Общая алгебра

Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, две бинарных операции — в кольцах, почтикольцах, полях, решётках. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, алгебры над кольцами, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.

Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторрешётки).

Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.

Разделы общей алгебры

Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики:

• Гомологическая алгебра
• Теория групп
  • Теория представлений
• Теория колец
  • Коммутативная алгебра
• Теория полей
  • Теория Галуа
• Теория категорий
• Теория решёток
• Универсальная алгебра

Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методы алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и алгебраическая топология.

Литература

• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 1-2 — М.: Мир, 1977, 1979—688 с. + 464 с.
• Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990, 1991. — Т. 1, 2. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000/25 500 экз. — ISBN 5-02-014426-6 (Т. 1). — ISBN 5-02-014427-4 (Т. 2).

Отрывок, характеризующий Общая алгебра

– Vous parlez de la pauvre comtesse, – сказала, подходя, Анна Павловна. – J'ai envoye savoir de ses nouvelles. On m'a dit qu'elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c'est la plus charmante femme du monde, – сказала Анна Павловна с улыбкой над своей восторженностью. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m'empeche pas de l'estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Вы говорите про бедную графиню… Я посылала узнавать о ее здоровье. Мне сказали, что ей немного лучше. О, без сомнения, это прелестнейшая женщина в мире. Мы принадлежим к различным лагерям, но это не мешает мне уважать ее по ее заслугам. Она так несчастна.] – прибавила Анна Павловна.
Полагая, что этими словами Анна Павловна слегка приподнимала завесу тайны над болезнью графини, один неосторожный молодой человек позволил себе выразить удивление в том, что не призваны известные врачи, а лечит графиню шарлатан, который может дать опасные средства.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes, – вдруг ядовито напустилась Анна Павловна на неопытного молодого человека. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C'est le medecin intime de la Reine d'Espagne. [Ваши известия могут быть вернее моих… но я из хороших источников знаю, что этот доктор очень ученый и искусный человек. Это лейб медик королевы испанской.] – И таким образом уничтожив молодого человека, Анна Павловна обратилась к Билибину, который в другом кружке, подобрав кожу и, видимо, сбираясь распустить ее, чтобы сказать un mot, говорил об австрийцах.
– Je trouve que c'est charmant! [Я нахожу, что это прелестно!] – говорил он про дипломатическую бумагу, при которой отосланы были в Вену австрийские знамена, взятые Витгенштейном, le heros de Petropol [героем Петрополя] (как его называли в Петербурге).
– Как, как это? – обратилась к нему Анна Павловна, возбуждая молчание для услышания mot, которое она уже знала.
И Билибин повторил следующие подлинные слова дипломатической депеши, им составленной:
– L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, – сказал Билибин, – drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [Император отсылает австрийские знамена, дружеские и заблудшиеся знамена, которые он нашел вне настоящей дороги.] – докончил Билибин, распуская кожу.
– Charmant, charmant, [Прелестно, прелестно,] – сказал князь Василий.
– C'est la route de Varsovie peut etre, [Это варшавская дорога, может быть.] – громко и неожиданно сказал князь Ипполит. Все оглянулись на него, не понимая того, что он хотел сказать этим. Князь Ипполит тоже с веселым удивлением оглядывался вокруг себя. Он так же, как и другие, не понимал того, что значили сказанные им слова. Он во время своей дипломатической карьеры не раз замечал, что таким образом сказанные вдруг слова оказывались очень остроумны, и он на всякий случай сказал эти слова, первые пришедшие ему на язык. «Может, выйдет очень хорошо, – думал он, – а ежели не выйдет, они там сумеют это устроить». Действительно, в то время как воцарилось неловкое молчание, вошло то недостаточно патриотическое лицо, которого ждала для обращения Анна Павловна, и она, улыбаясь и погрозив пальцем Ипполиту, пригласила князя Василия к столу, и, поднося ему две свечи и рукопись, попросила его начать. Все замолкло.