Плотное множество
Поделись знанием:
На другой день к завтраку, как и обещал граф Илья Андреич, он приехал из Подмосковной. Он был очень весел: дело с покупщиком ладилось и ничто уже не задерживало его теперь в Москве и в разлуке с графиней, по которой он соскучился. Марья Дмитриевна встретила его и объявила ему, что Наташа сделалась очень нездорова вчера, что посылали за доктором, но что теперь ей лучше. Наташа в это утро не выходила из своей комнаты. С поджатыми растрескавшимися губами, сухими остановившимися глазами, она сидела у окна и беспокойно вглядывалась в проезжающих по улице и торопливо оглядывалась на входивших в комнату. Она очевидно ждала известий об нем, ждала, что он сам приедет или напишет ей.
Когда граф взошел к ней, она беспокойно оборотилась на звук его мужских шагов, и лицо ее приняло прежнее холодное и даже злое выражение. Она даже не поднялась на встречу ему.
– Что с тобой, мой ангел, больна? – спросил граф. Наташа помолчала.
– Да, больна, – отвечала она.
На беспокойные расспросы графа о том, почему она такая убитая и не случилось ли чего нибудь с женихом, она уверяла его, что ничего, и просила его не беспокоиться. Марья Дмитриевна подтвердила графу уверения Наташи, что ничего не случилось. Граф, судя по мнимой болезни, по расстройству дочери, по сконфуженным лицам Сони и Марьи Дмитриевны, ясно видел, что в его отсутствие должно было что нибудь случиться: но ему так страшно было думать, что что нибудь постыдное случилось с его любимою дочерью, он так любил свое веселое спокойствие, что он избегал расспросов и всё старался уверить себя, что ничего особенного не было и только тужил о том, что по случаю ее нездоровья откладывался их отъезд в деревню.
(перенаправлено с «Всюду плотное множество»)
Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, <math>A</math> плотно в <math>X</math>, если всякая окрестность любой точки <math>x</math> из <math>X</math> содержит элемент из <math>A</math>.
Содержание
Определения
- Пусть даны топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math> и два подмножества <math>A,B\subset X.</math> Тогда множество <math>A</math> называется плотным в множестве <math>B</math>, если любая окрестность любой точки <math>B</math> содержит хотя бы одну точку из <math>A</math>, то есть
- <math>\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr).</math>
- Множество <math>A</math> называется всюду плотным, если оно плотно в <math>X.</math>
Замечание
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
- Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда замыкание <math>A</math> содержит <math>B</math>, то есть <math>\bar{A} \supset B</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\bar{A} = X</math>.
- Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к <math>A</math> не пересекается с <math>B</math>, то есть <math>\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset</math>.
Примеры
- Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в пространстве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Плотное множество"
Литература
- Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
- Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. [www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Элементарная топология]. Учебник в задачах (рус., англ.)
Отрывок, характеризующий Плотное множество
Марья Дмитриевна продолжала еще несколько времени усовещивать Наташу и внушать ей, что всё это надо скрыть от графа, что никто не узнает ничего, ежели только Наташа возьмет на себя всё забыть и не показывать ни перед кем вида, что что нибудь случилось. Наташа не отвечала. Она и не рыдала больше, но с ней сделались озноб и дрожь. Марья Дмитриевна подложила ей подушку, накрыла ее двумя одеялами и сама принесла ей липового цвета, но Наташа не откликнулась ей. – Ну пускай спит, – сказала Марья Дмитриевна, уходя из комнаты, думая, что она спит. Но Наташа не спала и остановившимися раскрытыми глазами из бледного лица прямо смотрела перед собою. Всю эту ночь Наташа не спала, и не плакала, и не говорила с Соней, несколько раз встававшей и подходившей к ней.На другой день к завтраку, как и обещал граф Илья Андреич, он приехал из Подмосковной. Он был очень весел: дело с покупщиком ладилось и ничто уже не задерживало его теперь в Москве и в разлуке с графиней, по которой он соскучился. Марья Дмитриевна встретила его и объявила ему, что Наташа сделалась очень нездорова вчера, что посылали за доктором, но что теперь ей лучше. Наташа в это утро не выходила из своей комнаты. С поджатыми растрескавшимися губами, сухими остановившимися глазами, она сидела у окна и беспокойно вглядывалась в проезжающих по улице и торопливо оглядывалась на входивших в комнату. Она очевидно ждала известий об нем, ждала, что он сам приедет или напишет ей.
Когда граф взошел к ней, она беспокойно оборотилась на звук его мужских шагов, и лицо ее приняло прежнее холодное и даже злое выражение. Она даже не поднялась на встречу ему.
– Что с тобой, мой ангел, больна? – спросил граф. Наташа помолчала.
– Да, больна, – отвечала она.
На беспокойные расспросы графа о том, почему она такая убитая и не случилось ли чего нибудь с женихом, она уверяла его, что ничего, и просила его не беспокоиться. Марья Дмитриевна подтвердила графу уверения Наташи, что ничего не случилось. Граф, судя по мнимой болезни, по расстройству дочери, по сконфуженным лицам Сони и Марьи Дмитриевны, ясно видел, что в его отсутствие должно было что нибудь случиться: но ему так страшно было думать, что что нибудь постыдное случилось с его любимою дочерью, он так любил свое веселое спокойствие, что он избегал расспросов и всё старался уверить себя, что ничего особенного не было и только тужил о том, что по случаю ее нездоровья откладывался их отъезд в деревню.
