Аксиома выбора

Аксиомой выбора называется следующее высказывание теории множеств:

Для всякого семейства <math>X</math> непустых множеств существует функция <math>f</math>, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция <math>f</math> называется функцией выбора для заданного семейства.

На формальном языке:

<math>\forall X \left[ \emptyset \notin X \Rightarrow \exists f: X \rarr \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right] \,.</math>

Если мы ограничимся рассмотрением только конечных семейств множеств, то утверждение аксиомы выбора может быть доказано исходя из других аксиом теории множеств и не требует постулирования в качестве отдельной аксиомы. Оно также может быть доказано для некоторых бесконечных семейств, однако в общем случае для бесконечных семейств аксиома выбора не следует из других аксиом, и является независимым утверждением.

История и оценки

Аксиома выбора была сформулирована и опубликована Эрнстом Цермело в 1904 году (хотя впервые её отметил Беппо Леви на 2 года раньше). Новая аксиома вызвала бурную полемику и до сих пор безоговорочно принимается не всеми математиками. Бытует мнение, что доказательства, полученные с её привлечением, имеют «иную познавательную ценность», чем доказательства, не зависящие от неё. Появление аксиомы выбора вызвало также дискуссию о том, что означает в математике понятие «существование» — в частности, о том, можно ли считать существующим множество, ни один элемент которого не известен.

Неприятие аксиомы выбора некоторыми математиками обосновано, прежде всего, тем, что в ней лишь утверждается существование множества <math>d</math>, но не дается никакого способа его определения. Это мнение, например, Бореля и Лебега. Противоположного мнения придерживались, например, Гильберт, Хаусдорф и Френкель, которые принимали аксиому выбора без всяких оговорок, признавая за ней ту же степень «очевидности», что и за другими аксиомами теории множеств: аксиома объёмности, аксиома существования пустого множества, аксиома пары, аксиома суммы, аксиома степени, аксиома бесконечности.

Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно парадоксальных, вызывающих интуитивный протест части математиков. Например, появляется возможность доказать парадокс удвоения шара, который вряд ли могут счесть «очевидным» все исследователи (см. также Квадратура круга Тарского). Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому выбора, провел Вацлав Серпинский. Однако, без сомнения, многие важные математические открытия нельзя было бы сделать без аксиомы выбора.

Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».

Независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело-Френкеля была доказана П. Дж. Коэном .

Эквивалентные формулировки

Существует множество других, эквивалентных формулировок аксиомы выбора.

• Декартово произведение непустых множеств не пусто.
• Каждая сюръективная функция <math>f: A \to B</math> имеет правую обратную функцию <math>f^{-1} : B \to A</math>, то есть их композиция <math>f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B</math> является идентичной функцией на <math>B</math> или, другими словами, <math>f(f^{-1}(z))=z</math> для всех элементов <math>z\in B</math>.
• Лемма Цорна (см. ниже)
• Каждое множество может быть вполне упорядочено (см. ниже, теорема Цермело).
• принцип максимума Хаусдорфа
• Пусть <math>X</math> — множество непустых попарно непересекающихся множеств. Тогда мы можем выбрать единственный элемент из каждого множества в <math>X</math>.

Функция выбора — функция на множестве множеств <math>X</math> такая, что для каждого множества <math>s</math> в <math>X</math>, <math>f(s)</math> является элементом из <math>s</math>. С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:

• Для любого семейства непустых множеств <math>X</math> существует функция выбора <math>f</math>, определённая на <math>X</math>.

Или альтернативно:

Произвольное декартово произведение непустых множеств непусто.

Или наиболее сжато:

Каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора.

Вторая версия аксиомы выбора утверждает:

Для данного произвольного множества попарно непересекающихся непустых множеств существует по крайней мере одно множество, которое содержит точно один элемент, общий с каждым из непустых множеств.

Некоторые авторы используют другую версию, которая эффективно утверждает:

Для любого множества <math>A</math>, его булеан за вычетом пустого подмножества <math>\mathcal P(A)\setminus\{\varnothing\}</math> имеет функцию выбора.

Авторы, которые используют эту формулировку, часто также говорят о «функции выбора на <math>A</math>», но оговаривают, что имеют в виду немного другое понятие функции выбора. Её область определения — булеан (минус пустое подмножество), тогда как в других местах этой статьи, область определения функции выбора — «множество множеств». С этим дополнительным понятием функции выбора, аксиома выбора может быть сжато сформулирована так:

Каждое множество имеет функцию выбора.

Применение

До конца XIX века аксиома выбора использовалась безоговорочно. Например, после определения множества <math>X</math>, содержащего непустое множество, математик мог сказать: «Пусть <math>F(s)</math> будет определено для каждого <math>s</math> из <math>X</math>». В общем, невозможно доказать, что <math>F</math> существует без аксиомы выбора, но это, кажется, оставалось без внимания до Цермело.

Не во всех случаях требуется аксиома выбора. Для конечного набора <math>X</math> аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это то же самое, что говорить, если мы имеем несколько (конечное число) коробок, каждая из которых содержит в себе по одной одинаковой вещи, тогда мы можем выбрать ровно одну вещь из каждой коробки. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнём с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Так как есть конечное число коробок, то действуя нашей процедурой выбора, мы придём к концу. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке — второй элемент и т. д. (Для получения формального доказательства для всех конечных множеств следует воспользоваться принципом математической индукции.)

В случае с бесконечным множеством <math>X</math> иногда также можно обойти аксиому выбора. Например, если элементы <math>X</math> — множества натуральных чисел. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Это позволяет нам сделать выбор элемента из каждого множества, поэтому мы можем записать явное выражение, которое говорит нам, какое значение наша функция выбора принимает. Если возможно таким образом определить функцию выбора, в аксиоме выбора нет необходимости.

Сложности появляются в случае, если невозможно осуществить естественный выбор элементов из каждого множества. Если мы не можем сделать явный выбор, то почему уверены, что такой выбор можно совершить в принципе? Например, пусть <math>X</math> — это множество непустых подмножеств действительных чисел. Во-первых, мы могли бы попробовать поступить как в случае, если бы <math>X</math> было конечным. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как <math>X</math> бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего <math>X</math>. Так что это не срабатывает. Далее, мы можем попробовать определить наименьший элемент из каждого множества. Но некоторые подмножества действительных чисел не содержат наименьший элемент. Например, таким подмножеством является открытый интервал <math>(0,\;1)</math>. Если <math>x</math> принадлежит <math>(0,\;1)</math>, то <math>x/2</math> также принадлежит ему, причем меньше, чем <math>x</math>. Итак, выбор наименьшего элемента тоже не работает.

Причина, которая позволяет выбрать нам наименьший элемент из подмножества натуральных чисел — это факт, что натуральные числа обладают свойством вполнеупорядоченности. Каждое подмножество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент в силу естественной упорядоченности. Возможно, если бы мы были умнее, то могли бы сказать: «Возможно, если обычный порядок для действительных чисел не позволяет найти особое (наименьшее) число в каждом подмножестве, мы могли бы ввести другой порядок, который таки давал бы свойство вполнеупорядоченности. Тогда наша функция сможет выбрать наименьший элемент из каждого множества в силу нашего необычного упорядочивания». Проблема тогда возникает в этом построении вполнеупорядоченности, которая для своего решения требует наличия аксиомы выбора. Иными словами, каждое множество может быть вполне упорядочено тогда и только тогда, когда аксиома выбора справедлива.

Доказательства, требующие аксиомы выбора, всегда неконструктивны: даже если доказательство создаёт объект, невозможно сказать, что же именно это за объект. Следовательно, хоть аксиома выбора позволяет вполне упорядочить множество действительных чисел, это не даёт нам никакой наглядности и конструктивизма в целом. Сама причина, по которой наш вышеуказанный выбор вполне упорядочения действительных чисел был таким для каждого множества <math>X</math>, мы могли явно выбрать элемент из такого множества. Если мы не можем указать, что мы используем вполне упорядоченность, тогда наш выбор не вполне явный. Это одна из причин, почему некоторые математики не любят аксиому выбора (см. также Кризис оснований математики). Например, конструктивистская установка что все существующие доказательства должны быть полностью явными; должно быть возможным построение чего бы то ни было что существует. Они отвергают аксиому выбора потому, что она заявляет существование объекта без описания. С другой стороны, факт — что для доказательства существования используется аксиома выбора — не означает, что мы не сможем совершить построение другим способом.

Принцип вполне упорядочивания (теорема Цермело)

Очень распространённая и удобная формулировка использует понятие вполне упорядоченного множества. Нам потребуется несколько определений, и мы начнём со строгого определения линейного порядка, выражающего знакомую нам идею на языке теории множеств. Напомним, что упорядоченная пара элементов обозначается <math>(x,\;y)</math> и что декартово произведение множеств <math>X\times Y</math> состоит из всех возможных упорядоченных пар <math>(x,\;y)</math>, где <math>x\in X,\;y\in Y</math>.

Линейным порядком на множестве <math>A</math> называется подмножество декартова произведения <math>R\subseteq A\times A</math>, обладающее следующим свойствами:

1. Полное: <math>\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor(y,\;x)\in R)</math>.
2. Антисимметричное: <math>\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge(y,\;x)\in R\to y=x)</math>.
3. Транзитивное: <math>\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge(y,\;z)\in R\to(x,\;z)\in R)</math>.

Полным порядком на множестве <math>A</math> называется такой линейный порядок, что каждое подмножество <math>X\subseteq A</math> имеет наименьший элемент.

Принцип полного порядка заключается в том, что любое множество может быть вполне упорядочено.

Например, множество натуральных чисел может быть вполне упорядоченно обычным отношением «меньше или равно чем». С тем же отношением множество целых чисел не имеет наименьшего элемента. В этом случае мы можем собрать целые числа в последовательность <math>(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots,\;-n,\;n,\;\ldots)</math> и сказать, что младшие члены меньше, чем старшие. Очевидно, такое отношение будет полным порядком на целых числах.

Гораздо менее очевидно, что действительные числа, формирующие несчётное множество, могут быть вполне упорядочены.

Лемма Цорна

Если в частично упорядоченном множестве любая цепь (то есть линейно упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то всё множество имеет хотя бы один максимальный элемент.

Более формально:

Пусть <math>(P,\;\leqslant)</math> — частично упорядоченное множество, то есть, отношение <math>\leqslant</math> — рефлексивно, антисимметрично и транзитивно:

• <math>\forall x\in P\quad x\leqslant x;</math>
• <math>\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\and y\leqslant x\to x=y;</math>
• <math>\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\and y\leqslant z\to x\leqslant z.</math>

Подмножество <math>S\subset P</math> называется линейно упорядоченным, если <math>\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\or y\leqslant x</math>. Элемент <math>u\in P</math> называется верхней гранью, если <math>\forall x\in S\;x\leqslant u</math>.

Допустим, что любое линейно упорядоченное подмножество множества <math>P</math> имеет верхнюю грань. Тогда <math>\exists m\in P\;\nexists x\in P\;x>m</math>, то есть <math>m</math> — максимальный элемент.

Альтернативы

Если ограничить применение аксиомы выбора только конечными и счётными семействами множеств, получается «аксиома счётного выбора». Она вполне достаточна для обоснования большинства теорем анализа и не создаёт указанных выше парадоксов. Однако её недостаточно для обоснования многих положений теории множеств. Ещё один, несколько более сильный вариант — Аксиома зависимого выбора, но и она не подходит для нужд теории множеств.

В 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз предложили взамен аксиомы выбора так называемую «аксиому детерминированности». В отличие от аксиомы выбора, которая имеет интуитивно понятную формулировку и противоречащие интуиции следствия, аксиома детерминированности, наоборот, имеет неочевидную формулировку, однако её следствия куда лучше согласуются с интуицией. Из аксиомы детерминированности вытекает аксиома счётного выбора, но не полная аксиома выбора.

Следствия аксиомы детерминированности в ряде ситуаций противоречат следствиям аксиомы выбора — например, все множества вещественных чисел измеримы по Лебегу, а мощность континуума непосредственно следует за счётной, без промежуточных мощностей.

См. также

• Аксиоматика теории множеств

Литература

• Александров П. С. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b18b6e7a94ee349b1091af3b317c6630.djvu Введение в теорию множеств и общую топологию]. — М.: Наука, 1977. — 368 с. — Глава 3, § 4.
• Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
• Медведев Ф. А. [lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MA_Algebra/MAml_Mathematical%20logic/Medvedev%20F.A.%20Rannyaya%20istoriya%20aksiomy%20vybora%20(Nauka,%201982)(ru)(T)(305s)_MAml_.djvu Ранняя история аксиомы выбора]. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
• Медведев Ф. А. Аксиома выбора и математический анализ // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 167-188.
• Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств = Handbook of Mathematical Logic / Барвайс Дж.. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

Отрывок, характеризующий Аксиома выбора

Алпатыч, повернув свое лицо к князю Андрею, посмотрел на него; и вдруг торжественным жестом поднял руку кверху.
– Он мой покровитель, да будет воля его! – проговорил он.
Толпа мужиков и дворовых шла по лугу, с открытыми головами, приближаясь к князю Андрею.
– Ну прощай! – сказал князь Андрей, нагибаясь к Алпатычу. – Уезжай сам, увози, что можешь, и народу вели уходить в Рязанскую или в Подмосковную. – Алпатыч прижался к его ноге и зарыдал. Князь Андрей осторожно отодвинул его и, тронув лошадь, галопом поехал вниз по аллее.
На выставке все так же безучастно, как муха на лице дорогого мертвеца, сидел старик и стукал по колодке лаптя, и две девочки со сливами в подолах, которые они нарвали с оранжерейных деревьев, бежали оттуда и наткнулись на князя Андрея. Увидав молодого барина, старшая девочка, с выразившимся на лице испугом, схватила за руку свою меньшую товарку и с ней вместе спряталась за березу, не успев подобрать рассыпавшиеся зеленые сливы.
Князь Андрей испуганно поспешно отвернулся от них, боясь дать заметить им, что он их видел. Ему жалко стало эту хорошенькую испуганную девочку. Он боялся взглянуть на нее, по вместе с тем ему этого непреодолимо хотелось. Новое, отрадное и успокоительное чувство охватило его, когда он, глядя на этих девочек, понял существование других, совершенно чуждых ему и столь же законных человеческих интересов, как и те, которые занимали его. Эти девочки, очевидно, страстно желали одного – унести и доесть эти зеленые сливы и не быть пойманными, и князь Андрей желал с ними вместе успеха их предприятию. Он не мог удержаться, чтобы не взглянуть на них еще раз. Полагая себя уже в безопасности, они выскочили из засады и, что то пища тоненькими голосками, придерживая подолы, весело и быстро бежали по траве луга своими загорелыми босыми ножонками.
Князь Андрей освежился немного, выехав из района пыли большой дороги, по которой двигались войска. Но недалеко за Лысыми Горами он въехал опять на дорогу и догнал свой полк на привале, у плотины небольшого пруда. Был второй час после полдня. Солнце, красный шар в пыли, невыносимо пекло и жгло спину сквозь черный сюртук. Пыль, все такая же, неподвижно стояла над говором гудевшими, остановившимися войсками. Ветру не было, В проезд по плотине на князя Андрея пахнуло тиной и свежестью пруда. Ему захотелось в воду – какая бы грязная она ни была. Он оглянулся на пруд, с которого неслись крики и хохот. Небольшой мутный с зеленью пруд, видимо, поднялся четверти на две, заливая плотину, потому что он был полон человеческими, солдатскими, голыми барахтавшимися в нем белыми телами, с кирпично красными руками, лицами и шеями. Все это голое, белое человеческое мясо с хохотом и гиком барахталось в этой грязной луже, как караси, набитые в лейку. Весельем отзывалось это барахтанье, и оттого оно особенно было грустно.
Один молодой белокурый солдат – еще князь Андрей знал его – третьей роты, с ремешком под икрой, крестясь, отступал назад, чтобы хорошенько разбежаться и бултыхнуться в воду; другой, черный, всегда лохматый унтер офицер, по пояс в воде, подергивая мускулистым станом, радостно фыркал, поливая себе голову черными по кисти руками. Слышалось шлепанье друг по другу, и визг, и уханье.
На берегах, на плотине, в пруде, везде было белое, здоровое, мускулистое мясо. Офицер Тимохин, с красным носиком, обтирался на плотине и застыдился, увидав князя, однако решился обратиться к нему:
– То то хорошо, ваше сиятельство, вы бы изволили! – сказал он.
– Грязно, – сказал князь Андрей, поморщившись.
– Мы сейчас очистим вам. – И Тимохин, еще не одетый, побежал очищать.
– Князь хочет.
– Какой? Наш князь? – заговорили голоса, и все заторопились так, что насилу князь Андрей успел их успокоить. Он придумал лучше облиться в сарае.
«Мясо, тело, chair a canon [пушечное мясо]! – думал он, глядя и на свое голое тело, и вздрагивая не столько от холода, сколько от самому ему непонятного отвращения и ужаса при виде этого огромного количества тел, полоскавшихся в грязном пруде.
7 го августа князь Багратион в своей стоянке Михайловке на Смоленской дороге писал следующее:
«Милостивый государь граф Алексей Андреевич.
(Он писал Аракчееву, но знал, что письмо его будет прочтено государем, и потому, насколько он был к тому способен, обдумывал каждое свое слово.)
Я думаю, что министр уже рапортовал об оставлении неприятелю Смоленска. Больно, грустно, и вся армия в отчаянии, что самое важное место понапрасну бросили. Я, с моей стороны, просил лично его убедительнейшим образом, наконец и писал; но ничто его не согласило. Я клянусь вам моею честью, что Наполеон был в таком мешке, как никогда, и он бы мог потерять половину армии, но не взять Смоленска. Войска наши так дрались и так дерутся, как никогда. Я удержал с 15 тысячами более 35 ти часов и бил их; но он не хотел остаться и 14 ти часов. Это стыдно, и пятно армии нашей; а ему самому, мне кажется, и жить на свете не должно. Ежели он доносит, что потеря велика, – неправда; может быть, около 4 тысяч, не более, но и того нет. Хотя бы и десять, как быть, война! Но зато неприятель потерял бездну…
Что стоило еще оставаться два дни? По крайней мере, они бы сами ушли; ибо не имели воды напоить людей и лошадей. Он дал слово мне, что не отступит, но вдруг прислал диспозицию, что он в ночь уходит. Таким образом воевать не можно, и мы можем неприятеля скоро привести в Москву…
Слух носится, что вы думаете о мире. Чтобы помириться, боже сохрани! После всех пожертвований и после таких сумасбродных отступлений – мириться: вы поставите всю Россию против себя, и всякий из нас за стыд поставит носить мундир. Ежели уже так пошло – надо драться, пока Россия может и пока люди на ногах…
Надо командовать одному, а не двум. Ваш министр, может, хороший по министерству; но генерал не то что плохой, но дрянной, и ему отдали судьбу всего нашего Отечества… Я, право, с ума схожу от досады; простите мне, что дерзко пишу. Видно, тот не любит государя и желает гибели нам всем, кто советует заключить мир и командовать армиею министру. Итак, я пишу вам правду: готовьте ополчение. Ибо министр самым мастерским образом ведет в столицу за собою гостя. Большое подозрение подает всей армии господин флигель адъютант Вольцоген. Он, говорят, более Наполеона, нежели наш, и он советует все министру. Я не токмо учтив против него, но повинуюсь, как капрал, хотя и старее его. Это больно; но, любя моего благодетеля и государя, – повинуюсь. Только жаль государя, что вверяет таким славную армию. Вообразите, что нашею ретирадою мы потеряли людей от усталости и в госпиталях более 15 тысяч; а ежели бы наступали, того бы не было. Скажите ради бога, что наша Россия – мать наша – скажет, что так страшимся и за что такое доброе и усердное Отечество отдаем сволочам и вселяем в каждого подданного ненависть и посрамление. Чего трусить и кого бояться?. Я не виноват, что министр нерешим, трус, бестолков, медлителен и все имеет худые качества. Вся армия плачет совершенно и ругают его насмерть…»


В числе бесчисленных подразделений, которые можно сделать в явлениях жизни, можно подразделить их все на такие, в которых преобладает содержание, другие – в которых преобладает форма. К числу таковых, в противоположность деревенской, земской, губернской, даже московской жизни, можно отнести жизнь петербургскую, в особенности салонную. Эта жизнь неизменна.
С 1805 года мы мирились и ссорились с Бонапартом, мы делали конституции и разделывали их, а салон Анны Павловны и салон Элен были точно такие же, какие они были один семь лет, другой пять лет тому назад. Точно так же у Анны Павловны говорили с недоумением об успехах Бонапарта и видели, как в его успехах, так и в потакании ему европейских государей, злостный заговор, имеющий единственной целью неприятность и беспокойство того придворного кружка, которого представительницей была Анна Павловна. Точно так же у Элен, которую сам Румянцев удостоивал своим посещением и считал замечательно умной женщиной, точно так же как в 1808, так и в 1812 году с восторгом говорили о великой нации и великом человеке и с сожалением смотрели на разрыв с Францией, который, по мнению людей, собиравшихся в салоне Элен, должен был кончиться миром.
В последнее время, после приезда государя из армии, произошло некоторое волнение в этих противоположных кружках салонах и произведены были некоторые демонстрации друг против друга, но направление кружков осталось то же. В кружок Анны Павловны принимались из французов только закоренелые легитимисты, и здесь выражалась патриотическая мысль о том, что не надо ездить во французский театр и что содержание труппы стоит столько же, сколько содержание целого корпуса. За военными событиями следилось жадно, и распускались самые выгодные для нашей армии слухи. В кружке Элен, румянцевском, французском, опровергались слухи о жестокости врага и войны и обсуживались все попытки Наполеона к примирению. В этом кружке упрекали тех, кто присоветывал слишком поспешные распоряжения о том, чтобы приготавливаться к отъезду в Казань придворным и женским учебным заведениям, находящимся под покровительством императрицы матери. Вообще все дело войны представлялось в салоне Элен пустыми демонстрациями, которые весьма скоро кончатся миром, и царствовало мнение Билибина, бывшего теперь в Петербурге и домашним у Элен (всякий умный человек должен был быть у нее), что не порох, а те, кто его выдумали, решат дело. В этом кружке иронически и весьма умно, хотя весьма осторожно, осмеивали московский восторг, известие о котором прибыло вместе с государем в Петербург.
В кружке Анны Павловны, напротив, восхищались этими восторгами и говорили о них, как говорит Плутарх о древних. Князь Василий, занимавший все те же важные должности, составлял звено соединения между двумя кружками. Он ездил к ma bonne amie [своему достойному другу] Анне Павловне и ездил dans le salon diplomatique de ma fille [в дипломатический салон своей дочери] и часто, при беспрестанных переездах из одного лагеря в другой, путался и говорил у Анны Павловны то, что надо было говорить у Элен, и наоборот.
Вскоре после приезда государя князь Василий разговорился у Анны Павловны о делах войны, жестоко осуждая Барклая де Толли и находясь в нерешительности, кого бы назначить главнокомандующим. Один из гостей, известный под именем un homme de beaucoup de merite [человек с большими достоинствами], рассказав о том, что он видел нынче выбранного начальником петербургского ополчения Кутузова, заседающего в казенной палате для приема ратников, позволил себе осторожно выразить предположение о том, что Кутузов был бы тот человек, который удовлетворил бы всем требованиям.
Анна Павловна грустно улыбнулась и заметила, что Кутузов, кроме неприятностей, ничего не дал государю.
– Я говорил и говорил в Дворянском собрании, – перебил князь Василий, – но меня не послушали. Я говорил, что избрание его в начальники ополчения не понравится государю. Они меня не послушали.
– Все какая то мания фрондировать, – продолжал он. – И пред кем? И все оттого, что мы хотим обезьянничать глупым московским восторгам, – сказал князь Василий, спутавшись на минуту и забыв то, что у Элен надо было подсмеиваться над московскими восторгами, а у Анны Павловны восхищаться ими. Но он тотчас же поправился. – Ну прилично ли графу Кутузову, самому старому генералу в России, заседать в палате, et il en restera pour sa peine! [хлопоты его пропадут даром!] Разве возможно назначить главнокомандующим человека, который не может верхом сесть, засыпает на совете, человека самых дурных нравов! Хорошо он себя зарекомендовал в Букарещте! Я уже не говорю о его качествах как генерала, но разве можно в такую минуту назначать человека дряхлого и слепого, просто слепого? Хорош будет генерал слепой! Он ничего не видит. В жмурки играть… ровно ничего не видит!
Никто не возражал на это.
24 го июля это было совершенно справедливо. Но 29 июля Кутузову пожаловано княжеское достоинство. Княжеское достоинство могло означать и то, что от него хотели отделаться, – и потому суждение князя Василья продолжало быть справедливо, хотя он и не торопился ого высказывать теперь. Но 8 августа был собран комитет из генерал фельдмаршала Салтыкова, Аракчеева, Вязьмитинова, Лопухина и Кочубея для обсуждения дел войны. Комитет решил, что неудачи происходили от разноначалий, и, несмотря на то, что лица, составлявшие комитет, знали нерасположение государя к Кутузову, комитет, после короткого совещания, предложил назначить Кутузова главнокомандующим. И в тот же день Кутузов был назначен полномочным главнокомандующим армий и всего края, занимаемого войсками.
9 го августа князь Василий встретился опять у Анны Павловны с l'homme de beaucoup de merite [человеком с большими достоинствами]. L'homme de beaucoup de merite ухаживал за Анной Павловной по случаю желания назначения попечителем женского учебного заведения императрицы Марии Федоровны. Князь Василий вошел в комнату с видом счастливого победителя, человека, достигшего цели своих желаний.
– Eh bien, vous savez la grande nouvelle? Le prince Koutouzoff est marechal. [Ну с, вы знаете великую новость? Кутузов – фельдмаршал.] Все разногласия кончены. Я так счастлив, так рад! – говорил князь Василий. – Enfin voila un homme, [Наконец, вот это человек.] – проговорил он, значительно и строго оглядывая всех находившихся в гостиной. L'homme de beaucoup de merite, несмотря на свое желание получить место, не мог удержаться, чтобы не напомнить князю Василью его прежнее суждение. (Это было неучтиво и перед князем Василием в гостиной Анны Павловны, и перед Анной Павловной, которая так же радостно приняла эту весть; но он не мог удержаться.)
– Mais on dit qu'il est aveugle, mon prince? [Но говорят, он слеп?] – сказал он, напоминая князю Василью его же слова.
– Allez donc, il y voit assez, [Э, вздор, он достаточно видит, поверьте.] – сказал князь Василий своим басистым, быстрым голосом с покашливанием, тем голосом и с покашливанием, которым он разрешал все трудности. – Allez, il y voit assez, – повторил он. – И чему я рад, – продолжал он, – это то, что государь дал ему полную власть над всеми армиями, над всем краем, – власть, которой никогда не было ни у какого главнокомандующего. Это другой самодержец, – заключил он с победоносной улыбкой.
– Дай бог, дай бог, – сказала Анна Павловна. L'homme de beaucoup de merite, еще новичок в придворном обществе, желая польстить Анне Павловне, выгораживая ее прежнее мнение из этого суждения, сказал.
– Говорят, что государь неохотно передал эту власть Кутузову. On dit qu'il rougit comme une demoiselle a laquelle on lirait Joconde, en lui disant: «Le souverain et la patrie vous decernent cet honneur». [Говорят, что он покраснел, как барышня, которой бы прочли Жоконду, в то время как говорил ему: «Государь и отечество награждают вас этой честью».]
– Peut etre que la c?ur n'etait pas de la partie, [Может быть, сердце не вполне участвовало,] – сказала Анна Павловна.
– О нет, нет, – горячо заступился князь Василий. Теперь уже он не мог никому уступить Кутузова. По мнению князя Василья, не только Кутузов был сам хорош, но и все обожали его. – Нет, это не может быть, потому что государь так умел прежде ценить его, – сказал он.
– Дай бог только, чтобы князь Кутузов, – сказала Анпа Павловна, – взял действительную власть и не позволял бы никому вставлять себе палки в колеса – des batons dans les roues.
Князь Василий тотчас понял, кто был этот никому. Он шепотом сказал:
– Я верно знаю, что Кутузов, как непременное условие, выговорил, чтобы наследник цесаревич не был при армии: Vous savez ce qu'il a dit a l'Empereur? [Вы знаете, что он сказал государю?] – И князь Василий повторил слова, будто бы сказанные Кутузовым государю: «Я не могу наказать его, ежели он сделает дурно, и наградить, ежели он сделает хорошо». О! это умнейший человек, князь Кутузов, et quel caractere. Oh je le connais de longue date. [и какой характер. О, я его давно знаю.]