Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: <math>F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)</math>.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора

Консервативный гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: <math> ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)</math>. Если ввести обозначения: <math>\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m} </math> и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

<math> \ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)</math>

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

<math>x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right)</math>,

где <math>A, \phi</math> — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: <math>x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)</math> и получим значение для константы:

<math> B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}</math>

Тогда окончательное решение запишется в виде:

<math>x(t)= A \sin\left(\omega_0 t + \phi\right) + \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}\cos\left(\Omega t \right)</math>

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: <math>x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)</math>. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

<math>A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}</math>

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

<math> x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right) </math>

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

<math> ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)</math>.

Переобозначения:

<math>\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{k m}}</math>

Дифференциальное уравнение:

<math>\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right) </math>

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: <math>\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}</math>, тогда решение будем искать в виде: <math> x(t)=A e^{-i\Omega t}, \text{где} A \in \mathbb C</math>. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

<math>A=\frac{\Phi_0}{\omega_0^2-\Omega^2 - 2i\zeta\Omega\omega_0}=\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}=|A|e^{-i\varphi}</math>

где <math>|A|=\frac{\Phi_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}}, \qquad \varphi=-\arctan\frac{2\zeta\Omega\omega_0}{\omega_0^2-\Omega^2}</math>

Полное решение имеет вид:

<math>x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right]</math>,

где <math> \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }</math> — собственная частота затухающих колебаний.

Константы <math> c_1</math> и <math> c_2</math> в каждом из случаев определяются из начальных условий: <math>\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.</math>

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при <math> t\, \to\, \infty </math>, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

<math>x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t}}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )</math>

Это означает, что при <math> t\, \to\, \infty </math> система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой <math>F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)</math> за время <math> dt\ </math>, равна <math> F dx\ </math>, а мощность <math> P = F \frac{dx}{dt} </math>. Из уравнения

<math>\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right) </math>

следует, что

<math> P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x </math>

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

<math> x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi ) </math>

<math> \dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi ) </math>

<math> \ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi ) </math>

то тогда средняя за период <math> T = \frac{2 \pi }{ \Omega } </math> мощность:

<math> P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 </math>

Работа за период

<math> W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A^2 m \zeta\omega_0 \Omega </math>

Литература

• Бутиков Е.И. [faculty.ifmo.ru/butikov/Applets/manlr_1.pdf Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие]. [www.webcitation.org/665BVz5LP Архивировано из первоисточника 11 марта 2012].
• Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.

См. также

• Гармонический осциллятор
• Затухающие колебания

Отрывок, характеризующий Вынужденные колебания

– Стало быть, русские будете? – переспросил мужик.
– А много вашей силы тут? – спросил другой небольшой мужик, подходя к ним.
– Много, много, – отвечал Ростов. – Да вы что ж собрались тут? – прибавил он. – Праздник, что ль?
– Старички собрались, по мирскому делу, – отвечал мужик, отходя от него.
В это время по дороге от барского дома показались две женщины и человек в белой шляпе, шедшие к офицерам.
– В розовом моя, чур не отбивать! – сказал Ильин, заметив решительно подвигавшуюся к нему Дуняшу.
– Наша будет! – подмигнув, сказал Ильину Лаврушка.
– Что, моя красавица, нужно? – сказал Ильин, улыбаясь.
– Княжна приказали узнать, какого вы полка и ваши фамилии?
– Это граф Ростов, эскадронный командир, а я ваш покорный слуга.
– Бе…се…е…ду…шка! – распевал пьяный мужик, счастливо улыбаясь и глядя на Ильина, разговаривающего с девушкой. Вслед за Дуняшей подошел к Ростову Алпатыч, еще издали сняв свою шляпу.
– Осмелюсь обеспокоить, ваше благородие, – сказал он с почтительностью, но с относительным пренебрежением к юности этого офицера и заложив руку за пазуху. – Моя госпожа, дочь скончавшегося сего пятнадцатого числа генерал аншефа князя Николая Андреевича Болконского, находясь в затруднении по случаю невежества этих лиц, – он указал на мужиков, – просит вас пожаловать… не угодно ли будет, – с грустной улыбкой сказал Алпатыч, – отъехать несколько, а то не так удобно при… – Алпатыч указал на двух мужиков, которые сзади так и носились около него, как слепни около лошади.
– А!.. Алпатыч… А? Яков Алпатыч!.. Важно! прости ради Христа. Важно! А?.. – говорили мужики, радостно улыбаясь ему. Ростов посмотрел на пьяных стариков и улыбнулся.
– Или, может, это утешает ваше сиятельство? – сказал Яков Алпатыч с степенным видом, не заложенной за пазуху рукой указывая на стариков.
– Нет, тут утешенья мало, – сказал Ростов и отъехал. – В чем дело? – спросил он.
– Осмелюсь доложить вашему сиятельству, что грубый народ здешний не желает выпустить госпожу из имения и угрожает отпречь лошадей, так что с утра все уложено и ее сиятельство не могут выехать.
– Не может быть! – вскрикнул Ростов.
– Имею честь докладывать вам сущую правду, – повторил Алпатыч.
Ростов слез с лошади и, передав ее вестовому, пошел с Алпатычем к дому, расспрашивая его о подробностях дела. Действительно, вчерашнее предложение княжны мужикам хлеба, ее объяснение с Дроном и с сходкою так испортили дело, что Дрон окончательно сдал ключи, присоединился к мужикам и не являлся по требованию Алпатыча и что поутру, когда княжна велела закладывать, чтобы ехать, мужики вышли большой толпой к амбару и выслали сказать, что они не выпустят княжны из деревни, что есть приказ, чтобы не вывозиться, и они выпрягут лошадей. Алпатыч выходил к ним, усовещивая их, но ему отвечали (больше всех говорил Карп; Дрон не показывался из толпы), что княжну нельзя выпустить, что на то приказ есть; а что пускай княжна остается, и они по старому будут служить ей и во всем повиноваться.
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.
– Батюшка! отец родной! бог тебя послал, – говорили умиленные голоса, в то время как Ростов проходил через переднюю.
Княжна Марья, потерянная и бессильная, сидела в зале, в то время как к ней ввели Ростова. Она не понимала, кто он, и зачем он, и что с нею будет. Увидав его русское лицо и по входу его и первым сказанным словам признав его за человека своего круга, она взглянула на него своим глубоким и лучистым взглядом и начала говорить обрывавшимся и дрожавшим от волнения голосом. Ростову тотчас же представилось что то романическое в этой встрече. «Беззащитная, убитая горем девушка, одна, оставленная на произвол грубых, бунтующих мужиков! И какая то странная судьба натолкнула меня сюда! – думал Ростов, слушяя ее и глядя на нее. – И какая кротость, благородство в ее чертах и в выражении! – думал он, слушая ее робкий рассказ.
Когда она заговорила о том, что все это случилось на другой день после похорон отца, ее голос задрожал. Она отвернулась и потом, как бы боясь, чтобы Ростов не принял ее слова за желание разжалобить его, вопросительно испуганно взглянула на него. У Ростова слезы стояли в глазах. Княжна Марья заметила это и благодарно посмотрела на Ростова тем своим лучистым взглядом, который заставлял забывать некрасивость ее лица.
– Не могу выразить, княжна, как я счастлив тем, что я случайно заехал сюда и буду в состоянии показать вам свою готовность, – сказал Ростов, вставая. – Извольте ехать, и я отвечаю вам своей честью, что ни один человек не посмеет сделать вам неприятность, ежели вы мне только позволите конвоировать вас, – и, почтительно поклонившись, как кланяются дамам царской крови, он направился к двери.
Почтительностью своего тона Ростов как будто показывал, что, несмотря на то, что он за счастье бы счел свое знакомство с нею, он не хотел пользоваться случаем ее несчастия для сближения с нею.
Княжна Марья поняла и оценила этот тон.
– Я очень, очень благодарна вам, – сказала ему княжна по французски, – но надеюсь, что все это было только недоразуменье и что никто не виноват в том. – Княжна вдруг заплакала. – Извините меня, – сказала она.