения на элементы из <math> R\ </math>, то есть такая, что
<math>\forall b \in B,\ r \in R\ : rb \in B</math>.
  • Если кольцо R рассматривать как модуль над собой то его подмодули являются левыми идеалами, если кольцо рассматривать как правый модуль, то правыми идеалами, в коммутативном случае понятие левого и правого идеалов совпадают.
  • Гомоморфизмом или <math> R</math>-гомоморфизмом <math> R</math>-модулей <math>A</math> и <math>B</math> называется гомоморфизм групп <math>\phi: A \to B</math>, для которого выполнено дополнительное условие <math>\phi(ra) = r\phi(a) \forall a \in A, r \in R</math>. Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через <math>Hom_R (A,\ B)</math>. На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, <math>-</math> и <math>+</math> следующими равенствами
<math>0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a</math>.
  • Если <math>N</math> — подмодуль модуля <math>M</math>, можно рассмотреть фактормодуль <math>M/N</math> как множество классов эквивалентности элементов <math>M</math>, определив отношение эквивалентности между элементами:
<math>a\sim b</math> тогда и только тогда, когда <math>b-a</math> принадлежит <math>N</math>.
Элементы фактормодуля обычно обозначают как <math>[a]=\{a+n: n\in N\}=a+N</math>. Операции сложения и умножения определяются формулами <math>(a+N)+(b+N)=(a+b+N), r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)</math>.

Примеры

  • Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
  • Линейное пространство над полем <math>F</math> является модулем над <math>F</math>.
  • Линейное пространство <math>V</math> — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований <math>L(V)</math>
  • Дифференциальные формы на гладком многообразии <math>M</math> снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на <math>M</math>.
  • Если I — левый идеал кольца R, он будет левым модулем над этим кольцом. Аналогично, правые идеалы будут правыми модулями.

Типы модулей

История

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, то есть <math>\Z</math>-модули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. XIX века в работах Дедекинда и Кронекера, посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, Ф.Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э.Нётер и В.Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

Напишите отзыв о статье "Модуль над кольцом"

Литература

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Отрывок, характеризующий Модуль над кольцом

«Еще бы!», отвечали смеющиеся глаза Наташи.
– А папа постарел? – спросила она. Наташа села и, не вступая в разговор Бориса с графиней, молча рассматривала своего детского жениха до малейших подробностей. Он чувствовал на себе тяжесть этого упорного, ласкового взгляда и изредка взглядывал на нее.
Мундир, шпоры, галстук, прическа Бориса, всё это было самое модное и сomme il faut [вполне порядочно]. Это сейчас заметила Наташа. Он сидел немножко боком на кресле подле графини, поправляя правой рукой чистейшую, облитую перчатку на левой, говорил с особенным, утонченным поджатием губ об увеселениях высшего петербургского света и с кроткой насмешливостью вспоминал о прежних московских временах и московских знакомых. Не нечаянно, как это чувствовала Наташа, он упомянул, называя высшую аристократию, о бале посланника, на котором он был, о приглашениях к NN и к SS.
Наташа сидела всё время молча, исподлобья глядя на него. Взгляд этот всё больше и больше, и беспокоил, и смущал Бориса. Он чаще оглядывался на Наташу и прерывался в рассказах. Он просидел не больше 10 минут и встал, раскланиваясь. Всё те же любопытные, вызывающие и несколько насмешливые глаза смотрели на него. После первого своего посещения, Борис сказал себе, что Наташа для него точно так же привлекательна, как и прежде, но что он не должен отдаваться этому чувству, потому что женитьба на ней – девушке почти без состояния, – была бы гибелью его карьеры, а возобновление прежних отношений без цели женитьбы было бы неблагородным поступком. Борис решил сам с собою избегать встреч с Наташей, нo, несмотря на это решение, приехал через несколько дней и стал ездить часто и целые дни проводить у Ростовых. Ему представлялось, что ему необходимо было объясниться с Наташей, сказать ей, что всё старое должно быть забыто, что, несмотря на всё… она не может быть его женой, что у него нет состояния, и ее никогда не отдадут за него. Но ему всё не удавалось и неловко было приступить к этому объяснению. С каждым днем он более и более запутывался. Наташа, по замечанию матери и Сони, казалась по старому влюбленной в Бориса. Она пела ему его любимые песни, показывала ему свой альбом, заставляла его писать в него, не позволяла поминать ему о старом, давая понимать, как прекрасно было новое; и каждый день он уезжал в тумане, не сказав того, что намерен был сказать, сам не зная, что он делал и для чего он приезжал, и чем это кончится. Борис перестал бывать у Элен, ежедневно получал укоризненные записки от нее и всё таки целые дни проводил у Ростовых.


Однажды вечером, когда старая графиня, вздыхая и крехтя, в ночном чепце и кофточке, без накладных буклей, и с одним бедным пучком волос, выступавшим из под белого, коленкорового чепчика, клала на коврике земные поклоны вечерней молитвы, ее дверь скрипнула, и в туфлях на босу ногу, тоже в кофточке и в папильотках, вбежала Наташа. Графиня оглянулась и нахмурилась. Она дочитывала свою последнюю молитву: «Неужели мне одр сей гроб будет?» Молитвенное настроение ее было уничтожено. Наташа, красная, оживленная, увидав мать на молитве, вдруг остановилась на своем бегу, присела и невольно высунула язык, грозясь самой себе. Заметив, что мать продолжала молитву, она на цыпочках подбежала к кровати, быстро скользнув одной маленькой ножкой о другую, скинула туфли и прыгнула на тот одр, за который графиня боялась, как бы он не был ее гробом. Одр этот был высокий, перинный, с пятью всё уменьшающимися подушками. Наташа вскочила, утонула в перине, перевалилась к стенке и начала возиться под одеялом, укладываясь, подгибая коленки к подбородку, брыкая ногами и чуть слышно смеясь, то закрываясь с головой, то взглядывая на мать. Графиня кончила молитву и с строгим лицом подошла к постели; но, увидав, что Наташа закрыта с головой, улыбнулась своей доброй, слабой улыбкой.
– Ну, ну, ну, – сказала мать.
– Мама, можно поговорить, да? – сказала Hаташa. – Ну, в душку один раз, ну еще, и будет. – И она обхватила шею матери и поцеловала ее под подбородок. В обращении своем с матерью Наташа выказывала внешнюю грубость манеры, но так была чутка и ловка, что как бы она ни обхватила руками мать, она всегда умела это сделать так, чтобы матери не было ни больно, ни неприятно, ни неловко.
– Ну, об чем же нынче? – сказала мать, устроившись на подушках и подождав, пока Наташа, также перекатившись раза два через себя, не легла с ней рядом под одним одеялом, выпростав руки и приняв серьезное выражение.
Эти ночные посещения Наташи, совершавшиеся до возвращения графа из клуба, были одним из любимейших наслаждений матери и дочери.
– Об чем же нынче? А мне нужно тебе сказать…
Наташа закрыла рукою рот матери.
– О Борисе… Я знаю, – сказала она серьезно, – я затем и пришла. Не говорите, я знаю. Нет, скажите! – Она отпустила руку. – Скажите, мама. Он мил?
– Наташа, тебе 16 лет, в твои года я была замужем. Ты говоришь, что Боря мил. Он очень мил, и я его люблю как сына, но что же ты хочешь?… Что ты думаешь? Ты ему совсем вскружила голову, я это вижу…
Говоря это, графиня оглянулась на дочь. Наташа лежала, прямо и неподвижно глядя вперед себя на одного из сфинксов красного дерева, вырезанных на углах кровати, так что графиня видела только в профиль лицо дочери. Лицо это поразило графиню своей особенностью серьезного и сосредоточенного выражения.
Наташа слушала и соображала.
– Ну так что ж? – сказала она.
– Ты ему вскружила совсем голову, зачем? Что ты хочешь от него? Ты знаешь, что тебе нельзя выйти за него замуж.
– Отчего? – не переменяя положения, сказала Наташа.
– Оттого, что он молод, оттого, что он беден, оттого, что он родня… оттого, что ты и сама не любишь его.
– А почему вы знаете?
– Я знаю. Это не хорошо, мой дружок.
– А если я хочу… – сказала Наташа.
– Перестань говорить глупости, – сказала графиня.
– А если я хочу…
– Наташа, я серьезно…
Наташа не дала ей договорить, притянула к себе большую руку графини и поцеловала ее сверху, потом в ладонь, потом опять повернула и стала целовать ее в косточку верхнего сустава пальца, потом в промежуток, потом опять в косточку, шопотом приговаривая: «январь, февраль, март, апрель, май».