Выборочная функция распределения

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.



Определение

Пусть <math>X_1,\ldots, X_n,\ldots</math> — выборка из распределения случайной величины <math>X</math>, задаваемой функцией распределения <math>F(x)</math>. Будем считать, что <math>X_i</math>, где <math>i\in \mathbb{N}</math>, — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов <math>\Omega</math>. Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math>. Определим случайную величину <math>\hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R}</math> следующим образом:

<math>\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \theta(x-X_i)</math>,

где <math>\mathbf{1}_A</math> — индикатор события <math>A</math>, <math>\theta(x)</math> — функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке <math>x</math> равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение <math>x</math>. Случайная величина <math>\hat{F}(x)</math> называется выборочной функцией распределения случайной величины <math>X</math> и является аппроксимацией для функции <math>F(x)</math>. Существует результат, показывающий, что при <math>n \to \infty</math> функция <math>\hat{F}(x)</math> равномерно сходится к <math>F(x)</math>, и указывающий скорость сходимости.

Основные свойства

<math>p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n</math>,

где <math>x_i = X_i(\omega)</math>, а <math>N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}}</math> — количество элементов выборки, равных <math>x</math>. В частности, если все элементы выборки различны, то <math>N_{x_i} = 1,\; \forall i</math>.

<math>\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega)</math>.

Таким образом выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения.

<math>n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x))</math>.
  • Выборочная функция распределения <math>\hat{F}(x)</math> является несмещённой оценкой функции распределения <math>F(x)</math>:
<math>\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x)</math>.
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
<math>\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}</math>.
<math>\hat{F}(x) \to F(x)</math> почти наверное при <math>n \to \infty</math>.
<math>\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right)</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.

См. также


Напишите отзыв о статье "Выборочная функция распределения"

Отрывок, характеризующий Выборочная функция распределения

Слова, сказанные Кутузовым, едва ли были поняты войсками. Никто не сумел бы передать содержания сначала торжественной и под конец простодушно стариковской речи фельдмаршала; но сердечный смысл этой речи не только был понят, но то самое, то самое чувство величественного торжества в соединении с жалостью к врагам и сознанием своей правоты, выраженное этим, именно этим стариковским, добродушным ругательством, – это самое (чувство лежало в душе каждого солдата и выразилось радостным, долго не умолкавшим криком. Когда после этого один из генералов с вопросом о том, не прикажет ли главнокомандующий приехать коляске, обратился к нему, Кутузов, отвечая, неожиданно всхлипнул, видимо находясь в сильном волнении.


8 го ноября последний день Красненских сражений; уже смерклось, когда войска пришли на место ночлега. Весь день был тихий, морозный, с падающим легким, редким снегом; к вечеру стало выясняться. Сквозь снежинки виднелось черно лиловое звездное небо, и мороз стал усиливаться.
Мушкатерский полк, вышедший из Тарутина в числе трех тысяч, теперь, в числе девятисот человек, пришел одним из первых на назначенное место ночлега, в деревне на большой дороге. Квартиргеры, встретившие полк, объявили, что все избы заняты больными и мертвыми французами, кавалеристами и штабами. Была только одна изба для полкового командира.
Полковой командир подъехал к своей избе. Полк прошел деревню и у крайних изб на дороге поставил ружья в козлы.
Как огромное, многочленное животное, полк принялся за работу устройства своего логовища и пищи. Одна часть солдат разбрелась, по колено в снегу, в березовый лес, бывший вправо от деревни, и тотчас же послышались в лесу стук топоров, тесаков, треск ломающихся сучьев и веселые голоса; другая часть возилась около центра полковых повозок и лошадей, поставленных в кучку, доставая котлы, сухари и задавая корм лошадям; третья часть рассыпалась в деревне, устраивая помещения штабным, выбирая мертвые тела французов, лежавшие по избам, и растаскивая доски, сухие дрова и солому с крыш для костров и плетни для защиты.
Человек пятнадцать солдат за избами, с края деревни, с веселым криком раскачивали высокий плетень сарая, с которого снята уже была крыша.
– Ну, ну, разом, налегни! – кричали голоса, и в темноте ночи раскачивалось с морозным треском огромное, запорошенное снегом полотно плетня. Чаще и чаще трещали нижние колья, и, наконец, плетень завалился вместе с солдатами, напиравшими на него. Послышался громкий грубо радостный крик и хохот.
– Берись по двое! рочаг подавай сюда! вот так то. Куда лезешь то?
– Ну, разом… Да стой, ребята!.. С накрика!
Все замолкли, и негромкий, бархатно приятный голос запел песню. В конце третьей строфы, враз с окончанием последнего звука, двадцать голосов дружно вскрикнули: «Уууу! Идет! Разом! Навались, детки!..» Но, несмотря на дружные усилия, плетень мало тронулся, и в установившемся молчании слышалось тяжелое пыхтенье.
– Эй вы, шестой роты! Черти, дьяволы! Подсоби… тоже мы пригодимся.
Шестой роты человек двадцать, шедшие в деревню, присоединились к тащившим; и плетень, саженей в пять длины и в сажень ширины, изогнувшись, надавя и режа плечи пыхтевших солдат, двинулся вперед по улице деревни.