Вполне несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство (наследственно несвязное, дисперсное) — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел <math>\mathbb{Q}_p</math>.

Определение

Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

Примеры

• Дискретное пространство
• Множество рациональных чисел
• Множество иррациональных чисел
• Множество p-адических чисел.
  • Более общо, вполне несвязными являются проконечные группы
• Множество Кантора
• Пространство Бэра (Теория множеств) (англ.)
• Прямая Зоргенфрея
• Нульмерное хаусдорфово пространство
• Нульмерное T₁-пространство
• Экстремально несвязное хаусдорфово пространство
• Стоуновское пространство (англ.)
• Веер Кнастера — Куратовского представляет собой пример связного пространства, которое при удалении лишь одной точки становится вполне несвязным

Свойства

• Подпространства, произведения и копроизведения вполне несвязных пространств вполне несвязны.
• Вполне несвязные пространства являются T₁-пространствами в случае, если точки замкнуты.
• При непрерывном отображении образ вполне несвязного пространства, вообще говоря, не обязательно является вполне несвязным.
• Локально компактное хаусдорфово пространство является нульмерным тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
• Любое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств.

Конструирование несвязного пространства

Пусть <math>X</math> — произвольное топологическое пространство. Пусть <math>x\sim y</math> тогда и только тогда, когда <math>y\in \mathrm{conn}(x)</math> (где <math>\mathrm{conn}(x)</math> обозначает максимальное связное подмножество, содержащее <math>x</math>). Очевидно, отношение <math>\sim</math> является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство <math>X/{\sim}.</math> Топология на <math>X/{\sim}</math> естественным образом индуцируется топлогией на <math>X,</math> а именно, открытые подмножества <math>X/{\sim}</math> — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в <math>X.</math> Приложив немного усилий, можно показать, что <math>X/{\sim}</math> является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если <math>f : X\rightarrow Y</math> — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде <math>f=\breve{f}\circ m,</math> где отображение <math>\breve{f}:(X/\sim)\rightarrow Y</math> непрерывно, а <math>m</math> — отображение факторизации.

См. также

• Связное пространство
• Экстремально несвязное пространство

Ссылки

• [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Totally-disconnected_space Totally-disconnected space] — Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.

Отрывок, характеризующий Вполне несвязное пространство

Борис осторожно улыбнулся так, что его улыбка могла быть отнесена к насмешке или к одобрению шутки, смотря по тому, как она будет принята. Все засмеялись.
– Il est tres mauvais, votre jeu de mot, tres spirituel, mais injuste, – грозя сморщенным пальчиком, сказала Анна Павловна. – Nous ne faisons pas la guerre pour le Roi de Prusse, mais pour les bons principes. Ah, le mechant, ce prince Hippolytel [Ваша игра слов не хороша, очень умна, но несправедлива; мы не воюем pour le roi de Prusse (т. e. по пустякам), а за добрые начала. Ах, какой он злой, этот князь Ипполит!] – сказала она.
Разговор не утихал целый вечер, обращаясь преимущественно около политических новостей. В конце вечера он особенно оживился, когда дело зашло о наградах, пожалованных государем.
– Ведь получил же в прошлом году NN табакерку с портретом, – говорил l'homme a l'esprit profond, [человек глубокого ума,] – почему же SS не может получить той же награды?
– Je vous demande pardon, une tabatiere avec le portrait de l'Empereur est une recompense, mais point une distinction, – сказал дипломат, un cadeau plutot. [Извините, табакерка с портретом Императора есть награда, а не отличие; скорее подарок.]
– Il y eu plutot des antecedents, je vous citerai Schwarzenberg. [Были примеры – Шварценберг.]
– C'est impossible, [Это невозможно,] – возразил другой.
– Пари. Le grand cordon, c'est different… [Лента – это другое дело…]
Когда все поднялись, чтоб уезжать, Элен, очень мало говорившая весь вечер, опять обратилась к Борису с просьбой и ласковым, значительным приказанием, чтобы он был у нее во вторник.
– Мне это очень нужно, – сказала она с улыбкой, оглядываясь на Анну Павловну, и Анна Павловна той грустной улыбкой, которая сопровождала ее слова при речи о своей высокой покровительнице, подтвердила желание Элен. Казалось, что в этот вечер из каких то слов, сказанных Борисом о прусском войске, Элен вдруг открыла необходимость видеть его. Она как будто обещала ему, что, когда он приедет во вторник, она объяснит ему эту необходимость.
Приехав во вторник вечером в великолепный салон Элен, Борис не получил ясного объяснения, для чего было ему необходимо приехать. Были другие гости, графиня мало говорила с ним, и только прощаясь, когда он целовал ее руку, она с странным отсутствием улыбки, неожиданно, шопотом, сказала ему: Venez demain diner… le soir. Il faut que vous veniez… Venez. [Приезжайте завтра обедать… вечером. Надо, чтоб вы приехали… Приезжайте.]
В этот свой приезд в Петербург Борис сделался близким человеком в доме графини Безуховой.


Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.