Закон Архимеда

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Выталкивающая сила»)
Перейти к: навигация, поиск

Зако́н Архиме́да — один из главных законов гидростатики и статики газов.





Формулировка и пояснения

Закон Архимеда формулируется следующим образом[1]: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа) в объёме погруженной части тела. Сила называется силой Архимеда:

<math>{F}_A = \rho {g} V,</math>

где <math>\rho</math> — плотность жидкости (газа), <math>{g}</math> — ускорение свободного падения, а <math>V</math> — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности (равномерно движется вверх или вниз), то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Следует заметить, что тело должно быть полностью окружено жидкостью (либо пересекаться с поверхностью жидкости). Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, герметично касаясь дна.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела.

<math>P_B-P_A = \rho g h </math>
<math>F_B-F_A = \rho g h S = \rho g V, </math>

где PA, PB — давления в точках A и B, ρ — плотность жидкости, h — разница уровней между точками A и B, S — площадь горизонтального поперечного сечения тела, V — объём погружённой части тела.

В теоретической физике также применяют закон Архимеда в интегральной форме:

<math>{F}_A = \iint\limits_S{p {dS}}</math>,

где <math>S</math> — площадь поверхности, <math>p</math> — давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела.

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами.

Обобщения

Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, центробежной силы) — на этом основано центрифугирование. Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы

Гидростатическое давление жидкости на глубине <math>h</math> есть <math>p = \rho g h </math>. При этом считаем <math>\rho</math> жидкости и напряжённость гравитационного поля постоянными величинами, а <math>h</math> — параметром. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат <math>Oxyz</math>, причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора <math>\vec{g}</math>. Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку <math>dS</math>. На неё будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, <math>d\vec{F}_A = -pd\vec{S}</math>. Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

<math>\vec{F}_A=-\int\limits_S{p\,d\vec{S}}=-\int\limits_S{\rho g h \,d\vec{S}}=-\rho g\int\limits_S{h \,d\vec{S}}=^*-\rho g\int\limits_V{grad(h)\,dV}=^{**}-\rho g\int\limits_V{\vec{e}_zdV}=-\rho g \vec{e}_z \int\limits_V{dV} = (\rho g V) (-\vec{e}_{z})</math>

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.

<math>{}^* h(x,y,z) = z; \quad

^{**} grad(h)=\nabla h=\vec{e}_{z}</math>

Получаем, что модуль силы Архимеда равен <math>\rho g V</math>, а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести <math>{F_T}</math> и силы Архимеда <math>{F_A}</math>, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

  • <math>{F_T} > {F_A}</math> — тело тонет;
  • <math>{F_T} = {F_A}</math> — тело плавает в жидкости или газе;
  • <math>{F_T} < {F_A}</math> — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

Другая формулировка (где <math>\rho_{t}</math> — плотность тела, <math>\rho_{s}</math> — плотность среды, в которую оно погружено):

  • <math>\rho_{t} > \rho_{s}</math> — тело тонет;
  • <math>\rho_{t} = \rho_{s}</math> — тело плавает в жидкости или газе;
  • <math>\rho_{t} < \rho_{s}</math> — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

См. также

Напишите отзыв о статье "Закон Архимеда"

Примечания

  1. Всё написанное ниже, если не оговорено иное, относится к однородному полю силы тяжести (например, вблизи поверхности планеты).

Ссылки

Отрывок, характеризующий Закон Архимеда

Уже поздно ночью они вместе вышли на улицу. Ночь была теплая и светлая. Налево от дома светлело зарево первого начавшегося в Москве, на Петровке, пожара. Направо стоял высоко молодой серп месяца, и в противоположной от месяца стороне висела та светлая комета, которая связывалась в душе Пьера с его любовью. У ворот стояли Герасим, кухарка и два француза. Слышны были их смех и разговор на непонятном друг для друга языке. Они смотрели на зарево, видневшееся в городе.
Ничего страшного не было в небольшом отдаленном пожаре в огромном городе.
Глядя на высокое звездное небо, на месяц, на комету и на зарево, Пьер испытывал радостное умиление. «Ну, вот как хорошо. Ну, чего еще надо?!» – подумал он. И вдруг, когда он вспомнил свое намерение, голова его закружилась, с ним сделалось дурно, так что он прислонился к забору, чтобы не упасть.
Не простившись с своим новым другом, Пьер нетвердыми шагами отошел от ворот и, вернувшись в свою комнату, лег на диван и тотчас же заснул.


На зарево первого занявшегося 2 го сентября пожара с разных дорог с разными чувствами смотрели убегавшие и уезжавшие жители и отступавшие войска.
Поезд Ростовых в эту ночь стоял в Мытищах, в двадцати верстах от Москвы. 1 го сентября они выехали так поздно, дорога так была загромождена повозками и войсками, столько вещей было забыто, за которыми были посылаемы люди, что в эту ночь было решено ночевать в пяти верстах за Москвою. На другое утро тронулись поздно, и опять было столько остановок, что доехали только до Больших Мытищ. В десять часов господа Ростовы и раненые, ехавшие с ними, все разместились по дворам и избам большого села. Люди, кучера Ростовых и денщики раненых, убрав господ, поужинали, задали корму лошадям и вышли на крыльцо.
В соседней избе лежал раненый адъютант Раевского, с разбитой кистью руки, и страшная боль, которую он чувствовал, заставляла его жалобно, не переставая, стонать, и стоны эти страшно звучали в осенней темноте ночи. В первую ночь адъютант этот ночевал на том же дворе, на котором стояли Ростовы. Графиня говорила, что она не могла сомкнуть глаз от этого стона, и в Мытищах перешла в худшую избу только для того, чтобы быть подальше от этого раненого.
Один из людей в темноте ночи, из за высокого кузова стоявшей у подъезда кареты, заметил другое небольшое зарево пожара. Одно зарево давно уже видно было, и все знали, что это горели Малые Мытищи, зажженные мамоновскими казаками.
– А ведь это, братцы, другой пожар, – сказал денщик.
Все обратили внимание на зарево.
– Да ведь, сказывали, Малые Мытищи мамоновские казаки зажгли.
– Они! Нет, это не Мытищи, это дале.
– Глянь ка, точно в Москве.
Двое из людей сошли с крыльца, зашли за карету и присели на подножку.
– Это левей! Как же, Мытищи вон где, а это вовсе в другой стороне.
Несколько людей присоединились к первым.
– Вишь, полыхает, – сказал один, – это, господа, в Москве пожар: либо в Сущевской, либо в Рогожской.
Никто не ответил на это замечание. И довольно долго все эти люди молча смотрели на далекое разгоравшееся пламя нового пожара.
Старик, графский камердинер (как его называли), Данило Терентьич подошел к толпе и крикнул Мишку.
– Ты чего не видал, шалава… Граф спросит, а никого нет; иди платье собери.
– Да я только за водой бежал, – сказал Мишка.
– А вы как думаете, Данило Терентьич, ведь это будто в Москве зарево? – сказал один из лакеев.
Данило Терентьич ничего не отвечал, и долго опять все молчали. Зарево расходилось и колыхалось дальше и дальше.
– Помилуй бог!.. ветер да сушь… – опять сказал голос.
– Глянь ко, как пошло. О господи! аж галки видно. Господи, помилуй нас грешных!
– Потушат небось.
– Кому тушить то? – послышался голос Данилы Терентьича, молчавшего до сих пор. Голос его был спокоен и медлителен. – Москва и есть, братцы, – сказал он, – она матушка белока… – Голос его оборвался, и он вдруг старчески всхлипнул. И как будто только этого ждали все, чтобы понять то значение, которое имело для них это видневшееся зарево. Послышались вздохи, слова молитвы и всхлипывание старого графского камердинера.


Камердинер, вернувшись, доложил графу, что горит Москва. Граф надел халат и вышел посмотреть. С ним вместе вышла и не раздевавшаяся еще Соня, и madame Schoss. Наташа и графиня одни оставались в комнате. (Пети не было больше с семейством; он пошел вперед с своим полком, шедшим к Троице.)
Графиня заплакала, услыхавши весть о пожаре Москвы. Наташа, бледная, с остановившимися глазами, сидевшая под образами на лавке (на том самом месте, на которое она села приехавши), не обратила никакого внимания на слова отца. Она прислушивалась к неумолкаемому стону адъютанта, слышному через три дома.
– Ах, какой ужас! – сказала, со двора возвративись, иззябшая и испуганная Соня. – Я думаю, вся Москва сгорит, ужасное зарево! Наташа, посмотри теперь, отсюда из окошка видно, – сказала она сестре, видимо, желая чем нибудь развлечь ее. Но Наташа посмотрела на нее, как бы не понимая того, что у ней спрашивали, и опять уставилась глазами в угол печи. Наташа находилась в этом состоянии столбняка с нынешнего утра, с того самого времени, как Соня, к удивлению и досаде графини, непонятно для чего, нашла нужным объявить Наташе о ране князя Андрея и о его присутствии с ними в поезде. Графиня рассердилась на Соню, как она редко сердилась. Соня плакала и просила прощенья и теперь, как бы стараясь загладить свою вину, не переставая ухаживала за сестрой.
– Посмотри, Наташа, как ужасно горит, – сказала Соня.
– Что горит? – спросила Наташа. – Ах, да, Москва.
И как бы для того, чтобы не обидеть Сони отказом и отделаться от нее, она подвинула голову к окну, поглядела так, что, очевидно, не могла ничего видеть, и опять села в свое прежнее положение.