Целый элемент

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Вполне целозамкнутое кольцо»)
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом A, если существуют коэффициенты <math>a_j \in A</math>, такие что

<math>b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0.</math>

Таким образом, целые элементы B — это в точности корни приведенных многочленов над A. Если каждый элемент B является целым над A, кольцо B называется целым расширением A (или просто «кольцом, целым над A»).

Если A и B — поля, терминам «цел над» и «целое расширение» соответствуют термины «алгебраичен над» и «алгебраическое расширение». Частный случай, особенно важный в теории чисел — комплексные числа, являющиеся целыми над Z, они называются целыми алгебраическими числами.

Множество всех элементов B, целых над A, образует кольцо; оно называется целым замыканием A в B. Целое замыкание рациональных чисел в некотором конечном расширении k поля Q называется кольцом целых поля k, этот объект является фундаментальным для алгебраической теории чисел.

В дальнейшем в этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».





Примеры

  • Целые числа — единственные элементы Q, являющиеся целыми над Z. До некоторой степени, это проясняет происхождение термина «целый».
  • Гауссовы целые числа, как элементы поля комплексных чисел, являются целыми над Z.
  • Пусть ζ — корень из единицы. Целое замыкание Z в круговом поле Q(ζ) — это Z[ζ].
  • Если <math>\overline{k}</math> — алгебраическое замыкание поля k, то <math>\overline{k}[x_1, \dots, x_n]</math> цело над <math>k[x_1, \dots, x_n].</math>
  • Пусть конечная группа G действует на кольце A гомоморфизмами колец. Тогда A является целым над множеством элементов, являющихся неподвижными точками действия группы.

Эквивалентные определения

Пусть b — элемент кольца B, A — подкольцо B. Следующие утверждения эквивалентны:

  • b является целым над A;
  • Подкольцо A[b] кольца B является конечнопорожденным A-модулем;
  • Существует подкольцо C кольца B, содержащее A и b, и являющееся конечнопорожденным A-модулем;
  • Существует конечнопорожденный A-модуль M кольца B, такой что bMM и из b’M = 0 следует, что b' = 0.

Из третьего свойства легко вывести, что множество всех элементов, целых над A, является подкольцом B (замкнуто относительно сложения и умножения), оно называется целым замыканием A в B. Если целое замыкание совпадает с самим кольцом A, A называется целозамкнутым в B.

«Целость» является транзитивным отношением: если кольцо C цело над B и B цело над A, то C цело над A.

Также из третьего свойства следует, что если B цело над A, то B является объединением (или, эквивалентно, прямым пределом) подколец, являющихся конечнопорожденными A-модулями.

Целозамкнутые кольца

Целозамкнутое кольцо — это целостное кольцо, целозамкнутое[⇨] в своём поле частных.

Пусть A — целозамкнутое кольцо с полем частных K и L — конечное расширение K. Тогда элемент L цел над A тогда и только тогда, когда коэффициенты его минимального многочлена принадлежат A: это более сильное условие, чем просто целость, для которой достаточно существование произвольного многочлена с таким свойством. Любое факториальное кольцо является целозамкнутым.

Пусть A — нётерово целостное кольцо. Тогда A целозамкнуто в том и только в том случае, когда (1) A совпадает с пересечением всех локализаций A по простому идеалу и (2) локализация A по простому идеалу высоты 1 (то есть не содержащему других ненулевых простых идеалов) — дедекиндово кольцо. Также нётерово кольцо целозамкнуто тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля.

Нормальные кольца

Такие авторы, как Серр и Гротендик, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализация которого по любому простому идеалу целозамкнута. В таком кольце нет ненулевых нильпотентов.[1] Если A — нётерово кольцо, локализации которого по максимальным идеалам целостны, то A — конечное произведение целостных колец. В данном случае, если A — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении целозамкнуты.[2] Обратно, прямое произведение целозамкнутых колец нормально.

Вполне целозамкнутые кольца

Пусть A — целостное кольцо, K — его поле частных. Элемент x поля частных называется почти целым над A, если существует такой <math>d\in A</math>, что <math>dx^n\in A</math> для любого натурального n. Кольцо A называется вполне целозамкнутым, если любой почти целый над ним элемент содержится в A. Вполне целозамкнутые кольца целозамкнуты. Обратно, нётеровы целозамкнутые кольца вполне целозамкнуты.

Кольцо формальных степенных рядов над вполне целозамкнутым кольцом вполне целозамкнуто, тогда как для произвольных целозамкнутых колец это неверно.

Локальность свойства целозамкнутости

Следующие условия для целостного кольца A эквивалентны:

  • A целозамкнуто;
  • Локализация A по любому простому идеалу целозамкнута;
  • Локализация A по любому максимальному идеалу целозамкнута.

Такие свойства кольца A называют локальными свойствами.

Напишите отзыв о статье "Целый элемент"

Примечания

  1. Если локализации коммутативного кольца R по всем максимальным идеалам не содержат нильпотентов (например, целостны), то и R их не содержит. Доказательство: Пусть x — ненулевой элемент R и xn=0. Аnn(x) (элементы, умножение на которые обнуляет x) содержится в некотором максимальном идеале <math>\mathfrak{m}</math>. Образ x в локализации по <math>\mathfrak{m}</math> — ненулевой, так как в противном случае <math>xs = 0</math> для некоторого <math>s \not\in \mathfrak{m}</math>, противоречие. Следовательно, локализация R по <math>\mathfrak{m}</math> содержит ненулевой нильпотент.
  2. Matsumura 1989, p. 64
  • Bourbaki, Commutative algebra.
  • Kaplansky Irving. Commutative Rings. — University of Chicago Press, 1974. — ISBN 0-226-42454-5.
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.

Отрывок, характеризующий Целый элемент

– Да оставь, Наташа; ну полно, мы уложим, – с упреком говорила Соня.
– Эх, барышня! – говорил дворецкий. Но Наташа не сдалась, выкинула все вещи и быстро начала опять укладывать, решая, что плохие домашние ковры и лишнюю посуду не надо совсем брать. Когда всё было вынуто, начали опять укладывать. И действительно, выкинув почти все дешевое, то, что не стоило брать с собой, все ценное уложили в два ящика. Не закрывалась только крышка коверного ящика. Можно было вынуть немного вещей, но Наташа хотела настоять на своем. Она укладывала, перекладывала, нажимала, заставляла буфетчика и Петю, которого она увлекла за собой в дело укладыванья, нажимать крышку и сама делала отчаянные усилия.
– Да полно, Наташа, – говорила ей Соня. – Я вижу, ты права, да вынь один верхний.
– Не хочу, – кричала Наташа, одной рукой придерживая распустившиеся волосы по потному лицу, другой надавливая ковры. – Да жми же, Петька, жми! Васильич, нажимай! – кричала она. Ковры нажались, и крышка закрылась. Наташа, хлопая в ладоши, завизжала от радости, и слезы брызнули у ней из глаз. Но это продолжалось секунду. Тотчас же она принялась за другое дело, и уже ей вполне верили, и граф не сердился, когда ему говорили, что Наталья Ильинишна отменила его приказанье, и дворовые приходили к Наташе спрашивать: увязывать или нет подводу и довольно ли она наложена? Дело спорилось благодаря распоряжениям Наташи: оставлялись ненужные вещи и укладывались самым тесным образом самые дорогие.
Но как ни хлопотали все люди, к поздней ночи еще не все могло быть уложено. Графиня заснула, и граф, отложив отъезд до утра, пошел спать.
Соня, Наташа спали, не раздеваясь, в диванной. В эту ночь еще нового раненого провозили через Поварскую, и Мавра Кузминишна, стоявшая у ворот, заворотила его к Ростовым. Раненый этот, по соображениям Мавры Кузминишны, был очень значительный человек. Его везли в коляске, совершенно закрытой фартуком и с спущенным верхом. На козлах вместе с извозчиком сидел старик, почтенный камердинер. Сзади в повозке ехали доктор и два солдата.
– Пожалуйте к нам, пожалуйте. Господа уезжают, весь дом пустой, – сказала старушка, обращаясь к старому слуге.
– Да что, – отвечал камердинер, вздыхая, – и довезти не чаем! У нас и свой дом в Москве, да далеко, да и не живет никто.
– К нам милости просим, у наших господ всего много, пожалуйте, – говорила Мавра Кузминишна. – А что, очень нездоровы? – прибавила она.
Камердинер махнул рукой.
– Не чаем довезти! У доктора спросить надо. – И камердинер сошел с козел и подошел к повозке.
– Хорошо, – сказал доктор.
Камердинер подошел опять к коляске, заглянул в нее, покачал головой, велел кучеру заворачивать на двор и остановился подле Мавры Кузминишны.
– Господи Иисусе Христе! – проговорила она.
Мавра Кузминишна предлагала внести раненого в дом.
– Господа ничего не скажут… – говорила она. Но надо было избежать подъема на лестницу, и потому раненого внесли во флигель и положили в бывшей комнате m me Schoss. Раненый этот был князь Андрей Болконский.


Наступил последний день Москвы. Была ясная веселая осенняя погода. Было воскресенье. Как и в обыкновенные воскресенья, благовестили к обедне во всех церквах. Никто, казалось, еще не мог понять того, что ожидает Москву.
Только два указателя состояния общества выражали то положение, в котором была Москва: чернь, то есть сословие бедных людей, и цены на предметы. Фабричные, дворовые и мужики огромной толпой, в которую замешались чиновники, семинаристы, дворяне, в этот день рано утром вышли на Три Горы. Постояв там и не дождавшись Растопчина и убедившись в том, что Москва будет сдана, эта толпа рассыпалась по Москве, по питейным домам и трактирам. Цены в этот день тоже указывали на положение дел. Цены на оружие, на золото, на телеги и лошадей всё шли возвышаясь, а цены на бумажки и на городские вещи всё шли уменьшаясь, так что в середине дня были случаи, что дорогие товары, как сукна, извозчики вывозили исполу, а за мужицкую лошадь платили пятьсот рублей; мебель же, зеркала, бронзы отдавали даром.
В степенном и старом доме Ростовых распадение прежних условий жизни выразилось очень слабо. В отношении людей было только то, что в ночь пропало три человека из огромной дворни; но ничего не было украдено; и в отношении цен вещей оказалось то, что тридцать подвод, пришедшие из деревень, были огромное богатство, которому многие завидовали и за которые Ростовым предлагали огромные деньги. Мало того, что за эти подводы предлагали огромные деньги, с вечера и рано утром 1 го сентября на двор к Ростовым приходили посланные денщики и слуги от раненых офицеров и притаскивались сами раненые, помещенные у Ростовых и в соседних домах, и умоляли людей Ростовых похлопотать о том, чтоб им дали подводы для выезда из Москвы. Дворецкий, к которому обращались с такими просьбами, хотя и жалел раненых, решительно отказывал, говоря, что он даже и не посмеет доложить о том графу. Как ни жалки были остающиеся раненые, было очевидно, что, отдай одну подводу, не было причины не отдать другую, все – отдать и свои экипажи. Тридцать подвод не могли спасти всех раненых, а в общем бедствии нельзя было не думать о себе и своей семье. Так думал дворецкий за своего барина.
Проснувшись утром 1 го числа, граф Илья Андреич потихоньку вышел из спальни, чтобы не разбудить к утру только заснувшую графиню, и в своем лиловом шелковом халате вышел на крыльцо. Подводы, увязанные, стояли на дворе. У крыльца стояли экипажи. Дворецкий стоял у подъезда, разговаривая с стариком денщиком и молодым, бледным офицером с подвязанной рукой. Дворецкий, увидав графа, сделал офицеру и денщику значительный и строгий знак, чтобы они удалились.
– Ну, что, все готово, Васильич? – сказал граф, потирая свою лысину и добродушно глядя на офицера и денщика и кивая им головой. (Граф любил новые лица.)
– Хоть сейчас запрягать, ваше сиятельство.